专题4.1 平行四边形（5大知识点6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题4.1 平行四边形（5大知识点6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】多边形 1.多边形的对角线 从边形的一个顶点可以引条对角线，并且这些对角线把多边形分成了个三角形；边形对角线条数为． 2.多边形的内角和、外角和 n边形内角和为，任意多边形的外角和为. 3.正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形. 4.正多边形的内外角：正边形的每个内角为，每一个外角为. 5.正多边形对称性：正边形有条对称轴.当为奇数时，是轴对称图形；当为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形. 【知识点2】中心对称 1.中心对称 一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 2.中心对称图形 1.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【知识点3】平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定平行四边形的条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 【知识点4】三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 【知识点5】反证法 反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 【知识点题型目录】 【考点一】多边形 【题型1】多边形的内角和.......................................................2 【题型2】多边形的外角和.......................................................3 【题型3】多边形的内角和与外角和综合...........................................4 【考点二】中心对称 【题型4】轴对称图形与中心对称图形的识别.......................................5 【题型5】利用中心对称图形性质求值证明.........................................6 【考点三】平行四边形 【题型6】平行四边形的性质.....................................................6 【题型7】平行四边形的判定.....................................................7 【题型8】平行四边形的性质与判定综合...........................................8 【考点四】三角形的中位线 【题型9】利用三角形中位线定理求值.............................................9 【题型10】利用三角形中位线定理证明...........................................10 【考点五】反证法 【题型11】反证法中的假设.....................................................11 【题型12】用反证法证明命题...................................................11 【考点六】链接中考与延伸拓展 【题型13】链接中考...........................................................12 【题型14】拓展延伸...........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】多边形 【题型1】多边形的内角和 【例1】（24-25八年级上·广西北海·阶段练习）如图，，，，． （1）______，______； （2）求四边形各内角的度数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一个六边形纸片上剪去一个四边形后，得到，则 ． 【变式2】（24-25八年级上·云南昭通·期末）一个多边形的内角和比四边形的内角和多，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】多边形的外角和 【例2】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： （1）的值为______； （2）小明走出的这个多边形周长为______； （3）若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·重庆·期中）如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为 ． 【题型3】多边形的内角和与外角和综合 【例3】（24-25八年级上·江西新余·期中）请看图解答下列问题： （1）错把外角当内角的那个外角的度数是多少？ （2）小华求的是几边形的内角和？ 【变式1】（19-20八年级上·湖北·阶段练习）如图，在四边形中，的角平分线与的角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 【考点二】中心对称 【题型4】轴对称图形与中心对称图形的识别 【例4】（24-25九年级上·山东临沂·期末）未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．  B．   C．   D．   【变式1】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型5】利用中心对称图形性质求值证明 【例5】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． （1）四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； （2）若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，，，，与关于点C成中心对称，则的长是 ． 【考点三】平行四边形 【题型6】平行四边形的性质 【例6】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，平分，则的长为________． 【变式1】（22-23八年级下·江苏扬州·期中）平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ． 【变式2】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平行四边形中，．利用尺规在上分别截取，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内，交于点G；作射线交于点H．若，则的长为 ．    【题型7】平行四边形的判定 【例7】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的面积． 【变式1】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为 ．    【题型8】平行四边形的性质与判定综合 【例8】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的面积． 【变式1】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ． 【考点四】三角形的中位线 【题型9】利用三角形中位线定理求值 【例9】（24-25八年级上·福建宁德·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标内有两点连接，则线段的中点坐标为，例如，点，则线段的中点坐标为即． （1）已知点，则线段的中点坐标为______． （2）如图，直线与坐标轴分别交于两点，点坐标为，线段是的中线，求的长 【变式1】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，中，，是中的外角平分线，且，若是的中点，，则的长为 ． 【题型10】利用三角形中位线定理证明 【例10】（2025·陕西·模拟预测）如图，在等腰直角中，，、分别是边、的中点，连接、，则图中的等腰直角三角形共有（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点E，且，连．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，点E是边上一点，连接，交于点F． （1）若，直接写出的度数；（用含α的式子表示） （2）在（1）的条件下，试用等式表示的数量关系，并证明． 【考点五】反证法 【题型11】反证法中的假设 【例11】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 【变式2】（19-20七年级下·山东烟台·期末）用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设： ． 【题型12】用反证法证明命题 【例12】（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）小明在用反证法解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾． ②所以． ③假设． ④由，得，所以． 