2.2.1 解一元二次方程（6大题型提分练，同步练习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

2.2.1解一元二次方程 题型一 用因式分解法解方程 1．下关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．1和2 D．和2 2．若等腰的三边长都是方程的根，则的周长是（   ） A．10或8 B．10 C．12或6 D．6或10或12 3．因式分解法解方程： （1）； （2） 4．定义运算：，例如：，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型二 用直接开平方法解方程 1．解方程： (1)； (2)． 2．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 3．方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 题型三 直接开平方法解方程的过程出错问题 1．以下是小明的计算过程，请你认真检查，回答下列问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 在小明同学解题过程中，从第 步出现错误（填入步骤），造成错误的原因是： ． 2．李老师在课上布置了一个如下的练习题： 若，求的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：，① ，② ．③ 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 题型四 直接开平方法解方程的参数问题 1．若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 2．将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 3．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为 ． 4．已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 5．关于的方程的根的判别式的值为5，则 ． 题型五 用因式分解法解含绝对值的方程 已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 题型六 用换元法解方程 1．已知，则的值为 ． 2．已知，则代数式的值是 ． 3．若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 4．若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ． 1．根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法： ①化简一共有8种不同的结果； ②化简一共有8种不同的结果； ③若，（为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（     ） A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2 3．有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（   ） A．50 B．54 C．60 D．63 6．等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根，则等边三角形的面积为 ． 7．已知关于，的二元一次方程组，（为实数） ①当与互为相反数时，； ②的值与k无关； ③若，则解为； ④若，，且，则或． 以上说法正确的是 （填写序号）． 8．阅读下列材料，完成相应任务： 我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解． 将方程整理，得.        ……………………第1步 变形得.    ……………………第2步 得.                ……………………第3步 于是得，即.……第4步 当时，得.……………………第5步 得，.………………第6步 当时，该方程无实数解. ……………………………第7步 学习任务： （1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是_______；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是________． （2）请用材料中提供的方法，解下列方程： ①；                        ②． 9．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定＝ad－bc，上述记法就叫做二阶行列式．若＝6，求x的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1解一元二次方程 题型一 用因式分解法解方程 1．关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．1和2 D．和2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故选：D． 2. 若等腰的三边长都是方程的根，则的周长是（   ） A．10或8 B．10 C．12或6 D．6或10或12 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程及三角形的三边关系，正确解出一元二次方程并分类讨论是解题的关键，易错点在于忽略三边都相等的情况 【详解】解析：解方程， 得． 当4为腰，2为底时， ， 能构成等腰三角形， 此时的周长为； 当2为腰，4为底时， ， 不能构成三角形； 当等腰三角形的三边分别都为4或2时， 能构成等边三角形， 周长分别为12，6． 综上，的周长是10或12或6．   故选：D 3．因式分解法解方程： （1）； （2） 【答案】（1），；（2）， 【详解】（1）因式分解，得：， 得：或， ，． （2）化为一般式为：， 因式分解，得： 得：或， ，． 4.定义运算：，例如：，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查新定义和解一元二次方程，理解定义和利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键． 根据新定义得出方程，再解方程，求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 故选：A． 题型二 用直接开平方法解方程 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）先展开左边的式子，化简后直接开平方解方程即可； （2）利用配方法得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 或， ． 2．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查直接开方法解一元二次方程，掌握直接开方的计算方法是解题的关键． （1）先移项，再直接开方，即可求解； （2）先移项，再直接开方，即可求解； （3）先移项，再直接开方，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∴， 直接开方得，． （2）解：， 移项得，， 直接开方得，或， ∴． （3）解：， 直接开方得，或， ∴． 3．方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故选：B． 4．方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 故选：D． 题型三 直接开平方法解方程的过程出错问题 1．以下是小明的计算过程，请你认真检查，回答下列问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 在小明同学解题过程中，从第 步出现错误（填入步骤），造成错误的原因是： ． 【答案】二，见解析 【分析】第二步去括号，括号前为“－”，需要变号，题干中错误． 【详解】第二步错误，原因是去括号的过程中，括号内未变号 正确过程为： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 故答案为：二，去括号的过程中，括号内未变号 【点睛】本题考查整式的化简，注意去括号时，括号前符号为“－”，则需要变号． 2.李老师在课上布置了一个如下的练习题： 若，求的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：，① ，② ．③ 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 【答案】晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析． 【分析】根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可． 【详解】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下： ， ， ． 不论为何值都不等于， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题． 题型四 直接开平方法解方程的参数问题 1．若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 【答案】B 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程、求代数式的值，可化为，两边直接开平方得出x的值，进而可得，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵一元二次方程的两个根是与， ∴， 解得． 故选：B． 2．将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 将一个根0代入，得，解得，由一元二次方程定义，可知，解得，进而求出k值． 【详解】解：由题意， 将一个根0代入，得 ， 解得， 由一元二次方程定义，可知， 解得， ∴， 故答案为：． 4．已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程，涉及平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案． 