07 专题突破三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动-【正禾一本通】2024-2025学年高中物理选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教版2019）

专题突破三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 带电粒子在有界匀强磁场中的运动主要有两大类：一是临界问题，二是多解问题。解决这两大类问题的关键是：认真分析带电粒子的运动过程，画出各种可能的运动轨迹，找出隐含条件的几何关系，综合运用数学和物理知识求解。 突破点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．直线边界 (1)从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，轨迹具有对称性，如图所示。 (2)图(a)中，粒子垂直边界进入磁场时，出射点与入射点的距离最大，且最大距离d＝2R。 2．平行边界 (1)寻找粒子运动的轨道半径R与磁场宽度d的几何关系是求解此类问题的关键。 (2)当粒子恰好不从另一边界射出时，轨迹圆与边界相切。 3．圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向的反向延长线与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 (3)圆形边界磁场问题实质是轨迹圆和边界圆的相交问题，运动具有对称性，对称轴为两圆圆心的连线。 4．三角形边界 如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 【典例1】 (多选)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则(　　) A．从P点射出的粒子速度大 B．从Q点射出的粒子速度大 C．从P点射出的粒子在磁场中运动的时间长 D．两粒子在磁场中运动的时间一样长 解析：选BD。作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示， 根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RP<RQ，故由R＝可知，从Q点射出的粒子速度大，A错误，B正确；由T＝得，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，根据图示，可知两轨迹对应的圆心角相等，由t＝T得两粒子在磁场中的运动时间相等，C错误，D正确。 【针对训练1】 如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k，则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A．kBl B．kBl C．kBl D．kBl 解析：选B。作出两电子的运动轨迹如图所示， 电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝m，又＝k，解得va＝；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有＝l2＋2，解得rd＝，同理可得vd＝，选项B正确。 【典例2】 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B′的大小及此次粒子在磁场中运动所用的时间t。 解析：(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，从C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，又qvB＝m， 则粒子的比荷。 (2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径R′＝＝ r，又R′＝，所以B′＝B，此次粒子在磁场中运动所用时间t＝。 答案：(1)负电荷　　(2)B　 突破点二　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 1．临界条件 刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 2．几种常见的求极值问题 (1)时间极值 ①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 ③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 (2)磁场区域面积极值 若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。 【典例3】 中国环流器二号M装置(HL­2M)在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示，半径为R和R两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场，核聚变原料氕核和氘核均以相同的速度从圆心O沿半径方向射出，全部被约束在大圆形区域内。则氕核在磁场中运动的半径最大为(　　) A．R B．R C．R D．R 解析：选A。依题意，氕核、氘核全部被约束在大圆形区域内，根据qvB＝m得r＝，由于二者速度相同，根据半径与比荷的关系，可知氕核和氘核在磁场中的轨迹半径之比为1∶2。当氘核在磁场中运动轨迹刚好与磁场外边界相切时，氘核运动轨迹半径最大，由几何知识得2＝＋R2，求得氘核的最大半径为rmax＝R，所以氕核在磁场中运动的最大半径为rmax′＝rmax＝R，故A正确。 [规律方法]分析带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的关键是找出临界情景，挖掘临界条件，常用的方法有： (1)放缩法——粒子的速度方向不变、大小改变时，可通过轨迹圆的放缩寻找临界点； (2)旋转法——粒子的速度大小不变、方向改变时，可通过轨迹圆的旋转寻找临界点； (3)平移法——粒子的速度大小、方向都不变，只是入射点发生变化时，可通过轨迹圆的平移寻找临界点。 【针对训练2】 如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为(　　 ) A．1∶1 B．2∶3 C．∶2 D．∶3 解析：选C。粒子在磁场中运动时有qvB＝，所以粒子运动的轨迹半径R＝d。由左手定则可知，粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，当粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端，距A点的竖直距离L1＝d；当运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端，距A点的竖直距离L2＝d，所以粒子在PQ边界射出的区域长度为L＝L1＋L2＝d。因为R<d，所以粒子在MN边界射出区域的长度为L′＝2R＝d。两射出区域的长度之比为L∶L′＝d∶∶2，故C正确。 突破点三　带电粒子在磁场中运动的多解问题 1．带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图甲 ，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。 2．磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。如图乙，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 3．临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图丙所示，于是形成了多解。 4．运动的周期性形成多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图丁所示。 【典例4】 (多选)(2022·湖北高考)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A．kBL，0° B．kBL，0° C．kBL，60° D．2kBL，60° 解析：选BC。若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲，根据几何关系则有R＝L，qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°； 当离子运动轨迹如图乙所示时，因为两部分磁场的磁感应强度均为B，则根据对称性有R′＝L，根据洛伦兹力提供向心力有qv′B＝m，可得v′＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知，当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝kBL(n＝1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v＝kBL(n＝1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。故可知B、C正确，A、D错误。 【针对训练3】 如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为E，屏MN与y轴平行且相距L。一质量为m、电荷量为e的电子，在y轴上某点A自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么： (1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？ (2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？ 解析：(1)在电场中，电子从A→O， 由动能定理得eEs＝ 在磁场中，电子做匀速圆周运动，有 qv0B＝m 据题意，有(2n＋1)r＝L 所以s＝(n＝0，1，2，3，…)。 (2)在电场中做匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间 t＝(2n＋1) 其中a＝ 整理后得 t＝＋(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)。 答案：(1)s＝(n＝0，1，2，3，…)　(2)＋(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…) 学科网（北京）股份有限公司 $$