大题04 动量的综合应用（5大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考物理大题突破+限时集训（黑吉辽蒙专用）

大题04 动量的综合应用 动量多与能量守恒、力学过程结合（如碰撞、弹簧系统、多物体相互作用）。动量守恒定律作为高频考点，考查情境：完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞、反冲运动等，经常出现多物体系统动量守恒（如2024年黑吉辽卷弹簧连接的AB两个物块整体动量守恒、2023年辽宁卷板块模型木块和木板整体动量守恒）。2025年大概率还会考查弹性碰撞与能量结合，在平时的练习中，关注多物体系统：滑板模型、传送带与物块联动问题（需注意系统动量守恒条件是否成立）。 题型一 滑块—斜（曲）面模型 【例1】（2024·辽宁辽阳·模拟预测）如图所示，质量为4m、半径为R的光滑四分之一圆弧体A 静止在足够大的光滑水平面上，水平面刚好与圆弧面的最底端相切，轻弹簧放在光滑水平面上，左端固定在竖直固定挡板上，用外力使质量为m的小球B 压缩弹簧（B 与弹簧不连接），由静止释放小球，小球被弹开后运动到圆弧体的最高点时，恰好与圆弧体相对静止，不计小球的大小，重力加速度为g。求： （1）弹簧具有的最大弹性势能； （2）小球B第一次滚上圆弧面的一瞬间对圆弧面的压力大小； （3）小球B第二次滚上圆弧面后，上升的最大高度。 滑块—斜（曲）面模型中的动量守恒分析 1、滑块到达最高点时，与斜（曲）面体具有共同的水平速度v共。 （1）系统水平方向动量守恒：。 （2）系统机械能守恒：，其中h为为滑块能上升的最大高度，不一定等于斜（曲）面体的高度。 2、滑块返回最低点时，与斜（曲）面体即将分离。 （1）整个过程系统水平方向动量守恒：。 （2）整个过程系统机械能守恒：。 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图，质量都为m的A和B两物体并排静止放在光滑的水平面上，其中A物体的凹槽为半径R的光滑半圆弧，质量为m，体积可以忽略的小球C某时刻起从A物体上方高度R的位置自由下落，假设在进入半圆弧的过程中没有能量的损失，求： （1）C球刚刚到达物体A圆弧时速度； （2）A和B分离时，A、B、C各自的速度大小； （3）C球第一次刚要从A左端飞出时，C球对圆弧槽的压力大小。 2．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为的滑块，滑块右侧面的圆弧形槽的半径为点切线水平，离地面的距离为。质量为、可视为质点的小球以一定的水平速度从点冲上滑块，恰好能到达点，重力加速度大小为，不计空气阻力，求： （1）滑块的最大速度； （2）小球离开滑块时受到的支持力大小； （3）小球落地时到滑块上点的距离。 3．（2024·天津红桥·二模）如图所示，质量为，半径的四分之一光滑圆弧槽静置于光滑水平地面上，有两个大小、形状相同的可视为质点的光滑小球、，、，右侧与球心等高处连接一轻质弹簧，弹簧的另一端距圆弧槽底有一定距离。现将从圆弧槽顶端由静止释放，重力加速度，求： （1）若圆弧槽固定不动，小球滑离圆弧槽时的速度大小； （2）若圆弧槽不固定，小球滑离圆弧槽时的速度大小； （3）圆弧槽不固定的情况下弹簧压缩过程中的最大弹性势能。 题型二 碰撞模型 【例1】（2024·辽宁朝阳·三模）如图所示，一块质量的长木板A静止放置于光滑水平地面上，其左端放置一个质量的物块B。在物块B的上方高处有一悬挂点O，通过轻绳悬挂质量的小球C，小球C静止时与物块B等高且恰好无相互作用力接触。现将小球C拉至轻绳与竖直方向的夹角处由静止释放，小球C下摆至最低点时与物块B发生碰撞并粘在一起（C不与A接触），同时轻绳被刀片割断。已知物块B与长木板A间的动摩擦因数，物块B不会从A上滑离，取重力加速度大小，物块B、小球C均可看成质点，不计空气阻力。求： （1）小球C与物块B碰后瞬间的速度大小； （2）长木板A的最小长度。 碰撞中的动量守恒和能量守恒 1、子弹打入水平面上的物块（地面光滑） （1）子弹嵌入木块中（未穿出）：两者速度相等，机械能损失最多（完全非弹性碰撞）。 ①动量守恒：。 ②能量守恒：。 （2）子弹穿透木块：两者速度不相等，机械能有损失（非弹性碰撞）。 ①动量守恒：。 ②能量守恒：。 2、两球（或物块）在水平面上碰撞 （1）“弹性碰撞”：碰撞前后系统动量守恒、机械能不变。 （2）“碰撞时间极短”：碰撞过程中系统动量守恒。 1．（2024·湖南益阳·一模）如图所示，足够长“L”型平板B静置在地面上，上表面光滑，物块A处于平板B上的点，用长为0.8m的轻绳将质量为3kg的小球悬挂在点正上方的O点。轻绳处于水平拉直状态，小球可视为质点，将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生弹性碰撞。物块A沿平板滑动直至与B右侧挡板发生碰撞，假设小物块A与平板B的碰撞均为弹性碰撞，测得小物块A与平板B。发生第一次碰撞后到第二次碰撞前相隔的最大距离是9m，整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，已知A的质量为1kg，B的质量0.5kg，g取，求： （1）小球摆至最低点与小物块A发生弹性碰撞前轻绳的拉力； （2）小物块A第一次与平板B碰撞后到第二次碰撞的时间； （3）平板B在水平面上通过的总路程。 2．（2024·广东深圳·三模）如图所示，ABC是光滑轨道，其中BC部分是半径为R的竖直放置的半圆，AB部分与BC部分平滑连接。一质量为M的小木块放在轨道水平部分，木块被水平飞来的质量为m的子弹射中，子弹留在木块中。子弹击中木块前的速度为。若被击中的木块能沿轨道滑到最高点C，重力加速度为g，求： （1）子弹击中木块后的速度； （2）子弹击中木块并留在其中的过程中子弹和木块产生的热量Q； （3）若，且，求木块从C点飞出后落地点与B点的距离s。 3．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图所示，PQ为光滑水平面，QN为粗糙水平面，两者之间平滑连接。两物体A和B并排静置于光滑水平地面PQ上，它们的质量M均为0.5kg。一颗质量m=0.1kg的子弹以v0=34m/s的水平速度从左边射入A，射出A后继续进入B中且当子弹与B保持相对静止时，A和B都还没有离开光滑水平面。已知子弹在物体A和B中所受阻力相同且一直保持不变，A的长度为LA=0.23m，A离开光滑水平面后在QN粗糙水平面内位移为x=2m。A、B与QN间的动摩擦因数μ都为0.1，不计空气阻力，g取10m/s2。 （1）求物体A和物体B离开光滑水平面时的速度大小vA、vB； （2）求子弹在物体B中穿过的距离LB。 题型三 弹簧中的动量问题 【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，倾角的足够长的光滑斜面固定在水平地面上，斜面下端垂直斜面固定着一挡板，物块A与物块B用轻弹簧连接并静止在斜面上，物块A与挡板接触。现将距物块B为的物块C从斜面上由静止释放，物块C与物块B发生弹性碰撞，碰后将物块C取走，物块B在斜面上做简谐运动。已知，重力加速度g取，，弹簧的劲度系数为，且弹簧始终在弹性限度内，物块A、B、C均可视为质点。 （1）求C与B碰后瞬间两物块的速度大小； （2）已知弹簧的弹性势能为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），求C与B碰后B做简谐运动的振幅； （3）若C从斜面上某高度处由静止释放后，C与B碰后并粘在一起做简谐运动且A恰好未离开挡板，求A对挡板压力的最大值。 弹簧中的动量分析 水平地面光滑，A、B与轻弹簧（开始处于原长）相连，A以初速度运动。A、B相互作用过程中，A、B与弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒。运动过程分析如下： 1、弹簧被压缩到最短时，系统弹性势能最大动能损失最多，A、B第一次共速。(类比完全非弹性碰撞) 2、弹簧第一次恢复原长时，系统弹性势能为0，动能与初状态相等。B速度最大，A速度最小。(类比弹性碰撞) ①m1＝m2时，A的速度为0；②m1＜m2时，vA＜0，A反向；③m1＞m2时，vA＞0，A运动方向不变。 3、弹簧被拉伸到最长时，系统弹性势能最大，动能损失最多，A、B第二次共速。(类比完全非弹性碰撞) 4、弹簧第二次恢复原长时，系统弹性势能为0，动能与初状态相等，vA＝v0，vB＝0。（类比弹性碰撞，回到初始状态） 1．（2024·天津宁河·二模）如图所示，光滑水平直轨道上静止放置三个质量均为m的物块A、B、C，物块B的左侧固定一轻弹簧。给A一个初速度v0，使其向B运动并压缩弹簧（弹簧始终在弹性限度内），当弹簧第一次压缩到最短时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞时间极短，求： （1）B与C碰撞前的瞬间，B的速度大小 （2）从A开始运动到弹簧压缩最短时C受到的冲量大小； （3）从A开始运动到A与弹簧分离的过程中，整个系统损失的机械能； 2．（2024·安徽黄山·二模）如图所示，a、b、c均为质量为m的物块，其中b、c通过轻弹簧连接并静置在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，a物块从距离b高为h处由静止释放，与b碰撞后黏在一起，碰撞时间极短。重力加速度为g，则： （1）求a、b碰撞后瞬间a、b整体的速度和加速度大小； （2）若a物块从距离b高为h0处由静止释放，弹簧恰好能恢复原长，求初始时弹簧的弹性势能（结果用含h0的式子表示）； （3）若a物块从距离b高为hx处由静止释放，c恰好能离开地面，求hx为多少？ 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，质量、半径的四分之一光滑圆弧abc静止在足够长的光滑水平面上，末端与水平面相切，圆弧右侧有一质量为的小物块B，B的左侧固定一水平轻弹簧，将质量为的小物块A从圆弧顶端由静止释放，在小物块B的右侧有一竖直挡板（图中未画出，挡板和B的间距可调），当小物块B与挡板发生一次弹性正碰后立刻将挡板撤去，且小物块A与弹簧接触后即与弹簧固定连接，已知重力加速度，不计空气阻力，A、B均可视为质点。