专题11 成对数据的统计相关性6考点复习指南-【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题11 成对数据的统计相关性6考点复习指南 1．变量的相关关系 (1)函数关系 函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示. (2)相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关 系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. 2．散点图 (1)散点图 成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (2)正相关和负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个 变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关. 3．线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线 性相关. 4．样本相关系数 (1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用 相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式： （其中，，，和，，，的均值分别为和）. ①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小； 当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大. ②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大； 当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小. 考点1 相关关系与函数关系的概念及辨析 1．（2024高二·全国月考）下列说法正确的是（    ） A．中的x，y是具有相关关系的两个变量 B．正四面体的体积与棱长具有相关关系 C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量 2．【多选】（2024高二·江苏月考）下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（　　） A．角度和它的余弦值 B．眼睛的近视程度与看手机的时间 C．正边形的边数和内角和的度数 D．人的年龄和身高 3．（2024高二·全国月考）下列两个变量之间的关系是函数关系的是 ． ①角度和它的余弦值；②正方形的边长和面积 ③正n边形的边数和内角和；④人的年龄和身高 考点2 判断两个变量是否有相关关系 4．【多选】（2024高二·全国·随堂练习）下列关系是相关关系的是（    ） A．角度和它的正弦值之间的关系 B．某商场搞促销活动与销售量之间的关系 C．作文水平与课外阅读量之间的关系 D．底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系 5．【多选】（2024高二·全国·课堂例题）下列两个变量存在相关关系的为（    ） A．扇形的半径与面积之间的关系 B．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 C．人的身高与体重之间的关系 D．家庭的支出与收入之间的关系 6．（2024高三·上海·课堂例题）下列关系中是相关关系的是 （填序号） ①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系. 7．（2024高三·上海·随堂练习）下列各组数据中，可以进行相关分析的是 ．（填序号） ①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系； ⑤角度和它的余弦值； ⑥正n边形的边数和内角和． 考点3 利用散点图判断正、负相关 8．（2024高二·全国月考）下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024高二·广西钦州·期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（    ）    A．可能存在负相关B．可能存在正相关 C．一定存在正相关 D．一定存在负相关 10．（2024高二·北京东城·期末）某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（    ） A．肺活量 B．视力 C．肢体柔韧度 D．BMI指数 11．（2024高二·河北石家庄月考）观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（    ） A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 考点4 样本相关系数的意义及辨析 12．（2024高二·全国月考）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 13．（2024高二·全国·单元测试）变量X与Y相对应的一组数据为：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则与的大小关系是 . 14．（2024高二·广东潮州·期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（    ） A． B． C． D． 15．（2024高三·广东汕头·期中）以下4幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为 . 考点5 相关系数的计算 16．（2024高三·陕西汉中·期末）大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52 耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9 并计算得． (1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量； (2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．附：相关系数． 17．（2024高三·广东广州月考）某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下： (1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到） (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？ 参考数据：.附：相关系数. 18．（2024高三·陕西安康月考）某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表： 月份序号 每袋出厂价格 月销售量 并计算得，，. (1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的每袋出厂价格的平均数、平均月销售量和平均月销售收入； (2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）； (3)若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性. 附：样本相关系数，. 19．（2024高三·天津·期末）学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：，，，，， 相关系数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是 相关（填“正”或“负”），其相关系数 （结果保留两位小数） 20．