1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 练习题 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 一、单项选择题 1．下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是( ) A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 2．下列说法不正确的是( ) A．三边相等的三角形是等边三角形 B．三个角相等的三角形是等边三角形 C．有一个角为60°的三角形是等边三角形 D．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若AB＝8，则BC的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图，已知△ABC，D是BC上一点，连接AD，下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是( ) A．AB＝AC，∠B＝∠C B．AD⊥BC，BD＝CD C．BC＝AC，∠B＝∠C D．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝( ) A．8 B．6 C．4 D．2 6．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图，若自动扶梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的高度BC为6m，则自动扶梯AB的长为( ) A．8m B．10m C．12m D．14m 7．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20m到达点D处，测得∠ADB＝30°，则树AB的高是( ) A．7m B．8m C．9m D．10m 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为_______． 10．将两个完全相同的含有30°角的直角三角尺按如图所示的方式拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是____________． 11．如图，直线l1∥l2，含30°角的三角尺的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，若边AB与l1的交点D是AB的中点，则∠1＝________． 12．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为____cm. 13．如图，将一个含45°角的三角板的直角顶点C放在一张宽为3 cm的长方形纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得∠1＝30°，则三角尺的最长边的长为___cm. 三、解答题 14．如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，AC的延长线上，且DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8cm，求AD的长． 16．如图，点E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，试判定△ADE的形状，并说明理由． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，△BEF的边BF在BC上，点E在△ABC的内部，∠E＝∠EBC＝60°，AD平分∠BAC交EF于点D.若BE＝6cm，DE＝2cm，求BC的长． 18．(1)已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE.若∠A＝60°(如图①)，求证：EB＝AD； (2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图②)，那么(1)中的结论是否成立？并说明理由． 答案： 一、 1-8 DCCCC CD 二、 9. 2 10. 等边三角形 11. 120° 12. 2 13. 6 三、 14. 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A.又∵DE∥BC，∴∠D＝∠ABC，∠E＝∠ACB，∴∠D＝∠E＝∠A，∴△ADE是等边三角形 15. 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16 cm. ∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DB＝BC＝4 cm.∴AD＝AB－DB＝12cm 16. 解：△ADE是等边三角形，理由如下：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAE＝60°.又∵∠1＝∠2，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴AD＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴△ADE是等边三角形 17. 解：延长AD交BC于点M，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AM⊥BC，BM＝MC＝BC.∵∠E＝∠EBF＝60°，∴△BEF为等边三角形， ∴EF＝BF＝BE＝6cm，∴DF＝EF－DE＝4cm.在Rt△DMF中，∵∠MFD＝60°， ∴∠MDF＝30°，∴MF＝DF＝2cm，∴BC＝2BM＝2(BF－MF)＝2×(6－2)＝8(cm) 18. 解：(1)过点D作DF∥BC交AC于F，则∠ADF＝∠ABC，∠AFD＝∠ACB， ∠FDC＝∠DCE.∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形． ∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∴∠DBE＝120°，∠ADF＝∠AFD＝60°＝∠A. ∴△ADF是等边三角形，∠DFC＝120°.∵∠DEC＝∠DCE， ∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.在△DBE和△CFD中，∴△DBE≌△CFD(AAS).∴EB＝DF.∴EB＝AD (2)EB＝AD成立．理由如下：过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G，易证得△ABC和△ADG均为等边三角形，∴AD＝DG.同(1)得∠GDC＝∠ECD＝∠DEC，ED＝CD， ∠DBE＝∠DGC＝60°.在△DBE和△CGD中，∴△DBE≌△CGD(AAS).∴EB＝DG.∴EB＝AD 学科网（北京）股份有限公司 $$