求： （1）若圆弧固定，小物块A到达圆弧底端时的速度的大小； （2）若圆弧不固定，小物块A到达圆弧底端的速度的大小以及圆弧体的位移大小； （3）若圆弧不固定，小物块B与挡板发生碰撞后的运动过程中，当弹簧最短时弹簧弹性势能的范围。 题型四 板块中的动量问题 【例1】（2024·新疆·一模）如图所示，在光滑水平地面上静置着一块质量为 的木板，一质量为 的物块（视为质点），以大小 水平向右的初速度滑上木板左端，重力加速度大小 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）若物块与木板间的动摩擦因数 要使物块不从木板上落下，求木板的最小长度； （2）若物块与木板间的动摩擦因数从左到右逐渐减小，且满足 （x为物块到木板左端的距离），求物块相对木板运动的最大位移（物块始终在木板上）。 板块中的动量守恒和能量守恒 水平地面光滑，木板长为滑块和木板间的摩擦力为Ff。 1、滑块未滑离木板 （1）动量守恒：。 （2）能量守恒：。 2、滑块滑离木板 （1）动量守恒：。 （2）能量守恒：。 【注】1、系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移大小的乘积等于系统减少的机械能，即摩擦生热。 2、若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，二者相对位移最大。 1．（2024·广西河池·一模）如图所示，一足够长倾斜角的斜面顶端放置一长木板A，木板A上表面的某处放置一小滑块B（可看成质点），已知A和B的质量分别为2m和3m，木板A顶端与滑块B相距为的地方固定一光滑小球C（可看成质点），已知小球C的质量为m，A与B之间的动摩擦因数，A与斜面间动摩擦因数，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，将固定的光滑小球C由静止释放，C与B会发生弹性碰撞，求： （1）小球C与滑块B碰后瞬间各自的速度分别多大； （2）要使小球C再次碰到滑块B之前B未能滑出A下端，则木板A至少多长； （3）A和B共速时，滑块B与小球C距多远。 2．（2024·江苏苏州·三模）如图所示，长为L、质量为m的木板静止于光滑的水平面上，在木板上右端固定一竖直轻质弹性挡板，一质量也为m的小木块以初速度水平冲上木板，最后恰好不与挡板碰撞，已知重力加速度大小为。 （1）求小木块的最终速度大小v； （2）若小木块以的速度水平冲上静止的木板，求最终小木块与挡板间的距离d；（木块与挡板碰撞时间极短） （3）在（2）的条件下，求木块与木板相对静止前木板通过的位移大小。 3．（2024·全国·一模）如图甲所示，长木板放置在光滑的水平地面上，木块（视为质点）放置在木板的正中央，现突然给木块一个水平向右的速度，经过一段时间，木块刚好不从木板的最右端离开，已知木块与木板的质量相等；把长木板放置在粗糙的水平地面上，木块放置在木板的最左端，已知木板与地面间的动摩擦因数为，如图乙所示，现同时给木块、木板水平向右的速度，重力加速度为g。 （1）求甲图中木块与木板间的动摩擦因数以及木板的长度； （2）求乙图中木块与木板加速度的大小分别为多少； （3）求乙图中木块与木板的运动时间之差以及木块在木板上滑行的距离。 题型五 含有动量守恒的多过程问题 【例1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图所示，足够长的光滑水平地面上有2024个大小相同的小球排成一排，相邻两球间距为L，将其从左到右依次编号。质量为m的小圆环A套在足够长的光滑水平杆上，位于1小球正上方L处。现将质量为的小球B通过长度为L的轻绳与A连接，初始时轻绳处于水平绷直状态，A、B均静止。某时刻释放小球B，B到达最低点时轻绳恰好断裂，之后B在水平地面上向右运动，已知1号小球的质量为，2~2024号小球的质量均为m。题中所有小球之间的碰撞均视为弹性正碰。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，小球大小忽略不计。求： （1）轻绳断裂时B的速度大小； （2）1号球与2号球第一次碰撞过程中，对2号球所做的功； （3）若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出，F远远小于1、2球碰撞时的作用力），使1号球每次与2号球碰撞前的速度都和两球第一次碰撞前瞬间1号球的速度相等，直到1~2024号小球速度第一次都相等时撤去外力，求外力F的大小、外力F作用下1号球的位移及最终1号球与2024号球之间距离。 1．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，下表面光滑的木板B静置在水平地面上，B右侧静置着一物块C，物块A以初速度从左端滑上木板B，当物块A与木板B刚好共速的瞬间，木板B与物块C发生碰撞，碰撞时间忽略不计。已知木板B与物块C之间的碰撞均为弹性碰撞。物块A的质量，木板B的质量，物块A与木板B间的动摩擦因数，物块C的质量，物块C与地面间的动摩擦因数，重力加速度g取，物块A始终未滑离木板B，求： （1）初始时，木板B与物块C之间的距离； （2）木板B与物块C从第一碰撞后到第二次碰撞的过程中，木板B与物块C之间的最大距离； （3）木板B与物块C第二次碰撞前瞬间，木板B与物块C的速度大小。 2．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，半径为R的竖直圆弧轨道与足够长的水平轨道平滑连接，水平轨道上有2024个大小相同的球从左往右依次编号排成一排，相邻两球间距均为R，1号球的质量为2m，2~2024号球的质量均为m。若将质量为2m的A球从圆弧轨道的最高点静止释放。所有球均视为质点，碰撞均为弹性碰撞，已知重力加速度大小为g，不计一切阻力。 （1）求1号球与2号球第一次碰撞后1号球的速度大小； （2）若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出，F远小于1、2号球碰撞时的相互作用力），使1号球每次与2号球碰撞前的速度都和两球第一次碰撞前1号球的速度相等，直到1~2024号球速度第一次都相等时撤去外力，求 ⅰ.外力F的大小； ⅱ.最终1号球与2024号球之间的距离。 1．（2024·吉林长春·一模）如图（a），质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的内表面光滑，半径，B、C分别为半圆形轨道的最低点和最高点。质量为m的物块（可视为质点）静置在轨道上左端A处，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度。 （1）若轨道固定，物块以一定的初速度沿轨道恰好运动到C点，求物块在B点的速度大小v； （2）若轨道不固定，对物块施加水平向右逐渐增大的推力F，物块在轨道AB段运动时，物块和轨道的加速度a与F对应关系如图（b）所示，求μ和m； （3）在（2）问条件下，在A处对物块施加水平向右的恒力，当物块运动到B点时撤去F，物块可沿轨道到达C点且恰好与轨道无作用力，运动过程中轨道AB段始终未脱离地面。求轨道AB段的长度L。 2．（2025·山西临汾·一模）如图所示，质量为的木板A置于长的光滑凹槽左端，木板A的上表面与水平面MN、PQ在同一高度。质量为的滑块B放置在水平面MN上，在外力作用下，紧靠在弹簧右端（与弹簧不拴接）。撤去外力，滑块B运动时与弹簧分离，刚好以的速度滑上木板A的左端。运动过程中滑块B恰好不脱离木板A，之后滑块B进入水平面PQ。已知滑块B与水平面MN、木板A的动摩擦因数均为，重力加速度的大小。求： （1）弹簧开始的弹性势能； （2）木板A的长度L； （3）滑块B从离开MN到刚滑上PQ所用的时间。 3．（2025·云南昆明·一模）如图所示，有三个小球A、B、C静止在光滑水平面上，B、C之间用轻弹簧连接，三个小球处于同一直线上。使A以速度向右运动，与B发生正碰后反弹，反弹的速度大小为。已知A、B碰撞时间极短，小球A、B、C的质量分别为m、2m、2m，弹簧始终在弹性限度内。求： （1）A、B碰撞后瞬间，B的速度大小； （2）弹簧压缩量最大时，弹簧的弹性势能。 4．（2025·广东珠海·一模）如图所示，卡车上放有一块木板，木板与卡车间的动摩擦因数，木板质量。木板右侧壁（厚度不计）到左端的距离，到驾驶室距离。一质量与木板相等的货物（可视为质点）放在木板的左端，货物与木板间的动摩擦因数。现卡车、木板及货物整体以的速度匀速行驶在平直公路上。某时刻，司机发现前方有交通事故后以的恒定加速度刹车，直到停下。司机刹车后瞬间，货物相对木板滑动，木板相对卡车静止。货物与木板右侧壁碰撞后粘在一起，碰撞时间极短。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。求： （1）在刹车过程中，货物与木板右侧壁碰撞前，货物的加速度大小； （2）在刹车过程中，货物与木板右侧壁碰撞前，木板受到卡车的摩擦力大小； （3）木板最终是否会与驾驶室相碰？如果不会，最终木板右侧与驾驶室相距多远？ 5．（2025·全国·模拟预测）如图所示，质量为2m的长木板B放在光滑水平地面上，B上方最左端放有质量为m的物块A，A、B间动摩擦因数为。一劲度系数为k的轻质弹簧固定在右侧墙面底端。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，物块始终不从长木板上滑下。 （1）使A、B以共同速度同时向右滑行，全过程A、B间无相对滑动，求系统初动能应满足的条件； （2）使A以某一速度向右滑行，B接触弹簧后A、B间恰无相对滑动，求A的初速度大小和长木板B的最短长度。 6．