辽宁省点石联考2025届高三下学期3月联合考试数学试题

·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2025届高三年级3月份联合考试·数学 说明： 一、本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订 相应的评分细则， 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的 程度决定后继部分的给分：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分， 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、单选题 k∈Z， 故 $$\frac { | x _ { 1 } - x _ { 2 } | } { T } = \frac { | a _ { 1 } - \beta _ { 1 } | } { 2 \pi }$$ 或 $$\frac { | x _ { 1 } - x _ { 2 } | } { T } =$$ 1 2 3 3 4 5 5 6 7 8 C C D A B C A B $$\frac { | a _ { 2 } - \beta _ { 2 } | } { 2 \pi } ，$$ 由三角函数的对称性知 $$\frac { | a _ { 1 } - \beta _ { n } | } { 2 \pi } =$$ 二、多选题 故B正确.A选项 $$T = \frac { 2 \pi } { \omega }$$ ，故其会发生改 9 10 11 变，C选项 $$f ' \left( x _ { 1 } \right) = \omega \cos \omega x _ { 1 }$$ 亦会发生变化，D选项 BD ABC ABD 会随着周期的变化而变化. 三、填空题 12.1587 13.24 14.11 192 6.C【解析】由已知可知C的离心率 $$e _ { c } = \sqrt { 1 - \frac { 1 } { 6 } } =$$ 一、单选题 1.C 【解析】由题意得 B={x|-2≤x≤2\right. 且 $$\frac { \sqrt { 3 0 } } { 6 } .$$ .设 设点P的坐标为 $$\left( x _ { 0 } ， y _ { 0 } \right) ， A$$ 选项中，有 所以 A∩B={-1，1，2}. '此时轨迹E的方程为 $$x ^ { 2 } +$$ 2.( c【解析】 $$= \frac { 5 i } { 1 - 2 i } = \frac { 5 i \left( 1 + 2 i \right) } { 5 } = - 2 + i$$ x= $$\left\{ \begin{array}{l} x _ { n } = n ， \\ y _ { n } = - m \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{l} x _ { 0 } = - n \\ y _ { 0 } = m ， \end{array} \right.$$ -2-i，所以! $$| \overline { z } | = \sqrt 5 .$$ $$\frac { y ^ { 2 } } { 6 } = 1 ，$$ 离心率 $$e _ { E } = \frac { \sqrt { 3 0 } } { 6 } = e _ { F } ， B$$ .B选项中，有 3.D【解析】令 x=5， ，得 $$\hat { y } = 0 . 1 \times 5 + 1 . 4 = 1 . 9 ，$$ ，则所 求残差为 2-1.9=0.1. $$\left\{ x _ { 0 } = \frac { m } { 2 } ， \right.$$ 此时轨迹E的方程为 $$\frac { x ^ { 2 } } { 2 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$$ ，离心率 4.A【解析】 $$\in R ， S _ { n } = a _ { 1 } n + \frac { n \left( n - 1 \right) d } { 2 } ， \frac { S _ { n } } { n } =$$ $$y _ { 0 } = \frac { n } { 2 } ，$$ 此时轨 $$a _ { 1 } + \frac { n - 1 } { 2 } d ， \frac { S _ { n + 1 } } { n + 1 } - \frac { S _ { n } } { n } = \frac { d } { 2 } ，$$ 所以 $$\left\{ \frac { S _ { n } } { n } \right\}$$ )为等差数列， $$e _ { E } = \frac { \sqrt { 3 0 } } { 6 } = e _ { c } \cdot \left($$ 选项中，有 $$\left\{ \begin{array}{l} x _ { 0 } = m ， \\ y _ { 0 } = 2 n ， \end{array} \right.