2024-2025学年下学期高二数学课时作业·6.1第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用（人教A版选必三）

课时作业·6.1第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　) A．324　　　　　　　　 B．328 C．360 D．648 答案　B 解析　组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：①当个位上是0时，共有9×8＝72种情况；②当个位上是不为0的偶数时，共有4×8×8＝256种情况．综上，共有72＋256＝328种情况． 2．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数为(　　) A．8 B．15 C．125 D．243 答案　D 解析　每名大学生有3种不同的分配方式，所以共有35＝243种不同的分配方式． 3．有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是(　　) A．23 B．24 C．80 D．81 答案　D 解析　每个信号显示窗都有3种可能，故有34＝81种不同信号． 4．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有(　　) A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 答案　B 解析　方法一(直接法)：黄瓜种在第一块土地上有3×2＝6(种)．同样，黄瓜可种在第二块、第三块土地上，共有不同的种法有6×3＝18(种)． 方法二(间接法)：4种选3种，种在三块地上有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，共有不同种法24－6＝18(种)． 5．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为(　　) A．42 B．48 C．96 D．124 答案　A 解析　因为原定节目顺序已确定，有6个空，插入第一个新节目有6种插法，这时6个节目产生7个空，插入第二个节目有7种插法，所以共6×7＝42(种)．故选A. 6．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有(　　) A．32个 B．34个 C．36个 D．38个 答案　A 解析　先把数字分成5组：{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32个这样的子集． 7．用5种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，则不同的涂色方案共有(　　) A．1 140种 B．1 520种 C．1 400种 D．1 280种 答案　D 解析　从左到右依次涂色(也可以任选一个环作为开始)，第一个圆环有5种选择，第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，所以涂色方案总数为5×4×4×4×4＝1 280.故选D. 8．多项式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展开式共有________项． 答案　10 解析　共有3×2＋2×2＝10(项)． 9．动物园的一个大笼子里有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？ 解析　因为3只羊都被吃掉，故应分为三步，逐一考虑．每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉，故有4种可能，按照分步乘法计数原理，故有4×4×4＝43＝64种情况． 10．用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个 (1)三位整数？ (2)无重复数字的三位整数？ (3)小于500的无重复数字的三位整数？ (4)小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？ (5)小于100的无重复数字的自然数？ 解析　由于0不可在首位，因此应对它进行单独考虑． (1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)． (2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)． (3)百位数字只有4种选择，十位数字可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)． (4)百位数字只有4种选择，个位数字只有2种选择，十位数字可有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×2×8＝64(个)． (5)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类． 一位自然数：10个． 两位自然数：十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的两位数共有9×9＝81(个)． 由分类加法计数原理知，符合题意的自然数共有10＋81＝91(个)． 11．某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是(　　) A．18 B．24 C．36 D．72 答案　C 解析　由题意可得，分两类：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种方法；要1个翻译人员有2种方法；再从剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3＝18种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种方法；要1个翻译人员有2种方法；再从剩下的3个人中选2人，有3种方法，共3×2×3＝18种分配方案．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(种)． 12．若形如“a1a2a3”的三位正整数满足a1>a2且a2<a3，则称这样的三位数为凹数(102，312，989等)，那么在三位正整数中，所有的凹数个数为________(用数字作答)． 答案　285 解析　∵a1>a2且a2<a3，即十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字， ∴当十位上的数字是0时，有9×9＝81种结果； 当十位上的数字是1时，有8×8＝64种结果； 当十位上的数字是2时，有7×7＝49种结果； 当十位上的数字是3时，有6×6＝36种结果； 当十位上的数字是4时，有5×5＝25种结果； 当十位上的数字是5时，有4×4＝16种结果； 当十位上的数字是6时，有3×3＝9种结果； 当十位上的数字是7时，有2×2＝4种结果； 当十位上的数字是8时，有1×1＝1种结果， 将上述各数相加得到共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285个凹数． 13．