27.2.3 相似三角形应用举例-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级下册数学新导学课时练（人教版）河北专版

C新导学课时练 数学·九年级（下）·RJ 27.2.3相似三角形应用举例 名师点睛 A 知识梳理·自主学习 利用相似三角形测量高度时，首先画出示意 相似三角形的应用 图，利用平行光线、影子、标杆等构造出相似 (1)能够运用三角形相似的知识，解决不能直 三角形；其次测量对应线段的长度：最后利 接测量物体的长度和高度（如测量树高、塔高， 用相似三角形对应线段成比例列式求解 测量河宽、盲区问题)等的一些实际问题 知识点二应用相似三角形测距离 (2)通过把实际问题转化成有关相似三角形的 3.如图，A,B两地被池塘隔开，小明通过下列 数学模型，运用相似三角形性质求解. 方法测出了A,B间的距离：先在AB外选 B 知识要点·多维突破 一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并 测量出MN的长为12m,由此他就知道了 知识点一应用相似三角形测高度 A,B间的距离.有关他这次探究活动的描 1,(数学文化)《周髀算 述错误的是( 经》中记载了“偃矩以 A.AB=24 m 望高”的方法.“矩”在 古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的 B.MN∥AB ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立 C.△CMN∽△CAB D.CM MA=1:2 放，可测量物体的高度.如图，点A,B,Q在 同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直 4.(教材P41T2改编)如图，要测量河岸相对 角，AP与BC相交于点D.测得AB= 的两点A,B的距离，先从点B出发与AB 成90°角方向，向前走50m到C处立一根 40cm,BD=20cm,AQ=12m,则树高PQ 标杆，然后方向不变继续朝前走10m到D m. 2.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 处，在D处转90沿DE方向再走17m,这 DEF测量树的高度AB,他调整自己的位 时A,C,E在同一直线上.问A,B间的距 置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE 离为多少？ 与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角 边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离 地面的高度AC=1.5m,CD=8m,求树 高AB. 36 第二十七章相似 新导学课时练) 名师点睛 为1.2米，同时旗杆的影子一部分在地面 如果被测量的对象无法接近（如：水流湍急 上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得 的河道、池塘等)，对其距离的测量便可以采 其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度 用一些间接的方式完成，构造相似三角形， 为( 利用相似三角形对应线段成比例列式求解. 4444444 0 阶梯训练·知能检测 2 9.6米 【基础过关】 A.2米 B.11.6米C.1.2米D.10米 1.如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框 5.(教材P57T7改编)如图，已知零件的外径 AB在地面上的影长DE=1.8m,窗户下檐 为25mm,现用一个交叉卡钳（两条尺长 到地面的距离BC=1m,EC=1.2m,那么 AC和BD相等，OC=OD)量零件的内孔直 窗户的高AB为( 径AB.若(OC：OA=1：2,量得CD= A.1.5m B.1.6m 10mm,则零件的厚度x mm. C.1.86m D.2.16m B O D B —25 第1题图 第2题图 第5题图 第6题图 2.(保定曲阳期中)学校门口的栏杆如图所示， 6.(数学文化)《九章算术》中记载了一种测量 栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位 古井水面以上部分深度的方法，如图，在井 置，已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为 口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木 B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m, 杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井 栏杆C端应下降的垂直距离CD为( ) 口的直径AC交于点E,如果测得 A.0.2m B.0.3m AB=1m,AC=1.6m,AE=0.4m,那么 C.0.4m D.0.5m CD为 m. 3.根据测试距离为5m的标准视力表制作一 7.(邯郸永年区期中)如图，直立在B处的标杆 个测试距离为3m的视力表，如果标准视力 AB=2.4m,直立在F处的观测者从E处 表中“E”的长a是3.6cm,那么制作出的视 看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点 力表中相应“E”的长b是( F,B,D也在同一条直线上)，已知BD A.1.44cm 8m.FB=2.5m,人高EF=1.5m,则树高 B.2.16cm CD为 m. C.2.4 cm D.3.6 cm 5m 4.某同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如 图，他在某一时刻测得1米长的标杆的影长 37 C新导学课时练 数学·九年级（下）·RJ 8.(学科融合·物理)如图，小强自制了一个小 11.(教材P58T11改编)如图，一块材料的形 孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm,他 状是锐角三角形ABC,边BC=120mm, 准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高 高AD=80mm.把它加工成正方形零件， 度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远 使正方形的一边在BC上，其余两个顶点 的地方？ 