7.2 离散型随机变量及其分布列-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．2　离散型随机变量及其分布列 学习目标　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．　2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．　3.理解两点分布． 一、随机变量的概念及判定 问题1　(1)100件产品中有3件次品，随机抽取3件含有次品的数量可能为多少？能否用数值表示相应结果呢？ (2)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ (3)抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示相应结果呢？ 提示：(1)100件产品中有3件次品，随机抽取3件含有次品的数量可能为0，1，2，3，可以用0，1，2，3来表示相应结果． (2)共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果． (3)掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．可以用1表示正面向上，0表示反面向上． 【知识提炼】　 1．随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．随机变量的特点 (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 3．离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称之为离散型随机变量． 微提醒 随机变量的取值对应随机试验的某一随机事件，如“掷一枚骰子”这一随机试验中所得点数是一随机变量ξ，“ξ＝2”可规定为对应随机事件“掷一枚骰子，出现2点”． 例1　(1)写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． ①一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X； ②一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X. 解：①X可取0，1，2，3. X＝0表示取5个球全是红球； X＝1表示取1个白球，4个红球； X＝2表示取2个白球，3个红球； X＝3表示取3个白球，2个红球． ②X可取3，4，5. X＝3表示取出的球编号为1，2，3. X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4. X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5. (2)指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． ①某超市5月份每天的销售额； ②某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； ③江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ. 解：①某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． ②实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． ③不是离散型随机变量，水位在(0, 29]这一范围内变化，不能按次序一一列举． 感悟升华　判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 【即学即用】　1.(1)(多选)下列变量是随机变量的是(　　 ) A．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第6题的人数 B．一台机器在一段时间内出现故障的次数 C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D．方程x2－2x－3＝0的实根个数 解析：选ABC.随机变量在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项A，B，C都符合随机变量的定义；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误． (2)写出下列随机变量的限值范围，并说明这些值所表示的随机试验的结果． ①某市医院明天接到120急救电话的次数X. ②一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X. 解：①X＝i，表示接到i次急救电话，i＝0，1，2，…. ②随机变量X可能的取值为0，1，2，3. X＝0表示“取出3个黑球”；X＝1表示“取出1个白球，2个黑球”；X＝2表示“取出2个白球，1个黑球”；X＝3表示“取出3个白球”． 二、离散型随机变量的分布列 问题2　在掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示：X的取值为1，2，3，4，5，6. X 1 2 3 4 5 6 P 【知识提炼】　 1．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 2．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示成功，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布．实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1). 微提醒 随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 例2　彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列； (2)他能及格的概率． 解：(1)由题意可知，X的可能取值为0, 1, 2, 3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)该同学能及格，表示他能背诵2篇或3篇课文， 由(1)知，该同学能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 感悟升华　求离散型随机变量的分布列的步骤 【即学即用】　2.某城市为了加快“两型社会”(资源节约型、环境友好型)的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙两人不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列． 解：(1)由题意得，甲、乙两人在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 租车费用相同，即两人都在同一时间段还车， 记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A， 则P(A)＝×＋×＋×＝， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为. (2)由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8， P(X＝0)＝×＝， P(X＝2)＝×＋×＝， P(X＝4)＝×＋×＋×＝， P(X＝6)＝×＋×＝， P(X＝8)＝×＝. 所以X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 三、分布列的性质及应用 例3　设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5). (1)求常数a的值； (2)求P. 解：由题意，得X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝. (2)方法一　P＝P＋P(X＝)＋P(X＝1)＝＋＋＝. 方法二　P＝1－P＝1－＝. 变式探究　本例条件不变，求P(<X<). 解：∵<X<，∴X＝，，. ∴P＝P＋P ＋P＝＋＋＝. 感悟升华　离散型随机变量的分布列的性质的应用 (1)验证分布列是否正确． (2)求参数的值或取值范围． (3)求随机变量在某个范围内取值的概率． 【即学即用】　3.(1)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.1 m 0.3 0.2 若随机变量Y＝2X－2，则P(Y＝2)等于(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 解析：选A.由离散型随机变量的分布列的性质得0.1＋0.1＋0.2＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3，∵随机变量Y＝2X－2，∴P(Y＝2)＝P(X＝2)＝0.3. (2)已知随机变量X的分布列如表所示． X －2 －1 0 1 2 3 P 若P(X2<x)＝，则实数x的取值范围是(　　) A．[4，9] B．(4，9] C．[4，9) D．(4，9) 解析：选B.由随机变量X的分布列知，X2的可能取值为0，1，4，9，且P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝＋＝，P(X2＝4)＝＋＝，P(X2＝9)＝， ∵P(X2<x)＝＝＋＋， ∴实数x满足4<x≤9. 1．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B．南京长江大桥一天经过的车辆数X C．某型号彩电的寿命X D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X 解析：选ABD.∵B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量． ∵A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故为离散型随机变量． 而C中X的取值不能一一列举出来，∴C中的X不是离散型随机变量． 2．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　 ) 解析：选C.C选项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，所以C选项不是随机变量的分布列． 3．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 3m 2m 则m＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由离散型随机变量分布列的性质可知，2m＋3m＝1，所以m＝. 4．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P＝________． 解析：设二级品有k个，则一级品有2k个， 三级品有个，总数为个． ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴P＝P(X＝1)＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$