专题03 将军饮马-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（重庆专用）

专题3 将军饮马 将军饮马模型是通过对称变换，得到最短路径。将军饮马及其延伸的变式模型成为近年重庆中考热点，在重庆中考及中考模拟卷中，常常结合二次函数最值问题进行考察。掌握这类问题的关键是理解并熟记将军饮马及相关延伸模型的作图方法。 2 模型 将军饮马 2 10 模型 将军饮马 1．已知定点A、B位于直线l两侧，在直线l上找一点P，使得值最小． 作法：连接交直线l于点P，此时P为所求点． 理由：，即当A、B、P三点共线时，值最小． 2．已知定点A、B位于直线l同侧，在直线上求一点，使值最小． 作法：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时P为所求点． 理由：∵点A与点关于直线l对称， ∴，，此时值最小． 3．已知定点P，在、上分别求点M、N，使的周长最小． 作法：作点P关于直线的对称点，作点P关于直线的对称点，连接交直线于点M，交直线于点N，此时的周长最小． 理由：∵点P与点关于直线对称，点P与点关于直线对称， ∴，， ∴的周长， 即当，M，N，四点共线时，的周长最小． 4．已知定点P、Q，在、上分别求点M、N，使四边形的周长最小． 作法：作点Q关于直线的对称点，作点P关于直线的对称点，连接交直线于点M，交直线于点N，此时四边形的周长最小． 理由：∵点Q与点关于直线对称，点P与点关于直线对称， ∴，， ∴四边形的周长， 即当，M，N，四点共线时，四边形的周长最小． 5．直线∥，在、，上分别求点M、N，使，且的值最小． 作法：连接，作且（点在点A下方），连接，则此时与直线n交点即为所求N点，作交直线m于点M，此时的值最小． 理由：∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴，即， 即当，N，B三点共线时，的值最小． 6．已知定点A、B，在直线上求两点M、N（M在左），使（定长），并使的值最小． 作法：连接，作且（点在点A右侧），作B关于直线l的对称点，连接则此时与直线l交点即为所求N点，将N点向左平移a个单位长度，即得到点M，此时的值最小． 理由：∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵B关于直线l的对称点， ∴， 即， 即当，N，三点共线时，的值最小． 7．已知定点P，在上求点A，在上求点B，使值最小． 作法：作P关于的对称点，作，交于点A，则此时值最小． 理由：∵P关于的对称点是， ∴， ∵， 即此时，的值最小． 8．A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使的值最小． 作法：作A关于的对称点，作B关于的对称点，连接交于点N，交于点M，则此时值最小． 理由：∵A关于的对称点，B关于的对称点， ∴，， ∵， 即此时，的值最小． 9．在直线上求一点P，使的值最大． 作法：连接并延长，交l于点P，则此时的值最大． 理由：∵， ∴当A、B、P三点共线时，的值最大． 10．在直线l上求一点P，使的值最大． 作法：作B关于l的对称点，连接并延长，交l于点P，则此时的值最大． 理由：∵B关于l的对称点， ∴， ∴， ∴当A、、P三点共线时，的值最大． 例1．在如图所示的中，的垂直平分线交于点D，垂足为E，F为上任意一点，若 ，，，则周长的最小值为（　　） A．11 B．13 C．14 D．15 【答案】C． 【解答】解：连接FC， ∵是的垂直平分线，F为上任意一点， ∴， ∵，， ∴周长， ∴周长的最小值为14， 故选：C． 例2．如图，在矩形中，E为边上一点，且，点M，N分别在，边上，连接， 和，已知，，当四边形周长最小时，的值为 　 　． 【答案】5． 【解答】解：如图，作点A关于的对称点，点E关于的对称点，连接，此时与交于点，与交于点，连接，， 则，， ∴四边形周长， ∴四边形周长最小时，点M位于点处， ∵， ∴， ∴， 由作图知， ∴此时． 故答案为：5． 例3．如图，抛物线，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛 物线上的一动点，过点P作轴，交于点D．点M是y轴上的一动点，连接，．当线 段长度取得最大值时，求周长的最小值． 【答案】． 【解答】解：令，则， ∴或4， ∴，． 令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点M，连接，如图， ∴此时最小，， ∴． ∵，， ∴， ∴周长的最小值． 1．如图，将边长为9的等边折叠，使点B恰好落在边上的点D处，折痕为，O为折痕 上的动点，若，则周长的最小值为（　　） A．6 B．12 C．15 D．18 2．如图，在中，，，是的两条中线，，P是上的 一个动点，则的最小值是（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm 3．已知、两点，在y轴上存在点P使得的值最小，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在等边三角形中，为的平分线，在，上分别取点M，N，且， ，在上有一动点P，则的最小值为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 5．如图，等边中，于D，，点P、Q分别为、上的两个定点且 ，在上有一动点E使最短，则的最小值为（　　） A．35 B．40 C．50 D．60 6．如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交 、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，在内部绕点A旋转， 两边分别交、于点E、F，连接，当周长最小时，为（　　） A． B． C． D． 9．如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x， 线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最 低点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，边长为6的等边三角形中，是上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边三角形，连结，则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．