$$ 此时轨迹E的 p为真命题：当 d<0 时， $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 为递减数列，设 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 项数为 m， 要使 $$\left\{ S _ { n } \right\}$$ 为递增数列，只需 $$a _ { n } > 0 ，$$ ，即 方程为 $$\frac { x ^ { 2 } } { 6 } + 4 y ^ { 2 } = 1 ，$$ 离心率 $$e _ { E } = \frac { \sqrt { 1 3 8 } } { 1 2 } > t _ { c } ， D$$ .D选项 $$a _ { 1 } + \left( m - 1 \right) d > 0 ，$$ 所以 $$\frac { a _ { 1 } } { 1 - m } < d < 0 ， q$$ 为真命 $$\left\{ \begin{array}{l} x _ { 0 } = 2 m ， \\ y _ { 0 } = n ， \end{array} \right.$$ 时轨迹E的方程为 $$\frac { 2 x ^ { 2 } } { 3 } + y ^ { 2 } = 1 ，$$ 5.B【解析】记 $$\sin \alpha _ { 1 } = \sin \alpha _ { 2 } = \frac { \sqrt 3 } { 3 } ， \sin \beta _ { 1 } = \sin \beta _ { 2 } =$$ 离心率 $$e _ { E } = \frac { \sqrt 3 } { 3 } < e _ { t } .$$ $$- \frac { \sqrt 3 } { 3 } ，$$ ，其中 $$a _ { 1 } \in \left( \frac { \pi } { 2 } ， \pi \right) ， a _ { 2 } \in \left( 2 \pi ， \frac { 5 } { 2 } \pi \right) ， \beta _ { 1 } \in \left( \pi ， \right.$$ 7.A 【解析】设上、下底面的动点分别为 $$P _ { 1 } ， P _ { 2 } ，$$ .过点 $$P _ { 1 }$$ 作下底面的垂线，垂足为 $$P ' _ { 1 } ，$$ ，有 $$| P _ { 1 } P _ { 2 } | ^ { 2 } =$$ $$\frac { 3 \pi } { 2 } \right) ， \beta _ { 2 } \in \left( \frac { 3 \pi } { 2 } ， 2 \pi \right) ，$$ $$且 | x _ { 1 } - x _ { 2 } | < \frac { T } { 2 }$$ 可知， $$x _ { 1 } ， x _ { 2 }$$ 应 $$| P ' _ { 1 } P _ { 2 } | ^ { 2 } + \left( \sqrt 3 \right) ^ { 2 } ，$$ 由几何关系可知当 $$P _ { 1 } ， P _ { 2 }$$ ，位于圆 台轴截面上下底边相对的顶点时，距离最大.因此， 在同一个单调区间内，即x= (r，+r，)+(3)=7， $$\frac { \beta _ { 1 } + 2 k \pi } { \omega } ， k \in Z$$ $$或 x _ { 1 }$$ $$x _ { 1 } = \frac { a _ { 2 } + 2 k \pi } { \omega } ， x _ { 2 } = \frac { \beta _ { 2 } + 2 k \pi } { \omega } ，$$ 由已知可得方程组 $$\left\{ \begin{array}{l} \left( x _ { 1 } + r _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \sqrt 3 \right) ^ { 2 } = 7 ， \left( f _ { 2 } \right) \left( \frac { \pi } { 3 } \right) = \sqrt 3 ，$$ 解得 ·1 1 高三3月联考 1 r2 则圆台的体积V-(+r十r) 十是R上的L,函数，故B正确，若f(0)三1 f(x)=sin(x十g)≤1≤2f(0),即f(x)是L。