精品解析：江苏省南通市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2024~2025学年度第一学期期末学业质量监测试卷 高二数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在x轴，y轴上的截距分别为（ ） A. 2，3 B. ，3 C. ， D. 2， 【答案】B 【解析】 【分析】分别令求出对应的的值即可得答案 【详解】解：令，得，令，得， 所以直线在x轴，y轴上的截距分别为，3， 故选：B 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准形式：，利用离心率公式即可求得结果. 【详解】因为椭圆，整理为，则， 所以，所以（负值舍去），故， 故选：C 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【详解】圆圆心坐标为，半径为， 所以点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 故选：B. 4. 在等比数列中，“”是“是递增数列”的（ ）条件 A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不充分不必要 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由已知可得，分类讨论可得数列也是递增数列，反之显然成立. 【详解】设等比数列的公比为，由，可得， 若，则，即，此时数列是递增数列， 若，则，即，此时数列也是递增数列， 反之，若数列是递增数列，则有， 所以“”是“是递增数列”的充要条件. 故选：A. 5. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【详解】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 6. 已知点在抛物线上，为的焦点，，则（ ） A. B. C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，再把点代入抛物线得出，最后计算求解即可. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为，又因为点在抛物线上， 所以，所以，所以. 故选：D. 7. 已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 8. 在等比数列中，，则（ ） A. B. 1 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意令，代入运算即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，则， 又因为， 令，可得，所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据递推公式特征，结合题意巧妙赋值. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设平面平面分别为的一个方向向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则所成角为 C. 若，则与所成角为 D. 若，则的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据方向向量和法向量的定义，结合线面关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，因为，所以， 又因为直线的夹角的范围为，则所成角为，故B正确； 对于C，如图，设点，，分别为平面上的垂足， 点为与平面的交点，,， 若，则平面与平面的夹角为或， 如下图，即，或，可得， 与所成角为，故C错误； 对于D，若，则的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，则是等差数列 B. 若是等比数列，则是等比数列 C. 若是等差数列，则是等比数列 D. 若是等差数列，则是等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】举出反例可得A；设出公比，借助等比数列性质计算可得B；借助等差数列的性质及等比数列的定义即可得C、D. 【详解】对A：假设，则， 此时不是等差数列，故A错误； 对B：设数列的公比为，则， ，故， 故是等比数列，故B正确； 对C：由题意可得，又，， 故，故是等比数列，故C正确； 对D：由题意可得，即，即， 又，，故， 故是等比数列，故D正确. 故选：BCD. 11. 在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 的通径长为4 B. 线段的中点在定直线上 C. 直线的斜率之积为定值 D. 若，直线与的准线交于点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：求出直线与轴交点后即可得，即可得通径；对B：联立直线与曲线方程，结合韦达定理可计算出线段的中点坐标，即可得其轨迹；对C：结合斜率定义与所得韦达定理计算即可得解；对D：由可得点坐标，再计算出点坐标即可得解. 【详解】对A：由过点，且抛物线的焦点在轴正半轴上， 故点即为抛物线的焦点，则，即， 则的通径长为，故A正确； 对B：，消去得：， 设、，则，， 有，， 故线段的中点为，在曲线上，不在定直线上，故B错误； 对C：， 故直线的斜率之积为定值，故C正确； 对D：若，由，则，， 则，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的位置关系__________. 【答案】相交 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【详解】由题意圆标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 13. 设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】若直线与双曲线恰有一个公共点，则该直线与双曲线相切或与渐近线平行，先考虑特殊直线或时的情况，再考虑时，分该直线与双曲线渐近线平行及该直线与双曲线相切进行讨论，该直线与双曲线渐近线平行时可直接得到关系，该直线与双曲线相切时，则需联立直线与双曲线方程，借助进行计算. 【详解】若，则，此时与轴平行，故与双曲线有两个公共点，不符； 若，则，此时与轴垂直，故需，即，故实数对或符合； 若，当，即时，直线与双曲线的渐近线平行， 又此时直线不过原点，故直线与双曲线必有唯一公共点，符合要求， 此时，例如实数满足条件； 当时，联立， 消去可得， 则需，化简得， 则，则有，则，则， 由，故，则， 故直线与双曲线必有唯一公共点， 故满足且的实数对符合要求； 又，时满足， 故可得实数对只需满足或即可. 故答案为：.（答案不唯一） 14. 已知数列的前项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，当为奇数时，，即可借助并项求和计算得. 【详解】当为奇数时，，即， 故，，， ，， 故 . 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，公差不为成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出通项． （2）利用裂项相消法求出数列的前项和即可证明． 【小问1详解】 依题意得，且，化简得， 解得； 【小问2详解】 ， 则 16. 设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. （1）求的周长； （2）设点在上，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干的条件求出，进而得到.利用椭圆的对称性以及两点之间的距离公式即可求得结果； （2）由（1）知，设出与直线平行的直线，与椭圆联立使得判别式等于0，即可求得直线，再利用平行线的距离公式与面积公式即可求得结果. 