请写出这四个步骤正确的顺序 ． 【变式1】（21-22八年级上·全国·单元测试）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【考点六】链接中考与延伸拓展 【题型13】链接中考 【例1】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【例2】（2023·湖南·中考真题）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长和的面积． 【题型14】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接． （1）若，求的值； （2）求证：． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； （2）当时，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 平行四边形（5大知识点6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】多边形 1.多边形的对角线 从边形的一个顶点可以引条对角线，并且这些对角线把多边形分成了个三角形；边形对角线条数为． 2.多边形的内角和、外角和 n边形内角和为，任意多边形的外角和为. 3.正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形. 4.正多边形的内外角：正边形的每个内角为，每一个外角为. 5.正多边形对称性：正边形有条对称轴.当为奇数时，是轴对称图形；当为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形. 【知识点2】中心对称 1.中心对称 一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 2.中心对称图形 1.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【知识点3】平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定平行四边形的条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 【知识点4】三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 【知识点5】反证法 反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 【知识点题型目录】 【考点一】多边形 【题型1】多边形的内角和.......................................................2 【题型2】多边形的外角和.......................................................6 【题型3】多边形的内角和与外角和综合...........................................7 【考点二】中心对称 【题型4】轴对称图形与中心对称图形的识别.......................................9 【题型5】利用中心对称图形性质求值证明........................................11 【考点三】平行四边形 【题型6】平行四边形的性质....................................................13 【题型7】平行四边形的判定....................................................16 【题型8】平行四边形的性质与判定综合..........................................20 【考点四】三角形的中位线 【题型9】利用三角形中位线定理求值............................................24 【题型10】利用三角形中位线定理证明...........................................27 【考点五】反证法 【题型11】反证法中的假设.....................................................31 【题型12】用反证法证明命题...................................................32 【考点六】链接中考与延伸拓展 【题型13】链接中考...........................................................35 【题型14】拓展延伸...........................................................37 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】多边形 【题型1】多边形的内角和 【例1】（24-25八年级上·广西北海·阶段练习）如图，，，，． （1）______，______； （2）求四边形各内角的度数． 【答案】（1），；（2），，， 【分析】本题考查了多边形内角与外角，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据可得出，可得，，得出，再由直角三角形的性质可得出的度数； （2）由得出，再得出与的度数，根据四边形内角和定理即可得出结论． （1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：由（1）得， ， ， 在 中，，， ，， ， ， 四边形的内角和为， ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一个六边形纸片上剪去一个四边形后，得到，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了多边形的内角和公式．由多边形的内角和公式，即可求得六边形的内角和，又由，即可求得的度数，继而求得答案． 解：∵六边形的内角和为：，且， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·云南昭通·期末）一个多边形的内角和比四边形的内角和多，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形为边形，根据题意，列出方程进行求解即可． 解：设这个多边形为边形，由题意，得：， 解得：； 故这个多边形为七边形； 故选C． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．过作，依据平行线的性质，可设，，根据四边形内角和以及，即可得到的度数． 解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 可设，， ，， 四边形中，， 即，① 又， ，② 由①②可得，， 解得， 故选：C． 【题型2】多边形的外角和 【例2】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： （1）的值为______； （2）小明走出的这个多边形周长为______； （3）若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【答案】（1）15；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的外角和等于，即可求解； （2）用多边形的边数乘以的长，即可求解； （3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解． （1）解：根据题意得：． 故答案为：15 （2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：150 （3）解：设这个多边形有条边， 根据题意，得， 解得，                ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角问题，根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论． 解：设它是n边形，则 ， 解得， ， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级下·重庆·期中）如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可． 解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等， ， ， ， 则该正多边形的边数为， 故答案为：． 【题型3】多边形的内角和与外角和综合 【例3】（24-25八年级上·江西新余·期中）请看图解答下列问题： （1）错把外角当内角的那个外角的度数是多少？ （2）小华求的是几边形的内角和？ 【答案】（1）；（2）十三边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟练掌握正确运用多边形的内角和公式． （1）根据多边形内角和一定是180度的倍数，依此即可求解； （2）根据多算的外角度数求出多边形内角和，再根据多边形内角和公式求出边数即可． （1）解：． 又多算了一个外角， 外角度数为； （2）解：由（1）可知多边形内角和为 设小华求的是边形内角和， ， 解得：， 小华求的是十三边形的内角和． 