函 2 数，故C错误.D选项，f(x)=(a一x)(r2一a”x十 13√3 b)2f(a)=0在(0，+∞)上恒成立，由于x∈(0 12π. a)时，a-x>0,x∈(a,+o∞)时，a一x<0,故x 8.B【解析】令f(x)=0,得x=2lna或x=b,因为 (0a)时，x2-ax+b≤0，x∈(a,十o∞)时，x a'x十b≥0，根据二次函数的性质可知，a是x F)只有一个零点，所以6=na,如图，在坐标系 a2x十b的右零点，即a2一a十b=0,即b=a-a2. aO龙中，a十(b-2)2可以看成(a,b)到A(0,2)的距 h(a)=a2a(a>0),h'(a)=3a22a,可知号 离的平方，而A(0,2)到B(1,0)的距离为√5，且函数 为其小值点，故6e)≥A()-音= b=na在1,0)处的切线6=名（a-1D与线段 故D正确。 三、填空题 1 AB垂直，则由于函数b=2lna(a≠1)的图象在直 12.1587【解析】P(≥350)=1-0,6827=0.15865. 2 线一a-D的下方，可以知道a+6一2的最 所以录取人数为0.15865×10000≈1587（人）. 小值为5. 13.21【解析】由a∈(2x小，9e(0,受)知，a+3∈ (受，）a-月e(0,x.由已知可得sin(a+)） 4.cos(a+B)= 4,sin(a-)=3 3 .cos(a-B)= 二、多选题 5由两角和与两角差的余弦公式可得cos(a十 9.BD【解析】A选项，需注意l丈a:B选项，n与v共 线，故正确：C选项，l到a的距离应为l到a内任意 》=cos aos月-sin asin B=-osa-B) 直线的距离的最小值：D选项，可知所有角均相等应 为90°，故正确. cos acos3十sin asin=- ，两式作差可得 4 10.ABC【解析】由题意，知号=1，故p=2,抛物线C 又由两角差的正弦公式得n(a 1 sin asin=- 的方程为y=4x,故A正确.过P向准线作垂线， 3 1 =sin acos-sin Bcos a5,因此 垂足为H,则|PA|=√瓦|PF|=反|PH,故 'tan a tan B 3 ∠HAP=于，不妨取直线AP的方程为y=x+1, cos asin B-cos Bsin a 5 =24. sin asin B 1 将其与抛物线方程联立，解得P(1,2),故△PFA 40 是等腰直角三角形，故B正确，由PA一√2PF 14,11192【解析】如图所示，灰色 0 得出P的轨迹方程为(a一3)2+b=8,则b”一4a= 代表图书位置，此时有11本图书 8-(a-3)2-4a=-(a-1)2≤0，故C正确.因为 接下来说明不可能有12本图书。 点P的轨迹为以(3,0)为圆心，22为半径的圆，故 考虑数字控制的区域，假设有一种 方式可以达到8本图书，首先左上 2 轨迹长度为42π，故D错误. 角区域只有2本图书（下图左），在大图中去掉后变 11,ABD【解析】若f(x)是L。函数，则有f(x)≤ 成了下图中间的样子，并且图中应有6本图书.类似 2f(a),设g(x)=f(-x),则g(-a)=f(a),又 地，下方数字2代表周围单元格中有2本图书，再去 g(x)-f(-x)≤2f(a)=2g(-a),所以g(x)为 掉后形如下方右侧图形，此时需要填4本图书，但只 L,函数，故A正确.f(x)= =12 剩下三个空方格，矛盾！故最多有7本，结合不受限 e+1 e+1 制的区域，最多能抽中7+4=11本书. 1.又对Va≥n3,e+1≥4，所以fa)=1-是 +1 2即2fa)≥1≥fr.所以Ve≥n3,f) 接下来求所有可能的方法数： ·2· ·数学· 参考答案及解析 情形一 (2)由已知可得2AD=AB+AC 2 两边同时平方可得4AD=(AB+AC)'=b十 c*+2bccos A. (8分) 2 由cosC= 可得sinC=4 3 如图所示，？处有图书时，在左上数字2的周围有两 种情形，若数字3右侧方格无图书，则4周围的图书 所以mB=in AosC+in Coos A=g 10 (10分) 排布方式已经固定，此时下方数字2的排布方式也 在△ABC中， 被固定，此时中间数字3周围只有两本图书，矛盾！ 所以中间数字3右侧必有图书。 由正弦定理C品B得c-426, b 所以4AD=b3+c2+2 bccos A=41b, 即AD=|AD= 2b, (12分) ☆4 在△ADC中， 2 b AD 此时如上右图阴影区域中有且仅有一本图书，故下 方数字2左侧或右侧有一本图书.若下方数字2左 由正弦定理n之ADCC,可得m∠ADC 侧有一本图书，则右侧没有图书，此时4周围的图书 8√▣ 205 (13分) 排布已经周定，则此时3周围图书也已经符合题意， 只有一种情形. 16.(1)证明：由已知可得PA十AB=18+36= 54=PB, 若下方数字2右侧有一本图书，此时考虑下方数字 由勾股定理知AB⊥PA, (2分) 2周围还应存在的一本图书的位置，若在2右上方， 由二面角M-AP-B为直二面角知平面PAM⊥平面 即上左图中☆位置，则满足题意，并且此时3周围也 PAB. (3分) 满足题意，4周围还剩一本图书，共有两种选择，共 又平面PAM∩平面PAB=PA,ABC平面PAB, 两种：若不在2右上方，则4周围图书的排布已经符 所以AB⊥平面PAM, (4分) 合题意，3周围还应有一本图书，共有两种选择。 