（2025·重庆·一模）如图所示，半径为R的光滑圆弧面AB与光滑水平面BC平滑连接（圆弧的圆心在B的正下方），其中A、B两点的水平距离和竖直距离分别为d、h。长为的轻杆上端固定在光滑水平转轴O，下端固定一个小球，小球刚好与水平面接触。质量为M的物块在水平恒力作用下从A点由静止运动到B点、物块在B点处时撤去水平恒力，此时物块对圆弧面的压力为零。最后物块与小球发生一次弹性正碰，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动。忽略一切阻力，重力加速度为g，求： （1）物块到达B点的速度v0； （2）水平恒力F的大小； （3）小球质量m的取值范围。 7．（2024·云南丽江·一模）如图，一长为L（L是未知量）、质量为的长木板放在光滑水平地面上，物块A、B、C放在长木板上，物块A在长木板的左端，物块C在长木板上的右端，物块B与物块A的距离，所有物块均保持静止。现对物块A施加一个水平向右的推力，在物块A、B即将发生碰撞前的瞬间撤去推力F。已知物块A的质量为，物块B、C的质量为，物块A、B、C与长木板的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取，物块A、B、C均可视为质点，物块间的碰撞均无机械能损失。求： （1）施加推力时，物块A的加速度的大小； （2）物块A、B碰撞后的瞬间各自的速度大小； （3）若将长木板换成质量不计的轻质薄板，且物块A、B碰撞后瞬间，轻质薄板和物块A粘在一起，求从施加推力F到物块A、B、C与轻质薄板共速所需的时间（最后结果保留两位小数，整个过程中物块B、C不相碰）。 8．（2025·江西新余·一模）如图，平板小车C静止在水平面上，左端紧靠平台且与平台等高，平台边缘正上方用长H=0.8m的轻绳悬挂质量为m的物块A，悬点正下方静置一质量为的物块B，将A向左拉至轻绳水平由静止释放，A与B发生正碰，碰后A的速度为零。已知A与B碰撞过程中的恢复系数，该系数是一个定值，只与发生碰撞物体材料有关。现将A、B互换角色，将B悬挂起来从水平位置由静止释放，与A发生正碰后，A滑上小车后，立即取走B，经过一段时间作用，小车C停止且A不滑出小车。已知物块A和小车C质量都为m=2kg，物块A与小车C上表面间的动摩擦因数，小车C与地面摩擦因素，重力加速度，A、B均可视作质点，不计空气阻力。求： （1）物块B与物块A碰撞前速度； （2）A刚滑上小车时的速度大小； （3）小车C最少需要的长度L，及最后小车离开平台的位移x。 9．（2025·云南大理·二模）在竖直平面内，质量的小球A用长为的不可伸长的轻绳悬挂于点，点正下方距离点0.4m有一点，点用长为的不可伸长的轻绳竖直悬挂一质量也为0.1kg的小球B。把小球A拉到如图所示位置，轻绳恰好伸直，且轻绳与竖直方向的夹角。由静止释放小球A，A球自由下落，当轻绳再次伸直时到达点，小球沿轻绳方向的速度瞬间变为0，之后两小球发生弹性碰撞。两球都可视为质点，忽略空气阻力，取，，。求： （1）求小球A由静止释放后，轻绳再次伸直前瞬间，小球A的速度大小； （2）A、B两球碰撞后瞬间，小球A的速度大小； （3）判断小球B能否以为圆心到达圆周的最高点，如果不能，请说明理由；如果能，求出小球B在最高点时对轻绳的拉力大小。 1．（2023·辽宁·高考真题）如图，质量m1= 1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k = 20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为。取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。 （1）求木板刚接触弹簧时速度的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1； （2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小； （3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。 2．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于轨道最低点的小球A施加水平向左的瞬时冲量I，A沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B正碰并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R = 0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求： （1）与B碰前瞬间A的速度大小； （2）A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小。 3．（2024·甘肃·高考真题）如图，质量为2kg的小球A（视为质点）在细绳和OP作用下处于平衡状态，细绳，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6kg的木板B静止在光滑水平面上，质量为2kg的物块C静止在B的左端。剪断细绳，小球A开始运动。（重力加速度g取） （1）求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力。 （2）A在最低点时，细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞（时间极短）、碰后A竖直下落，C水平向右运动。求碰后C的速度大小。 （3）A、C碰后，C相对B滑行4m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。 4．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长。小球质量。物块、小车质量均为。小车上的水平轨道长。圆弧轨道半径。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取。 （1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小； （2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小； （3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数的取值范围。 5．（2024·浙江·高考真题）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，M=m=0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1=0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。 （1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小； （2）若μ2=0，滑块恰好过C点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能； （3）若μ2=0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度vm。 6．（2024·湖南·高考真题）如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A和B（mA>mB）。初始时小球A以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。 （1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小； （2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量比。 （3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍（0<e<1） ，求第1次碰撞到第2n+1次碰撞之间小球B通过的路程。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题04 动量的综合应用 动量多与能量守恒、力学过程结合（如碰撞、弹簧系统、多物体相互作用）。动量守恒定律作为高频考点，考查情境：完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞、反冲运动等，经常出现多物体系统动量守恒（如2024年黑吉辽卷弹簧连接的AB两个物块整体动量守恒、2023年辽宁卷板块模型木块和木板整体动量守恒）。2025年大概率还会考查弹性碰撞与能量结合，在平时的练习中，关注多物体系统：滑板模型、传送带与物块联动问题（需注意系统动量守恒条件是否成立）。 题型一 滑块—斜（曲）面模型 【例1】（2024·辽宁辽阳·模拟预测）如图所示，质量为4m、半径为R的光滑四分之一圆弧体A 静止在足够大的光滑水平面上，水平面刚好与圆弧面的最底端相切，轻弹簧放在光滑水平面上，左端固定在竖直固定挡板上，用外力使质量为m的小球B 压缩弹簧（B 与弹簧不连接），由静止释放小球，小球被弹开后运动到圆弧体的最高点时，恰好与圆弧体相对静止，不计小球的大小，重力加速度为g。求： （1）弹簧具有的最大弹性势能； （2）小球B第一次滚上圆弧面的一瞬间对圆弧面的压力大小； （3）小球B第二次滚上圆弧面后，上升的最大高度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设弹簧开始具有的最大弹性势能为 Ep，设小球被弹开后速度大小为v0，滚上圆弧面最高点后速度大小为v1，根据能量守恒有 根据动量守恒 解得 （2）由（1）可解得 小球B第一次滚上圆弧面的一瞬间 解得 根据牛顿第三定律可知，小球对圆弧面的压力大小 （3）设小球第一次离开圆弧面时，小球的速度大小为v2、圆弧体的速度大小为v3，根据动量守恒有 根据能量守恒有 从小球第二次滚上圆弧面到上升到最高点过程中，设上升到最高点时共同速度为v4，上升的最大高度为h，根据动量守恒有 根据能量守恒有 解得 滑块—斜（曲）面模型中的动量守恒分析 1、滑块到达最高点时，与斜（曲）面体具有共同的水平速度v共。 （1）系统水平方向动量守恒：。 （2）系统机械能守恒：，其中h为为滑块能上升的最大高度，不一定等于斜（曲）面体的高度。 2、滑块返回最低点时，与斜（曲）面体即将分离。 （1）整个过程系统水平方向动量守恒：。 （2）整个过程系统机械能守恒：。 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图，质量都为m的A和B两物体并排静止放在光滑的水平面上，其中A物体的凹槽为半径R的光滑半圆弧，质量为m，体积可以忽略的小球C某时刻起从A物体上方高度R的位置自由下落，假设在进入半圆弧的过程中没有能量的损失，求： （1）C球刚刚到达物体A圆弧时速度； （2）A和B分离时，A、B、C各自的速度大小； （3）C球第一次刚要从A左端飞出时，C球对圆弧槽的压力大小。 【答案】（1） （2）A、B的速度大小为，C的速度大小为（3） 【解析】（1）C球到达物体A圆弧过程，根据动能定理有 解得 （2）C运动到A圆弧最低点时，A、B恰好分离，此时A、B速度相等，C速度方向水平向左，A、B速度方向水平向右，则有 解得 ， 则A、B的速度大小为，C的速度为。 （3）C从圆弧最低点到第一次刚要从A左端飞出时，水平方向动量守恒有 解得 ， 根据牛顿第二定律有 结合牛顿第三定律可知，C球对圆弧槽的压力大小为 2．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为的滑块，滑块右侧面的圆弧形槽的半径为点切线水平，离地面的距离为。质量为、可视为质点的小球以一定的水平速度从点冲上滑块，恰好能到达点，重力加速度大小为，不计空气阻力，求： （1）滑块的最大速度； （2）小球离开滑块时受到的支持力大小； （3）小球落地时到滑块上点的距离。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）以水平向左为正方向，设小球冲上滑块时的速度大小为，小球到达点时两者的速度大小为，小球返回点时的速度为，结合动量守恒定律有 解得 （2）由（1）解得 有 解得 （3）设小球从点离开后做平抛运动的时间为，则有 解得 3．（2024·天津红桥·二模）如图所示，质量为，半径的四分之一光滑圆弧槽静置于光滑水平地面上，有两个大小、形状相同的可视为质点的光滑小球、，、，右侧与球心等高处连接一轻质弹簧，弹簧的另一端距圆弧槽底有一定距离。现将从圆弧槽顶端由静止释放，重力加速度，求： （1）若圆弧槽固定不动，小球滑离圆弧槽时的速度大小； （2）若圆弧槽不固定，小球滑离圆弧槽时的速度大小； （3）圆弧槽不固定的情况下弹簧压缩过程中的最大弹性势能。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）圆弧槽固定，小球机械能守恒 解得 （2）圆弧槽不固定，槽和小球组成的系统在水平方向动量守恒，若以向右为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得 （3）当小球、速度相等时，弹簧具有最大弹性势能，根据动量守恒解得 解得 根据能量守恒可得 代入数据可得 题型二 碰撞模型 【例1】（2024·辽宁朝阳·三模）如图所示，一块质量的长木板A静止放置于光滑水平地面上，其左端放置一个质量的物块B。在物块B的上方高处有一悬挂点O，通过轻绳悬挂质量的小球C，小球C静止时与物块B等高且恰好无相互作用力接触。现将小球C拉至轻绳与竖直方向的夹角处由静止释放，小球C下摆至最低点时与物块B发生碰撞并粘在一起（C不与A接触），同时轻绳被刀片割断。已知物块B与长木板A间的动摩擦因数，物块B不会从A上滑离，取重力加速度大小，物块B、小球C均可看成质点，不计空气阻力。求： （1）小球C与物块B碰后瞬间的速度大小； （2）长木板A的最小长度。 【答案】（1）；（2）0.32m 【解析】（1）小球C由静止释放到第一次到达最低点的过程中，由动能定理有 解得 小球C与物块B碰撞过程，由动量守恒定律有 解得 （2）假设长木板A与B、C达到共同速度，由动量守恒定律有 解得 设此过程长木板A的长度为x，由功能关系有 解得 即长木板A的最小长度为0.32m。 碰撞中的动量守恒和能量守恒 1、子弹打入水平面上的物块（地面光滑） （1）子弹嵌入木块中（未穿出）：两者速度相等，机械能损失最多（完全非弹性碰撞）。 ①动量守恒：。 ②能量守恒：。 （2）子弹穿透木块：两者速度不相等，机械能有损失（非弹性碰撞）。 ①动量守恒：。 ②能量守恒：。 2、两球（或物块）在水平面上碰撞 （1）“弹性碰撞”：碰撞前后系统动量守恒、机械能不变。 （2）“碰撞时间极短”：碰撞过程中系统动量守恒。 1．（2024·湖南益阳·一模）如图所示，足够长“L”型平板B静置在地面上，上表面光滑，物块A处于平板B上的点，用长为0.8m的轻绳将质量为3kg的小球悬挂在点正上方的O点。轻绳处于水平拉直状态，小球可视为质点，将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生弹性碰撞。物块A沿平板滑动直至与B右侧挡板发生碰撞，假设小物块A与平板B的碰撞均为弹性碰撞，测得小物块A与平板B。发生第一次碰撞后到第二次碰撞前相隔的最大距离是9m，整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，已知A的质量为1kg，B的质量0.5kg，g取，求： （1）小球摆至最低点与小物块A发生弹性碰撞前轻绳的拉力； （2）小物块A第一次与平板B碰撞后到第二次碰撞的时间； （3）平板B在水平面上通过的总路程。 【答案】（1）90N （2） （3） 【解析】（1）静止释放至最低点过程机械能守恒，有      得                              在最低点由牛顿第二定律得          联立解得                     90N     （2）A与B发生弹性碰撞，有           解得                          接着A与B发生弹性碰撞           解得 =8 设A与B碰后经过时间t1最大距离为Δx=9m，有 （vA1+vB1）t1-vA1t1=Δx 得                             则B的加速度                   2     B第一次碰后至停下的时间       则B在t2时间内前进的位移为     =1m     A从最大位移处与平板B第二次相撞的时间 =5s 所以                                 （3）由题意可知，A、B最终停止运动，则对AB由能量守恒得      对B由牛顿第二定律得    解得 2．（2024·广东深圳·三模）如图所示，ABC是光滑轨道，其中BC部分是半径为R的竖直放置的半圆，AB部分与BC部分平滑连接。一质量为M的小木块放在轨道水平部分，木块被水平飞来的质量为m的子弹射中，子弹留在木块中。子弹击中木块前的速度为。若被击中的木块能沿轨道滑到最高点C，重力加速度为g，求： （1）子弹击中木块后的速度； （2）子弹击中木块并留在其中的过程中子弹和木块产生的热量Q； （3）若，且，求木块从C点飞出后落地点与B点的距离s。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）子弹击中木块，整个系统动量守恒，有 解得子弹击中木块后的速度 （2）根据能量守恒定律可得 （3）子弹击中木块后，根据机械能守恒定律可知 解得 木块的落地时间 所以木块从C点飞出后落地点与B点的距离 3．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图所示，PQ为光滑水平面，QN为粗糙水平面，两者之间平滑连接。两物体A和B并排静置于光滑水平地面PQ上，它们的质量M均为0.5kg。一颗质量m=0.1kg的子弹以v0=34m/s的水平速度从左边射入A，射出A后继续进入B中且当子弹与B保持相对静止时，A和B都还没有离开光滑水平面。已知子弹在物体A和B中所受阻力相同且一直保持不变，A的长度为LA=0.23m，A离开光滑水平面后在QN粗糙水平面内位移为x=2m。A、B与QN间的动摩擦因数μ都为0.1，不计空气阻力，g取10m/s2。 （1）求物体A和物体B离开光滑水平面时的速度大小vA、vB； （2）求子弹在物体B中穿过的距离LB。 【答案】（1）2m/s，4m/s；（2）0.03m 【解析】（1）A离开光滑水平面时的速度vA，则 解得 根据动量守恒定律可得 B离开光滑水平面时的速度 （2）子弹穿透A时的速度v弹，则 解得 子弹在物体B中穿过的距离LB，由能量守恒定律可得 子弹在物体A中穿过的距离LA，由能量守恒定律可得 解得 题型三 弹簧中的动量问题 【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，倾角的足够长的光滑斜面固定在水平地面上，斜面下端垂直斜面固定着一挡板，物块A与物块B用轻弹簧连接并静止在斜面上，物块A与挡板接触。现将距物块B为的物块C从斜面上由静止释放，物块C与物块B发生弹性碰撞，碰后将物块C取走，物块B在斜面上做简谐运动。已知，重力加速度g取，，弹簧的劲度系数为，且弹簧始终在弹性限度内，物块A、B、C均可视为质点。 （1）求C与B碰后瞬间两物块的速度大小； （2）已知弹簧的弹性势能为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），求C与B碰后B做简谐运动的振幅； （3）若C从斜面上某高度处由静止释放后，C与B碰后并粘在一起做简谐运动且A恰好未离开挡板，求A对挡板压力的最大值。 