第10讲 离散型随机变量及其分布（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第10讲 离散型随机变量及其分布 【人教A版2019】 模块一 分布列的典型求法 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于 函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)= pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量的分布列的求解步骤 (1)明取值：列出离散型随机变量X的所有取值xi(i=1,2,…)； (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出离散型随机变量每个取值所对应的概率 值P(X=xi)=pi； (3)画表格：列成表格形式，按规范要求形式写出分布列； (4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【题型1 求分布列】 【例1.1】（23-24高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【解题思路】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案. 【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 【例1.2】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【解题思路】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列. 【解答过程】易知X的可能取值为0，1，2，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二下·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【解题思路】（1）应用组合数及古典概型的概率、对立事件的概率求法求顾客中奖的概率； （2）由已知有的可能取值为0，10，20，50，60并求出对应概率，即得分布列，进而由求值. 【解答过程】（1）该顾客中奖的概率. （2）的可能取值为0，10，20，50，60. ，，， ，. 故随机变量的分布列为 0 10 20 50 60 所以. 【变式1.2】（24-25高三上·河南周口·期末）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理求解概率即可. （2）结合题意求出所有符合条件的取值即可. （3）先求出所有情况下的概率，再求解分布列即可. 【解答过程】（1）由题意可得，， . （2）由题意可得的所有可能取值为1，，，，. （3）， ， ， 故的分布列为 1 2 3 4 5 【题型2 利用随机变量分布列的性质解题】 【例2.1】（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【解题思路】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B. 【例2.2】（23-24高二下·新疆·期中）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质即可结合选项逐一求解. 【解答过程】＋＋＋＝，A错误； ＋＝，B错误； ，C正确； ＋＝，D错误. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，且，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.1 A．-0.2 B．0.4 C．0.2 D．0 【解题思路】根据分布列的性质即可求解. 【解答过程】由分布列的性质可得，，即，， 故选：D. 【变式2.2】（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【解题思路】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解. 【解答过程】由题意，解得， 而. 故选：A. 模块二 条件概率与乘法公式 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变 量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 4．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=. 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=. 【题型3 期望与方差的性质及应用】 【例3.1】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件利用期望和方差的性质求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 解得. 故选：B. 【例3.2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分布列的性质概率之和为1，得出，利用概率的性质可判断A选项，再利用均值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可. 【解答过程】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得， 对于A，，故A不正确； 对于B，， ，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D不正确. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方差和期望的性质即可求解. 【解答过程】根据方差和期望的性质可得：,, 故选：D. 【变式3.2】（23-24高二下·江苏镇江·期中）设离散型随机变量的分布列为 若离散型随机变量满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质可判断A，根据数学期望公式可判断B，根据方差的性质可判断C，根据期望公式可判断D. 【解答过程】由，得，故A错误； ，故B错误； ， 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D. 【题型4 期望与方差的计算】 【例4.1】（23-24高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据已知求出分布列的概率，再求出数学期望即可. 【解答过程】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种， 所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故， 不小于500的结果有4种，故. 所以. 故选：D. 【例4.2】（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先找出X的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得. 【解答过程】由题意可知，X的取值可能为，，， 因为， ， ， 所以， 故． 故选：B. 【变式4.1】（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（    ）    A． B．2 C． D． 【解题思路】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解即可． 【解答过程】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4， 所以，，，， 所以． 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出随机变量的所有取值，求出对应概率，再根据期望与方差公式计算即可. 【解答过程】由题意，可取， ， ， 则， . 故选：D. 