【小问1详解】 已知椭圆的右焦点为，因为， 所以,因为轴，把代入椭圆方程中，得到， 不妨设，因为关于原点对称，则， 所以， 由椭圆的对称性可知：,所以， 所以的周长为； 【小问2详解】 由（1）得， 由，可得直线的方程为：， 当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时， 即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设， 联立，整理得：， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线， 则两平行线的距离， 故的面积的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由点到平面的向量求法计算即可； （2）求出平面的法向量，由平面与平面所成角的向量求法计算即可． 【小问1详解】 过作于，因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为，所以△为等边三角形， 取的中点，连接，则，即， 因为，所以， 因为底面，所以，，两两互相垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，0，，，0，，，1，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 所以点到平面的距离为； 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 记正整数的所有正因数的和为，如.若，则称为“好数”. （1）判断28是否为“好数”，并说明理由， （2）证明：不“好数”； （3）设，求所有形如的“好数”. 【答案】（1）28是“好数”，证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“好数”的概念计算判断；（2）根据“好数”的概念，结合等比数列求和公式，计算判断；（3）根据“好数”的概念,结合等比数列的求和公式和指数增长规律计算即可. 【小问1详解】 对于，它的正因数有. 计算这些正因数的和，通过加法运算得到. 而，即，满足“好数”的定义，所以28是“好数”. 【小问2详解】 求的正因数之和，的正因数为，这是一个首项，公比，项数的等比数列. 根据等比数列求和公式，可得. 而，因为，即，所以不是“好数”. 【小问3详解】 先求，因为，根据正因数的性质，等于的正因数和与的正因数和的乘积. 的正因数和为， 的正因数和为. 所以. 令，即，化简得. 当时，左边， 右边，等式成立. 当时，对展开得，.通过分析指数函数的增长速度可知，此时左边大于右边，方程无解. 所以，那么形如的“好数”为，即形如的“好数”集合为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，本题中，根据“好数"的定义，结合等差数列与等比数列的通项公式与求和公式进行求解，考查等比数列与等比数列的综合应用，属于难题. 19. 在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. （1）判断是否为曲线的“优点”； （2）在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； （3）给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 【答案】（1）是；理由见解析 （2）都是曲线的“优点”，理由见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由点在轴上，由对称性可得； （2）设直线的方程，联立直线与双曲线方程.由点在双曲线上，利用韦达定理知求点坐标，同理可得点坐标，进而表示出斜率化简得定值；由点在轴上，作点关于轴的对称点，直线与双曲线交点，利用韦达定理得到关系，表示出直线方程，令化简得定点. （3）结合（1）（2）分析，得出条件，同理可证. 【小问1详解】 由，直线斜率分别为，可知两直线关于轴对称， 结合双曲线对称性可知，关于轴对称， 故直线的斜率，即斜率为定值， 所以是曲线的“优点”； 【小问2详解】 ①是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为，令， 则直线的方程为，令，且. 则. 由，可知在双曲线的下支上， 设， 联立，得， 由题意或. 由和是方程的两不等根，则由韦达定理知， 解得； 同理，将换成，换成，可得. 又， 则直线的斜率 . 故是曲线的“优点”. ②是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 由题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 ， 故直线过定点， 所以是曲线的“优点”. 【小问3详解】 若满足条件或， 则是曲线的“优点”，且①直线的斜率为定值. 当，即点在轴上时，直线的斜率为定值； 当，即点在双曲线上时，直线的斜率为定值； 若满足条件，即点在轴上（且不为原点）时， 则是曲线的“优点”，且②直线经过定点，定点为. 理由如下： 若，即点在轴上，由对称性可知，直线的斜率为定值； 若，即点在双曲线上时， 设直线， 联立得，， 题意或. ，则，， 以代得，，， ； 若满足条件，即点在轴上时，， 设直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 . 故直线过定点. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是直线斜率互为相反数，代同理取代简化运算；二是对称性应用，如当点在轴上时，应用对称转化为直线与双曲线有两个不同交点，进而联立方程利用韦达定理求解. 第1页/共1页 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B. C. D. 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在等比数列中，“”是“是递增数列”的（ ）条件 A. 充分必要 B. 充分不必要 C 必要不充分 D. 不充分不必要 5. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在抛物线上，为的焦点，，则（ ） A. B. C. D. 16 7. 已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（ ） A B. C. D. 8. 在等比数列中，，则（ ） A. B. 1 C. D. 无法确定 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设平面平面分别为的一个方向向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则所成角为 C. 若，则与所成角为 D. 若，则的夹角为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，则是等差数列 B. 若是等比数列，则是等比数列 C. 若是等差数列，则是等比数列 D. 若是等差数列，则是等比数列 11. 在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 的通径长为4 B. 线段的中点在定直线上 C. 直线的斜率之积为定值 D. 若，直线与准线交于点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的位置关系__________. 13. 设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是__________. 14. 已知数列的前项和为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列前项和为，公差不为成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，证明：. 16. 设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. （1）求的周长； （2）设点在上，求的面积的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 记正整数的所有正因数的和为，如.若，则称为“好数”. （1）判断28是否为“好数”，并说明理由， （2）证明：不是“好数”； （3）设，求所有形如的“好数”. 19. 在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. （1）判断是否为曲线“优点”； （2）在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； （3）给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$