如图，，，点A为上一定点，点C为上一动点，B，D为上两动 点，当最小时，（　　） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 　 　． 13．如图，在中，，，，，D、E、F分别是、、 边上的动点，则的最小值是 　 　． 14．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点， 若的最小值是8cm，则的度数是 　 　． 15．如图所示，在正方形中，，点P为射线上一动点，连接，取其中点M，连接 ，将线段沿翻折得到线段，连接，，，则的最小值 为 　 　． 16．如图，抛物线交x轴于点，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C．点P 是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交x轴于D，作轴，垂足为E，交于 点F．点M和点N分别是x轴，y轴上的动点，连接，，，当取得最大值 时，求的最小值． 17．抛物线的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． 点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点M为x轴上的一个动点，点N为y轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及周长的最小值． 18．已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点． 若点P为直线上方抛物线上一动点，过P作于D，轴交于E，在下方作平行四边形，且点N在x轴上，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及的最小值． 19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接． 点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 20．抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接，点G为线段的中点． 点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点E、F是线段上两动点（点E在F的右侧），且，连接、．当取最大值时，求出此时点P的坐标及的最小值． 21．抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． 平分交x轴于D．点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点E，交直线于点F．点M、N是x轴上两个动点，（M在N的左侧），连接、，当线段取最大值时，求的最小值． 22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A在点B的右侧，连接，．点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，点M和点N是直线上的两个动点（点M在点N的下方），且，连接，，当时，求的最小值． 23．抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的 左侧），连接，．点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．连接，点P是直线下方抛物线上的动点，点E是y轴上一动点，于点D，当取最大值时，求点P的坐标及此时能使得取最大值的点E的坐标． 25．直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，与二次函数在第二象限交于点C．已知A为中点，点D为点A关于x轴的对称点，连接．点P是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接和，E为y轴上的一个动点，连接和，当时，求点P的坐标及的最大值． 26．已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接点G是直线上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直线于点E，作于点F，点M、N是线段上两个动点，且，连接、．当的周长最大时，求的最小值． 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 将军饮马 将军饮马模型是通过对称变换，得到最短路径。将军饮马及其延伸的变式模型成为近年重庆中考热点，在重庆中考及中考模拟卷中，常常结合二次函数最值问题进行考察。掌握这类问题的关键是理解并熟记将军饮马及相关延伸模型的作图方法。 2 模型 将军饮马 2 10 模型 将军饮马 1．已知定点A、B位于直线l两侧，在直线l上找一点P，使得值最小． 作法：连接交直线l于点P，此时P为所求点． 理由：，即当A、B、P三点共线时，值最小． 2．已知定点A、B位于直线l同侧，在直线上求一点，使值最小． 作法：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时P为所求点． 理由：∵点A与点关于直线l对称， ∴，，此时值最小． 3．已知定点P，在、上分别求点M、N，使的周长最小． 作法：作点P关于直线的对称点，作点P关于直线的对称点，连接交直线于点M，交直线于点N，此时的周长最小． 理由：∵点P与点关于直线对称，点P与点关于直线对称， ∴，， ∴的周长， 即当，M，N，四点共线时，的周长最小． 4．已知定点P、Q，在、上分别求点M、N，使四边形的周长最小． 作法：作点Q关于直线的对称点，作点P关于直线的对称点，连接交直线于点M，交直线于点N，此时四边形的周长最小． 理由：∵点Q与点关于直线对称，点P与点关于直线对称， ∴，， ∴四边形的周长， 即当，M，N，四点共线时，四边形的周长最小． 5．直线∥，在、，上分别求点M、N，使，且的值最小． 作法：连接，作且（点在点A下方），连接，则此时与直线n交点即为所求N点，作交直线m于点M，此时的值最小． 理由：∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴，即， 即当，N，B三点共线时，的值最小． 