第20章 数据的分析（思维导图+知识梳理+24大考点讲练+优选真题难度分层练 共68题）-2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练测

2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第20章 数据的分析 （思维导图+知识梳理+24大考点讲练+优选真题难度分层练 共68题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指因 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：算术平均数和加权平均数 3 知识点梳理02：中位数和众数 4 知识点梳理03：平均数、中位数与众数的联系与区别 4 知识点梳理04：极差、方差和标准差 4 知识点梳理05：极差、方差和标准差的联系与区别 5 知识点梳理06：用样本估计总体 5 重点知识考点精练 5 考向一：平均数 5 考点讲练01：求一组数据的平均数 5 考点讲练02：已知平均数求未知数据的值 7 考点讲练03：利用已知的平均数求相关数据的平均数 7 考点讲练04：利用平均数做决策 8 考点讲练05：求加权平均数 9 考点讲练06：利用加权平均数求未知数据的值 11 考点讲练07：运用加权平均数做决策 12 考点讲练08：出错情况下的平均数问题 13 考向二：中位数和众数 13 考点讲练09：求中位数 13 考点讲练10：利用中位数求未知数据的值 15 考点讲练11：运用中位数做决策 16 考点讲练12：求众数 18 考点讲练13：利用众数求未知数据的值 20 考点讲练14：运用众数做决策 21 考向三：数据的波动程度（方差、极差、标准差） 23 考点讲练15：求方差 23 考点讲练16：利用方差求未知数据的值 25 考点讲练17：根据方差判断稳定性 25 考点讲练18：运用方差做决策 27 考点讲练19：求极差 29 考点讲练20：已知极差求未知数据 30 考点讲练21：标准差 30 考点讲练22：平均差 32 考点讲练23：用计算器求方差 33 考点讲练24：课题学习 体质健康测试中的数据分析 34 优选真题难度分层练 36 基础夯实真题练 36 培优拔尖真题练 40 同学你好，本套讲义针对2025新学年课本内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，精选常考，易错，压轴类题型。解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：算术平均数和加权平均数 【高频考点精讲】 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 【易错点剖析】平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 【易错点剖析】（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点梳理02：中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 【易错点剖析】（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 【易错点剖析】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 知识点梳理03：平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 知识点梳理04：极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值. 【易错点剖析】极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是： 　　 【易错点剖析】（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 知识点梳理05：极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 知识点梳理06：用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 【易错点剖析】（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 考向一：平均数 考点讲练01：求一组数据的平均数 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）某校为响应“双减”政策减负提质的要求，践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校对八年级学生开展“书香满校园，阅读伴成长”读书活动．学校为了解学生读书量情况，进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． (1)本次被调查的学生有________人，并补全条形统计图； (2)求本次所抽取学生“读书量”的平均数； (3)已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）为了解某校八年级学生寒假期间每天的睡眠时长（单位：），随机调查了该校八年级名学生，得到如下统计图． (1)________，________； (2)求这组学生每天睡眠时长的平均数； (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生1500人，估计该校八年级学生寒假期间每天睡眠时长不足的人数约为多少？ 考点讲练02：已知平均数求未知数据的值 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏南通·期中）某校组织了“在阳光下成长”主题演讲比赛，比赛规则：6名裁判打分，去除一个最高分和一个最低分，剩下的4个分数的平均值为该选手成绩，如表是某选手的得分情况： 裁判 1 2 3 4 5 6 分数 a b 其中，裁判4、裁判5给出的分数均被去除．经计算，该选手的成绩为分． 请根据上述信息，解决以下问题： (1)求b的值； (2)请判断a是最高分还是最低分，并说明理由． 【变式训练】（21-22八年级下·全国·单元测试）某鱼塘放养鱼苗万条根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为．一段时间后准备打捞出售第一次网出条，称得平均每条鱼重千克，第二次网出条，称得平均每条鱼重千克，第三次网出条，称得平均每条鱼重千克，鱼塘中的鱼总质量大约是 万千克精确到万位 考点讲练03：利用已知的平均数求相关数据的平均数 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·课后作业）在某次射击训练中，一小组的成绩如下表： 环数 7 8 9 人数 4 3 已知该小组的平均成绩为8环，那么成绩为7环的人数是 ． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知数据、、的平均数为，、、的平均数为，则数据、、的平均数为（） A． B． C． D． 考点讲练04：利用平均数做决策 【典例精讲】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）我国是全球电动自行车生产和使用第一大国，平均每4人就拥有1辆电动自行车．与此同时，电动自行车起火导致的火灾事故连年增长．有数据显示，的电动车火灾是在充电时发生的，其中超过一半发生在夜间充电过程中．“规范充电，从我做起”，某校政教处对全校学生进行了规范充电培训，为了解学生对规范充电的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表： 被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图 组别 成绩/分 频数    A B 16 C 8 D 4 备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为分 请根据以上信息回答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量为________； (2)填空： ________， ________， ________； (3)王平说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【变式训练】（23-24八年级下·福建泉州·期末）某校学生会要在甲、乙两名候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表： 候选人 文化水平/分 艺术水平/分 组织能力/分 甲 78 89 82 乙 84 92 76 (1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？ (2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩按照确定每个人的综合成绩，应该录取谁？ 考点讲练05：求加权平均数 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·期末）某居民小区共有800户家庭，有关部门准备对小区的自来水管网系统进行改造．为此，需了解该小区的自来水的用水情况，该部门通过随机抽样，调查了其中的30户家庭，已知这30户家庭共有87人． (1)这30户家庭平均每户多少人？（精确到0.1人） (2)这30户家庭的月用水量如下表所示，求这30户家庭的人均日用水量．（一个月按30天计算，精确到0.001吨） 月用水量（吨） 4 6 7 12 14 15 16 18 20 25 28 户数 1 2 3 3 2 5 3 4 4 2 1 (3) 根据上述数据，试估计该小区的日用水量．（精确到0.1吨） 【变式训练】（2024·全国·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，全市开展了“传承经典文化，阅读经典名著”大赛．某校准备挑选优秀选手组成学校代表队参加市级比赛，为此，在校内举行了“与经典同行”遴选比赛，共设置三项内容：“飞花令”“经典诵读”“笔墨经典”，每项满分为100分，得分按的比例计算选手个人最终得分，按得分由高到低确定前12名入选代表队． 信息一：遴选赛后对选手成绩进行了整理：选手们的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：；B组：；组：；D组：；E组：，并绘制如下两幅不完整的统计图： 信息二：选手李强的得分统计表 项目 飞花令 经典诵读 笔墨经典 得分（分） 88 90 85 请根据以上图表信息，解答下列问题： (1)参加校内遴选赛的选手共有多少名？C组人数占参赛选手的百分比是多少？ (2)李强的最终得分是多少分？若组内另外选手的最终得分分别为86，87，89，85，85，85，86，87，86，85，89，分析李强是否能入选校代表队． 考点讲练06：利用加权平均数求未知数据的值 【典例精讲】（20-21八年级下·浙江·期末）学校要招聘两名数学教师，对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%，面试占40%计算应聘者的综合成绩（满分为100分），他们的各项成绩如表所示： 候选人 笔试成绩/分 面试成绩/分 甲 90 88 乙 84 92 丙 x 90 丁 88 86 （1）这四名应聘者面试成绩的平均数是_________． （2）现得知应聘者丙的综合成绩为87.6分，则表中x的值等于_________． （3）求其余三名应聘者的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选． 【变式训练】（20-21八年级下·浙江·期中）某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 65 75 （1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； （2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1∶3∶6的权重来确定期末评价成绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？ ②小王在期末应该最少考多少分才能达到优秀？ 考点讲练07：运用加权平均数做决策 【典例精讲】（23-24八年级下·河南许昌·期末）某校团委组织了“讲好党史故事，传承红色基因”系列活动，下表是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 班级 党史知识问答比赛 讲述先烈故事比赛 “永远跟党走”主题板报创作 甲 90 97 93 乙 96 91 92 如果将上述三项成绩按的比确定最终成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜． 【变式训练】（23-24八年级下·福建厦门·期末）某大黄鱼养殖户今年获得大丰收，现准备出售网箱中的一批成品大黄鱼．为了解这批大黄鱼的产量，从网箱中随机捕捞了50条大黄鱼称重，并将数据制成如下统计图． (1)求这50条大黄鱼质量的平均数；（每组中各个数据用该组中间值代替，如的中间值为） (2)现有经销商欲收购这批大黄鱼，提供了以下两种收购方案：方案一：不分等级，全部按30元/千克收购；方案二：按质量大小分成3个等级，并按如下等级价格收购： 等级 合格品 一等品 优等品 质量（kg） 单价（元/kg） 26 32 40 在不考虑其它因素的条件下，从售价的角度分析，该养殖户选择哪种收购方案更合算． 考点讲练08：出错情况下的平均数问题 【典例精讲】（17-18八年级下·湖北·课后作业）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输成了15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是多少？ 【变式训练】（17-18八年级下·湖北·课后作业）某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　） A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6 考向二：中位数和众数 考点讲练09：求中位数 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·开学考试）为全面落实立德树人根本任务，重庆某中学开展了“点滴成就文明，细节彰显风采”礼仪知识竞答活动．现从我校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于90分（成绩得分用表示，共分为五组：；；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的竟答成绩在等级的数据是：97，97，98，98，98，98． 七、八年级抽取的学生竞答成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 97.5 98.5 八年级 97.5 99 八年级抽取的学生竞答成绩统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中_____；____；_____； (2)根据以上数据，你认为我校七、八年级中哪个年级学生掌握礼仪知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)我校七年级有900名学生、八年级有800名学生参加了此次礼仪知识竞答活动，估计我校七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于96分的学生人数共有多少人？ 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对“四大古典名著”的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次调查一共抽取了________名学生，并将条形统计图补充完整； (2)被调查学生阅读“四大古典名著”的数量的众数是________部，中位数是________部； (3)若该中学有1200名学生，请估计阅读“四大古典名著”的数量超过2部的学生有多少名？ 考点讲练10：利用中位数求未知数据的值 【典例精讲】（23-24八年级下·河北保定·期末）某班老师要求每生每学期读本书，并随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成如下不完整的条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，回答下列问题： (1)老师随机抽查了______名学生，阅读6册书的人数为_______人； (2)已知册数的中位数是5，并且阅读7册的人数多于2人； 小明说：条形图中阅读5册的人数为5． 小亮说：条形图中阅读5册的人数为6． ①你认为小明和小亮谁说的对，请说明原因； ②求出阅读7册的人数； (3)随后又进行了补查，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现中位数还是5，则最多又补查了_________人． 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期末）2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会，是由法国巴黎举办的国际性奥林匹克赛事．本届奥运会将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕，在奥运会来临之际，某校七、八年级开展了一次“奥运知识”竞赛，对学生的竞赛成绩按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数，为了解这次竞赛活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：已知八年级10名学生竞赛成绩的中位数为．