精品解析：陕西省西安市蓝田县2024-2025学年上学期九年级数学期末质量检测试卷

九年级期末学情监测（定位卷）数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题利用直接开平方法求解． 【详解】解： 直接开平方得：， 故选：C． 2. 如图，是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三视图的俯视图，俯视图是指从物体上边看得到的图形，该几何体从上边看是长方体中有一个圆即可． 【详解】解：根据俯视图的定义，可知该几何体从上边看是长方体中有一个圆， 故选：D． 3. 下列各点中，与点在同一反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于求出k的值．先根据反比例函数中的特点求出k的值，再对各选项进行逐一检验即可． 【详解】解：∵反比例函数经过，则， A、 ∵，∴点不与点在同一个反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B、 ∵，∴点不与点在同一个反比例函数图象上，故本选项不符合题意； C、 ∵，∴点与点不在同一个反比例函数图象上，故本选项不符合题意； D、∵，∴点与点在同一个反比例函数图象上，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是， 故选：A． 5. 如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，即，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键． 根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答． 【详解】解：如图所示 ， 连接，，，交于点D， 通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为． 故选：A． 7. 如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，推导出是解题的关键． 由正方形的性质得，由旋转得，则，所以，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为5的正方形， ， ∵把正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表所示，根据表中的数据可知，下列说法中正确的是（ ） … 1 2 … … 0 4 6 4 … A. 这个函数的图象与轴没有交点 B. 这个函数的图象与轴的交点坐标为 C. 这个函数的最大值为 D. 当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质．根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由题意知：， 解得， ∴， ∵时，， ∴这个函数的图象与轴有交点，故选项A错误； 当时，， ∴这个函数的图象与轴的交点坐标为，故选项B错误； ∵， ∴函数的最大值是，故选项C正确； 当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小，故选项D错误； 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 10. 如图，某地同一时刻两根木杆的影子是由______形成的投影．（填“太阳光”或“灯光”） 【答案】太阳光 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影与中心投影，两个物体与影长的对应顶点的连线交于一点，此时为灯光形成的光线，此点为光源所在；两个物体与影长的对应顶点的连线平行，此时为太阳光形成的光线，由图可知，两个物体与影长的对应顶点的连线平行，即是平行投影，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，两个物体与影长的对应顶点的连线平行， ∴这样得到的投影是平行投影， ∴这是由太阳光形成的投影， 故答案为：太阳光。 11. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在B的黄金分割点处，且，若，则的长为______（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知点，关于轴对称，若某一反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． 设这个反比例函数的表达式为，由点，关于轴对称，则，，得出，然后代入即可求解． 【详解】解：设这个反比例函数的表达式为， ∵点，关于轴对称， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴这个反比例函数的表达式为， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．若，，则的最小值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，得，当时，最小，此时也是最小，过点A作于点M，利用菱形的性质，勾股定理计算， 解答即可． 【详解】∵分别为的中点， ∴， 当最小，此时也是最小，根据垂线段最短原理，得 过点A作于点M，当点F与点M重合时，取得最小值； ∵菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，先化简二次根式并代入特殊角的三角函数值，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 移项后用因式分解法求解即可． 【详解】解：原方程可变形为， ， ∴或， ． 16. 若二次函数的图象经过两点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．把点代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：将点代入中，得： ， 解得， 该二次函数的表达式为． 17. 如图，在钝角中，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】 如图，点即为所作． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握作线段垂直平分线的方法． 作的垂直平分线交于点即可． 【详解】解∶如图，作的是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明： ∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根. 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根的判别式证明即可. 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2）当，方程有两个相等的实数根；（3）当，方程没有实数根. 19. 如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据，求得四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，由菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法．延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点，利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：如解图，延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点， 点， ， ， ， ， 即，解得， 木杆在轴上的投影长是6． 21. 为了提升新教材的应用效果，某市教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子（每个方框代表一把椅子），横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座，根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． （1）梁老师选择座位的概率是_____； （2）请用列表或画树状图的方法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中梁老师选择座位的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位老师刚好坐在同一列的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中梁老师选择座位的结果有1种， ∴梁老师选择座位的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 梁老师 杨老师 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中这两位老师刚好坐在同一列的结果有，，共2种， ∴这两位老师刚好坐在同一列的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点，连接，点是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题主要是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标投资，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求得的面积，进一步求得的面积，利用三角形面积公式求得点的纵坐标，代入反比例函数的解析式即可求得横坐标． 【小问1详解】 解：把点代入得， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴，即反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：直线与轴交于点，则点的坐标分别为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， （负值已舍去）， 把代入得，， ． 23. 如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想要测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为，且处离地面的高度为，然后在斜坡的坡底处测得建筑物顶端的仰角是，已知，点在同一水平线上，斜坡的坡度为，求这幢建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于中等难度的题型．通过做辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作于点H，设这幢建筑物的高度为，则，根据和的三角函数值得出答案． 【详解】解：如解图，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 斜坡的坡度为， ． 设这幢建筑物的高度为，则， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得， 答：这幢建筑物的高度为． 24. 如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据的面积为列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， ， ， 整理，得 解得， ，则， ， 经过，的面积为． 25. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由抛物线可得，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意，设点的坐标为，则可得点M的坐标为，可得，结合二次函数的图象与性质可知，当时，有最大值，进而可得答案． 【小问1详解】 对于抛物线， 令，则 点， 令，则，解得，点， 设直线的函数解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 设点的坐标为， 点的坐标为，， 当时，有最大值，的最大值为1． 26. 如图，在四边形中，分别是边上的点，且交于点． （1）如图①，若四边形是正方形，求证：； （2）如图②，若四边形是矩形，平分分别交于点，当点为的三等分点，且时，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，得出，，推出，利用证明，即可得出； （2）作于，结合矩形的性质，证明，设，则，分“当时”和“当时”两种情况讨论，根据，求出、，根据勾股定理求出的长，然后分两种情况求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如解图，过点作于点， 四边形是矩形，平分， ，， ，， ， ， ， ， ； 设，则， 点为的三等分点， 分以下两种情况： ①当时，，则， 解得， ； ②当时，，则， 解得， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末学情监测（定位卷）数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，与点在同一反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 8. 二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表所示，根据表中的数据可知，下列说法中正确的是（ ） … 1 2 … … 0 4 6 4 … A. 这个函数的图象与轴没有交点 B. 这个函数的图象与轴的交点坐标为 C. 这个函数的最大值为 D. 当时，的值随值的增大而减小 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 抛物线的顶点坐标是_____． 10. 如图，某地同一时刻两根木杆的影子是由______形成的投影．（填“太阳光”或“灯光”） 11. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在B的黄金分割点处，且，若，则的长为______（结果保留根号）． 12. 已知点，关于轴对称，若某一反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为_____． 13. 如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．若，，则的最小值是______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解方程：． 16. 若二次函数的图象经过两点，求该二次函数的表达式． 17. 如图，在钝角中，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 18. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． 19. 如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． 21. 为了提升新教材的应用效果，某市教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子（每个方框代表一把椅子），横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座，根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． （1）梁老师选择座位的概率是_____； （2）请用列表或画树状图的方法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点，连接，点是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点的坐标． 23. 如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想要测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为，且处离地面的高度为，然后在斜坡的坡底处测得建筑物顶端的仰角是，已知，点在同一水平线上，斜坡的坡度为，求这幢建筑物的高度．（结果保留根号） 24. 如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 25. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 26. 如图，在四边形中，分别是边上的点，且交于点． （1）如图①，若四边形是正方形，求证：； （2）如图②，若四边形是矩形，平分分别交于点，当点为的三等分点，且时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $