辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校2024-2025学年高三下学期开学数学试题

参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D D B A A D 一．选择题（共8小题） 1．已知集合，1，，，，则满足的集合共有　　个． A．3 B．4 C．7 D．8 【解答】解：因为集合，1，，，， 所以，， 所以，，1，2，， 因为， 所以可以为，，，，，，，，，，，，，，2，，，1，2，，共8个． 故选：． 2．已知，是复数，则下列命题正确的为　　 A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则 D．若，则 【解答】解：设，，，，， 对于：若，故，故，，所以，故正确； 对于：由于，所以，不一定满足为实数，故错误； 对于：当，由于，故，，故不一定为0，故错误； 对于：当，则，故，故不一定与相等，故错误． 故选：． 3．已知向量，满足，，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，且， 则， 解得， 因为，， 所以与的夹角为． 故选：． 4．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点，，，，，，表示某一时期的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为　　 A．4 B．13 C．15 D．16 【解答】解法一：用间接方法，过这七个点中任意两个点作直线，一共有条， 其中从共线的，，，的四点任选两点，一共有条， 所得直线的条数为； 解法二：用直接方法，①过点，，，的直线只有1条； ②过，，中的任意两点作直线，可作3条； ③从，，，任取一点，从，，中任取1点作直线，可作直线条数为， 综上，所得直线的条数为． 故选：． 5．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，，成等差数列，则　　 A．10 B．11 C．12 D．13 【解答】解：因为数列满足，， 所以当时， ． 因为，满足，所以， 因为， 所以． 若，，成等差数列，则，即， 即， 得． 故选：． 6．为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角这一水平夹角来衡量．遮光角是指灯罩边沿 和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用表示．若图中，，且，则　　 A．44 B．66 C．88 D．110 【解答】解：因为， 所以， 又，，， 所以， 则． 故选：． 7．已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 则， 令，解得或，令，解得， ， 故在单调递减，在单调递增，在单调递减， ， 故， 任意的，都有成立， 则， ， 则， 当时，，在单调递增， ， 故，即（舍去）， 当时， 令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 故选：． 8．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上，则当取到最小值时，为　　 A．7 B．6 C．5 D．4 【解答】解：设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由题意点是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上， 可知：圆的圆心为，半径， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当，，三点共线时，等号成立， 综上所述：当且仅当，时，的最小值为6， 此时． 故选：． 二．多选题（共3小题） 9．已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是　　 A． B． C．（6）除以8所得的余数为1 D． 【解答】解：的展开式的二项式系数的和为512，故，解得； 故对于，当时，，当时，，故，故错误； 对于，故正确； 对于（6），故余数为1，故正确； 对于：对于：，两边取导数， 故，令，故，故正确． 故选：． 10．如图，在正方体中，点在平面内，设直线与直线，，所成的角分别为，，，则下列结论正确的是　　 A． B．是与的等差中项 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．若，则 【解答】解：因为， 所以直线与直线所成的角为， 故正确； 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 直线与直线所成的角为， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴 建立空间直角坐标系． 设，则，0，，，0，，，0，，，1，， 则，得， 所以，则，所以是与的等差中项，故正确； ， 设平面的法向量为， 则，得 取， 设直线与平面所成的角为， 则，故错误； 由，得， 因为点在平面内， 所以， 解得，故正确． 故选：． 11．已知椭圆与双曲线有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记与的离心率分别为与．下列结论正确的是　　 A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记△的内心为，若垂直于轴，则为的右顶点 【解答】解：令，，，由，得， 对于，，解得，， 解得，因此，正确； 对于，由，，得，， 则，而，则，正确； 对于，，则，，错误； 对于，令△的内切圆切，分别于点，，由轴于，， 得为圆切的切点，显然，，， 由，得，因此， 解得，即点为的右顶点，正确． 故选：． 三．填空题（共3小题） 12．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 　45　秒，该病毒占据内存． 【解答】解：一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存， 然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍， 由题意可知：每3秒病毒占据的内存容量构成一个首项为4，公比为2的等比数列， 设病毒占据内存时共复制了次， 则有，所以， 从而开机45秒，该病毒占据内存． 故答案为：45． 13．函数，（其中，的图象在点处的切线与的图象相切，则　或3　． 【解答】解：（1），故在的图象上， 又，则（1）， 故的图象在点处的切线方程为， 当在上时，，解得：， 故， 则，则（1）， 则在处的切线方程为，满足要求； 当不在上时，设切点为，，则， 由于在处的切线方程为， 所以，解得：，，经检验符合要求． 故答案为：或3． 14．已知，过点倾斜角为的直线交于，两点在第一象限内），过点作轴，垂足为，现将所在平面以轴为翻折轴向纸面外翻折，使得平面平面，连接，则线段的长为　　，三棱锥外接球的表面积为 　　． 【解答】解：直线斜率，直线方程为代入，整理得， 得或， 在第一象限，点横坐标，此时，即，， 点横坐标为，点纵坐标，，则是等腰三角形， 则，，即是等腰△，则， 翻折后，平面平面， ， 平面， 平面，， 则． 设四棱锥的外接球半径为，外接圆半径为， 则，则， 则，即， 则外接球表面积为． 故答案为：，． 四．解答题（共5小题） 15．某校食堂为了解学生对牛奶豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，从而更有针对性的为广大学子准备营养早餐，于是随机抽取了200名学生进行问卷调查，得到了如表的统计结果： 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 45 55 100 女生 65 35 100 合计 110 90 200 （1）根据的独立性检验，能否认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关？ （2）小红每天都会在牛奶与豆浆中选择一种当早餐，若前一天选择牛奶，则她后一天继续选择牛奶的概率为；若前一天选择豆浆，则她后一天继续选择豆浆的概率为已知小红第一天选择了牛奶，求她第三天选择牛奶的概率． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解答】解：（1）设零假设：该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别无关， 则， 根据的独立性检验，零假设不成立， 即可以认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关； （2）设“小红第二天选择牛奶”为事件，则事件表示“小红第二天选择豆浆”， 设“小红第三天选择牛奶”为事件， 由题意可知，，，，， 所以， 所以小红第三天选择牛奶的概率为． 16．已知数列中，． （1）若，，依次成等差数列，求； （2）若，证明：数列为等比数列； （3）若，求的前项和． 【解答】（1）解：由，得， ， ，，成等差数列，， 即，解得； （2）证明：，即， ， ， 即，可得数列是首项为1，公比为2的等比数列； （3）解：由（2）可得，则， ． 17．已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，在上单调递减，令，可得， 所以当时，；当时，． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）因为恒成立，即恒成立， 令，所以恒成立， ， 当时，函数在上单调递增，函数无最大值， 当，函数，故不符合题意； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为， 令，，易知在上单调递增， 又，，所以，故实数的取值范围是． 18．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为，点为线段上一点． （1）证明：平面平面． （2）若，求四棱锥的体积． （3）点为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值． 【解答】解：（1）证明：设，的中点分别为，，连接，，， 由，得，由，得， 正方形中，， 则二面角的平面角为， 由余弦定理，得，， 则，由，，平面， 得平面，而平面， 因此，又，，平面， 于是平面，而平面， 所以平面平面． （2）由（1）知，四棱锥的高为，点在线段上，且， 则点到平面的距离是点到平面距离的， 所以四棱锥的体积为； （3）由（1）知，直线，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，6，，，6，，， ，， 设， ， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦的最大值为．（答案有误，看方法） 19．在平面直角坐标系中，双曲线，离心率为，点是上任意一点．抛物线． （1）求的方程； （2）过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值； （3），是的两条切线，，是切点，求△面积的最小值． 【解答】解：（1）设双曲线的焦半距为， 此时， 因为双曲线的离心率为， 所以， 解得， 则双曲线的方程为； （2）证明：设，，为渐近线，为渐近线， 直线的方程为， 联立， 解得， 所以， 同理得 所以， 因为直线的斜率， 所以， 所以， 则平行四边形的面积， 因为点在双曲线上， 所以， 即， 则平行四边形的面积为； （3）设，，，，，， 因为， 可得， 所以直线的方程为， 因为，在直线上， 所以， 解得， 同理得， 所以，，，均满足方程， 则直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 所以， 因为到直线的距离， 所以△面积， 因为， 所以， 当为时，取得最小值，最小值为． 故△面积最小值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/28 15:52:58；用户：卢璐；邮箱：ccsyb12@xyh.com；学号：22439990 第16页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 $$