（2024高三·陕西·期中）人口结构的变化，能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高，住房需求就会增加，而当一个地区老龄化严重，住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市，统计了每个城市的老龄化率和空置率，得到如下表格. 城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 老龄化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8 空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2 并计算得. (1)若老龄化率不低于，则该城市为超级老龄化城市，根据表中数据，估计该地区城市为超级老龄化城市的频率； (2)估计该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数（结果精确到0.01）. 参考公式：相关系数. 考点6 相关系数与其他知识综合 21．（2024·广西柳州·模拟预测）某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： (1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 22．（2024高三·江苏南通·期中）为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得． (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度； (2)已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数．利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列． 附：相关系数． x 0 1 2 3 4 p 23．（2024高三·山东济宁月考）某学校对高三（1）班50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，，其中（，且）分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值，试估计该校共1600名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中，； ②样本相关系数；③； ④若，则. 24．（2024高三·河南月考）某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题11 成对数据的统计相关性6考点复习指南 1．变量的相关关系 (1)函数关系 函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示. (2)相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关 系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. 2．散点图 (1)散点图 成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (2)正相关和负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个 变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关. 3．线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线 性相关. 4．样本相关系数 (1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用 相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式： （其中，，，和，，，的均值分别为和）. ①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小； 当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大. ②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大； 当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小. 考点1 相关关系与函数关系的概念及辨析 1．（2024高二·全国月考）下列说法正确的是（    ） A．中的x，y是具有相关关系的两个变量 B．正四面体的体积与棱长具有相关关系 C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量 【答案】D 【分析】根据相关关系的定义、函数的定义即可判断 【解析】A，B均为函数关系，故A、B错误；C，D为相关关系，故C错，D对. 故选：D 2．【多选】（2024高二·江苏月考）下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（　　） A．角度和它的余弦值 B．眼睛的近视程度与看手机的时间 C．正边形的边数和内角和的度数 D．人的年龄和身高 【答案】BD 【分析】根据函数关系定义依次判断各个选项即可. 【解析】对于A，角度和它的余弦值满足函数关系，A是函数关系； 对于B，眼睛的近视程度与看手机的事件是客观存在的相互依存的不确定性关系，B不是函数关系； 对于C，正边形的边数和内角和的度数满足函数关系，C是函数关系； 对于D，人的年龄和身高是客观存在的相互依存的不确定性关系，D不是函数关系. 故选：BD. 3．（2024高二·全国月考）下列两个变量之间的关系是函数关系的是 ． ①角度和它的余弦值；②正方形的边长和面积 ③正n边形的边数和内角和；④人的年龄和身高 【答案】①②③ 【分析】利用函数关系是变量间的确定性关系的事实对四个命题依次判断即可得解. 【解析】①②③中的两个变量之间是一种确定性的关系，都是函数关系，它们的函数关系式分别为f(θ)=cosθ，g(a)=a2，h(n)=(n-2)×180°， ④中人的年龄和身高这两个变量不是确定性的关系，它们不是函数关系，对于年龄相同的人来说，有很多不同的身高值. 故答案为：①②③ 考点2 判断两个变量是否有相关关系 4．【多选】（2024高二·全国·随堂练习）下列关系是相关关系的是（    ） A．角度和它的正弦值之间的关系 B．某商场搞促销活动与销售量之间的关系 C．作文水平与课外阅读量之间的关系 D．底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系 【答案】BC 【分析】根据相关关系的定义即可判断. 【解析】A,D选项两个变量之间的关系是函数关系， B,C选项两个变量之间的关系是相关关系. 故选：BC. 5．【多选】（2024高二·全国·课堂例题）下列两个变量存在相关关系的为（    ） A．扇形的半径与面积之间的关系 B．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 C．人的身高与体重之间的关系 D．家庭的支出与收入之间的关系 【答案】BCD 【分析】根据相关关系的定义即可求解. 【解析】扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系． 故选：BCD 6．（2024高三·上海·课堂例题）下列关系中是相关关系的是 （填序号） ①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系. 【答案】②③ 【分析】根据相关关系是一种不确定的关系，是两个变量之间确实存在的关系，由此判断即可． 【解析】对于①，曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应关系，不是相关关系，是确定性关系； 对于②，苹果的产量与气候之间确实存在一定的关系，虽然变量的值不确定，但它们仍按某种规律在一定的范围内变化，属于相关关系； 对于③，森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间确实存在一定的关系，虽然变量的值不确定，但它们仍按某种规律在一定的范围内变化，属于相关关系； 对于④，学生与他（她）的学号之间的关系是一种确定的对应关系，是映射，不是相关关系. 