精品解析：甘肃省武威市凉州区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试卷

2024～2025学年第一学期期末质量检测 九年级数学 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 一、单选题（每题3分，共计30分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 一个三角形的外角和是 B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为 C. 负数大于正数 D. 在标准大气压下，水加热到会沸腾 3. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（ ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 5. 把二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，有下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；当时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ 　） A. B. C. D. 7. 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，切于点A，B，直线切于点E，交于点F，交于点G，若的周长是15cm，则的长为（ ） A. cm B. 7cm C. cm D. 8cm 二、填空题（每题3分，共计24分） 11. 反比例函数的图像经过点，则这个反比例函数的解析式是________． 12. 点和点关于原点对称，则的值为_______． 13. 若是关于的二次函数，则的值为______． 14. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 200 500 1000 1500 2000 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为________．（结果精确到） 15. 若点和点在反比例函数的图象上，且，则__________（填“＞”，“＜”或“＝”）． 16. 如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为______． 17. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8．设它的外接圆半径长为R，内切圆半径长为r，则______． 18. 二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是 _____（把正确说法的序号都填上）． 三、解答题（共计66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中有一个． （1）作出关于原点O对称的，并写出各顶点的坐标； （2）求出的面积． 20. 2024年巴黎奥运会中国代表团取得了境外奥运会历史最佳成绩．九年级一班组织“奥运精神伴我成长”主题班会．活动中老师准备了如下四张运动员获奖图片（除正面图案外完全和同），分别记为，，，．现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小敏先从中随机抽取一张，不放回，小捷再从剩余图片中随机抽取一张，然后请两人根据所抽到的图片介绍相关比赛项目．用画树状图或列表的方法求小敏和小捷介绍的都是团体项目的概率． 21. 已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 22. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 23. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为2，求的长． 24. 如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求弧的长和扇形的面积． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集 （3）求的面积． 26. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，． （1）求的大小； （2）过点C作交的延长线于点F．若，，求圆的半径． 27. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期期末质量检测 九年级数学 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 一、单选题（每题3分，共计30分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 一个三角形的外角和是 B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为 C. 负数大于正数 D. 在标准大气压下，水加热到会沸腾 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，据此即可求解，掌握随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、一个三角形的外角和是，是必然事件，不合题意； 、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为，是随机事件，符合题意； 、负数大于正数，是不可能事件，不合题意； 、在标准大气压下，水加热到会沸腾，是必然事件，不合题意； 故选：． 3. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数定义，形如的函数叫做反比例函数，根据反比例函数定义逐项判断即可得到答案，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 4. 如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（ ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 故选：A 5. 把二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移原则解答即可． 本题考查了抛物线的平移，熟练掌平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据左加右减，上加下减的平移原则，得． 故选：C． 6. 对于抛物线，有下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；当时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质解题即可． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，故正确； 对称轴为直线，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，抛物线开口向下， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故正确， 综上所述，正确的有， 故选：C． 7. 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 8. 如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂直定理是解题的关键． 根据得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（）． 故选：D． 9. 如图是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理及其推论，可分别求出，，即可求的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，，切于点A，B，直线切于点E，交于点F，交于点G，若的周长是15cm，则的长为（ ） A. cm B. 7cm C. cm D. 8cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，由题意可知，，以及，再结合的周长是15cm，即可求出的长． 【详解】解：直线切于点E，交于点F，交于点G， ，， 的周长是15cm， ， ，切于点A，B， ， ， ， 的长为cm． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共计24分） 11. 反比例函数的图像经过点，则这个反比例函数的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 设反比例函数解析式为，把点代入即可求得的值． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 函数经过点， ， 解得． 反比例函数解析式为． 故答案为：． 12. 点和点关于原点对称，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解此题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，再代入求值即可． 【详解】点和点关于原点对称， ， 解得， ． 故答案为：． 13. 若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的二次项系数不为零，最高次项的次数是是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解根据题意可得：，且， 解得：， 故答案为：． 14. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 200 500 1000 1500 2000 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为________．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由表格信息得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率． 【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为． 故答案为：． 15. 若点和点在反比例函数的图象上，且，则__________（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用反比例函数图象与性质比较函数值大小，对于反比例函数比较自变量或函数值大小问题，采用作图法，根据题意，作出图象即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 将点和点在反比例函数的图象上标出，如图所示： ， 故答案为：． 16. 如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积为：． 故答案为： 17. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8．设它的外接圆半径长为R，内切圆半径长为r，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求斜边，即可求出，设内切圆半径长为r，由切线长定理得，所以，即可得到的值． 【详解】如图所示： ∵，， ∴， ∴外接圆半径为5， ∴， 设内切圆半径长为r， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和外接圆，熟记直角三角形的外接圆圆心在斜边中点和切线长定理是解题的关键． 18. 二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是 _____（把正确说法的序号都填上）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当x取何值时，． 【详解】解：①∵开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故正确； ②如图，当时，y不只是大于0．故错误； ③∵对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间， ∴另一个交点的横坐标在0与之间； ∴当时，，故正确； ④∵对称轴， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，故正确； ∴正确的有3个． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，数形结合思想的应用是本题的关键． 三、解答题（共计66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中有一个． （1）作出关于原点O对称的，并写出各顶点的坐标； （2）求出的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求作的；； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——旋转变换、三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是正确解答此题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为． 20. 2024年巴黎奥运会中国代表团取得了境外奥运会历史最佳成绩．九年级一班组织“奥运精神伴我成长”主题班会．活动中老师准备了如下四张运动员获奖图片（除正面图案外完全和同），分别记为，，，．现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小敏先从中随机抽取一张，不放回，小捷再从剩余图片中随机抽取一张，然后请两人根据所抽到的图片介绍相关比赛项目．用画树状图或列表的方法求小敏和小捷介绍的都是团体项目的概率． 【答案】答：两人介绍的都是团体项目的概率是． 【解析】 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是根据题意，列表得到所有的可能性结果，进行解答，即可． 【详解】解：所有可能的结果列表如下： 小捷 小敏 共有种结果，每种结果出现的可能性相同， 两人介绍的都是团体项目的结果有两种：、， ∴两人介绍的都是团体项目的概率是． 21. 已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 【答案】（1）；（2）且． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题； （2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题； 【详解】（1）由题意得，，解得m=； （2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-. 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念． 22. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】（1） （2）抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质： （1）利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）根据和求出对应的、值，即可得到与坐标轴交点的坐标． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：当时，，解得：，； 当时，， 故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 23. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． 24. 如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求弧的长和扇形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴，即， 又∵D是的中点， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴是等腰三角形． （2）, 【解析】 【分析】（1）连接，由为直径，得到，继而得出是线段的中垂线，即可求解； （2）由等边对等角及三角形外角的性质求出，，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集 （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数表达式，函数图象的关系解不等式； （1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，将代入反比例函数表达式得到，从而求出的坐标是，再利用待定系数法确定一次函数的函数表达式即可得到答案； （2）根据函数图象，写出一次函数在反比例函数图象上方的自变量取值范围即可得到答案； （3）设与轴交于点，连接，根据一次函数解析式求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的解析式为； 在上，则， 的坐标是， 把代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集是或． 【小问3详解】 解：如图所示，设与轴交于点，连接， ∵一次函数的解析式为； 当时，， ∴，即 ∵ ∴ 26. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，． （1）求的大小； （2）过点C作交的延长线于点F．若，，求圆的半径． 【答案】（1） （2）圆的半径为6 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，结合已知得出，根据角平分线的定义得出，再根据圆内接四边形对角互补得出，于是得到，从而求得的大小； （2）先证得垂直平分，再证为等边三角形，再证，，于是可求出的长，再在中求出的长，问题可解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，为直径， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 即圆的直径为， 所以圆的半径为6． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，平行线的性质，涉及的知识点较多，需熟练掌握． 27. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图1， 作于F，交于E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：设，的中点坐标为 ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设，则： ，， 解得：，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $