专题突破3 带电粒子在有界匀强磁场中的运动-【正禾一本通】2024-2025学年高中物理选择性必修2同步课堂高效讲义配套练习（人教版2019）

专题突破(三)　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 【基础应用题】 1．如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为(　　) A．B> B．B< C．B> D．B< 解析：选D。由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示， 此时圆周运动的半径R＝a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝有>a，即B<，D项正确。 2．如图所示，边长为L的正方形区域ABCD(含边界)内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从D点沿DC方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度可能为(　　) A． B． C． D． 解析：选A。若粒子恰好从A点射出磁场，则轨道半径为r1＝，由qv1B＝m可得v1＝；若粒子恰好从B点射出磁场，则轨道半径为r2＝L，由qv2B＝m可得v2＝。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度v<v1＝或v>v2＝，故A正确。 3．(2024·山东青岛期末)长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度v0应满足(　　) A．v0> B．v0< C．<v0< D．v0>或v0< 解析：选C。电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有ev0B＝，解得R＝，根据题图分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能打到水平板上，两个临界点轨迹分别与水平板相切、轨迹恰好经过水平板两端点，如图所示， 根据几何关系可知Rmin＝，Rmax＝，解得v0min＝或v0max＝，则有<v0<，故C正确。 4．如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为(　　 ) A．v1 B．v1 C．v1 D．v1 解析：选C。画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示， 由题意知，同一粒子在磁场中运动时间均为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°；设圆的半径为R，由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1＝2R，r2＝R tan 60°＝R，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，则速度v＝，则，所以当粒子沿ab方向射入时，v2＝v1，A、B、D错误，C正确。 【综合提升题】 5．(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　 ) A．B>，垂直纸面向里 B．B>，垂直纸面向里 C．B>，垂直纸面向外 D．B>，垂直纸面向外 解析：选BD。当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，解得r1＝s，又由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，离子恰好与OP相切的轨迹为其临界轨迹，如图乙所示，切点为N，由几何关系可知s＝＋r2，解得r2＝，又由r2＝可得B2＝。综合以上分析可知，选项B、D正确。 6．(2024·山东济宁阶段练习)如图所示，在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，许多相同的离子，以相同的速率v，由O点沿纸面向各个方向(y>0)射入磁场区域。不计离子所受重力，不计离子间的相互影响，图中曲线表示离子运动的区域边界，其中边界与y轴交点为M，边界与x轴交点为N，且OM＝ON＝L，由此可判断(　　) A．这些离子是带负电的 B．这些离子运动的轨道半径为 C．这些离子的比荷为 D．当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过ON的中点 解析：选B。离子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系可知，沿x轴正方向射入的离子将经过M点，沿y轴正方向射入的离子将经过N点，由左手定则可知，离子带正电，故A、D错误；沿x轴正方向和y轴正方向射入的离子将分别经过M、N点，已知OM＝ON＝L，则由几何关系可知这些离子运动的轨道半径为r＝，故B正确；根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，联立解得，故C错误。 7．如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场，若粒子射入的速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一的圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为(　　) A．∶2 B．∶1 C．∶1 D．3∶ 解析：选C。设圆形区域磁场的半径为r，当粒子从P点射入的速度大小为v1时，粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为M，如图1，此时PM的长度为轨迹圆的直径。 由题意知∠POM＝60°，根据几何关系得轨迹圆的半径为R1＝；当粒子从P点射入的速度大小为v2时，粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为N，如图2，此时PN的长度为轨迹圆的直径，由题意知∠PON＝120°，根据几何关系得轨迹圆的半径为R2＝r；再根据洛伦兹力充当向心力可知qvB＝m，解得v＝，故速度与半径成正比，因此v2∶v1＝R2∶R1＝∶1，C正确。 8．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆半径的。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A． B． C． D． 解析：选B。根据牛顿第二定律和圆周运动规律有qvB＝m，可得粒子做匀速圆周运动的周期为T＝，如图所示， 过c点做半圆边界的切线，切点为e，设半圆边界的圆心为O，粒子运动轨迹的圆心为O′，根据几何关系可知，当粒子从e点射出时，粒子转过的圆心角最大，运动时间最长，设ac＝2x，则Oa＝Oe＝3x、Oc＝Oa＋ac＝5x，可得sin ∠Oce＝，所以∠OO′e＝2∠Oce＝74°，即粒子转过的圆心角为254°，可得运动时间为t＝，故B正确。 9．如图所示，空间充满了磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L的刚性等边三角形框架△DEF，DE边中点S处有一带正电的粒子，电荷量为q，质量为m，现给粒子一个垂直于DE边向下的速度，若粒子每一次与三角形框架碰撞时，速度方向都垂直于被碰的边，且碰撞均为弹性碰撞，当速度的大小取某些特殊数值时可使由S点发出的粒子最终又回到S点。 (1)若粒子只与三角形框架碰撞两次就回到S点，求粒子的速度大小。 (2)若S点不在DE边的中点，而是到D点的距离DS＝，仍然使粒子能回到S点，求满足条件的粒子的速度大小。 解析：(1)粒子从S点垂直于DE边射出后，做匀速圆周运动，其圆心必在DE线上，洛伦兹力提供向心力，则有 qvB＝m 解得R＝ 若粒子只与三角形框架碰撞两次就回到S点，则圆心在三角形顶点，由几何关系得 R＝ 联立解得v＝。 (2)要使粒子能回到S点，要求粒子每次与△DEF碰撞时，v都垂直于边，且通过三角形顶点处时，圆心必为三角形顶点，故 DS＝(2n－1)R(n＝1，2，3，…) 即R＝(n＝1，2，3，…) 由qvB＝ 解得v＝(n＝1，2，3，…)。 答案：(1)　(2)(n＝1，2，3，…) 【创新拔高题】 10．如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN＝L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为－q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L。粒子重力不计，电荷量保持不变。 (1)求粒子运动速度的大小v； (2)欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm； (3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM＝d，QN＝d，求粒子从P到Q的运动时间t。(结果用L、d、m、q、B等物理量表示) 解析：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝ 在磁场中做圆周运动的半径r＝d 联立，代入数据得v＝。 (2)如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切，此时入射点到M的距离最大，由几何关系得dm＝d(1＋sin 60°) 解得dm＝d。 (3)粒子做匀速圆周运动，有 T＝ 由题意可知粒子垂直打到水平薄板上，设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t′，则粒子从P到Q的运动时间 t＝＋t′(n＝1，3，5…) (a)当L＝nd＋d时，粒子斜向上射出磁场，粒子从最后一次碰撞到射出磁场转过的夹角为，故t′＝ 联立代入数据，得t＝； (b)当L＝nd＋d时，粒子斜向下射出磁场，粒子转过夹角为π，故t′＝T 联立代入数据，得t＝。 答案：(1)　(2)d　(3)见解析 学科网（北京）股份有限公司 $$