【题型5 期望与方差的大小比较】 【例5.1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当时，的可能取值为1，2，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差；当时，η可取1，2，3，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差，再比较即可得解得. 【解答过程】当时，ξ的可能取值为1，2， ，， 因此，； 当时，的可能取值为1，2，3， ，，， 因此，， 所以，. 故选：A. 【例5.2】（24-25高三上·山东济南·开学考试）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由期望与方程的公式计算即可表示出两随机变量的期望与方差，再比较两者大小即可得. 【解答过程】， ， 故，故A、B错误； 设， 则 ， 同理： ， 由，，故， 同理，则有 ， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出2件产品、从中随机地有放回摸出2件产品的期望、方差，再做比较可得答案． 【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出2件产品，记次品的件数为， 则的可能取值是0，1，2， 则， ， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出2件产品，则每次摸到次品的概率为， 则， 故， 方差为： ， 所以， 故，． 故选：A． 【变式5.2】（2024·湖南长沙·模拟预测）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表一和下表二所示； 表一 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 表二 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 概率分布条形图如下图三和图四所示： 则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列数据代入数学期望、方差公式求解即可. 【解答过程】由分布列可得， ， ， ， 所以，. 故选：D. 模块三 期望与方差的应用 1．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 【题型6 期望与方差的实际应用】 【例6.1】（23-24高二下·广东东莞·期中）不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出的所有可能取值后，计算其对应概率，结合期望公式计算即可得. 【解答过程】摸取次数的可能取值为2，3，4，5，6，7， 当时，第次取出的必然是红球，而前次中，有且只有一次是红球， 其余取出的都是黑球，则， 故，，，，，， 摸取次数的数学期望：. 故选：D. 【例6.2】（2024·浙江·模拟预测）已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下： 时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则的数学期望和方差分别是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设事件表示甲在规定的时间内到达，表示乙在规定的时间内到达，由题求出事件的概率，分析的值 ，求出对应值的概率，然后求出数学期望及方差即可. 【解答过程】设事件表示甲在规定的时间内到达，表示乙在规定的时间内到达，，相互独立， ， ， ， ． 故选：D. 【变式6.1】（23-24高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团. (1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率. (2)求同学甲选报足球社的概率. (3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 【解题思路】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）由古典概型的概率公式求解即可， （3）根据相互独立事件概率乘法公式求解概率，即可得到分布列，由期望公式求解期望. 【解答过程】（1）先从3个同学中选出2个同学，有, 从4个社团中选2个，有种方法，因此每位同学选报社团都有6种方法， 因此恰好两个同学选报的社团一样的概率为 （2）同学甲选报足球社的概率为， （3）甲报足球的概率为，不报的概率为， 乙丙报足球的概率均为，不报的概率为， 故可取， , 故的分布列为： 0 1 2 3 故. 【变式6.2】（2024·河南郑州·模拟预测）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【解题思路】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球，根据条件先求，再利用条件概率公式，即可求解； （2）由题知可能取值为，再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球， 因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且 ，，，所以， 又，所以． （2）设X为员工取得的红包数额，则可能取值为，     所以，， ，，     所以，     ． 【题型7 期望与方差的应用——决策型问题】 【例7.1】（2024·湖北·二模）数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对按比例得分，有选错得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项共有四个的概率为0，正确选项共有两个的概率为p（） (1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A、B、C、D四个选项中任选一个选项；策略二：在A、B、C、D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的期望； (2)若有一个多选题，小明发现A正确，B、C、D选项他不会判断，现在他也有两个策略，策略一：．选A和B、C、D中的任一个，策略二：选A和B、C、D中的任意2个，在的条件下，判断小明该选择哪个策略. 【解题思路】分两种情况设小明分别采用策略一和策略二的得分情况，在计算相应的概率再求相应的期望；（2）根据条件，分别求出三种情况的分布列，进而求出期望，再根据的值进行讨论，从而得到结论 【解答过程】（1）设小明分别采用策略一和策略二的得分分别为，， ，； ;     ∴ ,    ; ； ∴ 所以小明分别采取策略一和策略二的得分的期望分别为和 （2）设小明选择策略一和策略二的得分分别为， ；; ；; ,  ； ∵   ∴小明应选择策略一. 【例7.2】（2024·重庆·一模）近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会等可能地开出3款玩偶（分别记为款､款､款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售价为3元/个. (1)若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个款玩偶的概率； (2)若小明只想要款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出款玩偶，老板就赠送一个款玩偶给他.为了得到款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请说明理由. 【解题思路】（1）首先设至少开出2个款玩偶为事件，结合独立重复事件概率公式，即可求解概率； （2）根据方案二的结果求分布列及，再根据方案一平均花费为元，即可比较判断. 【解答过程】（1）设至少开出2个款玩偶为事件 故； （2）方案一：直接去乙商店购买花费3元； 方案二：设表示开盲盒的次数，即花费为, 故的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 则的分布列如表所示： 1 2 3 4 P ． 方案二平均花费为元，方案一平均花费为元，故小明应该选择去甲家商店购买更划算. 【变式7.1】（23-24高二下·江苏宿迁·期末）在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略： 策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分； 策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分． 本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表： 策略 概率 每题耗时（分钟） 第11题 第12题 A 选对选项 0.8 0.5 3 B 部分选对 0.6 0.2 6 全部选对 0.3 0.7 已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题： (1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差； (2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案． 【解题思路】（1）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望与方差； （2）依题意列出所有可能情况，分别求出数学期望，即可判断； 【解答过程】（1）解：设事件为“第11题得0分”，事件为“第11题得2分”，事件为“第11题得5分”， 事件为“第12题得0分”，事件为“第12题得2分”， 所以，，，，， 由题意可知，的可能取值为0，2，4，5，7， 则， ， ， ， ， 所以小明第11题和第12题总得分的分布列为： 0 2 4 5 7 所以， ； （2）解：依题意该同学答题方案有： 方案题采用策略，12题采用策略； 方案题和12题均采用策略； 方案题和12题均采用策略； 方案题采用策略，12题采用策略； 设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分， 则的可能取值为0，2，4，5，7，10， 故， ， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 2 4 5 7 10 0.01 0.08 0.12 0.1 0.48 0.21 所以， 但因为时间超过10分钟，后面的题得分少分，相当于得分均值为分， 因为，故不选方案1. 方案的期望值一定小于，故不选方案， 设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分， 则的可能取值为0，2，4，5，7， 故， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 2 4 5 7 0.02 0.12 0.16 0.14 0.56 所以， 方案的期望值也小于，故不选方案； 所以我建议该同学按照方案题和12题均采用策略． 【变式7.2】（2024·广东深圳·一模）新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分； (1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率： (2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率． ②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 【解题思路】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式即可求解； （2）对于①，结合答案是两个选项或三个选项，利用古典概型即可求解； 对于②，分别计算方案I和方案Ⅱ的数学期望，根据数学期望的大小关系列不等式可得的取值范围. 【解答过程】（1）设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了， 所以； （2）①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， . ②对于方案I：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则的所有可能取值为0，2，3， 则， ， ， 所以； 对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6， 则， ， ， 所以； 要使唯独选择方案I最好，则 解得：，故P的取值范围为． 【题型8 期望、方差与其他知识综合】 【例8.1】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 【解题思路】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【解答过程】（1）根据题意可设恰有2个黑球的概率为， 所以可得恰有0个黑球的概率为， 根据古典概型可得 所以 （2）由题意得， 进一步整理可以得到下式： 又 故可以确定是以首项为，公比为的等比数列， 所以 （3）由题意可得 ①， ②， ①-②，得， 因为，所以.所以，的概率分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为定值1. 【例8.2】（24-25高三上·北京顺义·期末）某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 甲 60 65 66 65 67 66 63 乙 57 62 63 62 64 63 60 丙 55 60 61 60 62 61 58 (1)从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率； (2)从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 【解题思路】（1）根据表中数据可求频率，从而可求概率； （2）先求出“乙款奶茶日销售量大于60杯”、“丙款奶茶日销售量大于60杯”的概率，再根据独立事件的概率可求的分布列和数学期望. （3）根据方差公式可求和，从而可比较它们的大小. 【解答过程】（1）对于甲款奶茶，7天中共有3天销量大于65， 设为：“该天甲款奶茶日销售量大于65杯”，则. （2）设为：“乙款奶茶日销售量大于60杯”，为：“丙款奶茶日销售量大于60杯”， 则，， 而可取，则， 而，故， 故的分布列为： 故. （3）乙款奶茶日销售量数据的平均值为， 故， 同理可得表格中所有的日销售量数据的平均值为， ，而，故. 【变式8.1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：    等级 不合格 合格 得分 频数 6 a 24 b (1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数； (2)其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的条件下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率； (3)用比例分配的分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列和数学期望. 【解题思路】（1）结合频率分布直方图与表格数据先求出的值，再根据直方图算出平均数与中位数； （2）先分别求出“第一次抽取测试得分低于80分”和“两次抽取都低于80分”的概率，再根据条件概率计算公式求得在第一次抽取得分低于80分的条件下，第二次抽取测试得分也低于80分的概率； （3）先根据分层抽样方法分别求出在“合格”与“不合格”抽取的学生人数，再依次求出的不同取值情况下对应的概率，从而得到的分布列，进而根据分布列算出数学期望. 【解答过程】（1）由题意得，样本容量为，所以， ，， 所以根据频率分布直方图可得，平均数为， 设中位数为，由频率分布直方图可知， ， 故应在区间内， 于是令， 解得， 故平均数为64，中位数为65. （2）由（1）得，设事件：“第一次抽取测试得分低于80分”，事件：“第二次抽取测试得分低于80分”， 则，， 所以. （3）由题意得，“不合格”的总人数为， “合格”的总人数为，根据分层抽样可得， 从“不合格”的学生中抽取的人数为人， 从“合格”的学生中抽取的人数为人， 由题意可得的所有可能取值为0，5，10，15，20， 则：， ， ， ， . 所以的分布列为： X 0 5 10 15 20 P 数学期望. 【变式8.2】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙、丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)设传球三次后，球在甲手中过的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； (3)在第（2）问的条件下，设.求证：. 【解题思路】（1）根据传球游戏的规则，可得，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望； （2）首先题意，可得关于数列的递推公式，，再通过构造求数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果，求，并利用放缩法证明不等式. 【解答过程】（1）由题意知，， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望为； （2）由于传次球后不在乙手中的概率为， 此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙， 故有， 变形为， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式； （3）由（2）可得， 则 所以. 又因为， ， 所以， 综上，. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【解题思路】根据离散型随机变量的定义进行判断，得到答案. 【解答过程】A选项，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，A错误； B选项，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； C选项，一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，C正确； D选项，测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，D错误． 故选：C． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【解题思路】由离散型随机变量分布列的性质计算即可. 【解答过程】由离散型随机变量的分布列的性质得， 解得， 随机变量， ． 故选：A. 3．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【解题思路】根据概率和为1列式求解即可. 【解答过程】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 故选：A. 4．（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质，求出，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（    ） 0 A． B． C． D． 【解题思路】先根据分布列的性质可得，，进而，进而可得. 【解答过程】由题意，，得到，， 根据随机变量均值公式，得 ， 当时，取得最大值，经检验符合题意． 故选：B． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】得到与的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差. 【解答过程】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 7．（2025高三·全国·专题练习）设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【解题思路】利用方差公式结合二次函数的单调性可得结果. 【解答过程】依题意，， 而，所以先减小后增大. 故选：D. 8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可. 【解答过程】X的所有可能取值为1,2,3， ，，， 由， 解得或， 又因为，所以. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【解题思路】根据已知条件，结合离散型随机变量的定义，即可求解. 【解答过程】A，B，D中的可以取的值可以一一列举出来，可以作为离散型随机变量， 而C中的可以取某一区间内的一切值，属于连续型，不能作为离散型随机变量. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质列方程求，由期望和方差的定义求，再由期望和方差的性质求，由此确定正确选项. 【解答过程】由分布列的性质可得， 所以，此时， 所以， ， 所以，. 故选：ABD. 11．（2024·海南·模拟预测）某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用局胜的赛制，其中，即先赢局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则（    ） A．若，，则甲最终获胜的概率为 B．若，，记决赛进行了局，则 C．若，，记决赛进行了局，则 D．若比时对甲更有利，则 【解题思路】对于A，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求甲最终获胜的概率即可判断；对于B，由条件求的分布列，再求其期望及方差即可判断，对于C，由条件求的分布列，再由期望公式求其期望即可判断，对于D，分别求，时甲获胜的概率，列不等式确定的范围即可判断. 【解答过程】对于A，因为，， 所以甲获胜的概率为，A正确. 对于B，因为，， 由已知的取值有， ，， 所以， 所以，B正确. 对于C，因为，， 又的可能取值有， 所以， ， ， 所以，C错误； 对于D，当时，甲获胜的概率为， 当时，甲获胜的概率为， 若比时对甲更有利，则， 所以， 所以，又， 所以，D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）设随机变量X的概率分布为（，），则 0.7 . 【解题思路】根据概率和为1求，再求概率. 【解答过程】由题意可知，，则， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 【解题思路】根据条件，可知的可能取值为，进而求出相应的概率，从而得到，，即可求出结果. 【解答过程】依题意可知，的可能取值为， 则，，，， 所以， 又， 所以， 故答案为：. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）“镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为 . 【解题思路】根据已知条件先设的可能取值，再根据独立事件乘积公式得出概率，列出分布列再结合数学期望公式计算即可. 【解答过程】设为走出迷宫所需时间，则的可能取值为2，3，4，5，6， ，， ，， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 6 则. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 【解题思路】根据离散型随机变量概念性质可解. 【解答过程】（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （4）由于果汁的容量在498mL~502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量,是连续性随机变量. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【解题思路】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率； （2）由已知的取值为100，80，60，40，再求出对应的概率，即可得分布列. 【解答过程】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 17．