请根据以上信息，完成下列问题： 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 八年级10名学生竞赛成绩统计表 (1) ， ， (2)样本中，七年级竞赛成绩为7分的学生数是 ，七年级竞赛成绩的众数为 ； (3)若该校七、八年级共640人，八年级的人数是七年级人数的还多10人，请你估计该校七、八年级一共约有多少人的成绩为10分． 考点讲练11：运用中位数做决策 【典例精讲】（24-25八年级上·福建三明·期末）为了传承中华民族优秀传统文化，我区某中学开展了一次“中华民族优秀传统文化知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），进行整理描述和分析，并将其分为四组：（A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，98，98． 八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：90，94，94． 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 b 众数 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)根据以上数据，选一个方面评价哪个年级学生本次竞赛成绩更加优异； (3)该校八年级700名学生参加了此次“中华民族优秀传统文化知识竞赛”，请估计此次竞赛成绩不低于90分的八年级学生人数是多少？ 【变式训练】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 考点讲练12：求众数 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）2024年11月16日2时32分，天舟八号货运飞船与空间站组合体完成交会对接，某学校为了了解八年级学生对航天科技的关注程度，对八年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从两个班分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）． 八（1）班20名学生的成绩是：80，81，82，82，84，85，86，87，89，90，90，91，94，96，96，96，96，96，99，100． 八（2）班20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94． 八（2）班抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 八（1）班、八（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 90 90 b 38.7 八（2）班 90 c 100 38.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a＝______，b＝______，c＝______； (2)你认为这次比赛中哪个班级的竞赛成绩更好，为什么？ (3)若八（2）班共40人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计该班参加此次活动成绩优秀（）的学生人数． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成如下表格： 月阅读数量（本） 1 2 3 4 5 被调查的学生数（人） 8 15 14 10 3 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)被调查的学生月平均阅读数量为_______本； (2)被调查的学生月阅读数量的中位数是_______本，众数是_______本； (3)在平均数、中位数这两个统计量中，_______更能反映被调查学生月阅读数量的一般水平； (4)若该中学共有学生1000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本． 考点讲练13：利用众数求未知数据的值 【典例精讲】（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 (1)本次调查的学生人数为________； (2) ________； (3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； (4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 【变式训练】（2024·福建福州·三模）为了解学生体育中考的准备情况，某校对九年级全体学生进行了一次体能摸底测试，学校随机抽取了20名学生，记录他们的体能摸底测试成绩（单位：分）如下表所示．为增强学生的体能，学校组织了强化训练，经过一个月的强化训练后，再次进行测试，对原来抽取的20名学生跟踪调查，记录成绩．其中组为，组为，组为，组为． 63 81 99 72 84 88 67 95 92 77 84 98 97 88 89 96 78 93 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中的一个数据因沾上污渍看不清了，已知这20个数据中存在唯一的众数84，则的值为________，本次抽样调查获取的样本数据的中位数是________； (2)第二次测试中发现组的同学平均成绩提高13分，组的同学平均成绩提高7分，组的同学平均成绩提高3分，组的同学平均成绩提高1分，若把测试成绩超过88分定为优秀，那么这些同学第二次测试的平均成绩能否达到优秀，并说明理由．（各组数据用该组数据的组中值代表，如取65） 考点讲练14：运用众数做决策 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）跨学科  为了让同学们了解自己的体育水平，初二（1）班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 初二（1）班体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 1.99 8 7 女生 7.92 1.994 8 (1)这个班共有男生___________人，共有女生___________人； (2)补全初二（1）班体育模拟测试成绩分析表； (3)你认为在这次体育测试中，（1）班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并写出一条支持你的看法的理由． 【变式训练】（2024·重庆江津·模拟预测）某校初一、初二年级各有600名学生，某一次月考后，教务处张老师为了了解本校学生数学成绩的大致情况，随机抽取了初一、初二各40名考生的数学成绩并将数据进行整理分析，给出了下面信息：数据分为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C；，D；． 40名初一学生和40名初二学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 初一 134 a 131 初二 134 134 132.5 初一学生成绩在B组的考生的分数为125，125，128，128，129，129，131，131，131，131，131，132，134，134，134； 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，初二学生数学成绩为B等级对应的扇形的圆心角为______，并补全条形统计图； (2)根据以上数据，你认为在此次测试中，初一学生数学成绩好还是初二学生数学成绩好？请说明理由； (3)请估计该初一、初二年级所有参加考试的学生中，成绩为A等级的考生人数． 考向三：数据的波动程度（方差、极差、标准差） 考点讲练15：求方差 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示： (1)请填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环以上（包括9环）次数 甲 7 7 1 乙 5.4 (2)请从下列两个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）； ②从平均数和命中9环（包括9环）以上次数相结合看（分析谁的潜能更大）． 【变式训练】（2025·广东佛山·一模）据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”． 小粤爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有，两所学校适合，小粤收集了这两所学校过去10周上午的预约人数： 学校：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50． 学校：如图所示： (1)根据上述内容，整理出众数、中位数、平均数、方差等数据，给下列问题提供参考： (2)若小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，则他应该预约哪所学校？ (3)若小粤爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？ 考点讲练16：利用方差求未知数据的值 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 【变式训练】．（23-24八年级下·河南新乡·期末）为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是　　　　； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 考点讲练17：根据方差判断稳定性 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济南·期中）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c.甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9和10 85 乙 8 87 丙 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)_______，_______； (2)求丙同学的面试成绩； (3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是_____（填“甲”、“乙或“丙”）． 【变式训练】（2025九年级下·上海·专题练习）甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； (1)将下表填完整： 身高（厘米） 176 177 178 179 180 甲（人数） 0 3 4 0 乙（人数） 2 1 1 (2)甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米； (3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由． 考点讲练18：运用方差做决策 【典例精讲】（24-25八年级上·山东泰安·期中）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分），该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）． （1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3.5 1.05 乙商家 4 1.04 （3）直接写出表中和的值，并求的值； （4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫，你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 【变式训练】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）嘉嘉、淇淇参加了跳远项目的选拔测试（满分10分），其中成绩是8分（包括8分）以上为优秀，两人试跳10次的成绩情况如下（共中统计表的部分数据缺失）： 平均数/分 中位数/分 方差 嘉嘉 7 淇淇 7 (1)通过计算求出表中缺失的数据，写出计算过程； (2)若按优秀率高的人被选拔，直接判断嘉嘉、淇淇谁会被选拔？___________； (3)若被选拔者为淇淇，请你设置一个选拔的规则（写出一种即可），并说明理由．【注意：方差】 考点讲练19：求极差 【典例精讲】（22-23八年级下·河北石家庄·期末）下图为小亮家09年月用电量的统计图，请根据统计图回答问题． (1)若小亮家一年用电总量为1 080千瓦时，则11月份的用电量为多少千瓦时；并补全该统计图； (2)小亮家该年月用电量的极差是多少千瓦时； (3)为鼓励居民节约用电，小亮家所在地按下表规定收取电费： 每户每月用电量 不超过80千瓦时 超过80千瓦时的部分 电费单价（元/千瓦时） a b 如果小亮家3、4、5月份的电费分别是43.2元、36元、27元．求出a、b的值，并计算小亮家该年应交的电费总额． 【变式训练】（23-24八年级下·福建福州·期中）每年6月5日为世界环境日，某中学为增强学生的环保意识，开展了关于保护环境的知识竞赛，经过班级推荐，共有50名学生参赛，其成绩统计如下： 成续（单位：分） 人数（单位：人） 2 8 12 16 12 其中分的成绩如下 81  81  82  82  83  84  84  84  85  85  86  87  87  88  88  90 请回答： (1)直接写出此次竞赛成绩的中位数； (2)根据表格估计此次竞赛成绩的平均数； (3)根据数据分析，请写出一条你认为正确的结论． 考点讲练20：已知极差求未知数据 【典例精讲】（22-23八年级上·山东烟台·期末）先化简，再求值：，其中a在一组未排序的数据7、9、6、a、8、5中，已知这组数据的极差是6． 【变式训练】（18-19七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）有40个数据，其中最大值为100，最小值为55，对这组数据进行等距分组，若组距为5，则这组数据应该分成的组数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 考点讲练21：标准差 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）设有个数，其标准差为．另有个数，其标准差为．其中，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·四川乐山·模拟预测）中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，甲、乙两校参加区教育局举办的“中国诗词大会”竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分 数 7 分 8 分 9 分 10 分 人 数 11 0 8 乙校成绩扇形统计图 (1)在图中，“7分”所在扇形的圆心角等于 ； (2)请你将条形统计图补充完整； (3)填空： ①甲校的平均分是 ，中位数是 ； ②乙校的平均分是8.3分， 中位数是 ； ③若从平均分和标准差的角度判断，哪所学校的成绩较为稳定？ 答： 校． (4) 如果区教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 考点讲练22：平均差 【典例精讲】（2015·河北张家口·一模）我县某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我太康”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b． 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 6.7 m 3.41 90% n 八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10% （1）请依据图表中的数据，求a，b的值； （2）直接写出表中的m，n的值； （3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 【变式训练】（18-19八年级下·全国·单元测试）小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是 ． 考点讲练23：用计算器求方差 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算器在统计状态下，先看到显示数字952，按下后，显示5，这两个数的含义是（    ） A．已经输入了952个5 B．已经输入了5个952 C．已经输入了952个数，最后一个是5 D．已经输入了5个数，最后一个是592 【变式训练】（18-19八年级下·全国·课后作业）如图所示，A、B两个旅游点从2010年至2014年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题： （1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？ （2）求A、B两个旅游点从2010到2014年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价． 考点讲练24：课题学习 体质健康测试中的数据分析 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·课后作业）线上教学的最大优点是能够依托网络平台及时反馈效果．一次数学习题课，课前，陈老师让班上每位同学做6道与这节课内容相关的类似题目，解题情况如图．课后，陈老师再让学生做6道类似的题目，结果如表．已知每位学生至少答对1题． 课后解题情况频数表 答对题数 1 2 3 4 5 6 合计 频数 2 3 3 a 9 13 b (1)根据图表信息填空： ________； ________； (2)该班课前答对题数的众数是________；课后答对题数的中位数是________； (3)请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节习题课的教学效果． 