19.2 菱形-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（华东师大版）

同步单元练习——华东师大版 8下 19.2 菱形 一．选择题（共20小题） 1．若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（　　） A．15 B．24 C．30 D．60 2．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（　　） A．48 B．25 C．24 D．12 3．如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB，D上，AM＝CN．MN与AC交于点O，连接BO，若∠BAC＝29°，则∠OBC为（　　） A．29° B．58° C．61° D．71° 4．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（　　） A．36 B．30 C．24 D．20 5．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列条件：①AB∥CD； ②AB＝CD； ③OA＝OC；④OB＝OD； ⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD．则下列各组组合中，不能推出四边形ABCD为菱形的是（　　） A．①②④ B．③④⑤ C．①②⑤ D．①②⑥ 6．已知，菱形ABCD中，AD＝1，记∠ABC为∠α（0°＜α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C．则下列说法中，不正确的是（　　） A．菱形的周长C与∠α 的大小无关 B．菱形的面积S是α的函数 C．当∠α＝45°时，菱形的面积是 D．菱形的面积S随α的增大而增大 7．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　） A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AB＝CD D．∠A＝∠C 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 9．如图，广场中心的菱形花坛ABCD的周长是40米，∠A＝60°，则A，C两点之间的距离为（　　） A．5米 B．5米 C．10米 D．10米 10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于（　　） A．60° B．65° C．70° D．80° 11．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 12．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（　　） A．20 B．40 C．24 D．48 13．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A．四边形ABCD的周长不变 B．四边形ABCD的面积不变 C．AD＝AB D．AB＝CD 14．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　） A．28° B．52° C．62° D．72° 15．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FHBD你认为正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（　　） A． B．8 C．4 D． 17．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　） A． B． C．4 D． 18．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，且AF＝2，则点F到边DC的距离为（　　） A．1 B． C．2 D． 19．如图，在菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线DE的长为（　　） A． B． C． D． 20．菱形的周长等于高的8倍，则此菱形的较大内角是（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 二．填空题（共10小题） 21．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 　 　． 22．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC＝12cm，BD＝9cm，则菱形ABCD的面积是　 　cm2． 23．已知，菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝7，则此菱形的面积为　 　． 24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝　 　． 25．菱形的面积是12cm2，两条对角线的长度比为2：3，则它的两条对角线分别为　 　． 26．菱形的两条对角线分别为6cm，8cm，则它的面积是　 　cm2． 27．菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为 　 　． 28．已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是　 　cm，面积是　 　cm2． 29．菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：2，周长为8，则菱形的两条对角线的长分别为　 　． 30．菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形ABCD的面积S＝　 　． 三．解答题（共10小题） 31．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点 E作AC 的垂线EF，交AB 于点 M，交CB 的延长线于点F．如果FB的长是 ，∠AEM＝30°．求菱形ABCD 的周长和面积． 32．两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB＝BF． 求证：四边形BNDM为菱形． 33．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，且AC平分∠DAB． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝8，BD＝6，试求点O到AB的距离． 34．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝60°，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABEC为菱形； （2）若AB＝6，连接OE，求OE的值． 