【答案】（1）4m/s，2m/s；（2）；（3）108N 【解析】（1）物块C从斜面上由静止释放，根据机械能守恒定律有 得 设碰撞后瞬间C、B的速度大小分别为vC，vB，根据动量守恒有 mCv0=mvB+mCvC A、B碰撞过程机械能守恒，有 解得 ， C与B碰后瞬间两物块的速度大小分别为4m/s和2m/s； （2）将物块C取走，物块B在斜面上做简谐运动。在平衡位置时弹簧的压缩量为 在平衡位置速率最大，从平衡位置向下运动到振幅最低位置，系统机械能守恒，以最低位置为零势能面，有 解得 （3）若C从斜面上某高度处由静止释放后，C与B碰后并粘在一起做简谐运动，两物块在平衡位置时的形变量为，则有 解得 且A恰好未离开挡板，则BC上升到最高位置时，A对挡板的压力为零，此时弹簧的拉伸量为 所以振幅为 BC向下运动到最低点时，由对称性可知其压缩量为 物块A受到挡板的最大支持力为 根据牛顿第三定律得，物块A对挡板压力的最大值为108N。 弹簧中的动量分析 水平地面光滑，A、B与轻弹簧（开始处于原长）相连，A以初速度运动。A、B相互作用过程中，A、B与弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒。运动过程分析如下： 1、弹簧被压缩到最短时，系统弹性势能最大动能损失最多，A、B第一次共速。(类比完全非弹性碰撞) 2、弹簧第一次恢复原长时，系统弹性势能为0，动能与初状态相等。B速度最大，A速度最小。(类比弹性碰撞) ①m1＝m2时，A的速度为0；②m1＜m2时，vA＜0，A反向；③m1＞m2时，vA＞0，A运动方向不变。 3、弹簧被拉伸到最长时，系统弹性势能最大，动能损失最多，A、B第二次共速。(类比完全非弹性碰撞) 4、弹簧第二次恢复原长时，系统弹性势能为0，动能与初状态相等，vA＝v0，vB＝0。（类比弹性碰撞，回到初始状态） 1．（2024·天津宁河·二模）如图所示，光滑水平直轨道上静止放置三个质量均为m的物块A、B、C，物块B的左侧固定一轻弹簧。给A一个初速度v0，使其向B运动并压缩弹簧（弹簧始终在弹性限度内），当弹簧第一次压缩到最短时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞时间极短，求： （1）B与C碰撞前的瞬间，B的速度大小 （2）从A开始运动到弹簧压缩最短时C受到的冲量大小； （3）从A开始运动到A与弹簧分离的过程中，整个系统损失的机械能； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，根据动量守恒定律得 解得 （2）A、B、C三者速度相同，设此时速度为v3，由动量守恒定律得 对C根据动量定理 联立可得 （2）B与C发生完全非弹性碰撞时，设碰撞后的瞬时速度为v2，对B、C组成的系统，由动量守恒定律得 B与C发生完全非弹性碰撞，只有B与C碰撞损失机械能，设为，对B、C组成的系统，由能量守恒定律得 得 2．（2024·安徽黄山·二模）如图所示，a、b、c均为质量为m的物块，其中b、c通过轻弹簧连接并静置在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，a物块从距离b高为h处由静止释放，与b碰撞后黏在一起，碰撞时间极短。重力加速度为g，则： （1）求a、b碰撞后瞬间a、b整体的速度和加速度大小； （2）若a物块从距离b高为h0处由静止释放，弹簧恰好能恢复原长，求初始时弹簧的弹性势能（结果用含h0的式子表示）； （3）若a物块从距离b高为hx处由静止释放，c恰好能离开地面，求hx为多少？ 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】（1）a做自由落体运动，有 解得 a、b碰撞过程动量守恒，则 所以 碰撞后瞬间，对a、b整体，根据牛顿第二定律有 解得加速度大小为 （2）若a物块从距离b高为h0处由静止释放，则有 a、b碰撞过程动量守恒，则 弹簧恰好能恢复原长，根据能量守恒可得 联立可得 （3）若a物块从距离b高为hx处由静止释放，且c恰好能离开地面，则 联立可得 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，质量、半径的四分之一光滑圆弧abc静止在足够长的光滑水平面上，末端与水平面相切，圆弧右侧有一质量为的小物块B，B的左侧固定一水平轻弹簧，将质量为的小物块A从圆弧顶端由静止释放，在小物块B的右侧有一竖直挡板（图中未画出，挡板和B的间距可调），当小物块B与挡板发生一次弹性正碰后立刻将挡板撤去，且小物块A与弹簧接触后即与弹簧固定连接，已知重力加速度，不计空气阻力，A、B均可视为质点。求： （1）若圆弧固定，小物块A到达圆弧底端时的速度的大小； （2）若圆弧不固定，小物块A到达圆弧底端的速度的大小以及圆弧体的位移大小； （3）若圆弧不固定，小物块B与挡板发生碰撞后的运动过程中，当弹簧最短时弹簧弹性势能的范围。 【答案】（1）m/s；（2）15m/s；3.75m；（3） 【解析】（1）若圆弧固定，小物块A到达圆弧底端的过程中，根据动能定理有 解得 m/s （2）若圆弧不固定，小物块A与圆弧组成的系统动量守恒，则有 根据能量守恒定律有 解得 m/s 同时根据动量守恒定律有 根据几何关系可知 解得m （3）设物块B碰撞挡板的速度为0，则碰后AB总动量最大，弹簧最短时动能最大，弹性势能最小，根据动量守恒定律与能量守恒定律有 解得 J 物块B碰撞挡板的速度最大，则碰后AB总动量最小，两者共速时动能最小，弹簧弹性势能最大，设B的最大速度为，根据动量守恒定律与能量守恒定律可知 解得 m/s 碰后总动量最小为 则AB共速的速度为 m/s 弹性势能为 解得 J 则当弹簧最短时弹簧弹性势能的范围为 题型四 板块中的动量问题 【例1】（2024·新疆·一模）如图所示，在光滑水平地面上静置着一块质量为 的木板，一质量为 的物块（视为质点），以大小 水平向右的初速度滑上木板左端，重力加速度大小 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）若物块与木板间的动摩擦因数 要使物块不从木板上落下，求木板的最小长度； （2）若物块与木板间的动摩擦因数从左到右逐渐减小，且满足 （x为物块到木板左端的距离），求物块相对木板运动的最大位移（物块始终在木板上）。 【答案】（1）4m （2）1m 【解析】（1）物块与木板组成的系统动量守恒 假设物块刚好到木板最右端时二者共速，系统能量守恒 联立上式得，木板的最小长度为 （2）物块与木板组成的系统动量守恒 系统能量守恒 由于摩擦力随相对位移线性变化，可作出图像（如图） 联立上式得 或（舍） 故 板块中的动量守恒和能量守恒 水平地面光滑，木板长为滑块和木板间的摩擦力为Ff。 1、滑块未滑离木板 （1）动量守恒：。 （2）能量守恒：。 2、滑块滑离木板 （1）动量守恒：。 （2）能量守恒：。 【注】1、系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移大小的乘积等于系统减少的机械能，即摩擦生热。 2、若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，二者相对位移最大。 1．（2024·广西河池·一模）如图所示，一足够长倾斜角的斜面顶端放置一长木板A，木板A上表面的某处放置一小滑块B（可看成质点），已知A和B的质量分别为2m和3m，木板A顶端与滑块B相距为的地方固定一光滑小球C（可看成质点），已知小球C的质量为m，A与B之间的动摩擦因数，A与斜面间动摩擦因数，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，将固定的光滑小球C由静止释放，C与B会发生弹性碰撞，求： （1）小球C与滑块B碰后瞬间各自的速度分别多大； （2）要使小球C再次碰到滑块B之前B未能滑出A下端，则木板A至少多长； （3）A和B共速时，滑块B与小球C距多远。 【答案】（1）1.5m/s；1.5m/s；（2）1.2m；（3）0.6m 【解析】（1）由于A与B之间的动摩擦因数及A与斜面间动摩擦因数均不大于，则在BC相碰前，AB均相对斜面静止，小球在由释放到碰B过程中，根据动能定理 解得 BC碰撞过程，根据动量守恒和能量守恒可得 解得小球C与滑块B碰后瞬间各自的速度 ， （2）BC碰后，对ABC分别根据牛顿第二定律 假设C再次碰到B之前，AB尚未共速，根据位移关系有 解得 此时A的速度 B的速度 显然假设不成立；在C再次碰到B之前，AB发生向下的共速，在BC碰后到AB共速过程 解得 ， 此后由于，则AB相对静止，因此要使小球C再次碰到滑块B之前B未能滑出A下端，则木板A的长度最少为 （3）AB发生向下的共速时滑块B与小球C相距 2．（2024·江苏苏州·三模）如图所示，长为L、质量为m的木板静止于光滑的水平面上，在木板上右端固定一竖直轻质弹性挡板，一质量也为m的小木块以初速度水平冲上木板，最后恰好不与挡板碰撞，已知重力加速度大小为。 （1）求小木块的最终速度大小v； （2）若小木块以的速度水平冲上静止的木板，求最终小木块与挡板间的距离d；（木块与挡板碰撞时间极短） （3）在（2）的条件下，求木块与木板相对静止前木板通过的位移大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）小木块恰好不与挡板碰撞，根据动量守恒定律有 解得 对系统，由能量守恒定律有 解得 若小木块以的速度水平冲上静止的木板，对系统，根据动量守恒定律有 解得 对系统，根据能量守恒定律有 解得 则有 （3）设木块与挡板碰撞前瞬间木块速度大小为，木板速度大小为，则有 ， 解得 ， 由于两者质量相等，碰撞后速度交换，即有 ， 碰撞前木板做加速度大小为的匀加速直线运动，碰撞后木板做加速度大小为的匀减速直线运动，则有 3．（2024·全国·一模）如图甲所示，长木板放置在光滑的水平地面上，木块（视为质点）放置在木板的正中央，现突然给木块一个水平向右的速度，经过一段时间，木块刚好不从木板的最右端离开，已知木块与木板的质量相等；把长木板放置在粗糙的水平地面上，木块放置在木板的最左端，已知木板与地面间的动摩擦因数为，如图乙所示，现同时给木块、木板水平向右的速度，重力加速度为g。 （1）求甲图中木块与木板间的动摩擦因数以及木板的长度； （2）求乙图中木块与木板加速度的大小分别为多少； （3）求乙图中木块与木板的运动时间之差以及木块在木板上滑行的距离。 【答案】（1），；（2），；（3）， 【解析】（1）根据题意可知，木块刚好不从木板的最右端离开，即木块滑到木板的最右端时，木块与木板共速，设此时的速度为，由动量守恒定律有 解得 设甲图中木块与木板间的动摩擦因数为，对木块有 又有 联立解得 设木板的长度为，由能量守恒定律有 解得 （2）由（1）分析，结合牛顿第二定律可得，乙图中木块的最大加速度的大小为 若乙图中木块与木板一起向右减速，则加速度大小为 可知，乙图中木块与木板相对滑动，由牛顿第二定律，对木块有 解得 对木板有 解得 （3）假设木块减速到0时未从木板上掉落，由运动学公式可得，木块减速到0的时间为 运动的位移为 木板减速到0的时间为 运动的位移为 乙图中木块与木板的运动时间之差 乙图中木块在木板上滑行的距离 即假设成立，则乙图中木块与木板的运动时间之差为，木块在木板上滑行的距离为。 题型五 含有动量守恒的多过程问题 【例1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图所示，足够长的光滑水平地面上有2024个大小相同的小球排成一排，相邻两球间距为L，将其从左到右依次编号。质量为m的小圆环A套在足够长的光滑水平杆上，位于1小球正上方L处。现将质量为的小球B通过长度为L的轻绳与A连接，初始时轻绳处于水平绷直状态，A、B均静止。某时刻释放小球B，B到达最低点时轻绳恰好断裂，之后B在水平地面上向右运动，已知1号小球的质量为，2~2024号小球的质量均为m。题中所有小球之间的碰撞均视为弹性正碰。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，小球大小忽略不计。求： （1）轻绳断裂时B的速度大小； （2）1号球与2号球第一次碰撞过程中，对2号球所做的功； （3）若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出，F远远小于1、2球碰撞时的作用力），使1号球每次与2号球碰撞前的速度都和两球第一次碰撞前瞬间1号球的速度相等，直到1~2024号小球速度第一次都相等时撤去外力，求外力F的大小、外力F作用下1号球的位移及最终1号球与2024号球之间距离。 【答案】（1）；（2）；（3），， 【解析】（1）小球B开始释放至轻绳断裂，A、B组成的系统水平方向动量守恒，以向左为正方向，则有 由A、B组成的系统机械能守恒有 解得小球B的速度大小为 （2）绳断后，B球在水平地面向右运动与1号球碰撞，设碰后B球和1号球速度分别为、，由动量守恒定律和能量守恒定律得 解得 ， 1、2号球碰撞前后动量和机械能守恒，分别有 解得 对②号球，由动能定理得 （3）1、2号球碰后，2号小球以速度向右运动一个L，与3号小球碰撞后速度交换。由（2）问解得 l号小球由速度开始匀变速运动，经位移L，以速度与2号球发生下一次碰撞。这一过程，对1号球由动能定理有 解得 F作用下1号球的总位移记为x，对整体，由动能定理有 即 解得 最终所有小球的速度均为，F作用的总时间记为t，对整体由动量定理有 即 解得 最终1号球与2024号球间距离为 1．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，下表面光滑的木板B静置在水平地面上，B右侧静置着一物块C，物块A以初速度从左端滑上木板B，当物块A与木板B刚好共速的瞬间，木板B与物块C发生碰撞，碰撞时间忽略不计。已知木板B与物块C之间的碰撞均为弹性碰撞。物块A的质量，木板B的质量，物块A与木板B间的动摩擦因数，物块C的质量，物块C与地面间的动摩擦因数，重力加速度g取，物块A始终未滑离木板B，求： （1）初始时，木板B与物块C之间的距离； （2）木板B与物块C从第一碰撞后到第二次碰撞的过程中，木板B与物块C之间的最大距离； （3）木板B与物块C第二次碰撞前瞬间，木板B与物块C的速度大小。 【答案】（1）；（2）；（3）和 【解析】（1）物块A以初速度从左端滑上木板B到与木板B刚好共速的过程，动量守恒 解得AB的共同速度 对木板B，根据牛顿第二定律 解得 根据运动规律 解得初始时，木板B与物块C之间的距离 （2）木板B与物块C从第一碰撞瞬间，动量守恒，机械能守恒 联立解得 B和C碰撞后B向左、A和C向右均做匀减速直线运动，设A、B、C的加速度大小分别为、、，根据牛顿第二定律可得 解得 、、 假设碰撞后B与C达到速度相同（设此速度为）时C没有停止运动，且A、B没有共速，则有 解得 ， 此时A的速度为 故假设成立。 碰撞后到B与C达到速度相同的过程，C相对于B的位移为 解得 故木板B与物块C从第一碰撞后到第二次碰撞的过程中，木板B与物块C之间的最大距离为。 （3）木板B与物块C第一次碰撞后到AB再次共速，AB组成的系统动量守恒 解得共同速度 从木板B向左匀减速直线运动到速度减为零至再次共速，木板B向右做匀加速直线运动，加速度大小为 这段时间为 向右运动的距离为 此时物块C刚好停下，速度为零，之后AB一起匀速运动到与C相碰，故木板B与物块C第二次碰撞前瞬间，木板B与物块C的速度大小分别为和。 2．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，半径为R的竖直圆弧轨道与足够长的水平轨道平滑连接，水平轨道上有2024个大小相同的球从左往右依次编号排成一排，相邻两球间距均为R，1号球的质量为2m，2~2024号球的质量均为m。若将质量为2m的A球从圆弧轨道的最高点静止释放。所有球均视为质点，碰撞均为弹性碰撞，已知重力加速度大小为g，不计一切阻力。 （1）求1号球与2号球第一次碰撞后1号球的速度大小； （2）若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出，F远小于1、2号球碰撞时的相互作用力），使1号球每次与2号球碰撞前的速度都和两球第一次碰撞前1号球的速度相等，直到1~2024号球速度第一次都相等时撤去外力，求 ⅰ.外力F的大小； ⅱ.最终1号球与2024号球之间的距离。 【答案】（1） （2）i.；ii. 【解析】（1）A球运动至水平轨道，根据机械能守恒有 解得 A球与1号球发生弹性碰撞，因两球质量相等，故交换速度，即碰后1号球的速度为，1号球与2号球发生弹性碰撞，根据动量守恒和能守恒有 ， 联立解得碰撞后1号球的速度为 ， （2）ⅰ.F作用在1号球上，使其速度大小由增大到，由动能定理得 解得 ii. 设F作用下1号球的总位移为x，对号小球组成的整体，由动能定理得 最终，号小球的速度大小均为，设F作用的总时间为t，对整体，由动量定理得 1号球与2024号球之间的距离为 联立解得 1．（2024·吉林长春·一模）如图（a），质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的内表面光滑，半径，B、C分别为半圆形轨道的最低点和最高点。质量为m的物块（可视为质点）静置在轨道上左端A处，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度。 （1）若轨道固定，物块以一定的初速度沿轨道恰好运动到C点，求物块在B点的速度大小v； （2）若轨道不固定，对物块施加水平向右逐渐增大的推力F，物块在轨道AB段运动时，物块和轨道的加速度a与F对应关系如图（b）所示，求μ和m； （3）在（2）问条件下，在A处对物块施加水平向右的恒力，当物块运动到B点时撤去F，物块可沿轨道到达C点且恰好与轨道无作用力，运动过程中轨道AB段始终未脱离地面。求轨道AB段的长度L。 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】（1）物块以一定的初速度沿轨道恰好运动到C点，设物块到达点的速度为，则有 根据机械能守恒可得 联立解得物块在B点的速度大小为 （2）根据图像可知，当时，物块与轨道相对静止，加速度 根据图像斜率可知 当时，物块与轨道相对运动，物块加速度 根据图像斜率可知 可得 轨道加速度 解得 （3）时，则物块与轨道相对运动，由图可知，物块加速度，轨道加速度；设运动到点所用时间为，则物块速度 则轨道速度 有 设物块运动到点时速度为，轨道运动到点时速度为，则有 且在最高点时满足 联立解得 ，，，， 物块运动到点过程中位移为 此过程中轨道位移为 则轨道水平部分长度为 2．（2025·山西临汾·一模）如图所示，质量为的木板A置于长的光滑凹槽左端，木板A的上表面与水平面MN、PQ在同一高度。质量为的滑块B放置在水平面MN上，在外力作用下，紧靠在弹簧右端（与弹簧不拴接）。撤去外力，滑块B运动时与弹簧分离，刚好以的速度滑上木板A的左端。运动过程中滑块B恰好不脱离木板A，之后滑块B进入水平面PQ。已知滑块B与水平面MN、木板A的动摩擦因数均为，重力加速度的大小。求： （1）弹簧开始的弹性势能； （2）木板A的长度L； （3）滑块B从离开MN到刚滑上PQ所用的时间。 【答案】（1）8.2J （2）3m （3）4s 【解析】（1）根据能量守恒定律，弹簧开始的弹性势能 解得 （2）滑块B滑上木板A后，A、B构成的系统动量守恒，设A、B共速的速度为v，有 解得 此过程中，根据功能关系 解得 （3）滑块B从滑上木板A到与之共速期间 解得 在时间内，木板A运动的位移 滑块B与木板A共速后，一起匀速运动用时，则有 滑块B从离开MN到刚滑上PQ所用的时间 3．（2025·云南昆明·一模）如图所示，有三个小球A、B、C静止在光滑水平面上，B、C之间用轻弹簧连接，三个小球处于同一直线上。使A以速度向右运动，与B发生正碰后反弹，反弹的速度大小为。已知A、B碰撞时间极短，小球A、B、C的质量分别为m、2m、2m，弹簧始终在弹性限度内。求： （1）A、B碰撞后瞬间，B的速度大小； （2）弹簧压缩量最大时，弹簧的弹性势能。