（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如下： 车次序号 乘车人数 1-10号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 11-20号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率． (1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (2)假设微公交乘车人数相互独立，记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求X的分布列及数学期望． 【解题思路】（1）结合数据，20辆微公交的乘车人数为9辆的共有14辆，利用古典概型公式求出概率； （2）结合数据，求出的可能取值，求出概率，列出分布列求出期望. 【解答过程】（1）根据数据可得，20辆微公交的乘车人数为9辆的共有14辆， 所以该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率． （2）根据数据，20辆微公交的乘车人数为7人的共有2辆，8人的共有4辆，9人的共有14辆， 所有乘车人数为7人的概率为，乘车人数为8人的概率为，乘车人数为9人的概率为. 的所有可能取值为：14，15，16，17，18 ，， ，， ． 的分布列如下： 14 15 16 17 18 . 18．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量的概率分布表如下表所示： … … 其中，，，，记随机变量的数学期望和方差分别为，．求证： (1)； (2)． 【解题思路】（1）根据期望公式将展开，借助和化简可证； （2）将方差公式展开，利用期望公式和化简可证. 【解答过程】（1）因为，， 所以 ； （2） . 19．（24-25高二上·云南昆明·期末）某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元. (1)试分别写出随机变量和的分布列； (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由. 【解题思路】（1）由分布列的概念即可求解； （2）分别计算两个投资项目的期望、方差比较大小即可判断； 【解答过程】（1）由题意随机变量和的分布列为： 400 -100 500 -300 0 （2）（万元），（万元）， 又， ， 由，说明项目一､项目二获利的期望值相等，但由于项目一的获利更稳定， 综上所述，该投资公司投资项目一更合理. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 离散型随机变量及其分布 【人教A版2019】 模块一 分布列的典型求法 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于 函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)= pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量的分布列的求解步骤 (1)明取值：列出离散型随机变量X的所有取值xi(i=1,2,…)； (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出离散型随机变量每个取值所对应的概率 值P(X=xi)=pi； (3)画表格：列成表格形式，按规范要求形式写出分布列； (4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【题型1 求分布列】 【例1.1】（23-24高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【例1.2】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【变式1.1】（24-25高二下·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【变式1.2】（24-25高三上·河南周口·期末）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 【题型2 利用随机变量分布列的性质解题】 【例2.1】（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【例2.2】（23-24高二下·新疆·期中）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，且，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.1 A．-0.2 B．0.4 C．0.2 D．0 【变式2.2】（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 模块二 条件概率与乘法公式 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变 量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 4．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=. 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=. 【题型3 期望与方差的性质及应用】 【例3.1】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二下·江苏镇江·期中）设离散型随机变量的分布列为 若离散型随机变量满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 期望与方差的计算】 【例4.1】（23-24高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（    ）    A． B．2 C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 期望与方差的大小比较】 【例5.1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（24-25高三上·山东济南·开学考试）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2024·湖南长沙·模拟预测）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表一和下表二所示； 表一 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 表二 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 概率分布条形图如下图三和图四所示： 则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（    ） A． B． C． D． 模块三 期望与方差的应用 1．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 【题型6 期望与方差的实际应用】 【例6.1】（23-24高二下·广东东莞·期中）不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（2024·浙江·模拟预测）已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下： 时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则的数学期望和方差分别是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团. (1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率. (2)求同学甲选报足球社的概率. (3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 【变式6.2】（2024·河南郑州·模拟预测）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【题型7 期望与方差的应用——决策型问题】 【例7.1】（2024·湖北·二模）数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对按比例得分，有选错得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项共有四个的概率为0，正确选项共有两个的概率为p（） (1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A、B、C、D四个选项中任选一个选项；策略二：在A、B、C、D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的期望； (2)若有一个多选题，小明发现A正确，B、C、D选项他不会判断，现在他也有两个策略，策略一：．