35．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值． 36．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长． 37．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由． 38．如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O． （1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由； （2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积． 39．如图，在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm． 求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 40．已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF． （1）求证：四边形ABGE是菱形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝5，求CF的长． 同步单元练习——华东师大版 8下 19.2 菱形 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C C D A C B B D A C 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A D C C C D B B D 一．选择题（共20小题） 1．【答案】C 【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【解答】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S10×6＝30． 故选：C． 2．【答案】C 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【解答】解：这个菱形的面积6×8＝24． 故选：C． 3．【答案】C 【分析】由△AMO≌△CNO，推出AO＝CO，由AB＝CB，推出BO⊥AC，推出∠BOC＝90°，∠BAC＝29°，推出∠BCA＝29°即可解决问题； 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC， ∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO， 在△AMO和△CNO中， ∴△AMO≌△CNO， ∴AO＝CO， ∵AB＝CB， ∴BO⊥AC， ∴∠BOC＝90°， ∵∠BAC＝29°，BA＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC＝29°， ∴∠QBC＝90°﹣29°＝61°． 故选：C． 4．【答案】D 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【解答】解：如图所示， 根据题意得AO8＝4，BO6＝3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∴AB5， ∴此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：D． 5．【答案】A 【分析】根据题目所给条件可得①②组合，③④组合都能判定四边形ABCD为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定． 【解答】解：∵AB＝CD；AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 如果加上条件⑤AC⊥BD可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定；故C不符合题意， 如果加上条件⑥AC平分∠BAD可证明邻边相等，根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定；故D不符合题意， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 如果加上条件⑤，根据对角线垂直的平行四边形是菱形进行判定；故B不符合题意， 故选：A． 6．【答案】C 【分析】根据菱形的性质一一判断即可． 【解答】解：A、正确．菱形的周长＝4，与∠α 的大小无关； B、正确．∵S＝1•sinα＝sinα，∴菱形的面积S是α的函数； C、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝1•1•sin45°； D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝sinα，∴菱形的面积S随α的增大而增大． 故选：C． 7．【答案】B 【分析】由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形． 故选：B． 8．【答案】B 【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，可求得菱形的面积与边长，继而求得答案． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8， ∴OBBD＝3，OAAC＝4，AC⊥BD， ∴AB5， ∵S菱形ABCDAC•BD＝AB•EF， ∴EF4.8． 故选：B． 9．【答案】D 【分析】由菱形花坛ABCD的周长是40米，∠BAD＝60°，可求得边长AD的长，AC⊥BD，且∠CAD＝30°，则可求得OA的长，继而求得答案． 【解答】解：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O， ∵菱形花坛ABCD的周长是40米，∠BAD＝60°， ∴AC⊥BD，AC＝2OA，∠CAD∠BAD＝30°，AD＝10米， ∴OA＝AD•cos30°＝105（米）， ∴AC＝2OA＝10米． 故选：D． 10．【答案】A 【分析】根据菱形的性质求出∠ADC＝100°，再根据垂直平分线的性质得出AF＝DF，从而计算出∠CDF的值． 【解答】解：连接BD，BF， ∵∠BAD＝80°， ∴∠ADC＝100°， 又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD， ∴AF＝BF，BF＝DF， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA＝40°， ∴∠CDF＝100°﹣40°＝60°． 故选：A． 11．【答案】C 【分析】连接AE，根据全等的性质可得AC＝20cm，根据菱形的性质和等边三角形的判定可得△ACB是等边三角形，再根据等边三角形和菱形的性质即可求解． 