故答案为：②③ 7．（2024高三·上海·随堂练习）下列各组数据中，可以进行相关分析的是 ．（填序号） ①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系； ⑤角度和它的余弦值； ⑥正n边形的边数和内角和． 【答案】②③ 【分析】利用相关关系的概念进行判断． 【解析】由题意可知：①④⑤⑥是函数关系，是两个变量之间的关系是一种确定性关系， 比如⑤⑥可以写出它们的函数关系式，分别为，， 而②③中的两个变量之间有一定关系，但不是确定关系，所以它们具有相关关系． 故答案为：②③. 考点3 利用散点图判断正、负相关 8．（2024高二·全国月考）下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由正、负相关的概念逐项判断即可. 【解析】从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关． 结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个． 故选：B 9．（2024高二·广西钦州·期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（    ）    A．可能存在负相关B．可能存在正相关 C．一定存在正相关 D．一定存在负相关 【答案】A 【分析】根据散点图以及相关关系的定义判断即可． 【解析】解：从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，所以据此可以推断变量x与y之间可能存在负相关， 故选：A． 10．（2024高二·北京东城·期末）某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（    ） A．肺活量 B．视力 C．肢体柔韧度 D．BMI指数 【答案】A 【分析】根据给定的散点图，结合正相关的意义判断即得. 【解析】对于A，儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A正确； 对于B，儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B错误； 对于C，肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C错误； 对于D，BMI指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D错误. 故选：A 11．（2024高二·河北石家庄月考）观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（    ） A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 【答案】A 【分析】根据给定的散点图，结合相关性，即可求解. 【解析】根据给定的散点图，可得a中的数据分布在左下方到右上方的区域里，为正相关， b中的数据分布在左上方到右下方的区域里，为负相关， c中的数据各点分布不成带状，相关性不明确，不相关. 故选：A. 考点4 样本相关系数的意义及辨析 12．（2024高二·全国月考）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据散点图分析出样本的相关关系即可. 【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出， 左侧两图是正相关，样本相关系数大于0，则，， 右侧两图是负相关，样本相关系数小于0，则，， 下方两图的点相对更加集中，所以相关性较强，所以接近于1，接近于－1， 上方两图的点相对分散一些，所以相关性较弱，所以和比较接近0， 由此可得． 故选：B． 13．（2024高二·全国·单元测试）变量X与Y相对应的一组数据为：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则与的大小关系是 . 【答案】 【分析】通过相关系数的知识确定正确答案. 【解析】由数据可知与正相关，与负相关， 所以，则. 故答案为： 14．（2024高二·广东潮州·期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据散点图的分布，以及散点图是否在一条直线附近，即可判断相关系数. 【解析】由图形特征可知都是负相关，都是负数，比的相关系数更强，所以，，都是正相关，比的相关系数更强，所以， 所以AC正确. 故选：AC 15．（2024高三·广东汕头·期中）以下4幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为 . 【答案】 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可； 【解析】根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以， 又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散， 故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小， 所以. 故答案为： 考点5 相关系数的计算 16．（2024高三·陕西汉中·期末）大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52 耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9 并计算得． (1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量； (2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．附：相关系数． 【答案】(1)平均每个零件的横截面积为，一个零件的耗材量 (2) (3) 【分析】（1）计算出样本中10个零件的横截面积的平均值和耗材量的平均值，得到答案； （2）代入相关系数公式计算出答案. （3）根据零件的耗材量和其横截面积近似成正比得到方程，求出答案. 【解析】（1）样本中10个这种零件的横截面积的平均值， 样本中10个这种零件的耗材量的平均值， 由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为， 平均一个零件的耗材量为． （2） ， 这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数为. （3）设这种零件的总耗材量的估计值为， 又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比， ，解得， 故这种零件的总耗材量的估计值为． 17．（2024高三·广东广州月考）某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下： (1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到） (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？ 参考数据：.附：相关系数. 【答案】(1)可以，理由见解析 (2)方案二更优惠，理由见解析 【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论； （2）设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元，计算出、的值，比较大小后可得出结论. 【解析】（1）解：，， 所以，， ，， 所以，， 所以，与的线性相关性很强，故可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系. （2）解：设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元， 由题意可知，（元）， 的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，， 所以，方案二更优惠. 