【变式训练】（21-22八年级上·广东深圳·期末）本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 7.5 7 7 2.8 八年级 a 8 b 2.35 (1)填空：表中的a＝ ，b＝ ； (2)你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ； (3)若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 基础夯实真题练 1．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）一名射击运动员统计了45次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是（   ） A．中位数是8 B．众数是8 C．平均数是8 D．极差是14 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知一个样本数据，，…，，的平均数和方差分别为，，则新数据，，…，，的平均数和方差分别是（   ） A．9  4 B．9  8 C．6  4 D．6  7 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）在2025年某市中学教师招聘面试工作中，九位评委对面试人员进行了评分，邱老师根据九位评委所给的分数制作了如下表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表中数据一定不发生变化的是（　　） 平均数 中位数 众数 方差 8.5分 8.3分 8.1分 0.15 A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）某学校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本，其中2人每人采集到6件，4人每人采集到3件，5人每人采集到4件，则这个兴趣小组平均每人采集标本的件数是 件． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示的扇形统计图描述了某校在一次卫生评比中，对八（1）班的卫生的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为 分．    6．（24-25八年级下·全国·期末）某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲，乙两组进行训练，他们的身高（单位：）如图所示： 其中两队队员身高的平均数都是，方差分别为，，则 ．（填“”“”或“”） 7．（24-25九年级上·福建厦门·期中）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计分然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制），进入决赛的前两名选手的单项成绩如下裘所示： 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 90 92 B 88 85 x (1)计算A选手的综合成绩； (2)若B选手要在综合成绩上超过A选手，则演讲效果成绩x应超过多少分？ 8．（23-24八年级下·云南昆明·期末）为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七、八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩的频数分布直方图如下， （数据分为4组：，，，）． b．八年级学生测试成绩在这一组的是：81   83   84   84   84   86   89 c．七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为______，八年级学生测试成绩在这一组的众数是______； (2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是______（填“小亮”或“小宇”）； (3)成绩不低于80分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 9．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）年月日是第十六个世界海洋日．世界海洋日的设立是为了提醒公众对海洋环境的认识，呼吁全球行动保护海洋环境，为此， 我校举行了海洋知识竞赛．竞赛结束后，随机在八年级抽取名学生的成绩，并将他们的成绩（满分分）进行整理、描述和分析，按成绩分为如下组，组：，组：，组：，组：，组：，下面给出了部分信息． 信息：随机抽取的八年级学生竞赛成绩频数分布直方图如下图所示： 信息：八年级学生在这一组的位同学的竞赛成绩是： ． 信息：八年级学生在这一组的位同学的竞赛成绩是：. 信息：八年级成绩的平均分、中位数、众数（注：众数在这一组里）如表： 平均分 中位数 众数 请根据以上信息，解决以下问题： (1)补全频数分布直方图； (2)表中 ， ； (3)请计算八年级学生在这一组的位同学竞赛成绩的方差； (4)已知该校参加知识竞赛的学生共有人，试估计该校成绩在组的人数． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）某同学进行社会调查，随机抽查了某地15个家庭的收入情况，数据如表： 年收入（万元） 2 2.5 3 4 5 9 13 家庭个数 1 3 5 2 2 1 1 (1)求这15个家庭年收入的平均数、中位数、众数； (2)你认为用（1）中的哪个数据来代表15个家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由． 培优拔尖真题练 11．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）某校为推动中华优秀传统文化走进校园，举办了一场以“爱我中华”为主题的知识竞赛活动．八年级某班派出6位同学参赛，成绩如下表，下列选项不正确的是（    ） 参赛选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩 86 84 84 86 87 86 A．6位参赛同学成绩的众数是86 B．6位参赛同学成绩的中位数是85 C．6位参赛同学成绩的平均数是85.5 D．6位参赛同学成绩的方差是1.25 12．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（   ） A．乙班视力值的众数是 B．甲、乙两班视力值的平均数相等 C．甲、乙两班视力值的中位数相等 D．视力值的波动程度甲班大于乙班 13．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）一组大于1的正整数5，7，3，m，7，6的中位数是5.5；唯一的众数是7，则这组数据的平均数是（    ） A． B． C．5或 D．5或 14．（2024·重庆江津·模拟预测）一个三位数m，每个数位上的数字均不为0，且满足百位十位个位，称为“步步高升数”，将“步步高升数”m个位与百位交换得到，记．例如：128满足，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记． 若p是一个“步步高升数”，则的最大值为 ，一个“步步高升数”p是3的倍数，且满足是一个完全平方数，则所有满足条件的p的平均值为 ． 15．（2020·湖北黄石·模拟预测）已知数据，，，的平均数为m，方差为，则数据，，，的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ． 17．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为 18．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． (2)补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 (3) 若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 19．（23-24八年级下·福建厦门·期末）小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 20．（22-23八年级下·福建厦门·期末）某村启动“乡村振兴”项目，根据当地的地理条件，在村里利用大棚技术种植一种经济作物．农业技术人员在种植前进行了主要相关因素的调查统计，结果如下： ①天气寒冷，大棚加温可改变经济作物生长率．大棚恒温时每天的成本为100元，但加温导致每天成本增加，根据实地调查，发现一个大棚加温时30天的成本情况如图1，采用30天的平均成本作为加温至时的成本． ②经济作物的生长率p与温度t（℃）有如（图2）关系； ③按照经验，经济作物提前上市的天数m（天）受生长率p的影响，大致如下表： 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 20    请根据上面信息完成下列问题： (1)求加温至的平均每天成本． (2)用含t的代数式表示m． (3)计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但若欲加温到摄氏度，要求成本太高，所以计划加温至．请问加温多少摄氏度时增加的利润最大？并说明理由．（注：经济作物上市售出后大棚暂停使用） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第20章 数据的分析 （思维导图+知识梳理+24大考点讲练+优选真题难度分层练 共68题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指因 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：算术平均数和加权平均数 3 知识点梳理02：中位数和众数 4 知识点梳理03：平均数、中位数与众数的联系与区别 4 知识点梳理04：极差、方差和标准差 4 知识点梳理05：极差、方差和标准差的联系与区别 5 知识点梳理06：用样本估计总体 5 重点知识考点精练 5 考向一：平均数 5 考点讲练01：求一组数据的平均数 5 考点讲练02：已知平均数求未知数据的值 8 考点讲练03：利用已知的平均数求相关数据的平均数 9 考点讲练04：利用平均数做决策 10 考点讲练05：求加权平均数 13 考点讲练06：利用加权平均数求未知数据的值 15 考点讲练07：运用加权平均数做决策 16 考点讲练08：出错情况下的平均数问题 18 考向二：中位数和众数 19 考点讲练09：求中位数 19 考点讲练10：利用中位数求未知数据的值 22 考点讲练11：运用中位数做决策 25 考点讲练12：求众数 28 考点讲练13：利用众数求未知数据的值 31 考点讲练14：运用众数做决策 33 考向三：数据的波动程度（方差、极差、标准差） 36 考点讲练15：求方差 36 考点讲练16：利用方差求未知数据的值 39 考点讲练17：根据方差判断稳定性 41 考点讲练18：运用方差做决策 44 考点讲练19：求极差 48 考点讲练20：已知极差求未知数据 50 考点讲练21：标准差 51 考点讲练22：平均差 55 考点讲练23：用计算器求方差 56 考点讲练24：课题学习 体质健康测试中的数据分析 57 优选真题难度分层练 60 基础夯实真题练 60 培优拔尖真题练 69 同学你好，本套讲义针对2025新学年课本内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，精选常考，易错，压轴类题型。解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：算术平均数和加权平均数 【高频考点精讲】 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 【易错点剖析】平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 【易错点剖析】（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点梳理02：中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 【易错点剖析】（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 【易错点剖析】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 知识点梳理03：平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 知识点梳理04：极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值. 【易错点剖析】极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是： 　　 【易错点剖析】（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 知识点梳理05：极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 知识点梳理06：用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 【易错点剖析】（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 考向一：平均数 考点讲练01：求一组数据的平均数 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）某校为响应“双减”政策减负提质的要求，践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校对八年级学生开展“书香满校园，阅读伴成长”读书活动．学校为了解学生读书量情况，进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． (1)本次被调查的学生有________人，并补全条形统计图； (2)求本次所抽取学生“读书量”的平均数； (3)已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数． 【答案】(1)60，补全条形统计图见解析 (2)3本 (3)150人 【思路点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．熟练掌握两种统计图的互补性质，条形统计图数据计算和补充，加权平均数的计算，样本估计总体，是解题的关键． （1）根据2本的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以读4本人数所占的百分比求出读4的人数；从而补全统计图即可； （2）根据平均数的定义即可得出答案； （3）用八年级的总人数乘以“读书量”为4本及以上的学生人数所占的百分比即可． 【规范解答】（1）解：本次被调查的学生有：（人）， 读4本的人数有： (人)， 补全条形统计图： 故答案为：60； （2）本次所抽取学生“读书量”的平均数是： (本)； 答：本次所抽取学生“读书量”的平均数为3本； （3）根据题意得：（人）， 答：该校八年级学生中，“读书量”为4本及以上的学生人数有150人． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）为了解某校八年级学生寒假期间每天的睡眠时长（单位：），随机调查了该校八年级名学生，得到如下统计图． (1)________，________； (2)求这组学生每天睡眠时长的平均数； (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生1500人，估计该校八年级学生寒假期间每天睡眠时长不足的人数约为多少？ 【答案】(1)16；50； (2) (3)300 【思路点拨】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，求平均数，由样本估计总体．根据条形统计图与扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）用睡眠时长为6小时的人数除以其所占百分比即得出总调查人数，即可得a的值；用睡眠时长为10小时的人数除以总调查人数即得出睡眠时长为10小时的人数所占百分比，即可得m的值； （2）根据求平均数的公式求解即可； （3）先求出样本中每天睡眠时长不足的人数，再求出其所占比例，最后乘该校八年级总人数即可． 【规范解答】（1）解：调查的总人数为：名，即， 睡眠时长为10小时的人数所占百分比为：，即； 故答案为：16；50； （2）解：． 答：这组学生每天睡眠时长的平均数为； （3）解：样本中每天睡眠时长不足的人数为名， 所以估计该校八年级学生暑假期间每天睡眠时长不足的人数约为名． 考点讲练02：已知平均数求未知数据的值 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏南通·期中）某校组织了“在阳光下成长”主题演讲比赛，比赛规则：6名裁判打分，去除一个最高分和一个最低分，剩下的4个分数的平均值为该选手成绩，如表是某选手的得分情况： 裁判 1 2 3 4 5 6 分数 a b 其中，裁判4、裁判5给出的分数均被去除．经计算，该选手的成绩为分． 请根据上述信息，解决以下问题： (1)求b的值； (2)请判断a是最高分还是最低分，并说明理由． 【答案】(1) (2)最低分，理由见解析 【思路点拨】本题考查了算术平均数，利用算术平均数作决策等知识．熟练掌握算术平均数，利用算术平均数作决策是解题的关键． （1）依题意得，，计算求解即可； （2）由去除一个最高分和一个最低分，为和a，且，可知，即a是最低分． 【规范解答】（1）解：依题意得，， 解得， ∴b的值为； （2）解：最低分，理由如下； ∵去除一个最高分和一个最低分，为和a，且， ∴，即a是最低分，否则就不满足平均数是． 【变式训练】（21-22八年级下·全国·单元测试）某鱼塘放养鱼苗万条根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为．