6．已知定点A、B，在直线上求两点M、N（M在左），使（定长），并使的值最小． 作法：连接，作且（点在点A右侧），作B关于直线l的对称点，连接则此时与直线l交点即为所求N点，将N点向左平移a个单位长度，即得到点M，此时的值最小． 理由：∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵B关于直线l的对称点， ∴， 即， 即当，N，三点共线时，的值最小． 7．已知定点P，在上求点A，在上求点B，使值最小． 作法：作P关于的对称点，作，交于点A，则此时值最小． 理由：∵P关于的对称点是， ∴， ∵， 即此时，的值最小． 8．A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使的值最小． 作法：作A关于的对称点，作B关于的对称点，连接交于点N，交于点M，则此时值最小． 理由：∵A关于的对称点，B关于的对称点， ∴，， ∵， 即此时，的值最小． 9．在直线上求一点P，使的值最大． 作法：连接并延长，交l于点P，则此时的值最大． 理由：∵， ∴当A、B、P三点共线时，的值最大． 10．在直线l上求一点P，使的值最大． 作法：作B关于l的对称点，连接并延长，交l于点P，则此时的值最大． 理由：∵B关于l的对称点， ∴， ∴， ∴当A、、P三点共线时，的值最大． 例1．在如图所示的中，的垂直平分线交于点D，垂足为E，F为上任意一点，若 ，，，则周长的最小值为（　　） A．11 B．13 C．14 D．15 【答案】C． 【解答】解：连接FC， ∵是的垂直平分线，F为上任意一点， ∴， ∵，， ∴周长， ∴周长的最小值为14， 故选：C． 例2．如图，在矩形中，E为边上一点，且，点M，N分别在，边上，连接， 和，已知，，当四边形周长最小时，的值为 　 　． 【答案】5． 【解答】解：如图，作点A关于的对称点，点E关于的对称点，连接，此时与交于点，与交于点，连接，， 则，， ∴四边形周长， ∴四边形周长最小时，点M位于点处， ∵， ∴， ∴， 由作图知， ∴此时． 故答案为：5． 例3．如图，抛物线，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛 物线上的一动点，过点P作轴，交于点D．点M是y轴上的一动点，连接，．当线 段长度取得最大值时，求周长的最小值． 【答案】． 【解答】解：令，则， ∴或4， ∴，． 令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点M，连接，如图， ∴此时最小，， ∴． ∵，， ∴， ∴周长的最小值． 1．如图，将边长为9的等边折叠，使点B恰好落在边上的点D处，折痕为，O为折痕 上的动点，若，则周长的最小值为（　　） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C． 【解答】解：由题意可知：是B、D的对称轴， ∴，即B与D关于对称， ∵周长为， ∴当B，O，C三点共线时，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴周长最小值， 故选：C． 2．如图，在中，，，是的两条中线，，P是上的 一个动点，则的最小值是（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm 【答案】B． 【解答】解：连接交于点P， ∵，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为4cm， 故选：B． 3．已知、两点，在y轴上存在点P使得的值最小，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：作A点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P， ∴， ∴， ∴当B、P、共线时，有最小值， ∵， ∴， 设的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，在等边三角形中，为的平分线，在，上分别取点M，N，且， ，在上有一动点P，则的最小值为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B． 【解答】解：∵，， ∴． ∵等边三角形中，为的平分线， ∴为等边三角形的中线．所在的直线为的对称轴． ∴． ∴． 作点M关于的对称点，则点在线段上． ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． 连接交于点P， ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴的最小值为8． 故选：B． 5．如图，等边中，于D，，点P、Q分别为、上的两个定点且 ，在上有一动点E使最短，则的最小值为（　　） A．35 B．40 C．50 D．60 【答案】C． 【解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为50． 故选：C． 6．如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交 、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C． 【解答】解：连接，过点D作于H． ∵面积为21，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的值最小值为7． 故选：C． 7．如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，如图， 此时最小． ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，在四边形中，，，在内部绕点A旋转， 两边分别交、于点E、F，连接，当周长最小时，为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值． 由题意，知， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 9．