18．（2024高三·陕西安康月考）某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表： 月份序号 每袋出厂价格 月销售量 并计算得，，. (1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的每袋出厂价格的平均数、平均月销售量和平均月销售收入； (2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）； (3)若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性. 附：样本相关系数，. 【答案】(1)平均每袋出厂价格为（元），平均月销售量为（万袋），平均月销售收入为（万元） (2) (3)该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性 【分析】（1）由表格中数据和参考数据进行计算即可； （2）将样本相关系数公式转化为，利用表中数据和参考数据进行计算即可； （3）将（2）中样本相关系数的绝对值与进行比较即可. 【解析】（1）该食品加工厂这六个月内这种袋装食品每袋出厂价格的平均数： （元）， 平均月销售量为（万袋）， 平均月销售收入为（万元）. （2）由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为： . （3）由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数，所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性. 19．（2024高三·天津·期末）学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：，，，，， 相关系数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是 相关（填“正”或“负”），其相关系数 （结果保留两位小数） 【答案】 正 0.99 【分析】根据正相关和负相关的定义即可得出结论；根据相关系数公式求相关系数即可. 【解析】由表中数据得随的增大而增大， 所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关， . 故答案为：正；. 20．（2024高三·陕西·期中）人口结构的变化，能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高，住房需求就会增加，而当一个地区老龄化严重，住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市，统计了每个城市的老龄化率和空置率，得到如下表格. 城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 老龄化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8 空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2 并计算得. (1)若老龄化率不低于，则该城市为超级老龄化城市，根据表中数据，估计该地区城市为超级老龄化城市的频率； (2)估计该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数（结果精确到0.01）. 参考公式：相关系数. 【答案】(1)估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为 (2)该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63 【分析】（1）由已知数据确定老龄化率不低于的城市个数后用频率估计概率； （2）根据所给公式计算相关系数可得． 【解析】（1）由表中数据可知，调查的10个城市中，老龄化率不低于的有4个， 故估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为. （2）， 则 . 故该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63. 考点6 相关系数与其他知识综合 21．（2024·广西柳州·模拟预测）某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： (1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据折线图中数据和附注中参考数据可计算相关系数； （2）根据题意得，由递推关系可得等比数列，利用等比数列的前项和公式计算即可； （3）利用指数函数的单调性和极限思想可求最值. 【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，， ， 所以相关系数， 因为与的相关系数近似为0.9632，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）依题意得，，其中，， 则， 所以是以首项为，公比为的等比数列， 故成立， 则有， 所以，又， 则. （3）当为偶数时，，单调递减，最大值为，， 当为奇数时，，单调递增，最小值为，， 所以数列的最大值为，最小值为． 22．（2024高三·江苏南通·期中）为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得． (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度； (2)已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数．利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列． 附：相关系数． 【答案】(1)相关系数，考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关 (2)答案见解析 【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可代入求解； （2）根据二项分布概率公式求解概率，即可得分布列． 【解析】（1）， 接近考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关． （2）考试成绩低于样本平均数的概率记为， 则 x 0 1 2 3 4 p 23．（2024高三·山东济宁月考）某学校对高三（1）班50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，，其中（，且）分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值，试估计该校共1600名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中，； ②样本相关系数；③； ④若，则. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相关系数的求法求得正确答案. （2）先求得，然后根据正态分布的对称性求得正确答案. 【解析】（1）由关于的线性回归方程为知， 即， 又由，可得， 所以与的样本相关系数： . （2）由，解得，所以， 又由， 及可得： ， 于是估计该校1600名高三学生中， 数学成绩位于区间的人数约为人. 24．（2024高三·河南月考）某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 【答案】(1) (2)652 【分析】（1）根据方差和求出，，然后代入公式可得； （2）由求出，然后根据特殊区间求出，然后可得. 【解析】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以. （2）因为，， 所以，解得，即， 因为，所以， 所以数学成绩服从正态分布， 因为 ， 所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$