从正方体的6个面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法． 答案　12 解析　分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法．由分步乘法计数原理共有3×4＝12种取法． 14．如图所示，在A，B间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通，现发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种． 答案　13 解析　4个焊接点共有24种情况，其中使A，B之间线路通的情况有1，4都通，2和3至少有1个通，此时共有3种可能，故A，B之间线路不通焊接点脱落的情况有24－3＝13(种)． 15．“比特币”对于大家来说，已经再熟悉不过了．但是你知道比特币是通过哈希算法来加密的吗？实际上，哈希算法是一种加密技术．已知p－hashing是最简单的哈希算法之一，它把一个较大数字的每一位改成它除以素数p所得到的余数．如：对于544 213进行2－hashing，我们得到的哈希值为100 011，那么对它进行3－hashing，将得到________．同时，我们容易发现使得2－hashing后得到哈希值为100 011的正整数共有________个． 答案　211 210　56 解析　对544 213进行3－hashing，即数字5，4，4，2，1，3除以3所得余数分别为2，1，1，2，1，0，故得到的哈希值为211 210；除以2余数为1的数字有1，3，5，7，9，共5个，余数为0的数字有0，2，4，6，8，共5个，六位整数的每一个数位上都有5个数字可取，共有5×5×5×5×5×5＝56(个)，即哈希值为100 011的正整数共有56个． 16．假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示．该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日～4月29日)内选择一天出游，在①甲只选择空气质量为优的一天出游；②乙不选择4月27日出游；③丙不选择4月24日出游；④甲与乙不选择同一天出游这四个条件中任选其中三个，求这三人出游的不同方法数． 未来六天空气质量预报 4月24日 4月25日 4月26日 4月27日 4月28日 4月29日 优 优 优 优 良 良 解析　若选择①②③，则三人出游的不同方法数N＝4×5×5＝100. 若选择①②④，则需分两类，第一类，若甲选择4月27日出游，则三人出游的不同方法数N1＝5×6＝30；第二类，若甲不选择4月27日出游，则三人出游的不同方法数N2＝3×4×6＝72.故这三人出游的不同方法数N＝N1＋N2＝102. 若选择①③④，则三人出游的不同方法数N＝4×5×5＝100. 若选择②③④，则三人出游的不同方法数N＝5×5×5＝125. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业·6.1第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　) A．324　　　　　　　　 B．328 C．360 D．648 2．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数为(　　) A．8 B．15 C．125 D．243 3．有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是(　　) A．23 B．24 C．80 D．81 4．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有(　　) A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 5．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为(　　) A．42 B．48 C．96 D．124 6．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有(　　) A．32个 B．34个 C．36个 D．38个 7．用5种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，则不同的涂色方案共有(　　) A．1 140种 B．1 520种 C．1 400种 D．1 280种 8．多项式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展开式共有________项． 9．动物园的一个大笼子里有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？ 10．用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个 (1)三位整数？ (2)无重复数字的三位整数？ (3)小于500的无重复数字的三位整数？ (4)小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？ (5)小于100的无重复数字的自然数？ 11．某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是(　　) A．18 B．24 C．36 D．72 12．若形如“a1a2a3”的三位正整数满足a1>a2且a2<a3，则称这样的三位数为凹数(102，312，989等)，那么在三位正整数中，所有的凹数个数为________(用数字作答)． 13．从正方体的6个面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法． 14．如图所示，在A，B间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通，现发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种． 15．“比特币”对于大家来说，已经再熟悉不过了．但是你知道比特币是通过哈希算法来加密的吗？实际上，哈希算法是一种加密技术．已知p－hashing是最简单的哈希算法之一，它把一个较大数字的每一位改成它除以素数p所得到的余数．如：对于544 213进行2－hashing，我们得到的哈希值为100 011，那么对它进行3－hashing，将得到________．同时，我们容易发现使得2－hashing后得到哈希值为100 011的正整数共有________个． 16．假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示．该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日～4月29日)内选择一天出游，在①甲只选择空气质量为优的一天出游；②乙不选择4月27日出游；③丙不选择4月24日出游；④甲与乙不选择同一天出游这四个条件中任选其中三个，求这三人出游的不同方法数． 未来六天空气质量预报 4月24日 4月25日 4月26日 4月27日 4月28日 4月29日 优 优 优 优 良 良 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$