如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x， 线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最 低点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵图象右端点F的坐标为，M是的中点， ∴，， ∴，， 如图，连接，连接交于点，连接， ∴当点N在点时，取得最小值，最小值为， ∵四边形为菱形，， ∴三角形为等边三角形，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴点E的坐标为． 故选：C． 10．如图，边长为6的等边三角形中，是上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边三角形，连结，则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是上的中线， ∴，， ∴， ∴点E在射线上运动，其中， 如图，作点A关于直线的对称点M，连接，， 则，，， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴周长的最小值． 故选：A． 11．如图，，，点A为上一定点，点C为上一动点，B，D为上两动 点，当最小时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：作点C关于的对称点，过点作射线，则，连接，，则，，作点D关于的对称点，过点作射线，则，连接，则， ∴， 要使最小，需点A，B，，在一条直线上，且， ∵， ∴， ∴可以过点A作， 此时， ， ∴当最小时，， 故选：B． 12．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 　 　． 【答案】4． 【解答】解：在上取一点，使，过点C作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 在中， ， 由勾股定理，得， 在中， ． 故答案为：4． 13．如图，在中，，，，，D、E、F分别是、、 边上的动点，则的最小值是 　 　． 【答案】4.8． 【解答】解：如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，，，，，． 则，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∴当M、F、E、N共线，且时，最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4.8． 故答案为：4.8． 14．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点， 若的最小值是8cm，则的度数是 　 　． 【答案】． 【解答】解：分别作点P关于、的对称点C、D，连接， 分别交、于点M、N，连接、、、、，如图所示： ∵点P关于的对称点为D，关于的对称点为C， ∴，，； ∵点P关于的对称点为C， ∴，，， ∴，， ∵的最小值是8cm， ∴， ∴， 即， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图所示，在正方形中，，点P为射线上一动点，连接，取其中点M，连接 ，将线段沿翻折得到线段，连接，，，则的最小值 为 　 　． 【答案】． 【解答】解：过M点作，交于Q点，交于R点，如图所示， 在正方形中，，M为中点， ∴Q，R分别为，中点， ∴为等腰三角形， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵且，M在中垂线上， ∴N的轨迹为直线右侧3个单位的平行线l， 作D关于直线l的对称点H，如图所示， 则最小值为，即最小值， 故答案为：． 16．如图，抛物线交x轴于点，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C．点P 是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交x轴于D，作轴，垂足为E，交于 点F．点M和点N分别是x轴，y轴上的动点，连接，，，当取得最大值 时，求的最小值． 【答案】． 【解答】解： ∵，，， ∴， 如图1，∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则F的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为， 如图2，作点P关于x轴的对称点，作点P关于y轴的对称点， 由勾股定理得：， 连接，，， ∴， ∴的最小值是． 17．抛物线的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． 点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点M为x轴上的一个动点，点N为y轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及周长的最小值． 【答案】，周长的最小值． 【解答】解：由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 过点P作轴交于点H， 设点，， 则， 则， 故当时，的面积取得最大值，即点， 过点P分别作x轴、y轴的对称点、，连接交x轴于点M交y轴于点N，则此时周长最小， 此时周长最小． 18．已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点． 若点P为直线上方抛物线上一动点，过P作于D，轴交于E，在下方作平行四边形，且点N在x轴上，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及的最小值． 【答案】，的最小值． 【解答】解：令， 解得，， ∴，， ∴， ∴， 延长至G，交x轴于H，使，连接，， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为，将点C，点B的坐标代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 设，由轴交于E可得， ∴， ∴， ∴当时，的长度最大，此时，， ∵，， ∴与G关于x轴对称， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当C、N、G三点共线时最小，最小值为长， ∵，， ， 即的最小值为． 