分别在AB,AC上，这个正方形零件的边 长是多少？（无需作答） BO D M C B Q D MC 图1 图2 (1)母题变式：若其他条件不变，原题中要 加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个 并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这 个矩形零件的两条边长又分别为多少？ (2)思维拓展：如果原题中所要加工的零件 只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的 两条边长就不能确定，但这个矩形面积有 最大值，求达到这个最大值时，矩形零件的 两条边长。 【素养闯关】 9.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明 从距离灯的底部（点O)20米的点A处，沿 OA所在的直线行走14米到点B时，小明 影子的长度() A.增大1.5米 B.减小1.5米 C.增大3.5米 D.减小3.5米 5 mk- 4m O BN ←12m 第9题图 第10题图 10.如图，一条4m宽的道路将矩形花坛分为 一个直角三角形和一个直角梯形，根据图 中数据，可知这条道路的占地面积为 m ●938.AB=12. 3.证明：AB=AC,.∠B=∠C :△ADCn△ACB…2-6, ,'∠ADB=∠C+∠CAD=∠BDE+∠ADE, 即AD4 16 =青AD=号 ∠BDE=∠CAD, 7.(I)证明：：∠AED=∠B,∠BAC=∠EAD, .∠ADE=∠C,.∠B=∠ADE. .△AED∽△ABC. :∠DAE=∠BAD, (2)解，△AED∽△ABC, ∴.△ADE∽△ABD. ∴.∠ADE=∠C. 4.证明：(1)AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB. AF平分∠BAC, ·∠ADC=∠ACB=90°，∴.△ADC∽△ACB, ∴∠DAG=∠CAF, ..AD AC=AC:AB,..AC=AB.AD. .△ADG△ACF, (2)E为AB的中点， ..CE=BE=AE, 船把-层 ∠EAC=∠ECA. 8.(1)证明：：四边形ABCD为正方形， :∠DAC=∠CAB,·∠DAC=∠ECA, .AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°. .CE∥AD, A证=BD指- ∴.△AFD∽△CFE. 1 DF= DF 1.AE DF 5.证明：(1)AB∥CD,点F在BA的延长线上， 4DC心DE=2AB-DE FA/CD,△AEFO△DEC,:FA-AE .△ABE∽△DEF CD DE (2)解：，四边形ABCD为正方形，.EDBG, 胎品胎品AB=D, △DEFACGF80-8S ∴.四边形ABCD为平行四边形. (2)如图，连接FD,分别延长FD,BC交于点G, 又：DF=DC,正方形的边长为4， .DF=1,ED=2,.CF=3,CG=6, ∴.GF=√CF+CG=√/9+36=3W5. 27.2.3相似三角形应用举例 【知识要点·多维突破】 ,四边形ABCD是平行四边形，.BC=AD. 1.6 FC=FD·FG,心FDFC FC FG 2.解：在△DEF和△DCB中， N∠D=∠D,∠DEF=∠DCB, ,∠CFG=∠DFC,.△CFG∽△DFC, ∴.△DEF∽△DCB. ∴.∠G=∠FCD ,∠BFC=∠FCD,∴∠G=∠BFC 器器中号品 ∠GCD=∠B,∴△GCD∽△FBC, 解得BC=4.:AC=1.5m, .CG_CD..CG_CD BF-BCBF-AD' ∴.AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m), 即树高AB为5.5m .AD·CG=BF·CD. 3.D 6.(1)证明：CD⊥AB,.∠ADC=∠ACB=90° 4.解：由题意，可得BC=50m,CD=10m,DE= ∠A=∠A,.△ADC∽△ACB. 17m. (2)解：在Rt△ABC中，AC=4,BC=3, :∠ABC=∠EDC=9O°，∠ACB=∠ECD, .AB=√AC+BC=5. .△ABC∽△EDC, 38 铝瓷侣0 3.位似中心 【知识要点·多维突破】 解得AB=85,所以A,B间的距离为85m. 1.D2.1:3 【阶梯训练·知能检测】 3.解：：△ABC与△DEF位似，位似中心为点O, 1.A2.C3.B4.D5.2.56.37.5.28 ∴.△ABCn△DEF, 8.解：如图，AB=20cm,EF⊥CD,OF=15cm,CD S△ABC AB)24 =5cm: DE)=9 AB:DE=2:3, B D .OA:OD=2:3, ,AB∥CD,∴.△OAB△ODC, .OA:AD=2:1. 需中品品 515 4.A 5.解：如图，△OCD即为所求. 解得OE=60. D 答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方. 9.D10.80 11.解：(1)设矩形的边长PN=2ymm,则PQ ymm,由条件可得△APN△ABC, 器怎高-0品己解释y9 80 7 【阶梯训练·知能检测】 ..PN= 240×2=480 1.A2.C3.C4.D5.8cm (mm). 6.解：(1)如图，连接BB,A'A,并延长BB,A'A相 240 答：这个矩形零件的两条边长分别为 mm, 交于点O,点O即为它们的位似中心 480 7 mm. (2)设PN=xmm.由条件可得△APN∽△ABC, .PN-AE .x 80-PQ BC-A,即120 80 2 解得PQ=80-3 (2)如图，连接OA,OB,OC,并分别延长OA,OB, S=PN·PQ=x(80-名z 3x)= 3x2+80x 0C到A,B,C,使0A”-号0A,0B=0B =-2(x-60)y+2400. 3 0C=0C.连接Ag,BrC.CA,则△ABC ∴.S的最大值为2400mm2,此时PN=60mm, 即为所求作的图形. PQ=80-号×60=40(mm). 7.解：(1)△AOD与△EOB是位似图形，位似中心为 答：当矩形面积达到最大值时，矩形零件两边的 0,相似比为2. 长分别为60mm,40mm. (2)在☐ABCD中，AD∥BC,则△AOD∽△EOB, 27.3位似 8熙-- SAAOB 2'SAAOD 4 第1课时位似图形的概念及性质 又S△0E=6, 【知识梳理·自主学习】 .S△A0D=24,S△A0B=12, 2.相交于一点成比例 ∴.S△ABD=36, 39