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）A、B碰撞过程中动量守恒，规定水平向右为正方向，则 解得 （2）当B、C共速时，弹簧的压缩量最大，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 解得 4．（2025·广东珠海·一模）如图所示，卡车上放有一块木板，木板与卡车间的动摩擦因数，木板质量。木板右侧壁（厚度不计）到左端的距离，到驾驶室距离。一质量与木板相等的货物（可视为质点）放在木板的左端，货物与木板间的动摩擦因数。现卡车、木板及货物整体以的速度匀速行驶在平直公路上。某时刻，司机发现前方有交通事故后以的恒定加速度刹车，直到停下。司机刹车后瞬间，货物相对木板滑动，木板相对卡车静止。货物与木板右侧壁碰撞后粘在一起，碰撞时间极短。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。求： （1）在刹车过程中，货物与木板右侧壁碰撞前，货物的加速度大小； （2）在刹车过程中，货物与木板右侧壁碰撞前，木板受到卡车的摩擦力大小； （3）木板最终是否会与驾驶室相碰？如果不会，最终木板右侧与驾驶室相距多远？ 【答案】（1） （2） （3）不会，1.6m 【解析】（1）在刹车过程中，货物与木板右侧壁碰撞前，货物C相对木板B滑动，对货物C受力分析，根据牛顿第二定律有 解得 （2）在刹车过程，货物C与木板B右壁碰撞前，木板B与卡车A相对静止，对木板受力分析，根据牛顿第二定律有 解得 （3）货物C在木板B上滑动，则有 解得 在内，木板B与卡车A一起减速，则有 货物C在木板B上减速滑动，则有 货物C与木板B碰撞，动量守恒，则有 解得货物C与木板B的共同速度为 因，所以货物C与木板B整体相对卡车A会滑动，对BC，根据牛顿第二定律有 解得 则卡车刹停的时间为 从货物C与木板B相碰到卡车A停止的时间 在时间内，货物C与木板B整体减速到 继续向前减速到0，货物C与木板B的共速度到停下的位移为 在在时间内卡车刹停的位移为 因 所以卡车刹停时，木板右侧不会与驾驶室相碰，则木板右侧与驾驶室相距的距离为 5．（2025·全国·模拟预测）如图所示，质量为2m的长木板B放在光滑水平地面上，B上方最左端放有质量为m的物块A，A、B间动摩擦因数为。一劲度系数为k的轻质弹簧固定在右侧墙面底端。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，物块始终不从长木板上滑下。 （1）使A、B以共同速度同时向右滑行，全过程A、B间无相对滑动，求系统初动能应满足的条件； （2）使A以某一速度向右滑行，B接触弹簧后A、B间恰无相对滑动，求A的初速度大小和长木板B的最短长度。 【答案】（1） （2）， 【解析】（1）设总动能为时全过程A、B间恰好无相对滑动。A、B接触弹簧后一起向右减速，B受弹簧弹力和A对B的摩擦力，当A、B速度减为0时弹簧压缩量达到最大，A、B间摩擦力恰好达到最大静摩擦力。设此时弹簧压缩量为，再向左弹回时，弹簧弹力逐渐减小，A、B间摩擦力小于最大静摩擦力，A、B间不会发生相对滑动。由牛顿第二定律对A、B分别有 又弹簧弹力随压缩量均匀变化，结合平均力和能量守恒知识可得 联立解得 当 时，全过程A、B间均无相对滑动。 （2）结合以上分析可知，当A、B速度相等且总动能为时，接触弹簧后全过程恰好不发生相对滑动有 A在B上运动过程动量守恒，有 根据功能关系，有 联立解得 6．（2025·重庆·一模）如图所示，半径为R的光滑圆弧面AB与光滑水平面BC平滑连接（圆弧的圆心在B的正下方），其中A、B两点的水平距离和竖直距离分别为d、h。长为的轻杆上端固定在光滑水平转轴O，下端固定一个小球，小球刚好与水平面接触。质量为M的物块在水平恒力作用下从A点由静止运动到B点、物块在B点处时撤去水平恒力，此时物块对圆弧面的压力为零。最后物块与小球发生一次弹性正碰，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动。忽略一切阻力，重力加速度为g，求： （1）物块到达B点的速度v0； （2）水平恒力F的大小； （3）小球质量m的取值范围。 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 【解析】（1）由B点压力为零，则有 可得 （或者，） （2）物块从A到B由动能定理，有 解得 （或者） （3）物块与小球发生弹性正碰，有 小球恰做完整圆周运动，最高点v > 0；碰后小球从最低点运动到最高点，由动能定理得 解得 所以小球质量取值范围 （或者） 7．（2024·云南丽江·一模）如图，一长为L（L是未知量）、质量为的长木板放在光滑水平地面上，物块A、B、C放在长木板上，物块A在长木板的左端，物块C在长木板上的右端，物块B与物块A的距离，所有物块均保持静止。现对物块A施加一个水平向右的推力，在物块A、B即将发生碰撞前的瞬间撤去推力F。已知物块A的质量为，物块B、C的质量为，物块A、B、C与长木板的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取，物块A、B、C均可视为质点，物块间的碰撞均无机械能损失。求： （1）施加推力时，物块A的加速度的大小； （2）物块A、B碰撞后的瞬间各自的速度大小； （3）若将长木板换成质量不计的轻质薄板，且物块A、B碰撞后瞬间，轻质薄板和物块A粘在一起，求从施加推力F到物块A、B、C与轻质薄板共速所需的时间（最后结果保留两位小数，整个过程中物块B、C不相碰）。 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】（1）A、B能发生碰撞说明A与木板相对运动，对A进行受力分析可得 代入题中数据解得 （2）假设长木板、物体B、C一起加速，加速度为，则有 因为 假设成立，所以 设物体A与物体B碰前所需时间为t，则 解得 设物体A、B碰前速度为、，则 ， 解得 ， 物体A、B碰后速度为、，则根据动量守恒定律和能量守恒定律可得 解得 ， （3）对A有 得 轻质薄木板与B、C相对静止，有相同的加速度 设物体A与物体B碰前所需时间为，物体A、B碰前速度为、，则 得 且 ， 物体A、B碰后速度为、，则根据动量守恒定律和能量守恒定律可得 解得 ， A、B碰后，物块A与薄板粘在一起以匀速（BC对薄板摩擦力等大反向），B匀减速，C匀加速至，时间，则 此时B的速度 此后，物体A、C和薄板相对静止，一起匀加速，B匀减速至共速，物体A、C的加 速度大小 物体B的加速度大小 由 得 则所需总时间 8．（2025·江西新余·一模）如图，平板小车C静止在水平面上，左端紧靠平台且与平台等高，平台边缘正上方用长H=0.8m的轻绳悬挂质量为m的物块A，悬点正下方静置一质量为的物块B，将A向左拉至轻绳水平由静止释放，A与B发生正碰，碰后A的速度为零。已知A与B碰撞过程中的恢复系数，该系数是一个定值，只与发生碰撞物体材料有关。现将A、B互换角色，将B悬挂起来从水平位置由静止释放，与A发生正碰后，A滑上小车后，立即取走B，经过一段时间作用，小车C停止且A不滑出小车。已知物块A和小车C质量都为m=2kg，物块A与小车C上表面间的动摩擦因数，小车C与地面摩擦因素，重力加速度，A、B均可视作质点，不计空气阻力。求： （1）物块B与物块A碰撞前速度； （2）A刚滑上小车时的速度大小； （3）小车C最少需要的长度L，及最后小车离开平台的位移x。 【答案】（1）4m/s （2）4m/s （3）， 【解析】（1）对B进行分析，根据动能定理有 ，解得 （2）当A向左拉至轻绳水平由静止释放至最低点过程，根据动能定理有 解得 A碰撞B过程，根据动量守恒定律有 解得 则A与B碰撞过程中的恢复系数 B碰撞A过程，根据动量守恒定律有 B与A碰撞过程中的恢复系数 由于B质量大于A质量，碰撞后A、B速度方向相同，且A的速度大于B的速度，则解得 ， （3）A滑上C后，A先向右做匀减速直线运动，对A进行分析，根据牛顿第二定律有 解得 C先向右做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 历时，A、C达到相同速度，则有 解得， 此后A、C保持相对静止，向右做匀减速直线运动，则小车C的最小长度 解得 上述过程C的位移 A、C保持相对静止，根据牛顿第二定律有 解得 减速至0过程，利用逆向思维，根据速度与位移的关系有 解得 则最后小车离开平台的位移 解得 9．（2025·云南大理·二模）在竖直平面内，质量的小球A用长为的不可伸长的轻绳悬挂于点，点正下方距离点0.4m有一点，点用长为的不可伸长的轻绳竖直悬挂一质量也为0.1kg的小球B。把小球A拉到如图所示位置，轻绳恰好伸直，且轻绳与竖直方向的夹角。由静止释放小球A，A球自由下落，当轻绳再次伸直时到达点，小球沿轻绳方向的速度瞬间变为0，之后两小球发生弹性碰撞。两球都可视为质点，忽略空气阻力，取，，。求： （1）求小球A由静止释放后，轻绳再次伸直前瞬间，小球A的速度大小； （2）A、B两球碰撞后瞬间，小球A的速度大小； （3）判断小球B能否以为圆心到达圆周的最高点，如果不能，请说明理由；如果能，求出小球B在最高点时对轻绳的拉力大小。 【答案】（1） （2） （3）能， 【解析】（1）解法1：球A开始时做自由落体运动，设下落高度为，则有 由几何关系得 解得 解法2：球A由静止下落，由动能定理有 由几何关系得 解得 （2）把竖直速度分解为沿轻绳方向的速度和垂直轻绳方向的速度，则 设小球A、B碰撞前瞬间，球A的速度为，由动能定理可得 A、B两球发生两球弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律得 ， 得A、B两球碰撞后瞬间 （3）假设小球B能以为圆心到达圆周的最高点，由动能定理可得 得，能到达圆周最高点； 由牛顿第二定律得 解得 1．（2023·辽宁·高考真题）如图，质量m1= 1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k = 20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为。取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。 （1）求木板刚接触弹簧时速度的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1； （2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小； （3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。 【答案】（1）1m/s；0.125m；（2）0.25m；；（3） 【解析】（1）由于地面光滑，则m1、m2组成的系统动量守恒，则有 m2v0= (m1＋m2)v1 代入数据有 v1= 1m/s 对m1受力分析有 则木板运动前右端距弹簧左端的距离有 v12= 2a1x1 代入数据解得 x1= 0.125m （2）木板与弹簧接触以后，对m1、m2组成的系统有 kx = (m1＋m2)a共 对m2有 a2= μg = 1m/s2 当a共 = a2时物块与木板之间即将相对滑动，解得此时的弹簧压缩量 x2= 0.25m 对m1、m2组成的系统列动能定理有 代入数据有      （3）木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，由于木板即m1的加速度大于木块m2的加速度，则当木板与木块的加速度相同时即弹簧形变量为x2时，则说明此时m1的速度大小为v2，共用时2t0，且m2一直受滑动摩擦力作用，则对m2有 －μm2g∙2t0= m2v3－m2v2 解得 则对于m1、m2组成的系统有 U = Wf 联立有 2．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于轨道最低点的小球A施加水平向左的瞬时冲量I，A沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B正碰并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R = 0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求： （1）与B碰前瞬间A的速度大小； （2）A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小。 【答案】（1）4 m/s （2）11.2 N 【解析】（1）根据题意，设小球A从最低点开始运动时的速度为v0，由动量定理有 设与B碰前瞬间A的速度大小v，从最低点到最高点，由动能定理有 联立代入数据解得 （2）A与用轻绳悬挂的静止小球B正碰并粘在一起，由动量守恒定律有 设A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小为F，由牛顿第二定律有 联立代入数据解得 3．（2024·甘肃·高考真题）如图，质量为2kg的小球A（视为质点）在细绳和OP作用下处于平衡状态，细绳，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6kg的木板B静止在光滑水平面上，质量为2kg的物块C静止在B的左端。剪断细绳，小球A开始运动。（重力加速度g取） （1）求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力。 （2）A在最低点时，细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞（时间极短）、碰后A竖直下落，C水平向右运动。求碰后C的速度大小。 （3）A、C碰后，C相对B滑行4m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】根据题意，设AC质量为，B的质量为，细绳长为，初始时细线与竖直方向夹角。 （1）A开始运动到最低点有 对最低点受力分析，根据牛顿第二定律得 解得 ， （2）A与C相碰时，水平方向动量守恒，由于碰后A竖直下落可知 故解得 （3）A、C碰后，C相对B滑行4m后与B共速，则对CB分析，过程中根据动量守恒可得 根据能量守恒得 联立解得 4．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长。小球质量。物块、小车质量均为。小车上的水平轨道长。圆弧轨道半径。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取。 （1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小； （2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小； （3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数的取值范围。 【答案】（1）6N；（2）4m/s；（3） 【解析】（1）对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理 解得 在最低点，对小球由牛顿第二定律 解得，小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为 （2）小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律 解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为 （3）若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒 由能量守恒定律 解得 若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒 由能量守恒定律 解得 综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数的取值范围为 5．（2024·浙江·高考真题）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，M=m=0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1=0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。 （1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小； （2）若μ2=0，滑块恰好过C点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能； （3）若μ2=0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度vm。 【答案】（1）5m/s；（2）0.625J；（3）6m/s 【解析】（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时 从滑块离开弹簧到C过程，根据动能定理 解得 （2）平板加速至与滑块共速过程，根据动量守恒 根能量守恒 解得 （3）若μ2=0.1，平板与滑块相互作用过程中，加速度分别为 共速后，共同加速度大小为 考虑滑块可能一直减速直到H，也可能先与木板共速然后共同减速； 假设先与木板共速然后共同减速，则共速过程 共速过程，滑块、木板位移分别为 共速时，相对位移应为 解得 ， 随后共同减速 到达H速度 说明可以到达H，因此假设成立，若滑块初速度再增大，则会从木板右侧掉落。 6．（2024·湖南·高考真题）如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A和B（mA>mB）。初始时小球A以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。 （1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小； （2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量比。 （3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍（0<e<1） ，求第1次碰撞到第2n+1次碰撞之间小球B通过的路程。 【答案】（1），；（2）或； （3） 【解析】（1）有题意可知A、B系统碰撞前后动量守恒,设碰撞后两小球的速度大小为v，则根据动量守恒有 可得 碰撞后根据牛顿第二定律有 可得 （2）若两球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为vA，vB，则碰后动量和能量守恒有 联立解得 ， 因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，如图 ①若第二次碰撞发生在图中的b点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B通过的路程之比为，则有 联立解得 由于两质量均为正数，故k1=0，即 对第二次碰撞，设A、B碰撞后的速度大小分别为，，则同样有 联立解得，，故第三次碰撞发生在b点、第四次碰撞发生在c点，以此类推，满足题意。 ②若第二次碰撞发生在图中的c点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B通过的路程之比为；所以 联立可得 因为两质量均为正数，故k2=0，即 根据①的分析可证，，满足题意。 综上可知 或。 （3）第一次碰前相对速度大小为v0，第一次碰后的相对速度大小为，第一次碰后与第二次相碰前B球比A球多运动一圈，即B球相对A球运动一圈，有 第一次碰撞动量守恒有 且 联立解得 B球运动的路程 第二次碰撞的相对速度大小为 第二次碰撞有 且 联立可得 所以B球运动的路程 一共碰了2n次，有 / 学科网（北京）股份有限公司 $$