19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接． 点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】的最小值6． 【解答】解：∵，， ∴直线的解析式为：， 设，， ∴， ∴当时，， ∴， 将点A向下平移1个单位，记作，连接，交y轴E， ∴， ∴． 20．抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接，点G为线段的中点． 点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点E、F是线段上两动点（点E在F的右侧），且，连接、．当取最大值时，求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】点P的坐标为，的最小值． 【解答】解：设直线的解析式为，代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交于M，交x轴于N， 则，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，当时，有最大值，即取最大值， 此时， 作，（D在P左侧），连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ，， ， ， ∴的最小值为； ∴综上所述，此时点P的坐标为，的最小值． 21．抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． 平分交x轴于D．点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点E，交直线于点F．点M、N是x轴上两个动点，（M在N的左侧），连接、，当线段取最大值时，求的最小值． 【答案】的最小值为． 【解答】解：如图，过点P作轴，交x轴于点K，交直线于点H， ∵抛物线的对称轴是直线，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，直线：， 设，则， ∴， 当时，最大，即最大， 此时，， 将点P向左平移个单位，得到， 作点C关于x轴的对称点，则， 连结， 则， 所以当线段取最大值时，的最小值为． 22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A在点B的右侧，连接，．点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，点M和点N是直线上的两个动点（点M在点N的下方），且，连接，，当时，求的最小值． 【答案】的最小值是． 【解答】解：如图1，过点P作轴，交于点K，过点B作，过点N作，和交于点E，过点E作轴于H， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由于是定值，所以当最小时，的值最小，即E，N，P三点共线时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴H与O重合（如图2）， ∴， ∴， ∴的最小值是． 23．抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的 左侧），连接，．点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】的最小值为． 【解答】解：由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：、、，则点， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：， 设点，则点， 则， 当时，取得最大值，则点、，则， 将点A向右平移2个单位得到点，连接交y轴于点N，过点N作，连接， 则四边形为平行四边形，则， 则此时为最小． 24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．连接，点P是直线下方抛物线上的动点，点E是y轴上一动点，于点D，当取最大值时，求点P的坐标及此时能使得取最大值的点E的坐标． 【答案】，． 【解答】解：如图，过P作轴于G，交于点F， ∵， ∴， ∵轴于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∵，， ∴直线解析式为， 设， ， ∴， ∴， ∴当时最大，此时， ∵， ∴当P、E、A三点共线时最大， 设直线解析式为，代入，得： ， 解得， ∴直线解析式为， 令可得， ∴． 25．直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，与二次函数在第二象限交于点C．已知A为中点，点D为点A关于x轴的对称点，连接．点P是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接和，E为y轴上的一个动点，连接和，当时，求点P的坐标及的最大值． 【答案】，的最大值为． 【解答】解：∵，，， ∴，，直线：， ∴， ∵， ∴， 过点P作轴交于点Q，如图， 设点P的坐标为，， ∴， ∴，解得，（舍去）， ∴点P的坐标为， 如图，作点C关于y轴的对称点F，连接，， 则点F的坐标为，且， ∵，即当P、E、F三点共线时取等号，有最大值， 最大值为， ∴的最大值为． 26．已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接点G是直线上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直线于点E，作于点F，点M、N是线段上两个动点，且，连接、．当的周长最大时，求的最小值． 【答案】最小值为． 【解答】解：， ∴抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，顶点， ∴直线解析式：，， ∵轴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 设点，则点，其中， ∴， ∴时，有最大值为， ∴的周长最大时，，， ∴， 如图，作点D关于直线的对称点，过N作且， ∴，即， ∴， ∴当、N、G在同一直线上时，为最小值 ∵， ∴最小值为． 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$