【变式1】（19-20八年级上·湖北·阶段练习）如图，在四边形中，的角平分线与的角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、多边形的内角和外角，利用四边形内角和是，可以求得，然后由角平分线的性质和邻补角的定义求得的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可． 解：，， ， 又的角平分线与的角平分线相交于点P， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． 由多边形内角和定理得，整理得，则，即可得出结论． 解：由图2可知，， 整理得：， ∴， 故答案为：． 【考点二】中心对称 【题型4】轴对称图形与中心对称图形的识别 【例4】（24-25九年级上·山东临沂·期末）未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：A． 【题型5】利用中心对称图形性质求值证明 【例5】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． （1）四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； （2）若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【答案】（1）是中心对称，图见详解；（2） 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明四边形使得平行四边形可得结论； （2）利用中心对称图形的性质解决问题即可． （1）解：是 ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是中心对称图形， 如图，对角线的交点即为旋转中心． （2）因为平分四边形的面积， 所以点是的中点， 设，则有， ， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合中心对称图形的性质求解即可． 解：因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，且选项中各图形可看作是由两个平行四边形构成的， 所以只要直线经过两个平行四边形的对称中心，即可这个图形分成面积相等的两个部分，观察可得，选项BCD符合题意， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，，，，与关于点C成中心对称，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，利用中心对称的性质得出，，再利用勾股定理得出的长，即可得出答案． 解：∵与关于点C成中心对称， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 【考点三】平行四边形 【题型6】平行四边形的性质 【例6】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，平分，则的长为________． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】（1）利用中点定义可得，再用平行四边形的性质可得，然后根据可证明； （2）首先求得，然后证得，进而得到． 解：（1）证明：是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：4． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级下·江苏扬州·期中）平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平移，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的特点，列出方程． 用平移点的坐标的方法，求点的坐标即可． 解：设点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴经过平移可以与重合， ∵，，， ，， 解得：，， ∴点的坐标为； 故答案为： 【变式2】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平行四边形中，．利用尺规在上分别截取，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内，交于点G；作射线交于点H．若，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，过B作于P，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 解：在中，， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过B作于P，    ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：， 【点拨】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型7】平行四边形的判定 【例7】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的面积． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点， （1）根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质，得，则，根据可以证明，得，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理得到,连接交于，进而可以得到的长，然后利用三角形面积公式即可得解； 熟练掌握其性质并能正确得到是解决此题的关键． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，正确理解与运用平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次进行证明即可． 解：，， 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故A不符合题意； ，， 四边形是平行四边形， 故B符合题意； 由，，不能证明与全等， 不能证明与相等，可与相等， 不能证明与平行， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ，， 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 【变式2】（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，延长到，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由阿波罗尼奥斯定理得，即可求解，掌握平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 解：如图所示，    延长到，使，连接，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由阿波罗尼奥斯定理得，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8】平行四边形的性质与判定综合 【例8】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理； （1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 是等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 的面积． 【变式1】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键． 过作交于，根据平行四边形的性质得到，求得，得到，，根据已知条件得到，求得，根据平行线的性质得到，得到，于是得到结论． 解：过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵于，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）根据定义通过计算可知，即可知道点P的等积点； （2）设，则，即，可知点Q在直线上，且，当点Q在x轴上方时，则；当点Q在x轴上方时，则，分别求出x的值再求出点C的坐标即可． （1）解：根据题意得， 因为，所以不是点P的等积点， 因为，所以是点P的等积点， 因为，所以不是点P的等积点， 故答案为：； （2）解：如图1所示：    设，则，即， 可知点Q在直线上，且， 作轴于点D，轴于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 若点Q在x轴上方，则，即， 所以； 当点Q在x轴上方时，则，即， 所以； 因为点C在x正半轴上， 所以点C的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了图形与坐标、一次函数的图象与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、新定义问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 【考点四】三角形的中位线 【题型9】利用三角形中位线定理求值 【例9】（24-25八年级上·福建宁德·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标内有两点连接，则线段的中点坐标为，例如，点，则线段的中点坐标为即． （1）已知点，则线段的中点坐标为______． （2）如图，直线与坐标轴分别交于两点，点坐标为，线段是的中线，求的长 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键， （1）根据中点坐标公式即可得到结论； （2）过点作轴于E，求得A、的坐标，根据勾股定理得到结论． （1）解：， 线段的中点坐标为即， 故答案为∶ ； （2）解：过点作轴于E， ， ∵直线与坐标轴分别交于A，B两点 ∴当时，；当时，   ，               中点D的坐标为即， ， 的坐标为， ， 在中，，由勾股定理得， 则 ． 