一段时间后准备打捞出售第一次网出条，称得平均每条鱼重千克，第二次网出条，称得平均每条鱼重千克，第三次网出条，称得平均每条鱼重千克，鱼塘中的鱼总质量大约是 万千克精确到万位 【答案】24 【思路点拨】求出3次捕捞的鱼每条鱼的平均重量，用这个平均重量估计整个池塘的鱼的重量. 【规范解答】解：∵平均每条鱼的重量：（千克）; ∴池塘中鱼的重量：（千克）， ∵， 故答案为：24. 【考点评析】本题考查平均数的计算，解题的关键是计算出每条与的平均重量. 考点讲练03：利用已知的平均数求相关数据的平均数 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·课后作业）在某次射击训练中，一小组的成绩如下表： 环数 7 8 9 人数 4 3 已知该小组的平均成绩为8环，那么成绩为7环的人数是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了平均数的定义、一元一次方程的应用，理解平均数的定义是解题的关键． 设成绩为7环的人数是x，再根据平均数的定义列一元一次方程求解即可． 【规范解答】解：设成绩为7环的人数是x． 根据题意可得：，解得． 所以成绩为7环的人数是3． 故答案为3． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知数据、、的平均数为，、、的平均数为，则数据、、的平均数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平均数的计算．本题说明了一组数据若是由两组数据的和或倍数组成，则数据的平均数是这两组数据的平均数的和或倍数． 把、、的平均数表示出来即可． 【规范解答】解：∵、、的平均数为、、的平均数为， ， 故选：A． 考点讲练04：利用平均数做决策 【典例精讲】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）我国是全球电动自行车生产和使用第一大国，平均每4人就拥有1辆电动自行车．与此同时，电动自行车起火导致的火灾事故连年增长．有数据显示，的电动车火灾是在充电时发生的，其中超过一半发生在夜间充电过程中．“规范充电，从我做起”，某校政教处对全校学生进行了规范充电培训，为了解学生对规范充电的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表： 被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图 组别 成绩/分 频数    A B 16 C 8 D 4 备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为分 请根据以上信息回答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量为________； (2)填空： ________， ________， ________； (3)王平说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)不正确，理由见解析 【思路点拨】本题考查了统计表和扇形统计图的综合运用，样本容量，扇形圆心角度数，利用平均数做决策，读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据图表信息，由成绩在分的频数除以其在扇形图中的所占比即可求得本次抽样调查的样本容量； （2）根据本次抽样调查的样本容量减去已知组别的频数即可得到的值，再根据的值除以样本容量乘以，即可求得组别A在扇形图中的百分比，从而可得的值，最后通过组别C频数在样本容量中的所占比乘以即可得到组别C在扇形图中圆心角度数，从而得到的值； （3）根据各组别的人数和组别B的成绩排序即可判断王平的说法是否正确． 【规范解答】（1）解：由图表可知：成绩在分的频数为16，在扇形图中占比为， 本次抽样调查的样本容量为：， 故答案为：； （2）解：由（1）可知：本次抽样调查的样本容量为， ， 组别A在扇形图中的占比为：， ， 组别C在扇形图中圆心角度数为：， ， 故答案为：，，； （3）解：不正确，理由如下： 由②可得，王平的成绩分平均分分， 如果王平成绩超过了一半的同学，则需要超过后名同学， 由图表可知：、两组总人数为人，组人数为人， 王平的成绩需要超过组成绩后人， 由①可知，B组的成绩（单位：分）由小到大分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89； 从小到大排列后，第同学分数为86， 而， 王平的成绩高于平均分，却未超过一半的同学， 王平的说法不正确． 【变式训练】（23-24八年级下·福建泉州·期末）某校学生会要在甲、乙两名候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表： 候选人 文化水平/分 艺术水平/分 组织能力/分 甲 78 89 82 乙 84 92 76 (1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？ (2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩按照确定每个人的综合成绩，应该录取谁？ 【答案】(1)以平均分作为综合成绩应该录取乙候选人 (2)应该录取甲候选人，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了算术平均数、加权平均数等知识点，掌握算术平均数和加权平均数的区别是解答本题的关键． （1）分别求出甲、乙的算术平均数，然后比较即可解答； （2）分别求出甲、乙的加权平均数，然后比较即可解答． 【规范解答】（1）解：甲平均分为（分）， 乙平均分为（分）， ∵， ∴以平均分作为综合成绩应该录取乙候选人； （2）解：甲综合成绩为（分）， 乙综合成绩为（分）， ∵， ∴应该录取甲候选人． 考点讲练05：求加权平均数 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·期末）某居民小区共有800户家庭，有关部门准备对小区的自来水管网系统进行改造．为此，需了解该小区的自来水的用水情况，该部门通过随机抽样，调查了其中的30户家庭，已知这30户家庭共有87人． (1)这30户家庭平均每户多少人？（精确到0.1人） (2)这30户家庭的月用水量如下表所示，求这30户家庭的人均日用水量．（一个月按30天计算，精确到0.001吨） 月用水量（吨） 4 6 7 12 14 15 16 18 20 25 28 户数 1 2 3 3 2 5 3 4 4 2 1 (3)根据上述数据，试估计该小区的日用水量．（精确到0.1吨） 【答案】(1)这30户家庭平均每户人 (2)这30户家庭人均日用水量约为吨； (3)该小区的日用水量约为吨． 【思路点拨】本题考查了平均数的计算，生活中常遇到的估算问题，通常采用样本估计总体的方法． （1）根据数据直接解答，用30户家庭的总人数除以30； （2）先求出这30户家庭的月用水的总量，则人日用水量为用水总量； （3）用样本平均数估计总体平均数． 【规范解答】（1）解：这30户家庭平均每户人数为（人）； （2）解：， 这30户家庭人均日用水量约为吨； （3）解： 该小区的日用水量约为吨． 【变式训练】（2024·全国·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，全市开展了“传承经典文化，阅读经典名著”大赛．某校准备挑选优秀选手组成学校代表队参加市级比赛，为此，在校内举行了“与经典同行”遴选比赛，共设置三项内容：“飞花令”“经典诵读”“笔墨经典”，每项满分为100分，得分按的比例计算选手个人最终得分，按得分由高到低确定前12名入选代表队． 信息一：遴选赛后对选手成绩进行了整理：选手们的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：；B组：；组：；D组：；E组：，并绘制如下两幅不完整的统计图： 信息二：选手李强的得分统计表 项目 飞花令 经典诵读 笔墨经典 得分（分） 88 90 85 请根据以上图表信息，解答下列问题： (1)参加校内遴选赛的选手共有多少名？C组人数占参赛选手的百分比是多少？ (2)李强的最终得分是多少分？若组内另外选手的最终得分分别为86，87，89，85，85，85，86，87，86，85，89，分析李强是否能入选校代表队． 【答案】(1)40人，； (2)88分，李强没有入选校代表队． 【思路点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图，掌握相关知识是解题的关键． （1）用A组的人数除以A组所点的百分比可求出参加校内遴选赛的人数，用C组的人数除以参加校内遴选赛的人数可求C组人数占参赛选手的百分比； （2）依据题意求出李强的最终得分，再根据在全校的排名即可判断． 【规范解答】（1）解：参加校内遴选赛的选手共有： (人)； C组人数占参赛选手的百分比是：； （2）解：李强的最终得分是： (分)， ∵李强在C组内的最终得分排名为第3名，全校排名第名， ∴李强没有入选校代表队． 考点讲练06：利用加权平均数求未知数据的值 【典例精讲】（20-21八年级下·浙江·期末）学校要招聘两名数学教师，对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%，面试占40%计算应聘者的综合成绩（满分为100分），他们的各项成绩如表所示： 候选人 笔试成绩/分 面试成绩/分 甲 90 88 乙 84 92 丙 x 90 丁 88 86 （1）这四名应聘者面试成绩的平均数是_________． （2）现得知应聘者丙的综合成绩为87.6分，则表中x的值等于_________． （3）求其余三名应聘者的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选． 【答案】（1）89分；（2）86；（3）见解析 【思路点拨】（1）根据平均数的计算公式直接进行计算即可； （2）根据丙的综合成绩为87.6分列出方程，然后求解即可； （3）根据加权平均数的计算公式分别求出其余三名候选人的综合成绩，比较即可． 【规范解答】解：（1）这四名候选人面试成绩的平均数是：（88+92+90+86）÷4=89（分）； （2）由题意得，x×60%+90×40%=87.6， 解得，x=86， 则表中x的值为86分； 故答案为：86分； （3）因为甲候选人的综合成绩为：90×60%+88×40%=89.2（分）， 乙候选人的综合成绩为：84×60%+92×40%=87.2（分）， 丁候选人的综合成绩为：88×60%+86×40%=87.2（分）， 所以以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙． 【考点评析】本题考查的是中位数、加权平均数，掌握中位数的概念、加权平均数的计算公式是解题的关键． 【变式训练】（20-21八年级下·浙江·期中）某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 65 75 （1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； （2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1∶3∶6的权重来确定期末评价成绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？ ②小王在期末应该最少考多少分才能达到优秀？ 【答案】（1）80分；（2）①82分；②小王在期末应该最少考85分才能达到优秀 【思路点拨】（1）根据平均数的定义，将三个成绩之和除以3即可求解； （2）①根据加权平均数的定义即可求解；②根据加权平均数的定义列出不等式，求解即可． 【规范解答】解：（1）小张的期末评价成绩为（分）； （2）①小张的期末评价成绩为（分）； ②设小王期末考试x分，根据题意可得： ， 解得， ∴小王在期末应该最少考85分才能达到优秀． 【考点评析】本题考查平均数与加权平均数，掌握平均数和加权平均数的求法是解题的关键． 考点讲练07：运用加权平均数做决策 【典例精讲】（23-24八年级下·河南许昌·期末）某校团委组织了“讲好党史故事，传承红色基因”系列活动，下表是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 班级 党史知识问答比赛 讲述先烈故事比赛 “永远跟党走”主题板报创作 甲 90 97 93 乙 96 91 92 如果将上述三项成绩按的比确定最终成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜． 【答案】乙班将获胜 【思路点拨】本题主要考查了加权平均数，熟练掌握平均数等于所有数据的总和除以数据的个数是解题的关键．根据加权平均数的计算方法，求出各自成绩，再比较大小，即可解题． 【规范解答】解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， ， 乙班将获胜． 【变式训练】（23-24八年级下·福建厦门·期末）某大黄鱼养殖户今年获得大丰收，现准备出售网箱中的一批成品大黄鱼．为了解这批大黄鱼的产量，从网箱中随机捕捞了50条大黄鱼称重，并将数据制成如下统计图． (1)求这50条大黄鱼质量的平均数；（每组中各个数据用该组中间值代替，如的中间值为） (2)现有经销商欲收购这批大黄鱼，提供了以下两种收购方案：方案一：不分等级，全部按30元/千克收购；方案二：按质量大小分成3个等级，并按如下等级价格收购： 等级 合格品 一等品 优等品 质量（kg） 单价（元/kg） 26 32 40 在不考虑其它因素的条件下，从售价的角度分析，该养殖户选择哪种收购方案更合算． 【答案】(1)千克 (2)方案二更合算 【思路点拨】本题考查了统计分析中的算术平均数和加权平均数，以及运用加权平均数进行决策，熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算是解题的关键． （1）根据算术平均数的定义进行计算即可； （2）分别求出两种收购方案的总售价，再比较大小即可得解； 【规范解答】（1）由题意可得，这50条大黄鱼质量的平均数为： （千克）． 答：这50条大黄鱼质量的平均数为千克； （2）两种收购方案的总售价分别是： 方案一：（元）； 方案二：（元）． ∵， ∴方案二更合算． 考点讲练08：出错情况下的平均数问题 【典例精讲】（17-18八年级下·湖北·课后作业）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输成了15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是多少？ 【答案】平均数与实际平均数的差是－3. 【规范解答】试题分析： 本题知道30个数据中的一个的相应误差，求平均数的误差，只需看它对平均数产生的“影响”． 试题解析： 该数据相差105－15＝90， ∴平均数与实际平均数相差－＝－3． 答：求出的平均数与实际平均数的差是－3． 【考点评析】熟练掌握平均数的计算． 【变式训练】（17-18八年级下·湖北·课后作业）某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　） A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6 【答案】B 【规范解答】求15个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，即使总和增加了90；那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是90÷15=6． 故选B． 考向二：中位数和众数 考点讲练09：求中位数 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·开学考试）为全面落实立德树人根本任务，重庆某中学开展了“点滴成就文明，细节彰显风采”礼仪知识竞答活动．现从我校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于90分（成绩得分用表示，共分为五组：；；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的竟答成绩在等级的数据是：97，97，98，98，98，98． 七、八年级抽取的学生竞答成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 97.5 98.5 八年级 97.5 99 八年级抽取的学生竞答成绩统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中_____；____；_____； (2)根据以上数据，你认为我校七、八年级中哪个年级学生掌握礼仪知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)我校七年级有900名学生、八年级有800名学生参加了此次礼仪知识竞答活动，估计我校七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于96分的学生人数共有多少人？ 【答案】(1)30，100， (2)七年级学生掌握礼仪竞答较好，理由 (3)人． 【思路点拨】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）根据表格及题意可直接进行求解； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）由题意可得出参加此次掌握礼仪知识优秀的百分比，然后可进行求解； 【规范解答】（1）解：根据七年级学生掌握礼仪知识可知：100出现次数最多，则， 八年级掌握礼仪知识竞答中A组：（人）， ∴八年级的中位数为第10、11个同学掌握礼仪知识竞答的平均数， 即B组第2、3个同学掌握礼仪知识竞答的平均数， B组所占百分比为，则， 故答案为：30，100，； （2）解：七年级学生掌握礼仪知识竞答较好，理由： 七、八年级的平均分均为分，七年级的中位数高于八年级的中位数，整体上看七年级学生掌握礼仪知识较好； （3）解：七年级抽取的学生中有人高于分，八年级抽取的学生中有的学生高于分， （人）， 答：该校七、八年级参加此次安全知识掌握礼仪知识竞答成绩高于96分的学生人数约是人． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对“四大古典名著”的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次调查一共抽取了________名学生，并将条形统计图补充完整； (2)被调查学生阅读“四大古典名著”的数量的众数是________部，中位数是________部； (3)若该中学有1200名学生，请估计阅读“四大古典名著”的数量超过2部的学生有多少名？ 【答案】(1)60，图见解析 (2)1，2 (3)估计阅读“四大古典名著”的数量超过2部的学生有420名 【思路点拨】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用以及众数、中位数、平均数的定义，解题的关键在于从扇形统计图和条形统计图中获取信息； （1）根据读三部的人数有12人，占的比例为，用人数所占百分比即可解答，再求得2部对应的人数补充条形统计图； （2）根据众数和中位数的定义进行解答即可； （3）用数量超过2部的学生数所占比例计算可完成解答； 【规范解答】（1）解：本次调查一共抽取了名学生， 名著读完2部的人数人， 补全条形统计图如图； （2）解：被调查学生阅读“四大古典名著”的数量的众数是1部， 按从小到大排列后在中间位置的数是第30、31个数， 故中位数是2部； （3）（名）， 答：估计阅读“四大古典名著”的数量超过2部的学生有420名． 考点讲练10：利用中位数求未知数据的值 【典例精讲】（23-24八年级下·河北保定·期末）某班老师要求每生每学期读本书，并随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成如下不完整的条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，回答下列问题： (1)老师随机抽查了______名学生，阅读6册书的人数为_______人； (2)已知册数的中位数是5，并且阅读7册的人数多于2人； 小明说：条形图中阅读5册的人数为5． 小亮说：条形图中阅读5册的人数为6． ①你认为小明和小亮谁说的对，请说明原因； ②求出阅读7册的人数； (3)随后又进行了补查，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现中位数还是5，则最多又补查了_________人． 【答案】(1)20；6 (2)①小亮说的对；理由见解析  ②3人 (3)1 【思路点拨】此题考查了中位数、条形统计图、扇形统计图的知识． （1）由“4册”人数及其所占百分比可得总人数，由条形统计图可得“6册”的人数； （2）①综合条形统计图与扇形即可得到结论；②根据总人数是20可得阅读7册的人数； （3）由4册和5册的人数和为11，中位数没有改变知总人数不能超过21，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：老师随机抽查了（名学生， 阅读6册的人数为（人）， 故答案为：20，6； （2）解：①小亮说的正确， 理由：学生总数为20名， 册数的中位数是第10个数和第11个数的平均数， 册数的中位数是5， ∴阅读4册、5册的人数和11人， 条形图中阅读5册的人数为（人）， 故小亮说的正确； ②阅读7册的人数为（人）． （3）解：册和5册的人数和为11，中位数没有改变， 总人数不能超过21，即最多补查了1人， 故答案为：1． 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期末）2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会，是由法国巴黎举办的国际性奥林匹克赛事．本届奥运会将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕，在奥运会来临之际，某校七、八年级开展了一次“奥运知识”竞赛，对学生的竞赛成绩按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数，为了解这次竞赛活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：已知八年级10名学生竞赛成绩的中位数为．请根据以上信息，完成下列问题： 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 八年级10名学生竞赛成绩统计表 (1) ， ， (2)样本中，七年级竞赛成绩为7分的学生数是 ，七年级竞赛成绩的众数为 ； (3)若该校七、八年级共640人，八年级的人数是七年级人数的还多10人，请你估计该校七、八年级一共约有多少人的成绩为10分． 【答案】(1)2；3 (2)1；8 (3)128人 【思路点拨】本题考查扇形统计图，统计表，中位数，众数，总数，明确相关概念的定义，能从统计图中获取信息是解题的关键． （1）根据八年级10名学生活动成绩的中位数为分，可知成绩由低到高排列第5位的成绩为8分，第6位的成绩为9分，由此可确定的值； （2）将七年级活动成绩为7分的比例乘以10即可得到成绩为7分的学生数；根据众数的定义可知七年级活动成绩的众数； （3）根据题意列式分别求出七、八年级人数，再结合统计表和扇形统计图分别求出七、八年级10分的人数，再相加即可； 【规范解答】（1）解：八年级10名学生活动成绩的中位数为分， ∴成绩由低到高排列第5位的成绩为8分，第6位的成绩为9分， ， ， 即， 故答案为：2，3； （2）解：， ， ∴七年级活动成绩为7分的学生数是1； ∵七年级活动成绩中8分出现的次数最多， ∴七年级活动成绩的众数为8分， 故答案为：1，8； （3）解：设七年级学生人， ， 解得， （人）， ∴七年级人数为：350人，八年级人数为：290人． 七年级成绩为10分人数：（人）， 八年级成绩为10分人数：（人）， 七、八年级成绩为10分总人数：（人）． 考点讲练11：运用中位数做决策 【典例精讲】（24-25八年级上·福建三明·期末）为了传承中华民族优秀传统文化，我区某中学开展了一次“中华民族优秀传统文化知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），进行整理描述和分析，并将其分为四组：（A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，98，98． 八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：90，94，94． 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 b 众数 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)根据以上数据，选一个方面评价哪个年级学生本次竞赛成绩更加优异； (3)该校八年级700名学生参加了此次“中华民族优秀传统文化知识竞赛”，请估计此次竞赛成绩不低于90分的八年级学生人数是多少？ 【答案】(1)98，94 (2)八年级学生本次竞赛成绩更加优异 (3)490名 【思路点拨】本题考查了众数与中位数、利用样本估计总体、扇形统计图等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可得； （2）根据平均数、中位数与众数进行分析即可得； （3）利用该校八年级参加本次竞赛的总人数乘以竞赛成绩不低于90分的八年级学生所占百分比即可得． 【规范解答】（1）解：∵在七年级10名学生的比赛成绩中，98出现的次数最多， ∴七年级10名学生的比赛成绩的众数， 由扇形统计图可知，八年级学生成绩在组的人数为（名），在组的人数为（名）， ∵八年级学生成绩在组的人数为3名， ∴八年级10名学生的比赛成绩的中位数， 故答案为：98，94． （2）解：∵七、八年级学生本次竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生本次竞赛成绩的中位数和众数均大于七年级的， ∴八年级学生本次竞赛成绩更加优异． （3）解：（名）， 答：估计此次竞赛成绩不低于90分的八年级学生人数是490名． 【变式训练】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【答案】(1) (2)八年级的成绩较好，理由见解析 (3)估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人 【思路点拨】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的确定方法，求出的值即可； （2）利用中位数和众数进行分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【规范解答】（1）解：七年级位于中间位置的数据为：， ∴， 八年级出现次数最多的数据为：， ∴； 故答案为：； （2）解：八年级的成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好． （3）解：（人）； 答：估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人． 考点讲练12：求众数 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）2024年11月16日2时32分，天舟八号货运飞船与空间站组合体完成交会对接，某学校为了了解八年级学生对航天科技的关注程度，对八年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从两个班分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）． 八（1）班20名学生的成绩是：80，81，82，82，84，85，86，87，89，90，90，91，94，96，96，96，96，96，99，100． 八（2）班20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94． 八（2）班抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 八（1）班、八（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 90 90 b 38.7 八（2）班 90 c 100 38.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a＝______，b＝______，c＝______； (2)你认为这次比赛中哪个班级的竞赛成绩更好，为什么？ (3)若八（2）班共40人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计该班参加此次活动成绩优秀（）的学生人数． 【答案】(1)40，96，92.5 (2)八（2）班竞赛成绩更好，理由见解析 (3)估计该班参加此次活动成绩优秀（）的学生人数为28人 【思路点拨】本题考查了数据的统计和整理，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键． （1）1减去其他组所占的百分比，求出a，将数据排序后，第10个数据和第11个数据的平均数为c，找到八（1）班的数据中出现次数最多的为b； （2）利用中位数，众数，方差进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， 八（2）班C组人数所占的比例为， ， A、B两组人数为（人）， 第10个数据和第11个数据为92，93， ， 八（1）班中出现数据次数最多的是96， ， 故答案为：40，96，92.5； （2）八（2）班竞赛成绩更好，理由如下： 八（1）班和八（2）班的平均成绩相同，但八（2）班额中位数个众数都比八（1）班高，说明八（2）班的高分段人数多，并且八（2）班的方差比八（1）班的方差小，成绩更稳定； （3）（人）， 答：估计该班参加此次活动成绩优秀（）的学生人数为28人． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成如下表格： 月阅读数量（本） 1 2 3 4 5 被调查的学生数（人） 8 15 14 10 3 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)被调查的学生月平均阅读数量为_______本； (2)被调查的学生月阅读数量的中位数是_______本，众数是_______本； (3)在平均数、中位数这两个统计量中，_______更能反映被调查学生月阅读数量的一般水平； (4)若该中学共有学生1000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本． 【答案】(1)2.7 (2)3；2 (3)平均数 (4)2700本 【思路点拨】本题主要考查平均数、中位数，众数，用样本总体，解题的关键是掌握加权平均数、中位数、众数的定义与意义． （1）根据加权平均数的定义列式计算即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据中位数和平均数的意义求解即可； （4）总人数乘以样本平均数即可． 【规范解答】（1）解：被调查的学生月平均阅读数量为： （本）． 故答案为2.7． （2）解：被调查的学生月阅读数量的中位数是（本）， 众数是2本． 故答案为：3；2． （3）解：在平均数、中位数这两个统计量中，平均数更能反映被调查学生月阅读数量的一般水平， 故答案为：平均数． （4）解：（本）． 答：估计四月份该校学生共阅读课外书籍2700本． 考点讲练13：利用众数求未知数据的值 【典例精讲】（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 (1)本次调查的学生人数为________； (2) ________； (3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； (4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 【答案】(1)36 (2)14 (3)300 (4)6 【思路点拨】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数； （3）用样本估计总体即可； （4）根据原来的众数是读书册数为5册，且读课外书为5册的人数为14人，根据读课外书册数为6册的人数为9人，与读书册数为5册的人数最接近，再根据补查后众数发生改变，从而得到最少补查的人数． 【规范解答】（1）解：本次调查的学生人数为： （人）； （2）解：； （3）解：该校本学期读四册课外书的学生人数约为： （人）； （4）解：∵补查前读课外书册数最多的是五册， ∴补查前读课外书册数的众数为5， ∵补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另外一个数， ∴补查的人数最少为（人）． 【变式训练】（2024·福建福州·三模）为了解学生体育中考的准备情况，某校对九年级全体学生进行了一次体能摸底测试，学校随机抽取了20名学生，记录他们的体能摸底测试成绩（单位：分）如下表所示．为增强学生的体能，学校组织了强化训练，经过一个月的强化训练后，再次进行测试，对原来抽取的20名学生跟踪调查，记录成绩．其中组为，组为，组为，组为． 63 81 99 72 84 88 67 95 92 77 84 98 97 88 89 96 78 93 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中的一个数据因沾上污渍看不清了，已知这20个数据中存在唯一的众数84，则的值为________，本次抽样调查获取的样本数据的中位数是________； (2)第二次测试中发现组的同学平均成绩提高13分，组的同学平均成绩提高7分，组的同学平均成绩提高3分，组的同学平均成绩提高1分，若把测试成绩超过88分定为优秀，那么这些同学第二次测试的平均成绩能否达到优秀，并说明理由．（各组数据用该组数据的组中值代表，如取65） 【答案】(1)84，86.5 (2)第二次测试中这些学生的平均成绩能达到优秀，理由见解析 【思路点拨】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，熟练掌握众数、中位数、平均数的定义是解题的关键． （1）根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义求出中位数即可； （2）根据平均数的定义求出这些同学第二次测试的平均成绩即可 【规范解答】（1）解：这20个数据中存在唯一的众数84， ， 把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，则中位数是； 故答案为：84，； （2）解：这些同学第二次测试的平均成绩能达到优秀，理由如下：第二次测试中，组的2位同学平均成绩提高13分，组的3位同学平均成绩提高7分，组的8位同学平均成绩提高3分，组的7位同学平均成绩提高1分， 整体提高的分数为：， ， 这些同学第二次测试的平均成绩为：， 这些同学第二次测试的平均成绩能达到优秀． 考点讲练14：运用众数做决策 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）跨学科  为了让同学们了解自己的体育水平，初二（1）班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 初二（1）班体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 1.99 8 7 女生 7.92 1.994 8 (1)这个班共有男生___________人，共有女生___________人； (2)补全初二（1）班体育模拟测试成绩分析表； (3)你认为在这次体育测试中，（1）班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并写出一条支持你的看法的理由． 【答案】(1)20，25 (2)见解析 (3)女生队表现更突出（答案不唯一）见解析 【思路点拨】本题主要考查平均数、众数及条形图、扇形图，根据统计图得出解题所需数据，并熟练掌握平均数和中位数的定义是解题的关键． （1）由条形图可得男生总人数，总人数减去男生人数可得女生人数； （2）根据平均数和众数定义可得； （3）可根据众数比较得出答案． 