选A和B、C、D中的任一个，策略二：选A和B、C、D中的任意2个，在的条件下，判断小明该选择哪个策略. 【例7.2】（2024·重庆·一模）近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会等可能地开出3款玩偶（分别记为款､款､款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售价为3元/个. (1)若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个款玩偶的概率； (2)若小明只想要款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出款玩偶，老板就赠送一个款玩偶给他.为了得到款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请说明理由. 【变式7.1】（23-24高二下·江苏宿迁·期末）在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略： 策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分； 策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分． 本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表： 策略 概率 每题耗时（分钟） 第11题 第12题 A 选对选项 0.8 0.5 3 B 部分选对 0.6 0.2 6 全部选对 0.3 0.7 已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题： (1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差； (2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案． 【变式7.2】（2024·广东深圳·一模）新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分； (1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率： (2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率． ②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 【题型8 期望、方差与其他知识综合】 【例8.1】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 【例8.2】（24-25高三上·北京顺义·期末）某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 甲 60 65 66 65 67 66 63 乙 57 62 63 62 64 63 60 丙 55 60 61 60 62 61 58 (1)从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率； (2)从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 【变式8.1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：    等级 不合格 合格 得分 频数 6 a 24 b (1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数； (2)其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的条件下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率； (3)用比例分配的分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列和数学期望. 【变式8.2】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙、丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)设传球三次后，球在甲手中过的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； (3)在第（2）问的条件下，设.求证：. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D．测量某零件的长度产生的测量误差 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 3．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 4．（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（    ） 0 A． B． C． D． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 10．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 11．（2024·海南·模拟预测）某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用局胜的赛制，其中，即先赢局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则（    ） A．若，，则甲最终获胜的概率为 B．若，，记决赛进行了局，则 C．若，，记决赛进行了局，则 D．若比时对甲更有利，则 三、填空题 12．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）设随机变量X的概率分布为（，），则 . 13．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）“镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为 . 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 17．（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如下： 车次序号 乘车人数 1-10号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 11-20号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率． (1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (2)假设微公交乘车人数相互独立，记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求X的分布列及数学期望． 18．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量的概率分布表如下表所示： … … 其中，，，，记随机变量的数学期望和方差分别为，．求证： (1)； (2)． 19．（24-25高二上·云南昆明·期末）某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元. (1)试分别写出随机变量和的分布列； (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$