【解答】解：连接AE， ∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成， ∴AC＝20cm， ∵菱形的边长AB＝20cm， ∴AB＝BC＝20cm， ∴AC＝AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠DAB＝120°． 故选：C． 12．【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长． 【解答】解：四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，AC⊥BD， ∴AB5， 故菱形的周长为4×5＝20． 故选：A． 13．【答案】D 【分析】由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案． 【解答】解：由题意可知，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，故D符合题意， 随着一张纸条在转动过程中，AD不一定等于AB， 四边形ABCD周长、面积都会改变， 故ABC不符合题意， 故选：D． 14．【答案】C 【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC， ∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO， 在△AMO和△CNO中， ∵， ∴△AMO≌△CNO（ASA）， ∴AO＝CO， ∵AB＝BC， ∴BO⊥AC， ∴∠BOC＝90°， ∵∠DAC＝28°， ∴∠BCA＝∠DAC＝28°， ∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°． 故选：C． 15．【答案】C 【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，再由FE＝AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD＝4AG，从而得到答案． 【解答】解：∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAC＝60°，AE＝AC， ∵∠BAC＝30°， ∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC， ∵F为AB的中点， ∴AB＝2AF， ∴BC＝AF， ∴△ABC≌△EFA， ∴FE＝AB， ∴∠AEF＝∠BAC＝30°， ∴EF⊥AC，故①正确， ∵EF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴HF∥BC， ∵F是AB的中点， ∴HFBC， ∵BCAB，AB＝BD， ∴HFBD，故④说法正确； ∵AD＝BD，BF＝AF， ∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°， ∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°， ∴∠DFB＝∠EAF， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝30°， ∴∠BDF＝∠AEF， ∴△DBF≌△EFA（AAS）， ∴AE＝DF， ∵FE＝AB， ∴四边形ADFE为平行四边形， ∵AE≠EF， ∴四边形ADFE不是菱形； 故②说法不正确； ∴AGAF， ∴AGAB， ∵AD＝AB， 则AD＝4AG，故③说法正确， 故选：C． 16．【答案】C 【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝16，由直角三角形斜边上的中线性质得出，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD， ∴AC＝16， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∴， ∵菱形ABCD的面积， ∴BD＝8， ∴． 故选：C． 17．【答案】D 【分析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长． 【解答】解：如图． ∵四边形ABCD是菱形，AC＝6， ∴AC⊥BD，OAAC＝3，BD＝2OB， ∵AB＝5， ∴OB4， ∴BD＝2OB＝8， ∵S菱形ABCD＝AB•DEAC•BD， ∴DE． 故选：D． 18．【答案】B 【分析】作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，先根据菱形的性质：菱形的每一条对角线平分一组对角，得∠BAC＝40°，由线段垂直平分线的性质得AF＝BF＝2，证明△DFC≌△BFC，得∠FDC＝∠FBC＝60°，DF＝BF＝2，由30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理依次求出DG、FG的长． 【解答】解：过F作FG⊥DC于G，连接DF、BF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠BAC∠BAD80°＝40°， ∵EF为AB的垂直平分线， ∴AF＝BF＝2， ∴∠FBA＝∠BAC＝40°， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠DAB＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣80°＝100°， ∴∠FBC＝100°﹣40°＝60°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DC＝BC，∠DCA＝∠BCA， ∵FC＝FC， ∴△DFC≌△BFC， ∴∠FDC＝∠FBC＝60°，DF＝BF＝2， 在Rt△DFG中， ∠DFG＝30°， ∴DGDF＝1， ∴FG， 则点F到边DC的距离为， 故选：B． 19．【答案】B 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长． 【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC＝3，BO＝DO＝4，AC⊥BD， ∴AB5， ∵S菱形ABCD＝AB•DEAC•BD， ∴DE， 故选B． 20．【答案】D 【分析】根据菱形四条边相等的性质，列出等式方程，求解，即可． 【解答】解：设菱形的边长为a，高为h，则依题意，4a＝8h，即a＝2h，延长最大角的一边，让其邻边和高构造直角三角形， ∵有一直角边是斜边的一半，∴菱形的较大内角的外角为30°，∴菱形的较大内角是150°．故选D． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AOAC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AEAC•BD可得答案． 