【详解】解： ∵方程可以用直接开平方法求解， ∴． 故答案为． 5．关于的方程的根的判别式的值为5，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程等知识点，牢记一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键． 根据题意建立关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解： ， 整理，得：， 解得：， 故答案为：． 题型五 用因式分解法解含绝对值的方程 已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，解一元二次方程，分类讨论，是解决问题的关键． 根据已知方程，分，，，三种情况讨论求根，取所有根的和即可． 【详解】解：①当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），； ②当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），， ③当时，方程不成立． ∴此方程的所有实数根的和为： ． 故选：A． 题型六 用换元法解方程 1．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用公式法解得，，进而求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴应舍去， ∴， ∴． 故答案为：． 2．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程．首先设，利用换元法可得：，解一元二次方程可得或，利用一元二次方程根的判别式可知不成立，把整体代入代数式计算即可． 【详解】解：， ， 设， 则有 整理得：， 分解因式得：， 或， 或， 一元二次方程中，， 一元二次方程无解， 不成立，舍去， 当时， ． 故答案为： ． 3．若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，即可求出结论． 【详解】解：由得到， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：B． 4．若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程的解为或，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的方程的解是，， ∴关于的方程的解为或， 解得：或， ∴关于y的方程的解为，． 故答案为：，． 1．根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法： ①化简一共有8种不同的结果； ②化简一共有8种不同的结果； ③若，（为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】①由于的结果分别有2种，则的结果共有种；②根据的取值范围化简绝对值可得当时，；当时，；当时；当时，；则的结果共有4种；③根据题意可得，再由求出的值即可 【详解】解：①的结果有两种，的结果有两种，的结果有两种， 的结果共有种，故①说法正确； 当时， ； 当时， ； 当时， 当时，； 的结果共有4种情况，故②说法错误； ③ 解得，或（舍去） 故③说法正确， ∴正确的说法有2个， 故选：C 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握绝对值的性质、一元二次方程的解法是解题的关键 2．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（     ） A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2 【答案】B 【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2， 所以-h-=-3，-h+=2， 方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±， 所以x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法． 3．有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 4．有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先分别探究第一项至第四项，再总结规律，再利用规律逐一分析解题即可． 【详解】解：根据题意可得： 第一项：， 第二项：， 第三项：， 第四项：， 第项为：，故④不符合题意； 第项，， 当时，第三项：，故①符合题意； 当第四项与第五项的和为85， ∴， 解得：或，故②不符合题意； 当时， ∵， ， ， ∴ ∴，故③不符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，一元二次方程的解法，数字的变化规律等，解题的关键是根据题意分别确定，第一项至第四项，再总结规律，利用规律解题． 5．如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（   ） A．50 B．54 C．60 D．63 【答案】C 【分析】本题主要考查等积法及一元二次方程的解法，熟练掌握等积法是解题的关键；设，由题意易得，，然后可建立方程进行求解． 【详解】解：设，由等积法可知：， ∴，即①， ∵， ∴，即②， 联立①②可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴； 故选C． 6．等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根，则等边三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据题意可知该一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可求m的值，进而确定该方程并求解的x，进而得到等边三角形的边长；然后根据勾股定理求得等边三角形的高，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵等边三角形的边长是关于x的一元二次方程的根 ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴， 解得 ∴原方程可化为， 解得 ∴等边三角形的三边边长都为3 ∴等边三角形的高为： ∴等边三角形的面积为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式为零是解题关键． 7．已知关于，的二元一次方程组，（为实数） ①当与互为相反数时，； ②的值与k无关； ③若，则解为； ④若，，且，则或． 以上说法正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】①先根据相反数的定义得出，代入二元一次方程组，解方程组即可判断①不正确；②根据方程组求出，即可判断②正确；③根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方得出，根据方程组求出，即可列出方程，解方程求出的值，即可判断③正确；④根据同底数幂的除法与幂的乘方得出，根据方程组求出，即可得出方程，解方程求出的值即可判断④正确． 【详解】解：①若与互为相反数时，则， 将其代入二元一次方程组得：， 解得：，故①不正确； ②由题可知：， 可得：， ∴的值与k无关，故②正确； ③∵， ∴， ∴， 由题可知：， 即， 可得；， 解得：，故③正确； ④∵，，且， ∴， ∴， 即， 由题可知：， 即， 将，代入得出方程：， 解得：或，故④正确， 综上，正确的有②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了相反数的定义，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，解二元一次方程组，解一元二次方程，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 8．阅读下列材料，完成相应任务： 我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解． 将方程整理，得.        ……………………第1步 变形得.    ……………………第2步 得.                ……………………第3步 于是得，即.……第4步 当时，得.……………………第5步 得，.………………第6步 当时，该方程无实数解. ……………………………第7步 学习任务： （1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是_______；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是________． （2）请用材料中提供的方法，解下列方程： ①；                        ②． 【答案】（1）平方差公式[或（a+b）（a-b）=a²-b²）]；转化思想；（2）①x1=-1；x2=-9；②，． 【分析】（1）直接根据平方差公式和转化的数学思想即可解答； （2）直接根据题意中的求解方法求解即可． 【详解】（1）平方差公式[或（a+b）（a-b）=a²-b²）]；转化思想 （2）①整理，得 变形，得， 得 得 得 得x1=-1 ，x2=-9 ②移项，二次项系数化为1，得 整理，得 变形，得 得 得 得 解得， 【点睛】此题主要考查阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意中的解题方法． 9．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定＝ad－bc，上述记法就叫做二阶行列式．若＝6，求x的值． 【答案】x1＝，x2＝－ 【详解】试题分析： 根据二阶行列式的规定列出方程，解这个方程求x的值. 试题解析： 解：由题意得(x＋1)(x＋1)－(1－x)(x－1)＝6， 整理得2x2＋2＝6，∴x2＝2，解得x1＝，x2＝－. 点睛：本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，首先要能读懂题目关于二阶行列式的定义，根据这个定义列出一元二次方程，化简整理为x2=p的形式，再用直接开平方法来求解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$