6.3.1 二项式定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 学习目标　1.能用计数原理证明二项式定理．　2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 一、二项式定理的正用与逆用 问题　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用计数原理解释上述展开过程呢？ 提示：从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有C×C＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式．a2－kbk出现的次数相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，故(a＋b)2＝Ca2＋Cab＋Cb2＝a2＋2ab＋b2. 【知识提炼】　 1．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 微提醒 (1)二项展开式中的二项式系数是指C，C，…，C这些组合数，与a，b无关． (2)展开式中的系数是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数． 例1　(1)用二项式定理展开(2x－)5. 解：方法一　(2x－)5＝C(2x)5＋C(2x)4·(－)＋C(2x)3(－)2＋C(2x)2(－)3＋C(2x)·(－)4＋C(－)5＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二　(2x－)5＝＝[C(4x3)5·(－3)0＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2·(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]＝32x5－120x2＋－＋－. (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解：原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 感悟升华　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 【即学即用】　1.(1)求(x2＋－2)3的展开式． 解：(x2＋－2)3＝(x－)6＝(x2－1)6 ＝[C(x2)6－C(x2)5＋C(x2)4－C(x2)3＋C(x2)2－Cx2＋C] ＝(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1) ＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. (2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC. 解：1＋2C＋4C＋…＋2nC ＝C＋21C＋22C＋…＋2nC ＝(1＋2)n＝3n. 二、二项式系数与项的系数 例2　在二项式的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)求展开式中x－1的系数． 解：(1)的展开式的通项是Tk＋1＝C(3)10－k＝310－k C(k＝0，1，2，…，10). 则展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C＝120. (2)令＝－1，解得k＝4. 所以展开式中x－1的系数为36C＝30 240. 感悟升华　正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关． 【即学即用】　2.已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3. (1)求n的值； (2)求展开式中含项的系数． 解：(1) 因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为C，C， 所以＝，即＝，解得n＝7. (2)因为展开式的通项为Tk＋1＝C(3)7－k·＝C37－kx， 当＝－1时，k＝3， 所以展开式中含项的系数为C34＝2 835. 三、二项展开式中的特定项 例3　在二项式(x－)12的展开式中，求： (1)第4项；(2)常数项；(3)有理项；(4)中间项． 解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝C(－)r＝(－1)rC. (1)令r＝3，则T4＝(－1)3C＝－220x8. (2)令12－r＝0，则r＝9，从而常数项为(－1)9C＝－220. (3)若求展开式中的有理项，则12－r为整数，即r＝0，3，6，9，12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－Cx8＝－220x8，T7＝Cx4＝924x4，T10＝－C＝－220，T13＝x－4. (4)因为n＝12，所以展开项共有13项， 所以中间项为第7项． 令k＝6，得T7＝(－1)6C＝924x4. 感悟升华　(1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1(k∈N*，k≤n＋1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的解题思路 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解． 【即学即用】　3.(1)(2x－y)6的展开式中，x2y4项的系数是(　　 ) A．30 B．－30 C．60 D．－60 解析：选C.由题意Tk＋1＝C(2x)6－k(－y)k，当k＝4时，x2y4项的系数是15×4＝60. (2)若二项式(x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　 ) A．2 B． C．1 D． 解析：选B.二项式(x＋)7展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝Cx7－k()k＝Cakx7－2k.因为展开式中的系数是84，所以7－2k＝－3，解得k＝5. 所以Ca5＝84，解得a＝. 1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　 ) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2(n＋1) 解析：选B.展开式的项数比二项式的指数大1. 2．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　 ) A．(2x＋2)5 B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5 解析：选D.原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5 ＝32x5. 3．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为(　　 ) A．－210 B．210 C．－120i D．－210i 解析：选A.由通项公式得T7＝C×110－6×(－i)6＝－C＝－210. 4．(x3－)4的展开式中常数项是________． 解析：由二项式展开式可得C·(x3)1·(－)3＝－4. 答案：－4 学科网（北京）股份有限公司 $$