【规范解答】（1）解：这个班男生人数：（人） 女生人数：（人）； （2）男生的平均分为， 女生的众数为8； （3）从众数看，女生队的众数高于男生队的众数， 所以女生队表现更突出．（答案不唯一） 【变式训练】（2024·重庆江津·模拟预测）某校初一、初二年级各有600名学生，某一次月考后，教务处张老师为了了解本校学生数学成绩的大致情况，随机抽取了初一、初二各40名考生的数学成绩并将数据进行整理分析，给出了下面信息：数据分为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C；，D；． 40名初一学生和40名初二学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 初一 134 a 131 初二 134 134 132.5 初一学生成绩在B组的考生的分数为125，125，128，128，129，129，131，131，131，131，131，132，134，134，134； 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，初二学生数学成绩为B等级对应的扇形的圆心角为______，并补全条形统计图； (2)根据以上数据，你认为在此次测试中，初一学生数学成绩好还是初二学生数学成绩好？请说明理由； (3)请估计该初一、初二年级所有参加考试的学生中，成绩为A等级的考生人数． 【答案】(1)131.5，，图见解析 (2)初二的成绩较好，理由：初二的中位数、众数都比初一好 (3)成绩为A等级的考生人数为480人 【思路点拨】本题考查了中位数的意义和求法，条形统计图和扇形统计图的意义和制作方法，掌握各个统计量的意义是解决问题的前提，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）初一体考成绩从小到大排列后处在第20、21位两个数的平均数，即为初一的成绩的中位数，确定a的值；根据扇形统计图计算出初二B类所占的百分比，可得圆心角；计算出初一A类的人数，即可补全条形图； （2）从平均数、众数上的分析得出结论． （3）先计算出初一A等占总人数的百分比，再结合已知条件即可求解． 【规范解答】（1）解：初一成绩处在第20、21位的两个数的平均数为， ， 初一A组有（人）， 补全条形统计图如图： 故答案为：131.5，； （2）解：初二的成绩较好，理由：初二的中位数、众数都比初一好； （3）解： （人）， 答：成绩为A等级的考生人数为480人． 考向三：数据的波动程度（方差、极差、标准差） 考点讲练15：求方差 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示： (1)请填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环以上（包括9环）次数 甲 7 7 1 乙 5.4 (2)请从下列两个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）； ②从平均数和命中9环（包括9环）以上次数相结合看（分析谁的潜能更大）． 【答案】(1)答案见解析 (2)①甲的成绩更稳定；②乙的潜能更大 【思路点拨】（1）由图得到甲的环数及乙的环数，再由平均数公式、方差公式、中位数求法求解即可得到答案； （2）根据题意，由（1）可知，甲的平均数与乙的平均数相等，再由（1）中求得的方差及命中9环以上（包括9环）次数对这次测试结果进行分析即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由图可知， 甲的环数是； 乙的环数是； 乙的平均数为； 甲的方差为； 乙的中位数为； 乙命中9环以上（包括9环）次数为； 故答案为： 平均数 方差 中位数 命中9环以上（包括9环）次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7 3 （2）解：①由（1）可知，甲的平均数与乙的平均数相等，均为7；甲的方差为1.2、乙的方差为5.4； ， 甲的成绩更稳定； ②由（1）可知，甲的平均数与乙的平均数相等，均为7；甲命中9环以上（包括9环）次数1、乙命中9环以上（包括9环）次数为； ， 乙的潜能更大． 【考点评析】本题考查统计综合，涉及统计图表、平均数、方差、中位数、由平均数、方差及相关统计量分析决策，熟记相关统计量的概念及求法是解决问题的关键． 【变式训练】（2025·广东佛山·一模）据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”． 小粤爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有，两所学校适合，小粤收集了这两所学校过去10周上午的预约人数： 学校：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50． 学校：如图所示： (1)根据上述内容，整理出众数、中位数、平均数、方差等数据，给下列问题提供参考： (2)若小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，则他应该预约哪所学校？ (3)若小粤爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？ 【答案】(1)见解析 (2)小粤爸爸应该预约学校 (3)小粤爸爸应该预约学校 【思路点拨】（1）根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法求出个数，制成统计表； （2）根据众数和中位数分析即可； （3）根据方差的知识解答即可． 【规范解答】（1）解：整理数据如下： 学校 平均数 众数 中位数 方差 43.3 48 48 83.299 48.4 25 47.5 354.04 （2）解：由于小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，时间紧促，所以应该选择预约人数较少的学校，根据上面的数据，学校的预约人数的众数以及中位数相对学校低，因此预约人数较少，故小粤爸爸应该预约学校； （3）解：根据上面的数据，学校的预约人数的方差相对学校低，因此学校的预约人数较稳定，管理员对场所的维护较好，故小粤爸爸应该预约学校． 【考点评析】本题考查了统计的知识，熟练掌握众数、中位数、平均数、方差的计算方法是解答本题的关键． 考点讲练16：利用方差求未知数据的值 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 【答案】D 【思路点拨】本题考查了方差，掌握方差的定义与计算公式是解答本题的关键． 先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的定义解答即可． 【规范解答】解：甲的平均数为：， 故甲的方差为：； 当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2； 当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小； 当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大； 所以的值可能是185． 故选：D． 【变式训练】．（23-24八年级下·河南新乡·期末）为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是　　　　； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】(1) (2)乙的体育成绩更好，理由见解析 (3)变小 【思路点拨】本题考查平均数、方差， （1）根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得的值； （2）利用方差作比较可得结论； （3）求出甲次模拟测试成绩的方差，然后与前次模拟测试成绩的方差作比较即可； 解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式． 【规范解答】（1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）乙的体育成绩更好，理由： ∵， ∴， ∵，，即两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定， ∴乙的体育成绩更好； （3）∵甲第六次模拟测试成绩为分， 又∵甲前次模拟测试成绩的平均成绩为分， ∴甲次模拟测试成绩的平均成绩为：， 则甲次模拟测试成绩的方差为： ， ∵， ∴与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差变小． 故答案为：变小． 考点讲练17：根据方差判断稳定性 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济南·期中）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c.甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9和10 85 乙 8 87 丙 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)_______，_______； (2)求丙同学的面试成绩； (3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是_____（填“甲”、“乙或“丙”）． 【答案】(1)9，8 (2)丙同学的面试成绩为83分 (3)乙 (4)乙 【思路点拨】本题考查折线统计图，中位数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数的定义可得m的值， 根据众数的定义可得 n的值； （2）把十位评委的打分相加即可得丙的得分； （3）先求出乙的方差，根据方差的意义解答即可； （4）根据加权平均数公式计算即可得出结论． 【规范解答】（1）解∶由折线统计图得，甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数， 乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 其中8出现次数最多，故众数． 故答案为：9，8； （2）解∶ 丙同学的面试成绩（分）， 答∶丙同学的面试成绩为83分； （3）解∶乙的平均得分为（分）， 乙的方差为， ，可知，乙的得分的波动比甲和丙小， 所以甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致， 故答案为∶乙． （4）解∶ 甲的综合成绩为∶ (分)， 乙的综合成绩为∶ (分)， 丙的综合成绩为∶ (分)， ． 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为∶乙． 【变式训练】（2025九年级下·上海·专题练习）甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； (1)将下表填完整： 身高（厘米） 176 177 178 179 180 甲（人数） 0 3 4 0 乙（人数） 2 1 1 (2)甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米； (3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)178；178 (3)甲仪仗队 【思路点拨】本题考查数据的整理，求加权平均数和方差，掌握方差的计算公式是解题的关键 （1）仔细分析表中数据即可得到结果； （2）根据加权平均数公式分别计算即可； （3）先分别计算出两支仪仗队身高的方差，再比较即可判断． 【规范解答】（1）填表为： 身高（厘米） 176 177 178 179 180 甲（人数） 0 3 4 3 0 乙（人数） 2 1 4 1 2 （2）甲队队员身高的平均数为：（厘米） ， 乙队队员身高的平均数为：（厘米）； 故答案为：178；178 （3）解： ∵， ∴甲仪仗队身高更为整齐． 考点讲练18：运用方差做决策 【典例精讲】（24-25八年级上·山东泰安·期中）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分），该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）． （1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3.5 1.05 乙商家 4 1.04 （3）直接写出表中和的值，并求的值； （4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫，你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 【答案】（）平台从甲商家抽取了个评价分值，从乙商家抽取了个评价分值，补图见解析；（）；（），，；（）小亮应该选择乙商家，理由见解析． 【思路点拨】（）分别用分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家分的评价分值个数，即可补全条形统计图； （）用乘以甲商家分的占比即可求解； （）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解； （）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键． 【规范解答】解：（）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， 从乙商家抽取了个评价分值， ∴甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， 补全条形统计图如下： （）； （）∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，第位是3，第位数是4， ∴中位数， 由条形统计图可知，乙商家分的个数最多， ∴众数， 乙商家平均数； （）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家． 【变式训练】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）嘉嘉、淇淇参加了跳远项目的选拔测试（满分10分），其中成绩是8分（包括8分）以上为优秀，两人试跳10次的成绩情况如下（共中统计表的部分数据缺失）： 平均数/分 中位数/分 方差 嘉嘉 7 淇淇 7 (1)通过计算求出表中缺失的数据，写出计算过程； (2)若按优秀率高的人被选拔，直接判断嘉嘉、淇淇谁会被选拔？___________； (3)若被选拔者为淇淇，请你设置一个选拔的规则（写出一种即可），并说明理由．【注意：方差】 【答案】(1)填表见解析 (2)嘉嘉 (3)成绩稳定的被选拔，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查平均数，中位数，方差，解题的关键是掌握平均数、中位数及方差的定义和意义． （1）根据平均数、中位数及方差的定义求解即可； （2）根据优秀率的大小求解即可； （3）根据方差的意义可得． 【规范解答】（1）嘉嘉成绩为2、4、6、8、7、7、8、9、9、10， ·其成绩的平均数为 淇淇成绩为3、6、6、7、7、7、8、8、9、9， 所以其成绩的中位数为(分)， 方差为 平均数/分 中位数/分 方差 嘉嘉 7 7 淇淇 7 7 故答案为：7，7， （2）嘉嘉成绩中成绩是8分（包括8分）以上有8、8、9、9、10； ∴优秀率为， 淇淇成绩中成绩是8分（包括8分）以上有8、8、9、9 ∴优秀率为， 所以嘉嘉会被选拔， 故答案为：嘉嘉； （3）成绩稳定的被选拔，理由如下： 两人的平均成绩相等，说明实力相当；但淇淇成绩的方差比嘉嘉小，说明淇淇发挥较为稳定， 故淇淇被选拔． 考点讲练19：求极差 【典例精讲】（22-23八年级下·河北石家庄·期末）下图为小亮家09年月用电量的统计图，请根据统计图回答问题． (1)若小亮家一年用电总量为1 080千瓦时，则11月份的用电量为多少千瓦时；并补全该统计图； (2)小亮家该年月用电量的极差是多少千瓦时； (3)为鼓励居民节约用电，小亮家所在地按下表规定收取电费： 每户每月用电量 不超过80千瓦时 超过80千瓦时的部分 电费单价（元/千瓦时） a b 如果小亮家3、4、5月份的电费分别是43.2元、36元、27元．求出a、b的值，并计算小亮家该年应交的电费总额． 【答案】(1)80千瓦时，见解析 (2)60千瓦时 (3)该年应交的电费总额为526.5元 【思路点拨】本题考查条形统计图，求极差，二元一次方程组的应用： （1）用总量减去其他月份的用电量，求出11月份的用电量，进而补全条形图即可； （2）用最大值减去最小值，求出极差即可； （3）根据题意，列出二元一次方程组，求出的值，再根据收费规则，列式计算即可． 【规范解答】（1）解：11月份的用电量（千瓦时）； 补全条形图如图： （2）极差为：（千瓦时）； （3）由题意得，得 解得 即a的值为0.45元/千瓦时，b的值为0.72元/千瓦时． ∴该年应交的电费总额为：（元）． 【变式训练】（23-24八年级下·福建福州·期中）每年6月5日为世界环境日，某中学为增强学生的环保意识，开展了关于保护环境的知识竞赛，经过班级推荐，共有50名学生参赛，其成绩统计如下： 成续（单位：分） 人数（单位：人） 2 8 12 16 12 其中分的成绩如下 81  81  82  82  83  84  84  84  85  85  86  87  87  88  88  90 请回答： (1)直接写出此次竞赛成绩的中位数； (2)根据表格估计此次竞赛成绩的平均数； (3)根据数据分析，请写出一条你认为正确的结论． 【答案】(1)82分 (2)分 (3)答案见解析 【思路点拨】本题考查的是从频数分布表中获取信息，求解数据的中位数，平均数，利用合适的统计量进行分析，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． （1）由从小到大排列的50个数据得到排在第25个，26个数据是82，82，可得中位数； （2）根据加权平均数的公式进行计算即可； （3）从极差与80分以上的人数占比出发得出信息即可． 【规范解答】（1）解：∵分的成绩如下： 81  81  82  82  83  84  84  84  85  85  86  87  87  88  88  90 ∴排在第25个，26个数据是82，82， ∴中位数为：（分） （2）平均数为：（分）； （3）信息1：50个同学竞赛成绩的极差较大，从而班级之间对环保知识掌握程度的差异较大； 或信息2：80分以上的占比为，从而说明整个学生群体对环保知识的掌握程度还需要加强． 考点讲练20：已知极差求未知数据 【典例精讲】（22-23八年级上·山东烟台·期末）先化简，再求值：，其中a在一组未排序的数据7、9、6、a、8、5中，已知这组数据的极差是6． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【思路点拨】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据极差的定义求出a的值，最后代值计算即可． 【规范解答】解： ； 当数据7、9、6、a、8、5中为最大值时，则，即， 当时，原式； 当数据7、9、6、a、8、5中为最小值时，则，即， 当时，原式． 【考点评析】本题主要考查了分式的化简求值，极差，正确计算是解题的关键． 【变式训练】（18-19七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）有40个数据，其中最大值为100，最小值为55，对这组数据进行等距分组，若组距为5，则这组数据应该分成的组数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【思路点拨】根据频数分布直方图的组数的确定方法，用极差除以组距，然后根据组数比商的整数部分大1确定组数． 【规范解答】由题意得； 样本数据的极差为：100－55＝45，组距为5 则： ＝9 所以这组数据应分成10组． 故选：C 【考点评析】本题考查了频数分布直方图的组数的确定，需要注意的是组数比商的整数部分大1，不能四舍五入． 考点讲练21：标准差 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）设有个数，其标准差为．另有个数，其标准差为．其中，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键． 根据平均数与方差的计算公式计算即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴ ∴． 故选：B． 【变式训练】（2024·四川乐山·模拟预测）中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，甲、乙两校参加区教育局举办的“中国诗词大会”竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分 数 7 分 8 分 9 分 10 分 人 数 11 0 8 乙校成绩扇形统计图 (1)在图中，“7分”所在扇形的圆心角等于 ； (2)请你将条形统计图补充完整； (3)填空： ①甲校的平均分是 ，中位数是 ； ②乙校的平均分是8.3分， 中位数是 ； ③若从平均分和标准差的角度判断，哪所学校的成绩较为稳定？ 答： 校． (4)如果区教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)①8.3；7；②8；③乙校 (4)选甲校，理由见解析 【思路点拨】（1）根据10分的有5人，对应的圆心角度数是，设7分有人对应的圆心角度数是，列比例求解即可． （2）根据10分的有5人，对应的圆心角度数是，即所占的比例是，据此即可求得总人数，进而求得分是8分的人数，补全条形统计图． （3）①根据平均数与中位计算公式求解； ②根据中位计算公式求解； ③因为两校平均分相同，再分别计算出两校的标准差，比较标准差，根据标准差较小的成绩较为稳定，可得出答案． （4）观察两校的高分人数进行分析． 【规范解答】（1）解：设7分的人对应的圆心角度数是，由图可得 解得：， ∴“7分”所在扇形的圆心角等于； （2）解：（人）， 得分是8分的人数为：（人） 补充条形统计图为： （3）解：①9分人数为：， ∴， 成绩按从小到大排列，第十、十一位成绩是7，所以甲校的中位数为7； ②成绩按从小到大排列，第十、十一位成绩是8分，所以乙校的中位数为8； ③两校平均分相同，都要是8.3分， ∵ ∴ ∴从平均分和标准差的角度判断，乙学校的成绩较为稳定． 故答案为：乙方校． （4）解：因为区教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，甲校得（10分）的有8人，而乙校得（10分）的只有5人，所以应选甲校． 【考点评析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，平均数，中位数，标准差，利用标准差判定稳定等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 考点讲练22：平均差 【典例精讲】（2015·河北张家口·一模）我县某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我太康”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b． 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 6.7 m 3.41 90% n 八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10% （1）请依据图表中的数据，求a，b的值； （2）直接写出表中的m，n的值； （3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 【答案】（1）a＝5，b＝1；（2）m＝6；n＝20%；（3）八年级队比七年级队成绩好，理由见解析． 【思路点拨】（1）根据题意，得到关于字母的方程组，解二元一次方程组即可； （2）一组数据，按顺序排列，位于中间的数（偶数个数，取中间两个数的平均值）就是中位数m，再用优秀的人数除以总人数即可得到n的值； （3）根据表格中的平均数、中位数进行说明比较即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得：， 解得a＝5，b＝1； （2）七年级成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6，即m＝6； 优秀率为＝20%，即n＝20%； （3）八年级平均分高于七年级，方差小于七年级，成绩比较稳定， 故八年级队比七年级队成绩好． 【考点评析】本题考查平均数、中位数、方差、条形统计图等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式训练】（18-19八年级下·全国·单元测试）小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是 ． 【答案】23% 【思路点拨】根据增长率=今年的增加的支出÷去年的支出总数即可求出． 【规范解答】去年的支出总数=3600+1200+7200=12000元， 则今年的增加的支出=3600×10%+1200×20%+7200×30%=2760元， ∴小明家今年的总支出比去年增长的百分数=2760÷12000=23%． 故答案为23%． 【考点评析】本题考查了增长率的计算．增长率=今年的增加的量÷去年的总量． 考点讲练23：用计算器求方差 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算器在统计状态下，先看到显示数字952，按下后，显示5，这两个数的含义是（    ） A．已经输入了952个5 B．已经输入了5个952 C．已经输入了952个数，最后一个是5 D．已经输入了5个数，最后一个是592 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了统计状态下的计算器方法，解决本题的关键是掌握和学会使用计算器进行统计，掌握键的功能． 根据题意，统计数据的方法为输入数据后按，屏幕就会显示此时一共输入进去多少个数据，即可得到答案． 【规范解答】解：根据计算器的相关知识可得先看到显示数字952，按后，显示5，这两个数的含义是已经输入了5个数，最后一个是952． 故选：D 【变式训练】（18-19八年级下·全国·课后作业）如图所示，A、B两个旅游点从2010年至2014年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题： （1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？ （2）求A、B两个旅游点从2010到2014年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价． 【答案】（1）增长最快的是2013年；（2）A、B两个旅游点从2010到2014年旅游人数的平均数都为3万人，A地旅游人数的方差为2，B地旅游人数的方差为0.4；A旅游点的人数比B旅游点的人数波动大 【思路点拨】（1）认真审图不难看出B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2013年； （2）根据平均数和方差的计算公式求出A、B两地旅游人数的平均数与方差，然后根据方差的大小判断两个旅游点的情况进行评价． 【规范解答】解：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是2013年． （2）A旅游点每年旅游人数的平均数为（万人）， 其方差为； B旅游点每年旅游人数的平均数为（万人）， 其方差为； 所以从2010到2014年，A、B两个旅游点旅游人数的平均数都为3万人，A地旅游人数的方差比B地旅游人数的方差大，所以A旅游点的人数比B旅游点的人数波动大． 【考点评析】本题考查从统计图中获取信息的能力，也考查平均数和方差的计算方法. 考点讲练24：课题学习 体质健康测试中的数据分析 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·课后作业）线上教学的最大优点是能够依托网络平台及时反馈效果．一次数学习题课，课前，陈老师让班上每位同学做6道与这节课内容相关的类似题目，解题情况如图．课后，陈老师再让学生做6道类似的题目，结果如表．已知每位学生至少答对1题． 课后解题情况频数表 答对题数 1 2 3 4 5 6 合计 频数 2 3 3 a 9 13 b (1)根据图表信息填空： ________； ________； (2)该班课前答对题数的众数是________；课后答对题数的中位数是________； (3)请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节习题课的教学效果． 【答案】(1)10；40 (2)3，5 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，求中位数和众数，以及平均数等等： （1）根据频数分布表求出总人数，即b的值，进而求出a的值即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）从平均数，中位数和众数出发进行描述即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：10；40； （2）解：由题意得课前答对3题的人数最大， ∴课前答对题的众数是3； 把课后答题对的题数从低到高排列，处在第20名和第21名答对的题数分别为5题，5题， ∴课后答对题数的中位数是， 故答案为；3，5； （3）解：课前答对题数的平均数为 (题)； 课后答对题数的平均数为(题)， 从答对题数的平均数来看，这节习题课的教学效果明显；从中位数来看，课前答对题数的中位数为3题，课后答对题数的中位数为5题，即课前答对3题及以下的人数有一半以上，而课后有一半以上的人答对5题，所以这节习题课的教学效果明显． 【变式训练】（21-22八年级上·广东深圳·期末）本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 7.5 7 7 2.8 八年级 a 8 b 2.35 (1)填空：表中的a＝ ，b＝ ； (2)你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ； (3)若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 【答案】(1)7.5；7.5 (2)八，八年级成绩的方差小于七年级 (3)1080 【思路点拨】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据方差的意义求解即可； （3）用总人数乘以样本中6分及6分以上人数所占比例即可． 【规范解答】（1）解:由表可知， 八年级成绩的平均数a＝＝7.5， 所以a＝7.5； 八年级成绩最中间的2个数分别为7、8， 所以其中位数b＝＝7.5， 故答案为：7.5；7.5 （2）解:八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级， 故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级； （3）解:估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×＝1080（人）． 【考点评析】本题考查条形统计图、中位数、众数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 基础夯实真题练 1．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）一名射击运动员统计了45次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是（   ） A．中位数是8 B．众数是8 C．平均数是8 D．极差是14 【答案】D 【思路点拨】本题考查了折线统计图，中位数，众数，平均数，极差，读懂折线图，熟练掌握中位数，众数，平均数，极差的定义是解题的关键．读懂折线统计图，根据中位数，众数，平均数，极差的定义求解即可． 【规范解答】解：由图可知，将45次射击成绩，从小到大依次排列，第23个数为8环，故中位数是8，故A选项正确，不符合题意； 8环出现次数最多，有18次，故众数为8，故B选项正确，不符合题意； 这组数据的平均数为： ，故C选项正确，不符合题意； 这组数据的极差为：，故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知一个样本数据，，…，，的平均数和方差分别为，，则新数据，，…，，的平均数和方差分别是（   ） A．9  4 B．9  8 C．6  4 D．6  7 【答案】B 【思路点拨】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差计算公式是解题的关键． 根据平均数与方差公式计算即可求解． 【规范解答】解：由题意，得 新数据平均数为 ， 新数据方差为 ． 故选：B． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）在2025年某市中学教师招聘面试工作中，九位评委对面试人员进行了评分，邱老师根据九位评委所给的分数制作了如下表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表中数据一定不发生变化的是（　　） 平均数 中位数 众数 方差 8.5分 8.3分 8.1分 0.15 A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查平均数、众数、方差、中位数的定义，其中一组按大小顺序排列起来的数据中处于中间位置的数叫做中位数． 由一组按大小顺序排列起来的数据中处于中间位置的数叫做中位数，接下来根据中位数的定义，结合去掉一个最高分和一个最低分, 不难得出答案． 【规范解答】解： 中位数是将一组数从小到大的顺序排列，取中间位置或中间两个数的平均数得到，所以如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数． 故选：D． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）某学校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本，其中2人每人采集到6件，4人每人采集到3件，5人每人采集到4件，则这个兴趣小组平均每人采集标本的件数是 件． 【答案】4 【思路点拨】本题考查平均数的计算方法，解题的关键是熟练掌握平均数的相关知识．根据平均数的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解：平均每人采集标本的件数为：（件）， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示的扇形统计图描述了某校在一次卫生评比中，对八（1）班的卫生的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为 分．    【答案】4 【思路点拨】本题考查了众数的定义及扇形统计图，熟练掌握出现次数最多的数为众数是解题的关键．根据扇形统计图结合众数的定义求解即可． 【规范解答】解：∵分占，人数最多， ∴众数为分， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·全国·期末）某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲，乙两组进行训练，他们的身高（单位：）如图所示： 其中两队队员身高的平均数都是，方差分别为，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了方差等知识点，属于基础题型． 观察图中数据，根据方差公式计算即可． 