【变式1】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 先根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 解：∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 故答案为：16． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，中，，是中的外角平分线，且，若是的中点，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，正确作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键；延长交于点F，根据题目条件可证，得出，再根据三角形中位线的性质进行计算即可． 解：延长交于点F ， 为的外角平分线， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ∴是的中位线， ， ， ， 故答案为：9． 【题型10】利用三角形中位线定理证明 【例10】（2025·陕西·模拟预测）如图，在等腰直角中，，、分别是边、的中点，连接、，则图中的等腰直角三角形共有（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线，由三线合一可得，是等腰直角三角，再由中位线可得，是等腰直角三角形，即可求解． 解：∵等腰直角中，是边的中点， ∴，，， ∴，是等腰直角三角． ∵、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形． 综上可知，图中的等腰直角三角形有：，，，，，共5个． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点E，且，连．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线的性质；由平行四边形的性质及平分，可得是等边三角形，则， 则可判定①；由三角形外角性质得，从而得，由平行四边形的面积可判定②；由E是的中点可判定③；由三角形中位线及可判定④，最后可确定答案． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，； ∵平分， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴，即点E是的中点， ∴， 故①正确； ∴， ∴， ∴， 平行四边形的面积， 故②正确； ∵E是的中点， ∴是的中线， ∴， 即， 故③正确； 由平行四边形的性质知，O是的中点， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 综上，四个全部正确； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，点E是边上一点，连接，交于点F． （1）若，直接写出的度数；（用含α的式子表示） （2）在（1）的条件下，试用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的中位线定理； （1）由等腰三角形三线合一可得，，得到，再由，求出，最后根据计算即可； （2）取中点，连接，则，是中位线，得到，推出，得到，最后根据推理得到． （1）解：∵平分， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：，证明如下： 如图，取中点，连接，则， ∵， ∴是中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【考点五】反证法 【题型11】反证法中的假设 【例11】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 解：第一步应先假设， 故答案为：． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤； 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况． 在这个问题中，结论是“a， b 中至少有一个为0”，其反面就是“a， b 都不为0”． 故选：A． 【变式2】（19-20七年级下·山东烟台·期末）用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设： ． 【答案】这两个角所对的边相等 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等． 证明时，可以先假设这两个角所对的边相等， 故答案为：这两个角所对的边相等． 【点拨】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【题型12】用反证法证明命题 【例12】（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）小明在用反证法解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为，所以，这与三角形内角和定理相矛盾． ②所以． ③假设． ④由，得，所以． 请写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】③④①② 【分析】根据反证法的一般步骤解答即可． 解：证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和定理相矛盾， ∴， ∴这四个步骤正确的顺序是③④①②． 故答案为：③④①②． 【点拨】本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．掌握反证法的一般步骤是解题的关键．也考查了等边对等角，三角形内角和定理． 【变式1】（21-22八年级上·全国·单元测试）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角． 解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【答案】；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数 【分析】本题主要考查了用假设法证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是一个偶数，可得，q是一个偶数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是偶数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论． 解：完整证明过程如下： 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴q是一个偶数． 设（k是正整数）， ， ， 是一个偶数． ∴p是一个偶数． ∴p和q均为偶数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【考点六】链接中考与延伸拓展 【题型13】链接中考 【例1】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【答案】/18度 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 解：连接，，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 【例2】（2023·湖南·中考真题）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长和的面积． 【答案】（1）见分析；（2）；的面积为 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到； （2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 解：（1）证明：在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴； 过D作交的延长线于H，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型14】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接． （1）若，求的值； （2）求证：． 【答案】（1）1；（2）见分析 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．证明是等腰直角三角形，即可解决问题． （1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点拨】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； （2）当时，求四边形的面积． 【答案】（1），理由见分析；（2）． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． （1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$