又PMC平面PAM,所以AB⊥PM, (5分) 综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数 又AB∥CD.所以CD⊥PM. 原理，共有2×(1十2+2)=10种可能. 又PC=PD,由等腰三角形的性质，知M是CD中 情形二： 0 点。 (6分】 (2)解：由已知和(1)，以M为原点，MD,MA.M 3 分别为x,y,:轴的正方向，建立空间直角坐标系. 2 (8分) 如图所示，？处无图书时，左上数字2的图书排布被 故平面ABD的一个法向量n1=(0,0,1). (9分)】 固定，与情形一类似讨论，可知3右侧必有图书，此 设平面PAD的法向量为n:=(x,y,x),MD=m, 时根据3周围应还有2本图书得到下方的2左右两 由已知可得PM=PD-MD=16-m2, 侧均无图书（否则下方2周围图书数日大于2），故4 AM=PA2-PM=2+m, 周围的图书排列方式被固定，所以3周围还应有一 所以D(m,0,0),P(0,0,√16-m),A(0, 本图书，共有两种选择.故情形二共有2种可能. 2+m,0). (10分) 所以共有2×(2+10)=192种. 所以AD=(m,一√2+m,0),PD=(m,0, 四、解答题 15.解：(1)根据正弦定理，由已知可得sin Acos C -√16-m). sin Asin C-sin B+2 sin C=0, (2分) n2·AD=0, 由 可得 m.x-√2+my=0, sin B=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ceos A, n2·Pi=0. m.x一16一2之=0. 所以sin Acos C-sin Asin C-sin Acos C 1 1 1 取n:=( (12分) sin Ccos A十W2sinC=0, (4分) m`√2+m'/16-m 化简得sinA十cosA一√2=0， 1 整理得sn(A+)=1, 所以cos〈n1n2)= √16-m 1 1 61 因为<A+<还，所以A= √16-m十2+m+ 4 (6分) (14分) ·3· 高三3月联考 化简得7m-20m2-32=0, 18.解：(1)由题意知，X的所有可能取值为0,2,4,6. 解得m=一号（会）成m=4 则PX-0)-××日 所以m=2 又M是CD中点， 所以CD=2MD=2m=4,即CD长为4.(15分) 11.13 【注】第二问建系时需用到第一问的结论，若不指 P(X-4-CXZXZX7-8 明，则扣1分， 11、11 17.解：(1)当a=1时，f(x)=e-lnx-1,f'(x)= P(X=6)=2×2X2-8' 故EGX)-0x日+2X号+4 8+6X (6分) 所以f(1)=e-1,f'(1)=e-1. 所以f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y一(e一1) (2)(1)将第n(n≥3)个字符为A分为两种情形 讨论. (e-1)(x-1), 即y=(e-l).x. (4分) ①第一次抛掷的结果为1,2或3， (2)f(x)的定义域为(0，+∞)，且有f'(x)=e 则最左边的两个字符为AA,剩下的(n一2)个字符 are-a 中，第(m-2个字符为A的概率为：《8分) ②第一次抛掷的结果为4,5或6， 令g(x）=re-a(r≥0). g'(x)=e(x十1)>0在[0，十∞)上恒成立， 则在剩下的(n一1)个字符中，第（一1）个字符为A 1 故g(x)在[0，十o)上单调递增. (7分) 的概率为2P“ (10分) 而g(0)=-a<0,g(a)=ae-a=a(e-1)>0, 1 又g(x)的图象在[0，a]上连续不断， 综上：p,=2(p,十p.- 故存在x。∈(0，a),使得g(x。)=0, (8分) 1 1 又g(.x在(0，十∞)上单调递增， 故p.+2p.-4=p.十2p.:(n>≥3). 故x是g(x)在(0，十∞)上的唯一零点. (9分) 则(x)的单调性如下表： 即p十p是一个常数列。 (12分) (0,.x。) o (.ru,十o) (1)容易计算A=日A,=名+号×名是，故 1 2 f(x) 0 + 1 f(r) 极小值 p1十2p.=L. (14分) 所以f(x)的极小值为f(x。)=e一alnr。一a, (11分) 又x。e"-a=0. 即.-号引是以一为首项，一号为公比的等比数 放f,)=e-en-,e=e(得 列， (15分) lnx。-1)<0, (12分) 故{p.}的前n项和为 令m(x)=1-1nx-1(x>0),m'x)= 1-(》 上<0在(0，+∞)上恒成立， 3- 6 1-( 故m(x)在(0，十∞)上单调递减， + (17分) 又m(1)=0,故1-1nx,-1<0的充要条件为 xm>1, (14分) 19.解：)由题意知a=2,√a+6 =5, 故a=xoeo>e (15分) 解得b=4, 【注】零点存在性定理需指明条件后使用，缺条件则 该逻辑段不给分. 因此双自线E的方程为号-。-1 (3分) ·数学· 参考答案及解析 (2)设直线MN:x=my十 M(.).N(z. 6 得P=kx十， 4x2-y°-16=0， y:).P(ri.y).Q(xiy:). 消去y,得4x2一(kx+1)2一16=0， 将椭圆方程与直线MN方程联立， 即(4-k2)x2-2k1.x-t2-16=0,显然△2>0， 6 得r=my+5· 则x1,x,是该方程两根， 2k1 x2+4y2-4=0, 因此+之16 4-2 (11分) 消去x得(m2+4)y+12my-64 5y-25 =0,显然△1>0 由AP·A反=(x:-2)(x1-2)+yy 则y1y:是该方程的两根， =(x1-2)(x:-2)+(k.x+t)(k.x4+1) 12m 64 =(1+k)xx1+(k1-2)(x,+x)+t+4 5 则y十=m十4y 25 =(1+k*)1-16 (-2 2k1 m2+4' (5分) 4-k 4-6++4 则AM·AN=(x1-2)(x:-2)+y1y =0, (14分) 化简得(2k十t)(10k一3t)=0, =(my-)(my:-)+y 解得10k=3t或2k十t=0, (15分) 16 若2k+1=0,则PQ过点A,舍去， (m+1Dyy-5(y+y:)+2 因此10k=31, 64 12m 254m 5 ,16 此时PQy=r十9，过定点s(-9o）. =(m+1)m+45‘m+42西 =0, 取T为AS的中点，即(-号，o0),此时TH= 故AM⊥AV. (9分) 17分) 设直线PQ的方程为y=kx十t, 【注】两个二次方程若不交代判别式情况应分别扣 将PQ与双曲线E的方程联立， 去1分. ·5· 高三3月联考 2025届高三年级3月份联合考试·数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 预设难度 1 单选题 集合的基本运算 易 2 单选题 复数的四则运算、共扼复数 3 单选题 回归分析 易 4 单选烟 5 等差数列的性质 易 5 单选题 简单的三角恒等变换 中 6 单选题 圆锥曲线与方程 中 7 单选题 5 圆台体积 中 8 单选题 函数零点的应用 难 9 多选题 6 平面向量的实际背景及基本概念 易 10 多选题 6 直线与抛物线的位置关系 中 11 多选题 6 新定义雨数 12 填空题 5 正态分布 易 13 填空题 和与差的三角函数公式 中 14 填空题 计数原理 15 解答题 13 解三角形 易 16 解答题 15 线线垂直及二面角 中 17 解答题 分 导数概念及其几何意义 中 18 解答题 17 随机变量的均值，数列的递推公式 中难 19 解答题 12 直线与圆锥曲线的位置关系 中雄 ·6·绝密★启用前（点石联考）】 2025届高三年级3月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)】 1.已知A={一1,0,1,2}，B={x1og2|x≤1}，则A∩B= A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2} C.{-1,1,2} D.{1,2} 2.已知x(1一2i)=5i,则|x|= A.√2 B.2 C.5 D.5 3.探究学习小组收集了A早餐店2024年前六个月包子的售卖数据，得出每个月 售卖包子的个数y(单位：万个)与月份x(x=1,2,3,…,6)的经验回归方程为 y=0.1x十1.4，已知五月份的售卖量为2万个，则x=5时的残差为 A.-0.2 B.0.2 C.-0.1 D.0.1 4.已知有穷数列{a.}是等差数列，公差为d,前n项和为S.,a1>0.命题p:Hd∈R, 受为等差数列：命题g:31<0,S,为递增数列，则 A.p和g均为真命题 B.p和g均为真命题 C.p和一q均为真命题 D.7p和一g均为真命题 5.已知f)=si血r(m>0)的最小正周期为T,且f(x)=-f(z,)=5 3 五，-<号，则与。无关的是 A.T B. x1一x2 C.f'(x) D.f(x)在[0,2025]上的零点个数 (点石联考)高三数学第】页（共4页】 6.在平面直角坐标系xOy中，x轴正方向的单位向量为u,y轴正方向的单位向 量为.已知P是椭圆C:专十y=1上一动点，动点Q(m,n)的轨迹为E,设 E的离心率为eE,C的离心率为ec,则下列选项中满足eE>ec的是 A.1OP1=1OQ1且OQ⊥OP B.OQ=2OP C.20Q=Op+(op·u)u D.2OQ=OP+(OP·v)y 7.已知圆台O1O,的上、下底面半径分别为r1,r2(r1<r2),高为√3，母线与下底 面所成的角为，上底面上的动点和下底面上的动点距离的最大值为7，则圆 台的体积为 A 313 343 B. 193 C. 12元 D. 12元 12π 8.若函数f(x)=(e2-a)(x-b),其中a>0.若f(x)只有一个零点，则a2+ (b一2)2的最小值为 A.5 B.5 C.② D.2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分) 9.已知直线l的方向向量为v,平面a的法向量为n,则下列说法正确的是 A.若n·v=0,则la B.若存在入∈R,使得n=入v,则L⊥a C.若l∥a,则l到a内任意直线的距离等于l到a的距离 D.若l与a内任意直线所成的角均相等，则l⊥a 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点F(1,0),A(一1,0)，动点P(a,b)满足 PA|=√2|PF,则 A.p=2 B.若P在C上，则△PFA是等腰直角三角形 C.4a≥b9 D.P的轨迹长度为2π 11.函数f(x)的定义域为I,若存在a∈I满足：f(x)≤2f(a)对任意的x∈I恒 成立，则称f(x)为I上的L。函数，则下列说法正确的是 A.若f(x)是[m,n]上的L。函数，则f(-x)为[一n,一m]上的L-4函数 BVa≥n3,f(z)=。+是R上的L.函题 Cr)=snar十p)是R上的L,函数，则fO)=号 D.命题“f(x)=(a-x)(x2-a2x十b)是(0，十∞)上的L。函数”的一个必 要条件为“b≥一27 (点石联考)高三数学第2页（共4页）】 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）】 12.某类考试报名人数为10000人，已知考试的成绩服从正态分布N(300, 2500),若录取分数线为350分，则录取人数约为 ·(结果四舍五入取 整数) (参考数据：若服从正态分布N(4,o2),则P(4一o≤≤4十o)≈0.6827) 18已知a∈（分小，c(o,》,且sna+0=-,ma-=- 则1 tan a 1 的值为 tan B 14.为积极响应教育部印发的《全国青少年学生读书行动实施方 案》，鼓励学生多读书、品经典，社区举办了“图书在哪”的抽 奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了 一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的 图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内 无限制，且每一个方格只能放1本图书.则在所有可能的情 况中，能抽中的图书数目最多为 ,所有可能的图书排列方式总数 为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤)】 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别a,b,c,已知acos C-asin C- b+2c=0. (1)求A: (2)设D是边BC中点，若cosC=-号求6n∠ADC 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,PC= PD=4,AB=6,PA=3√2，PB=3√6，M是棱CD上一点，且二面角M-AP B为直二面角. (1)证明：M是CD中点； ()②若AM LPM,-且二面角PAD-B的余弦值为，求CD的长。 (点石联考)高三数学第3页（共4页） 17.(15分)已知函数f(x)=e-alnx-a,a>0. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)的极小值小于0，求a的取值范围. 18.(17分)现有一个质地均匀的骰子，按照下述规则从左到右依次记录字符：抛 掷骰子，点数为1,2,3时，记录字符AA:点数为4时记录字符B,点数为5时 记录字符C,点数为6时记录字符D.继续投掷骰子，按照相同的规则向右记 录AA,B,C,D的字符.例如抛掷5次骰子得到的点数依次是5,6,2,3,4，则 记录的字符为CDAAAAB,共7个字符，其中从左向右第4个字符为A,第7 个字符为B. (1)抛掷3次骰子，并记录字符.记字符中A的个数为X,求E(X): (2)抛掷n次骰子(n∈N'),并记录字符.记第n个字符为A的概率为p. （1)求证：{p+1十2p:}是常数列： (i)求{p.}的前n项和. 7分)已知椭圆C:工+y=1的左、右顶点分别为B,A,双曲线 1=1(a>0,b>0)过点A,B且离心率为5. (1)求E的方程； (2)若过点D(号，0)的直线交C于M,N两点（异于A,B两点），直线AM, AN交E于P,Q两点（异于点A),过A作AH⊥PQ,垂足为H.求证： 存在定点T,使得TH|为定值. (点石联考)高三数学第4页（共4页）