【解答】解：连接BD，交AC于O点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∴AC⊥BD，AOAC，BD＝2BO， ∴∠AOB＝90°， ∵AC＝6， ∴AO＝3， ∴B04， ∴DB＝8， ∴菱形ABCD的面积是AC•DB6×8＝24， ∴BC•AE＝24， AE， 故答案为： 22．【答案】见试题解答内容 【分析】根据菱形的面积公式，已知AC，BD的长，易求出菱形面积． 【解答】解：因为菱形的面积等于两条对角线的积的一半， 所以该菱形的面积是12×954cm2． 故答案为54． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答． 【解答】解：∵AC＝10，BD＝7， ∴菱形的面积10×7＝35． 故答案为：35． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长． 【解答】解：∵AC＝8，BD＝6， ∴BO＝3，AO＝4， ∴AB＝5． AO•BOAB•OH， OH． 故答案为：． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用菱形面积求法为对角线乘积的一半，进而得出答案． 【解答】解：∵两条对角线的长度比为2：3， ∴设两条对角线的长度分别为2x，3x， 根据题意可得：2x×3x＝12， 解得：x＝2， 则它的两条对角线分别为：4cm，6cm． 故答案为：4cm，6cm． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【解答】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积， 根据Sab6×8＝24cm2， 故答案为：24． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得另一条对角线的长． 【解答】解：∵菱形的两条对角线互相垂直平分， 根据勾股定理，可求得，另一对角线的一半为3， 则另一条对角线长为6． 故答案为6． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线长的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据周长公式计算即可得解； 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【解答】解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm， ∴菱形的两条对角线长的一半分别为4cm和3cm， 根据勾股定理，边长5cm， 所以，这个菱形的周长是5×4＝20cm， 面积8×6＝24cm2． 故答案为：20，24． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】由菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：2，可求得∠DAB的度数，由周长为8，可求得菱形的边长，然后由勾股定理求得菱形的两条对角线的长． 【解答】解：如图：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD，AC⊥BD， ∵菱形ABCD的周长为8， ∴AB＝2， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵∠DAB：∠ABC＝1：2， ∴∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2， ∵在Rt△OAB中，∠OAB∠DAB＝30°， ∴OB＝1，OA， ∴AC＝2OA＝2． ∴菱形的两条对角线的长分别为：2，2． 故答案为：2，2． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】由菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝8cm，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形ABCD的面积． 【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝8cm， ∴菱形ABCD的面积为：AC•BD6×8＝24cm2． 故答案为：24cm2． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】见试题解答内容 【分析】首先连接BD，易证得四边形EFBD为平行四边形，即可求得AD的长，继而求得菱形ABCD的周长，求出对角线的长度，利用菱形的面积＝对角线乘积的一半求出面积． 【解答】解：连接BD． ∵在菱形ABCD中， ∴AD∥BC，AC⊥BD． 又∵EF⊥AC， ∴BD∥EF． ∴四边形EFBD为平行四边形． ∴FB＝ED． ∵∠AEM＝30° ∴BD＝2，AC＝2， ∵E是AD的中点． ∴AD＝2ED＝2． ∴菱形ABCD的周长为4×28， ∴菱形ABCD的面积为224． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】易证四边形BNDM是平行四边形；根据AB＝BF，运用AAS可证明Rt△ABM≌Rt△FBN，得BM＝BN．根据有一邻边相等的平行四边形是菱形得证． 【解答】证明：∵两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE，根据矩形的对边平行， ∴BC∥AD，BE∥DF， ∴四边形BNDM是平行四边形， ∵∠ABM+∠MBN＝90°，∠MBN+∠FBN＝90°， ∴∠ABM＝∠FBN． 在△ABM和△FBN中， ∴△ABM≌△FBN，（ASA）． ∴BM＝BN， ∴四边形BNDM是菱形． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由平行四边形的对边平行得∠DAC＝∠BCA，由角平分线的性质得∠DAC＝∠BAC，即可知∠BCA＝∠BAC，从而得AB＝BC，即可得证； （2）由菱形的对角线互相垂直且平分得AO＝4、BO＝3且∠AOB＝90°，利用勾股定理得AB＝5，根据S△AOBAB•hAO×BO可得答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8、BD＝6， ∴AO＝4、BO＝3，且∠AOB＝90°， ∴AB5， 设点O到AB的距离为h， 则由S△AOBAB•hAO×BO，即5h＝12， 得h， 即点O到AB的距离为． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先证明四边形ABEC为平行四边形，再利用△ABC为等边三角形证明四边形ABEC为菱形； （2）根据直角三角形的特征进行解答即可． 【解答】解：（1）∵菱形ABCD， ∴AB＝BC，AB∥DE， ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC为平行四边形， ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC， ∴平行四边形ABEC为菱形； （2）∵AB＝6，∠ABC＝60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠OBC＝30°，OB＝3， ∴∠OBE＝30°+60°＝90°， ∴OE3． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由DE∥BC，CE∥AB，可证得四边形DBCE是平行四边形，又由△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD＝AD＝BD＝CE，然后由CE∥AB，证得四边形ADCE平行四边形的性质，继而证得四边形ADCE是菱形； （2）首先过点C作CF⊥AB于点F，由（1）可知，BC＝DE，设BC＝x，则AC＝2x，然后由勾股定理求得AB，再由三角形的面积，求得CF的长，由勾股定理即可求得CD的长，继而求得答案． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB， ∴四边形DBCE是平行四边形． ∴CE＝BD， 又∵CD是边AB上的中线， ∴BD＝AD， ∴CE＝DA， 又∵CE∥DA， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴AD＝CD， ∴四边形ADCE是菱形； （2）解：过点C作CF⊥AB于点F， 由（1）可知，BC＝DE， 设BC＝x，则AC＝2x， 在Rt△ABC中，ABx． ∵AB•CFAC•BC， ∴CFx． ∵CDABx， ∴sin∠CDB． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形； （2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB． ∴∠ABD＝∠EDB． ∴EB＝ED． ∴平行四边形BFDE是菱形； （2）解：∵ED∥BF，∠C＝90°， ∴∠ADE＝90°． 设BF＝x， ∴DE＝BE＝x． ∴AE＝8﹣x． 在Rt△ADE中，AE2＝DE2+AD2 ∴（8﹣x）2＝x2+42 解得x＝3， ∴BF＝3． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】根据四边相等的四边形是菱形．由矩形的性质证得，△ABM≌△BFN，所以BM＝BN，同理，△EMD≌△CVD，所以DM＝CN，再证BM＝MD，即MB＝MD＝DN＝BN，所以四边形BMDN是菱形． 【解答】解：四边形BMDN是菱形． ∵AM∥BC， ∴∠AMB＝∠MBN， ∵BM∥FN ∴∠MBN＝∠BNF， ∴∠AMB＝∠BNF， 又∵∠A＝∠F＝90°，AB＝BF， ∴△ABM≌△BFN， ∴BM＝BN， 同理，△EMD≌△CND， ∴DM＝DN， ∵ED＝BF＝AB，∠E＝∠A＝90°，∠AMB＝∠EMD， ∴△ABM≌△EDM， ∴BM＝DM， ∴MB＝MD＝DN＝BN， ∴四边形BMDN是菱形． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用平移的知识可得四边形ABCE是平行四边形，进而根据AB＝BC可得该四边形为菱形； （2）利用证明三角形全等可得四边形PQED的面积为三角形BED的面积，所以不会改变；进而利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：（1）四边形ABCE是菱形，证明如下： ∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的， ∴EC∥AB，且EC＝AB， ∴四边形ABCE是平行四边形，（2分） 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCE是菱形．（4分） （2）由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO， ∴S△PBO＝S△QEO（7分） ∵△ECD是由△ABC平移得到的， ∴ED∥AC，ED＝AC＝6， 又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，（8分） ∴S四边形PQED＝S△QEO+S四边形POED＝S△PBO+S四边形POED＝S△BED BE×ED8×6＝24．（10分） 39．【答案】见试题解答内容 【分析】在菱形ABCD中，∠A与∠B互补，即∠A+∠B＝180°，因为∠A与∠B的度数比为1：2，就可求出∠A＝60°，∠B＝120°，根据菱形的性质得到∠BDA＝120°60°，则△ABD是正三角形，所以BD＝AB＝4812cm，根据勾股定理得到AC的值；然后根据菱形的面积公式求解． 【解答】解：（1）连接BD， ∵∠A与∠B互补，即∠A+∠B＝180°，∠A与∠B的度数比为1：2， ∴∠A＝60°，∠B＝120°． ∴∠BDA＝120°60°． ∴△ABD是正三角形． ∴BD＝AB＝4812cm． AC＝212cm． ∴BD＝12cm，AC＝12cm． （2）S菱形ABCD两条对角线的乘积12×1272cm2 40．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先证明AB＝AE，由ASA证明△ABF≌△GBF，得出AB＝GB，因此AE＝GB，证出四边形ABGE是平行四边形，即可得出结论； （2）过点F作FM⊥BC于点M，由菱形的性质得出∠GBE∠ABC＝30°，BG＝AB＝4，BC＝AD＝5，在Rt△BFG中，由三角函数求出BF＝2，在Rt△BFM中，求出FM，再求出BM＝3，得出CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2，Rt△FMC中，由勾股定理即可得出CF的长． 【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC且AD＝BC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE，∴AB＝AE， ∵AF⊥BE， ∴∠AFB＝∠GFB＝90°， 在△ABF和△GBF中，， ∴△ABF≌△GBF（ASA）， ∴AB＝GB， ∴AE＝GB， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABGE是平行四边形， 又∵AB＝GB， ∴四边形ABGE是菱形； （2）解：过点F作FM⊥BC于点M，如图所示： ∵四边形ABGE是菱形， ∴∠GBE∠ABC＝30°，BG＝AB＝4，BC＝AD＝5， 在Rt△BFG中，BF＝cos∠GBF×BG＝cos30°×44＝2， 在Rt△BFM中，FMBF2， BM＝cos∠GBF×BF＝cos30°×BF23， ∴CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2， ∴Rt△FMC中，CF． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$