【规范解答】解：， ， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期中）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计分然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制），进入决赛的前两名选手的单项成绩如下裘所示： 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 90 92 B 88 85 x (1)计算A选手的综合成绩； (2)若B选手要在综合成绩上超过A选手，则演讲效果成绩x应超过多少分？ 【答案】(1) (2)演讲效果成绩x应超过分 【思路点拨】本题主要考查加权平均数； （1）利用加权平均数的定义计算出A选手的综合成绩； （2）利用加权平均数的定义计算出两人选手的综合成绩，从而得出答案． 【规范解答】（1）解：A选手的综合成绩为：（分）； （2）解：B选手的综合成绩为：（分）， ∵B选手要在综合成绩上超过A选手， ∴，解得， 即若B选手要在综合成绩上超过A选手，则演讲效果成绩x应超过分． 8．（23-24八年级下·云南昆明·期末）为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七、八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩的频数分布直方图如下， （数据分为4组：，，，）． b．八年级学生测试成绩在这一组的是：81   83   84   84   84   86   89 c．七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为______，八年级学生测试成绩在这一组的众数是______； (2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是______（填“小亮”或“小宇”）； (3)成绩不低于80分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 【答案】(1)，84 (2)小宇 (3)180 【思路点拨】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是的关键． （1）结合题意，根据中位数和众数的意义解答即可， （2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案， （3）先算出样本中成绩不低于80分的百分比，再乘以300即可得到答案． 【规范解答】（1）解：八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84， 故中位数， 八年级学生测试成绩在这一组的众数是84， 故答案为：，84； （2）解：小宇在本年级成绩排名更靠前， ∵小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分， 故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩； ∵小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数分， 故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩， ∴学生小宇的成绩在本年级排名更靠前， 故答案为：小宇； （3）解： （人）， ∴估计八年级获得优秀奖的学生人数180人． 9．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）年月日是第十六个世界海洋日．世界海洋日的设立是为了提醒公众对海洋环境的认识，呼吁全球行动保护海洋环境，为此， 我校举行了海洋知识竞赛．竞赛结束后，随机在八年级抽取名学生的成绩，并将他们的成绩（满分分）进行整理、描述和分析，按成绩分为如下组，组：，组：，组：，组：，组：，下面给出了部分信息． 信息：随机抽取的八年级学生竞赛成绩频数分布直方图如下图所示： 信息：八年级学生在这一组的位同学的竞赛成绩是： ． 信息：八年级学生在这一组的位同学的竞赛成绩是：. 信息：八年级成绩的平均分、中位数、众数（注：众数在这一组里）如表： 平均分 中位数 众数 请根据以上信息，解决以下问题： (1)补全频数分布直方图； (2)表中 ， ； (3)请计算八年级学生在这一组的位同学竞赛成绩的方差； (4)已知该校参加知识竞赛的学生共有人，试估计该校成绩在组的人数． 【答案】(1)频数分布直方图见解析； (2)，； (3)； (4)估计该校成绩在组的人数有人． 【思路点拨】（）先计算组人数，然后补全即可； （）根据中位数和众数的定义即可求解； （）根据方差公式求解即可， （）八年级成绩在组人数比乘以即可求解； 本题考查频数分布直方图，中位数，众数的意义，掌握中位数、众数的意义，理解频数分布直方图的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：组：人数为：（人）， 补全频数分布直方图， （2）解：中位数为第个和第个同学成绩的平均数， 根据题意可知中位数为组，第个和第个同学成绩的平均数， ∴， ∵众数在这一组里， ∴出现次，次数最多， ∴， 故答案为：，； （3）八年级学生在这一组的位同学竞赛成绩为，，，，，， 平均数为， ∴方差为： ； （4）解：估计该校成绩在组的人数有（人） 答：估计该校成绩在组的人数有人． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）某同学进行社会调查，随机抽查了某地15个家庭的收入情况，数据如表： 年收入（万元） 2 2.5 3 4 5 9 13 家庭个数 1 3 5 2 2 1 1 (1)求这15个家庭年收入的平均数、中位数、众数； (2)你认为用（1）中的哪个数据来代表15个家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由． 【答案】(1)平均数是万元，中位数是3万元，众数是3万元 (2)中位数或众数较为合适，理由见解析 【思路点拨】本题考查了平均数、中位数与众数，熟练掌握平均数、中位数与众数的定义和意义是解题关键． （1）根据平均数的计算公式、中位数与众数的定义求解即可得； （2）根据平均数、中位数与众数的意义即可得． 【规范解答】（1）解：平均数为（万元）， 将这组数据按从小到大进行排序后，第8个数即为中位数， 所以中位数是3万元， 因为3万元出现的次数最多， 所以众数是3万元． （2）解：中位数或众数较为合适，理由如下： 虽然平均数为万元，但年收入达到万元的家庭只有4个，大部分家庭的收入未达到这一水平，而中位数或众数为3万元，是大部分家庭可以达到的水平，因此用中位数或众数较为合适． 培优拔尖真题练 11．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）某校为推动中华优秀传统文化走进校园，举办了一场以“爱我中华”为主题的知识竞赛活动．八年级某班派出6位同学参赛，成绩如下表，下列选项不正确的是（    ） 参赛选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩 86 84 84 86 87 86 A．6位参赛同学成绩的众数是86 B．6位参赛同学成绩的中位数是85 C．6位参赛同学成绩的平均数是85.5 D．6位参赛同学成绩的方差是1.25 【答案】B 【思路点拨】根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法逐项分析即可． 【规范解答】解：A．∵86出现了3次，出现的次数最多，∴6位参赛同学成绩的众数是86，正确； B．从小到大排列：84，84，86，86，86，87，∵排在中间的2个数都是86，∴6位参赛同学成绩的中位数是86，故不正确； C．∵，∴6位参赛同学成绩的平均数是85.5，正确； D．∵，6位参赛同学成绩的方差是1.25，正确． 故选B． 【考点评析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法是解答本题的关键． 12．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（   ） A．乙班视力值的众数是 B．甲、乙两班视力值的平均数相等 C．甲、乙两班视力值的中位数相等 D．视力值的波动程度甲班大于乙班 【答案】D 【思路点拨】本题考查折线图，求平均数，中位数，方差和众数，从折线图中获取信息，求出每组数据的平均数，中位数，方差和乙班的众数，再进行判断即可． 【规范解答】解：甲班的数据为：， ∴平均数为：； 中位数为：； 方差为： 乙班的数据为：， ∴众数为， 平均数为：； 中位数为：； 方差为：； 故：乙班视力的众数为，甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班； ∴D选项描述错误； 故选：D． 13．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）一组大于1的正整数5，7，3，m，7，6的中位数是5.5；唯一的众数是7，则这组数据的平均数是（    ） A． B． C．5或 D．5或 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据题意分两种情况分析：当重新排列如下：3，m，5，6，7，7；当重新排列如下：m，3，5，6，7，7；根据中位数及题意确定m的值，求解即可． 【规范解答】解：∵5，7，3，m，7，6的中位数是5.5；唯一的众数是7， 当重新排列如下：3，m，5，6，7，7， 此时中位数为：， ∴且， ∴， 此时平均数为：； 当重新排列如下：m，3，5，6，7，7， 此时中位数为：， ∴， ∴， 此时平均数为：； 综上可得：平均数为5或 故选：C 14．（2024·重庆江津·模拟预测）一个三位数m，每个数位上的数字均不为0，且满足百位十位个位，称为“步步高升数”，将“步步高升数”m个位与百位交换得到，记．例如：128满足，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记． 若p是一个“步步高升数”，则的最大值为 ，一个“步步高升数”p是3的倍数，且满足是一个完全平方数，则所有满足条件的p的平均值为 ． 【答案】 8 【思路点拨】本题考查了实数的新定义运算，求一个数的平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先表示和，结合，得出，因为是一个完全平方数，得出，最后根据p是3的倍数，列式计算即可作答． 【规范解答】解：依题意，p是一个“步步高升数”，设这个“步步高升数”为 ∴将“步步高升数”的个位与百位交换得到 ∵ ∴ 则 ∵，且都是正整数 ∴则的最大值为 ∵是一个完全平方数 ∴ ∵，且都是正整数 ∴都舍去 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ ∵一个“步步高升数”p是3的倍数， ∴ ∴ ∴满足条件的p的平均值为 故答案为：8， 15．（2020·湖北黄石·模拟预测）已知数据，，，的平均数为m，方差为，则数据，，，的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ． 【答案】 ks 【思路点拨】根据平均数、方差、标准差的定义列式计算即可． 【规范解答】数据，，，的平均数为m，方差为， ，， ， 数据，，，的平均数为， 数据，，，的方差为，标准差为． 故答案为；；ks． 【考点评析】本题考查了平均数、方差、标准差，熟记平均数、方差、标准差的定义是解题的关键 ． 16．（24-25八年级上·山东淄博·期末）一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了求一组数据的方差及标准差；先求出这组数据的平均数与方差，再由方差的算术平方根即为标准差即可求解． 【规范解答】解：由题意知，， 即； 而， ∵， ∴ ， ∴标准差为； 故答案为：8． 17．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式，分别计算出原数据和新数据的方差即可得． 【规范解答】解：原数据的平均数为：， 方差为：； 新数据的平均数为：， 所以方差为： ∴ 故答案为：． 18．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． (2)补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 (3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3)人 【思路点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键． 根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图； 根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可； 利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可． 【规范解答】（1）解：乙学校测试班级有人的成绩是级， 从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的， 乙校参加测试的学生的总人数为(人)， 甲校参加测试的学生总数也是人， 甲校成绩为级的人数为(人)， 补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： （2）解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级， 甲校测试班级的中位数是分， 即， 乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)， 获得级的有(人)，获得级的有(人)， 乙校测试成绩的平均数为：， 乙校测试成绩中获得级的人数最多， 乙校测试成绩的众数是， 故答案为：，，； （3）解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的， 利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)， 答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人． 19．（23-24八年级下·福建厦门·期末）小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 【答案】(1) (2)①小南跑步的最大速度为8.8千米/小时②他以最大速度跑步的时间至少是 【思路点拨】本题考查的是一次函数的应用及加权平均数的计算， （1）用待定系数法直接计算求出即可； （2）①用待定系数法求出，再将代入计算得出结论；②先求从起跑到速度达到最大这段时间内，心率保持在100次/分钟以上的时长为：，得出停下时，，再用待定系数法求出休息时段心率p与休息时间t的一次函数关系式，进而得出，设最大速度跑步的时间为，列不等式计算解决即可． 【规范解答】（1）解：由表格知，起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间为一次函数关系， 设小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， 把，分别代入， ， 解得：， 则小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， （2）①由题意得：， 设， 把，分别代入， ， 解得：， ， 当时，， 当时，， 解得：， 答：小南跑步的最大速度为8.8千米/小时； ②当时，， ， 又， 从起跑到速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为： ， 当， 将代入得， 即停下时，， 由休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态可知，休息时段心率p与休息时间t是一次函数关系，设休息时段， 把代入， ， 解得：， ， 当时，， ， 由于休息时心率匀速降低， 因此在休息这段时间小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为， 设最大速度跑步的时间为， 则的时段：， ， 则他以最大速度跑步的时间至少是． 20．（22-23八年级下·福建厦门·期末）某村启动“乡村振兴”项目，根据当地的地理条件，在村里利用大棚技术种植一种经济作物．农业技术人员在种植前进行了主要相关因素的调查统计，结果如下： ①天气寒冷，大棚加温可改变经济作物生长率．大棚恒温时每天的成本为100元，但加温导致每天成本增加，根据实地调查，发现一个大棚加温时30天的成本情况如图1，采用30天的平均成本作为加温至时的成本． ②经济作物的生长率p与温度t（℃）有如（图2）关系； ③按照经验，经济作物提前上市的天数m（天）受生长率p的影响，大致如下表： 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 20    请根据上面信息完成下列问题： (1)求加温至的平均每天成本． (2)用含t的代数式表示m． (3)计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但若欲加温到摄氏度，要求成本太高，所以计划加温至．请问加温多少摄氏度时增加的利润最大？并说明理由．（注：经济作物上市售出后大棚暂停使用） 【答案】(1)200元 (2) (3)25摄氏度，理由见解析 【思路点拨】（1）根据加权平均数定义求解即可； （2）分，两种情况讨论即可； （3）设利润为元，列出w关于t的一次函数解析式，然后利用一次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：， ∴加温至的平均每天成本是200元； （2）解：由表格知：m是p的一次函数， 设， 则，解得， ∴， 当时， 设， 则，解得， ∴， ∴， 当时， 设， 则，解得， ∴， ∴， 综上，； （3）解：设利润为元， 则当时， ， 即， ∵， ∴w随t的增大而增大， 又， ∴当时，w取最大值， ∴加温25摄氏度时增加的利润最大． 【考点评析】本题考查了加权平均数，一次函数等知识，掌握待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$