精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（日新班）

丰城九中2024-2025学年下学期高二日新开学考数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质以及渐近线的性质列不等式组求解即可； 【详解】由题意可得，解得， 所以的方程为， 故选：D. 2. 某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：） A. 16 B. 10 C. 8 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】因为数学成绩，所以，因此由 所以有， 估计该班数学得分大于120分的学生人数为， 故选：C 3. 设是虚数单位，若复数的实部是1，且的虚部是2，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设，再根据的虚部是2求解即可. 【详解】设，则. 由题意，则，即的虚部为1. 故选：C 4. 已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，求得斜率建立方程，结合离心率的计算公式，可得答案. 【详解】由的方程为，得的斜率为． 又因为直线的斜率为，所以，即， 所以椭圆的离心率为． 故选：B． 5. 已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的内切圆半径为，由，得到，结合双曲线的定义，求得，再由，得到，即可求解. 【详解】设的内切圆半径为，因为， 所以，可得， 因为点为双曲线右支上一点， 所以，可得，解得， 又因为，可得，整理得， 即，解得或（舍去）. 故选：C. 6. 已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义分析可得为正三角形，进而可求直线的方程，与抛物线的方程联立求交点纵坐标，即可得结果. 【详解】由题意得：抛物线C：y²=8x的焦点为，准线为， 设准线l与x轴的交点为， 由抛物线定义知，而，故为正三角形，可得， 不妨令直线，设， 联立方程，消去x得，解得或， 即，可得， 所以． 故选：C. 7. 已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆定义得到，且，换元后得到，根据“1”的妙用得到，求出的最小值为，从而求出的最小值. 【详解】由题意得：椭圆：的两个焦点在y轴上，且，故， 则，故， 由椭圆定义可知：， 设，则由椭圆性质可知：，故， ， 其中 ， 令，则，则， 由对勾函数的性质可知：在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 故， 等且仅当时，等号成立. 故选：D 8. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ） A. A与B不互斥 B. A与D互斥但不对立 C. C与D互斥 D. A与C相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误； 由，A、D互斥且对立，B错误； 又，，则，C与D不互斥，C错误； 由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的） 9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程. 【详解】直线与坐标轴的交点为，， 故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和. 故选：BD. 10. 某批水稻种子有5%的是变异种，变异种当中有90%的是长不大的．在正常的种子中，90%的都能长大．下列说法正确的有（ ） A. 这批水稻长不大的占比超过10% B. 这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率低于1% C. 如果有种子长不大，那么它是变异种的概率高于30% D. 如果有种子长大了，那么它是变异种的概率高于0.3% 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】这批水稻长不大的占比为，故A正确， 这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率为，故B错误， 种子长不大的概率为，则是变异种的概率为，故C正确， 种子长大的概率为，它是变异种的概率为，故D正确， 故选：ACD 11. 已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（ ） A. B. 直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆 C. 该双曲线的共轭双曲线的方程为 D. 过的弦长为5的直线有且只有1条 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A中，求得切线的方程，结合点到直线的距离公式，可判定A正确 对于B中，联立方程组，分别求得坐标，结合斜率公式，可判定B正确，根据共轭双曲线的定义，可判定C错误；结合实轴长和通经，可判定D错误. 【详解】由题意，双曲线的焦点坐标为，， 对于A中，由双曲线的性质，可得切线的方程为，即， 则， 所以A正确 对于B中，联立方程组，可得， 又由，可得， ，， ， ， 则 ， ∴，， ∴，，，四点共圆，B正确. 对于C中，双曲线的共轭双曲线为，所以C错误 对于D中，由双曲线，可得，则， 可得，且通经长，所以过的弦长为5的直线有3条，所以D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点拨：联立方程组，求得点，，结合斜率公式和倾斜角的定义，判定得到四点共面是解答的关键. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上） 12. 在空间直角坐标系中，已知两点，，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入空间中两点之间的距离公式，即可得出答案. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的和差公式求得，再利用正余弦函数的齐次式法即可得解. 【详解】因为， 所以， 则. 故答案为：. 14. 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则___________，___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】问题转化为当且仅当时取到最小值1，利用数量积求向量的模，且当模最小时，求出相关的数值. 【详解】因为， 由于，所以， 问题等价于当且仅当时，取到最小值1， ， 则，解得. 故答案为：；. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算） 15. 2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. （1）求该样本的中位数和方差； （2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望. 【答案】（1）中位数为81.5，方差为98.83（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）把样本数据排序后可得中位数，计算样本数据的平均数再利用公式计算其方差. （2）利用超几何分布可求优秀作品的件数的分布列和期望. 【详解】（1）样本数据按顺序为59，67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96. 数据的中位数为： 平均数为 方差为 （2）设抽到优秀作品的个数为，则的可能值为0,1，2,3 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为 【点睛】（1）统计中有中位数、众数和平均数，注意它们的差别与计算方法． （2）在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）． 16. 已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点． （1）求的值； （2）若上存在点，使的重心恰为，求的值及点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）联立直线和抛物线方程利用韦达定理即可得出结果； （2）根据抛物线焦点坐标及重心坐标公式可求得，代入抛物线方程即可求得及. 【小问1详解】 联立方程：和， 消去得得， 则． 【小问2详解】 设点，易知，如下图所示： 由（1）可得， 由的重心恰为可得，即； 且，可得 由点在上，满足，可得， 解得， 所以，， 即点为． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意可建立以为坐标原点的空间直角坐标系，设分别求出平面和平面的法向量，由二面角公式代入解方程即可求出，进而求出的长. 【小问1详解】 取中点，连接. 在中，分别为的中点，所以. 在菱形中，因为， 所以. 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 选择条件①： 因为平面平面， 所以. 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以， 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 连接，因为，所以，又为中点，所以， 所以为正三角形.因为，所以. 设， 则， 根据条件，可得平面的法向量为. 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，所以， 由题意，二面角的大小为， 所以，解得（舍负）. 因为是的中点，所以的长为12. 经检验符合题意. 选择条件②： 因为平面平面， 所以. 连接，因为，且， 所以，在菱形中，，即为正三角形. 又因为为中点，所以， 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 又因为. 因为为正三角形且，所以. 设， 则， 根据条件，可得平面的法向量为. 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，所以， 由题意，二面角的大小为， 所以，解得（舍负）. 因为是的中点，所以的长为12. 经检验符合题意. 18. 已知直线经过直线的交点，且､两点到直线的距离相等. （1）求直线的一般式方程； （2）若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论所求直线与直线平行或过的中点，结合直线点斜式方程运算求解； （2）求点关于直线的对称点为，结合几何性质可得，即可得结果. 【小问1详解】 由，解得，所以交点 ①当所求直线与直线平行时，直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即； ②当所求直线过的中点时，线段的中点坐标为， 则所求直线垂直于轴，故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. 【小问2详解】 因为点在直线的同侧，所以直线的方程为， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即点， 因为， 当三点共线时等号取到， 故的最小值为. 19. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. （1）讨论函数的凹凸性； （2）在锐角中，求的最小值； （3）若个正数满足，证明:. 【答案】（1）凹函数 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数凹凸性的定义判断的符号即可； （2）应用（1）函数的凹凸性，结合琴生不等式可求得最小值； （3）构造函数，判断函数的凹凸性，再应用琴生不等式即可证得. 【小问1详解】 所以，， 所以函数在上为凹函数. 【小问2详解】 由1）知，函数在上为凹函数， 由琴生不等式得，， 即（当且仅当时等号成立）. 因此在锐角中，的最小值. 【小问3详解】 构造函数， 因为，， 所以函数在上为凹函数. 因为正数满足， 所以 由琴生不等式得， （当且仅当时等号成立）， 所以 所以 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024-2025学年下学期高二日新开学考数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：） A. 16 B. 10 C. 8 D. 2 3. 设是虚数单位，若复数的实部是1，且的虚部是2，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 8. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ） A. A与B不互斥 B. A与D互斥但不对立 C. C与D互斥 D. A与C相互独立 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的） 9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 某批水稻种子有5%的是变异种，变异种当中有90%的是长不大的．在正常的种子中，90%的都能长大．下列说法正确的有（ ） A. 这批水稻长不大的占比超过10% B. 这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率低于1% C. 如果有种子长不大，那么它是变异种的概率高于30% D. 如果有种子长大了，那么它是变异种的概率高于0.3% 11. 已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（ ） A. B. 直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆 C. 该双曲线的共轭双曲线的方程为 D. 过的弦长为5的直线有且只有1条 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上） 12. 在空间直角坐标系中，已知两点，，则____________ 13. 已知，则__________. 14. 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则___________，___________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算） 15. 2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. （1）求该样本的中位数和方差； （2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望. 16. 已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点． （1）求的值； （2）若上存在点，使的重心恰为，求的值及点的坐标． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知直线经过直线的交点，且､两点到直线的距离相等. （1）求直线的一般式方程； （2）若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值. 19. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. （1）讨论函数的凹凸性； （2）在锐角中，求的最小值； （3）若个正数满足，证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $