第09讲 概率进阶（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第09讲 概率进阶 【人教A版2019】 模块一 复杂的概率计算问题 1．古典概型中基本事件的求解方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. (3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识. 【题型1 计数原理与古典概型综合】 【例1.1】（2025高三下·全国·专题练习）男女生共8人，从中任选3人，出现2名男生，1名女生的概率为，则其中女生人数是（   ） A．2人 B．3人 C．2人或3人 D．4人 【例1.2】（24-25高三下·江苏扬州·期末）有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）柜子里有红、黄、蓝三种颜色的鞋子各一双，从6只鞋子中随机地取出3只，则取出的3只鞋子颜色均不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高三下·山东·开学考试）十一国庆期间，《749局》《志愿军：存亡之战》《浴火之路》《熊猫计划》引爆了电影市场，张三和他的同学一行四人决定去看这四部电影.若张三要看《存亡之战》，则恰有两人看同一部影片的概率为（   ） A． B． C． D． 模块二 条件概率与乘法公式 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n( A)，再在事件A发生的条件下求事件B包 含的基本事件数，即n( AB)，得. 【题型2 条件概率的计算】 【例2.1】（24-25高二下·全国·开学考试）甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2024·四川德阳·模拟预测）公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高三下·湖北·开学考试）近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”，事件“甲和乙选择不同的景点”则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2025·山东济南·模拟预测）第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型3 独立事件的乘法公式】 【例3.1】（24-25高二下·全国·课后作业）某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【例3.2】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若与相互独立，则 【变式3.1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）“原神”作为一款卡牌类养成游戏，“抽卡”也是其中深受大部分人喜欢的一个环节.在最新卡池“风法、雷女”活动中，该活动每次抽奖抽中金色人物的概率为0.02，且每次抽取相对独立，一同学在第一次单独抽中金色人物的前提下，接下来两次再次抽取金色人物的概率是（   ） A．0.0396 B．0.0004 C．0.9996 D．0.02 【变式3.2】（24-25高二上·陕西渭南·期末）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 模块三 全概率公式 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件，有P(B)=.我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一 个划分Ω=，两两互斥，将看成是导致B发生的一组原 因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求 解. 2．利用全概率公式的解题思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 3．贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件，P(B)>0，有. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 【题型4 利用全概率公式求概率】 【例4.1】（24-25高三上·云南德宏·期末）已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【例4.2】（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 【变式4.1】（24-25高三上·山东潍坊·期末）盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·黑龙江·期末）春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是5:8:9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（   ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 【题型5 利用贝叶斯公式求概率】 【例5.1】（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（2024·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型6 条件概率与全概率公式综合】 【例6.1】（24-25高三下·云南昆明·开学考试）甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球．分别以，和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则（   ） A． B． C． D． 【例6.2】（24-25高三下·浙江·开学考试）某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 【变式6.2】（24-25高三下·重庆·阶段练习）把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【题型7 条件概率与其他知识综合】 【例7.1】（2025高三·全国·专题练习）在某地区进行流行病学调查，随机调查了位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到）. 【例7.2】（2024·北京顺义·三模）习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密联系在一起，多次强调体育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响应总书记的号召，某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 4 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率； (2)从该校参加体育实践活动时间在学生中随机抽取2人，在的学生中随机抽取1人，求其中至少有1名初中学生的概率； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 【变式7.1】（24-25高三上·山东德州·开学考试）在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)从成绩在第四､五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率. 【变式7.2】（23-24高二下·山东滨州·期中）某中学以学生为主体，以学生的兴趣为导向，注重培育学生广泛的兴趣爱好，开展了丰富多彩的社团活动，其中一项社团活动为《奇妙的化学》，注重培养学生的创新精神和实践能力.本社团在选拔赛阶段，共设两轮比赛．第一轮是实验操作，第二轮是基础知识抢答赛．第一轮给每个小组提供5个实验操作的题目，小组代表从中抽取2个题目，若每个题目的实验流程操作规范可得10分，否则得0分． (1)已知某小组会5个实验操作题目中的3个，求该小组在第一轮得20分的概率； (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个小组参加化学基础知识的抢答比赛，每一次由四个小组中的一个回答问题，无论答题对错，该小组回答后由其他小组抢答下一问题，且其他小组有相同的机会抢答下一问题．记第次回答的是甲的概率是，若． ①求和； ②写出与之间的关系式，并比较第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性的大小． 一、单选题 1．（24-25高三下·江西·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 3．（2025高三·全国·专题练习）某高校两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6门选修课程中任选3门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了2门相同课程的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三下·全国·专题练习）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 6．（2025·辽宁·模拟预测）为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 8．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·随堂练习）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． 10．（24-25高二下·全国·课后作业）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高三·全国·专题练习）体育课上，老师把某班同学分成甲、乙两队，分别进行跑步和打篮球活动，公平起见，老师拿出一副扑克牌（共52张，红色和黑色牌各26张，不包括大王和小王），甲、乙两队的队长分别抽取3张牌（抽完不放回），老师随机从两队抽取的牌中各抽取1张牌交换给另一队，两队洗牌后，再各从两队中抽取1张牌交换给另一队，此时两队中黑色牌多的去跑步，红色牌多的去打篮球，若两队的黑色牌一样多，则重新由队长开始抽牌，直到两队的黑色牌数不同．则（    ） A．若甲队先抽取3张牌，则甲队抽取3张黑色牌的概率为 B．若乙队先抽牌（每次抽取1张），则在前两张都是红色牌的条件下，第3张也是红色牌的概率为 C．若甲队抽取了3张黑色牌，乙队抽取了3张红色牌，则甲队去跑步的概率为 D．若甲队抽取了3张黑色牌，乙队抽取了3张红色牌，则乙队去跑步的概率为 三、填空题 12．（24-25高三上·湖北·期末）对于随机事件A，B，若，，，则 . 13．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、4000个、3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个羽毛球的次品的概率为 . 14．（24-25高二下·全国·课后作业）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛，某班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生，思考如下问题： (1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率. 16．（2025·新疆·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有双手套，其中双为一次性手套，双为非一次性手套.每次使用时，从布袋中随机取出一双，若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃；若是非一次性手套，则使用后清洗消毒后再次放入布袋中. (1)求在第二次取出的是一次性手套的条件下，第一次取出的也是一次性手套的概率； (2)求恰好取至第次时所有一次性手套刚好全部取出的概率. 17．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 18．（24-25高三上·广东深圳·期末）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 19．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次”不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． (1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (2)高三的甲同学成绩是92分，若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，甲被抽到，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率； (3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率），参考数据： 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 概率进阶 【人教A版2019】 模块一 复杂的概率计算问题 1．古典概型中基本事件的求解方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. (3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识. 【题型1 计数原理与古典概型综合】 【例1.1】（2025高三下·全国·专题练习）男女生共8人，从中任选3人，出现2名男生，1名女生的概率为，则其中女生人数是（   ） A．2人 B．3人 C．2人或3人 D．4人 【解题思路】设女生人数是人，则男生有人，由题意可得，求解即可. 【解答过程】设女生人数是人，则男生有人， 又从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为 或3． 故选：C. 【例1.2】（24-25高三下·江苏扬州·期末）有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（     ） A． B． C． D． 【解题思路】假设其中一个人连续参加两天服务求得总共的排列数，从而知道恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数.再由分步计数求出总排列数.再由古典概型求得概率. 【解答过程】不妨记五名志愿者为，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法， 同理：连续参加了两天社区服务，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种. 总的情况数为种. 故恰有1人连续参加两天服务的概率为. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）柜子里有红、黄、蓝三种颜色的鞋子各一双，从6只鞋子中随机地取出3只，则取出的3只鞋子颜色均不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出从6只鞋子中随机地取出3只的取法，求出取出的3只鞋子颜色均不相同的取法即可求解. 【解答过程】从6只鞋子中随机地取出3只有种取法， 要使取出的3只鞋子颜色均不相同， 则每种颜色都要取一只，共有种取法， 所以取出的3只鞋子颜色均不相同的概率为. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高三下·山东·开学考试）十一国庆期间，《749局》《志愿军：存亡之战》《浴火之路》《熊猫计划》引爆了电影市场，张三和他的同学一行四人决定去看这四部电影.若张三要看《存亡之战》，则恰有两人看同一部影片的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求样本空间中样本点的个数，结合条件分张三和其中一人同时看《存亡之战》，观看《存亡之战》的只有张三一人两种情况利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【解答过程】样本空间的样本点个数为. 在张三看《存亡之战》的情况下，恰有两人看同一部影片，分以下两种情况讨论： （1）张三和其中一人同时看《存亡之战》，另外两人看剩余三部电影中的两部， 此时样本点个数为，概率为； （2）观看《存亡之战》的只有张三一人，只需将剩余三人分为两组，再将这两组人分别看剩余三部电影中的两部，此时样本点个数为，概率为 综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为. 故选：B. 模块二 条件概率与乘法公式 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n( A)，再在事件A发生的条件下求事件B包 含的基本事件数，即n( AB)，得. 【题型2 条件概率的计算】 【例2.1】（24-25高二下·全国·开学考试）甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用条件概率公式进行求解即可. 【解答过程】设事件：甲射中10环，事件：乙射中10环，事件：10环被射中， 则，， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 【例2.2】（2024·四川德阳·模拟预测）公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用排列、组合及古典概率公式，求出，，再利用条件概率公式，即可求解. 【解答过程】由题知，， 所以， 故选：C. 【变式2.1】（24-25高三下·湖北·开学考试）近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”，事件“甲和乙选择不同的景点”则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用对立事件的概率公式求出事件发生的概率，再分两种情况求出事件发生的概率，利用条件概率公式求解即可. 【解答过程】甲、乙从6处景点各选一处的总情况数为种， “甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”的对立事件是“甲和乙都不前往陆羽故园”， 甲不选陆羽故园有5种选法，乙不选陆羽故园也有5种选法， 所以甲和乙都不前往陆羽故园的情况数为种， 则， “甲和乙至少有一个人前往陆羽故园且甲和乙选择不同的景点”，分两种情况： （1）甲去陆羽故园，乙不去， 甲去陆羽故园有1种选法，乙从除陆羽故园外的5个景点选有5种选法， 共种情况； （2）乙去陆羽故园，甲不去， 乙去陆羽故园有1种选法，甲从除陆羽故园外的5个景点选有5种选法， 共种情况， 所以， 所以. 故选：C. 【变式2.2】（2025·山东济南·模拟预测）第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【解答过程】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 【题型3 独立事件的乘法公式】 【例3.1】（24-25高二下·全国·课后作业）某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中． 从而得到选手能进入第三关的事件为再由互斥事件和事件及独立事件乘法公式求解即可； 【解答过程】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中． 由题意知选手能进入第三关的事件可表示为：， 所以选手能进入第三关的概率： ． 故选：C． 【例3.2】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若与相互独立，则 【解题思路】根据交事件的性质即可求A，根据互斥事件的性质即可求解C，根据相互独立的性质即可求解CD. 【解答过程】对于A，若，则,故A错误， 对于B，若与互斥，则,故B正确， 对于C, ,结合，故，故事件与相互独立，C正确， 对于D, 若与相互独立，则,D正确， 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）“原神”作为一款卡牌类养成游戏，“抽卡”也是其中深受大部分人喜欢的一个环节.在最新卡池“风法、雷女”活动中，该活动每次抽奖抽中金色人物的概率为0.02，且每次抽取相对独立，一同学在第一次单独抽中金色人物的前提下，接下来两次再次抽取金色人物的概率是（   ） A．0.0396 B．0.0004 C．0.9996 D．0.02 【解题思路】由独立事件的乘法公式求解即可. 【解答过程】由题意可得：第一次抽中金色人物的概率为0.02， 因为每次抽取相对独立，所以第二次抽中金色人物的概率为0.02， 所以一同学在第一次单独抽中金色人物的前提下，接下来两次再次抽取金色人物的概率是： . 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二上·陕西渭南·期末）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由互斥事件和独立事件的概率公式计算即可得解. 【解答过程】记事件“该同学在笔试中结果为优秀”，记事件“该同学在实验操作中结果为优秀”， 则由题得， 且事件“该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀”， 又事件互斥，这两项测试的结果相互不受影响， 所以该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为. 故选：D. 模块三 全概率公式 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件，有P(B)=.我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一 个划分Ω=，两两互斥，将看成是导致B发生的一组原 因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求 解. 2．利用全概率公式的解题思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 3．贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件，P(B)>0，有. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 【题型4 利用全概率公式求概率】 【例4.1】（24-25高三上·云南德宏·期末）已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【解题思路】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【解答过程】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 【例4.2】（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 【解题思路】根据全概率公式，即可求得答案. 【解答过程】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”， “第2天去甲餐厅用餐”，与互斥． 依题意得，，． 由全概率公式，得 ， 故选：A. 【变式4.1】（24-25高三上·山东潍坊·期末）盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，根据题意可得，结合全概率公式运算求解. 【解答过程】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B， 则， 所以. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二上·黑龙江·期末）春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是5:8:9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（   ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 【解题思路】根据古典概型的概率公式，求得选取的人为A，B，C三个地区的概率，由题意，明确A，B，C三个地区患流感的条件概率，利用全概率公式求得患流感的概率，根据条件概率的定义，可得答案. 【解答过程】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”， 由题意可知，，， ，，， 则 故. 故选：C. 【题型5 利用贝叶斯公式求概率】 【例5.1】（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：C． 【例5.2】（2024·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解. 【解答过程】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”， 由题意得，，，． 因为， 所以． 故选：D． 【变式5.1】（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】借助全概率公式及贝叶斯公式计算即可得. 【解答过程】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意结合贝叶斯公式求解即可. 【解答过程】设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”， 则由贝叶斯公式得， 故选：A. 【题型6 条件概率与全概率公式综合】 【例6.1】（24-25高三下·云南昆明·开学考试）甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球．分别以，和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用全概率公式和条件概率公式计算即可得到答案. 【解答过程】因为，，， 若发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，所以； 若发生，则乙箱中有2个红球，4个白球和3个黑球，所以； 若发生，则乙箱中有2个红球，3个白球和4个黑球，所以， 所以 ， ， 故选：B． 【例6.2】（24-25高三下·浙江·开学考试）某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】应用全概率公式及条件概率计算即可. 【解答过程】设事件“该教师为男教师”，事件“该教师为女教师”，事件“该教师为点赞教师”， 则， 又． 故选：C. 【变式6.1】（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 【解题思路】（1）利用独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）分别求出与在第1,2,3轮对决且胜利的概率，最后相加即可； （3）求出没有与对决过且最后获得冠军的概率，再利用条件概率和全概率公式计算即可. 【解答过程】（1）夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为． 由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1． 所以七名运动员各自夺冠的概率均为． （2）记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，． 不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧． ， ， ， ， 所以. （3）记事件“与对决过”． 没有与对决过且最后获得冠军的概率． 由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决． 所以． 代入得：． 【变式6.2】（24-25高三下·重庆·阶段练习）把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【解题思路】（1）借助全概率公式计算即可得； （2）（i）借助贝叶斯公式计算即可得；（ii）借助条件概率公式及全概率公式计算即可得. 【解答过程】（1）设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件、 “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件， 则 ； （2）（i）； （ii）设“将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件， ， ， 分别记、、为、、， 则 . 【题型7 条件概率与其他知识综合】 【例7.1】（2025高三·全国·专题练习）在某地区进行流行病学调查，随机调查了位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到）. 【解题思路】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）根据条件概率公式即可求出． 【解答过程】（1）平均年龄 （岁）． （2）设“任选一人年龄位于区间”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： ， 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间， 此人患这种疾病的概率为． 【例7.2】（2024·北京顺义·三模）习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密联系在一起，多次强调体育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响应总书记的号召，某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 4 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率； (2)从该校参加体育实践活动时间在学生中随机抽取2人，在的学生中随机抽取1人，求其中至少有1名初中学生的概率； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 【解题思路】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可； （3）补全初中段的人数表格，再分别计算，即可得解. 【解答过程】（1）女生共有人， 记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”， 事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在”， 由题意可知，， 因此， 所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育活动时间在的概率为. （2）时间在的学生有人， 活动时间在的初中学生有人， 记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取2人，抽到初中学生”， 事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 由题意知，事件C，D相互独立， 且, 所以至少有1名初中学生的概率； （3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 7 8 11 11 10 8 高中 4 13 12 7 5 4 初中生的总运动时间， 高中生的总运动时间， 又，，， 可得由. 【变式7.1】（24-25高三上·山东德州·开学考试）在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)从成绩在第四､五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率. 【解题思路】（1）利用第三､四､五组的频率之和得到方程，求出，由第一组和第五组的频率相同，求出，从而利用平均数定义估计这200名候选者面试成绩的平均数； （2）根据分层抽样的定义得到抽得第四组志愿者和第五组志愿者人数，设出事件，利用条件概率的公式进行求解. 【解答过程】（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，解得 估计平均数为 （2）成绩在第四､五两组的频率之比为， 按分层抽样抽得第四组志愿者人数为，第五组志愿者人数为， 记事件A为“选出三人来自不同组”，记事件为“恰有2人来自第四组”， 故， 其中，， . 所以已知选出的3人来自不同组的情况下，恰有2人来自第四组的概率为. 【变式7.2】（23-24高二下·山东滨州·期中）某中学以学生为主体，以学生的兴趣为导向，注重培育学生广泛的兴趣爱好，开展了丰富多彩的社团活动，其中一项社团活动为《奇妙的化学》，注重培养学生的创新精神和实践能力.本社团在选拔赛阶段，共设两轮比赛．第一轮是实验操作，第二轮是基础知识抢答赛．第一轮给每个小组提供5个实验操作的题目，小组代表从中抽取2个题目，若每个题目的实验流程操作规范可得10分，否则得0分． (1)已知某小组会5个实验操作题目中的3个，求该小组在第一轮得20分的概率； (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个小组参加化学基础知识的抢答比赛，每一次由四个小组中的一个回答问题，无论答题对错，该小组回答后由其他小组抢答下一问题，且其他小组有相同的机会抢答下一问题．记第次回答的是甲的概率是，若． ①求和； ②写出与之间的关系式，并比较第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性的大小． 【解题思路】（1）根据古典概型的概率计算公式直接计算即可； （2）①根据题意可直接得出和；②当时，可得，化简即可得出与之间的关系式；由与之间的关系式得出是以为首项，为公比的等比数列，写出通项公式，分别计算出和即可得出答案． 【解答过程】（1）该小组抽中会操作的实验题目的情况有种， 该小组抽取实验题目的所有情况有种， 故该小组在第一轮得20分的概率为． （2）①由题意知，第一次是甲回答，第二次甲不回答， 所以，则， ； ②由第次回答的是甲的概率是，得当时，第次回答的是甲的概率为， 第次回答的不是甲的概率为， 则， 则与之间的关系式， 以上关系式可化为，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， ， ， 所以， 所以第9次回答的是甲的可能性比第10次回答的是甲的可能性的大． 一、单选题 1．（24-25高三下·江西·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用条件概率公式与和事件概率公式计算即可. 【解答过程】因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 【解题思路】由条件概率计算公式得到，由得到事件与相互独立. 【解答过程】由得， 因为，，所以事件与相互独立， 无法判断事件与是否互斥. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）某高校两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6门选修课程中任选3门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了2门相同课程的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分类思想求解两人仅选一门科目相同，仅选二门科目相同，仅选三门科目相同的不同方法数，再利用加法原理和概率求解即可. 【解答过程】方法1：记“这两名学生所选课程中有相同课程”为事件A，“这两名学生恰好选择了2门相同课程”为事件B．由题意知，所求事件的概率为． 这两名学生从6门课程中任选3门的不同方法有（种）， 其中这两名学生所选课程中有相同课程的不同方法有（种）． 故事件A的概率为． 事件AB对应的不同方法数有（种）， 故事件AB的概率为． 由条件概率公式可得． 方法2：压缩基本事件空间  依题意，这两名学生所选课程中有相同课程的方法种数为， 这两名学生恰好选择了2门相同课程的方法种数为． 所以所求概率． 故选:C． 4．（2025高三下·全国·专题练习）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件概率的计算公式即可求解. 【解答过程】设{第一次拿到白球}，{第二次拿到红球}， 则， 所以, 故选：C. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【解题思路】先根据全概率公式求出取到的产品是次品的概率，再代入贝叶斯公式计算即可. 【解答过程】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 6．（2025·辽宁·模拟预测）为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先分别设事件先应用对立事件求概率，再应用全概率和条件概率计算即可. 【解答过程】设事件表示“零件为一等品”， 事件表示“零件为二等品”， 事件表示“零件被标记为一等品”，事件表示“零件被标记为二等品”， 则 ， 故， 故选:B. 7．（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【解题思路】AC选项，求出各个事件的概率，得到，，A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解. 【解答过程】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C. 8．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用古典概型概率公式、条件概率公式和全概率的概率公式计算求解即可. 【解答过程】由题意可知，，，， 所以， ， 综上ABD说法正确，C说法错误； 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·随堂练习）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． 【解题思路】利用独立事件计算公式可判断A正确，由即可判断B错误，根据全概率公式可得C正确，计算即可判断D错误. 【解答过程】根据，可得； 又，可得； 即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确； 易知，因此B正确； 由可得，即可知C正确； 计算可得，所以，即D错误. 故选：ABC. 10．（24-25高二下·全国·课后作业）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据组合数的定义，结合题意，利用分步乘法原理以及分类加法原理，结合古典概型以及条件概率，可得答案. 【解答过程】由题意，总情况数为， 符合事件的情况有先选定男生甲，再从剩下的人种选出人，则情况数为， 所以， 对于事件“男生甲被选定，且男生乙和女生丙至少一个被选中”， 符合事件的情况有 ①先选定男生甲，再选定男生乙， 最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为， ②先选定男生甲，再选定女生丙， 最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为， ③先选定男生甲，再选定男生乙与女生丙，则情况数为， 所以， 对于事件，易知其对立事件“男生乙与女生丙都不选”， 则事件的情况有从除男生乙与女生丙之外人选人，则情况数为， 所以， 由条件概率公式可得． 故选：ACD． 11．（2025高三·全国·专题练习）体育课上，老师把某班同学分成甲、乙两队，分别进行跑步和打篮球活动，公平起见，老师拿出一副扑克牌（共52张，红色和黑色牌各26张，不包括大王和小王），甲、乙两队的队长分别抽取3张牌（抽完不放回），老师随机从两队抽取的牌中各抽取1张牌交换给另一队，两队洗牌后，再各从两队中抽取1张牌交换给另一队，此时两队中黑色牌多的去跑步，红色牌多的去打篮球，若两队的黑色牌一样多，则重新由队长开始抽牌，直到两队的黑色牌数不同．则（    ） A．若甲队先抽取3张牌，则甲队抽取3张黑色牌的概率为 B．若乙队先抽牌（每次抽取1张），则在前两张都是红色牌的条件下，第3张也是红色牌的概率为 C．若甲队抽取了3张黑色牌，乙队抽取了3张红色牌，则甲队去跑步的概率为 D．若甲队抽取了3张黑色牌，乙队抽取了3张红色牌，则乙队去跑步的概率为 【解题思路】应用组合数，古典概型的概率求法、条件概率公式求概率判断A、B；根据已知分析两次交换后乙队去跑步对应的抽取结果，结合对应概率，应用独立事件乘法、对立事件概率求法求概率判断C、D. 【解答过程】选项A：若甲队先抽取3张牌，则甲队抽取3张黑色牌的概率为，对． 选项B：设“乙队抽取的前两张都是红色牌”为事件，“乙队抽取的第3张也是红色牌”为事件， 则，，故，错． 选项C，D：第一次交换后，甲队有2张黑色牌，乙队有1张黑色牌， 第二次交换，当甲队被抽取的是黑色牌，对应概率为， 乙队被抽取的是红色牌，对应概率为，则乙队去跑步， 故乙队去跑步的概率为，甲队去跑步的概率为，C对，D错． 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高三上·湖北·期末）对于随机事件A，B，若，，，则 . 【解题思路】利用条件概率计算即可求解. 【解答过程】解：，且， ， ， ， 则 故答案为： 13．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、4000个、3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个羽毛球的次品的概率为 0.031 . 【解题思路】设任取一件羽毛球来自厂为事件、来自厂为事件、来自厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率. 【解答过程】设任取一件羽毛球来自厂为事件、来自厂为事件、来自厂为事件，则彼此互斥，且, ， 设任取一件羽毛球，取到的是次品为事件， 则. 故答案为：. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛，某班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为 ． 【解题思路】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，分别计算，，再由条件概率计算公式即可求解 【解答过程】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件， 5名同学出场顺序共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种， 所以， 学生甲、乙相邻出场且学生甲在学生乙前面的情况共有种， 所以， 则． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生，思考如下问题： (1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率. 【解题思路】（1）根据古典概型的概率公式可得； （2）根据条件概率公式可得. 【解答过程】（1）由题意共有30个学生，喜欢长跑的有18人， 设“所抽到的学生喜欢长跑”为事件，则. 故所抽到的学生喜欢长跑的概率为 （2）设“所抽到的学生为男生”为事件，则由题意，, 故， 即已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率为. 16．（2025·新疆·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有双手套，其中双为一次性手套，双为非一次性手套.每次使用时，从布袋中随机取出一双，若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃；若是非一次性手套，则使用后清洗消毒后再次放入布袋中. (1)求在第二次取出的是一次性手套的条件下，第一次取出的也是一次性手套的概率； (2)求恰好取至第次时所有一次性手套刚好全部取出的概率. 【解题思路】（1）记事件第一次取出的是一次性手套，事件第二次取出的是一次性手套，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （2）记事件取完次后所有一次性手套刚好全部取出，计算出每种情况的概率，相加即可得出的值. 【解答过程】（1）记事件第一次取出的是一次性手套，事件第二次取出的是一次性手套， 则，， 由条件概率公式可得. （2）取完次后所有一次性手套刚好全部取出，则第四次取出的也是一次性手套， 前次中有两次使用了一次性手套，一次非一次性手套， 记事件取完次后所有一次性手套刚好全部取出， 根据题意可得. 17．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【解题思路】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）根据频率分布直方图计算可得； （3）根据条件概率公式即可求出． 【解答过程】（1）平均年龄 （岁）． （2）由频率分布直方图可得该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率为； （3）设“任选一人年龄位于区间”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：，，， 则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间， 此人患这种疾病的概率为． 18．（24-25高三上·广东深圳·期末）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【解题思路】（1）根据全概率公式计算可得. （2）根据条件概率公式进行计算，根据数据下结论. 【解答过程】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件. ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 所以方案①中取到红球的概率为：. 方案②中取到红球的概率为：. 因为，所以方案②中取到红球的概率更大. 19．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次”不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． (1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (2)高三的甲同学成绩是92分，若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，甲被抽到，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率； (3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率），参考数据： 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可； （2）先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与条件概率公式即可求得所求概率； （3）先求出标准差，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数. 【解答过程】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以抽取的200名学生的平均成绩； （2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占， 所以抽到的高三学生应该有人， 设宣讲组2人有高三学生为事件A，高三甲同学不入选为事件B， ， 由条件概率计算公式得，， 宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率为； （3）依题意，由方差的计算公式，可得： ， 所以优秀的比赛成绩应该， 而比赛成绩在的频率为， 因为，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$