6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第六章　计数原理 6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　两个计数原理及其简单应用 学习目标　1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．　2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 一、分类加法计数原理 问题1　用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 提示：共有26＋10＝36种不同的号码． 【知识提炼】　 1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 2．分类加法计数原理的推广 完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 微提醒 (1)分类必须明确标准，一般地，分类标准不同，分类的结果也不同； (2)每一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的； (3)每一类中的任意两种方法也不相同． 例1　 (1)设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　 ) A．6个 B．8个 C．12个 D．16个 解析：选A.因为椭圆的焦点位于x轴上，所以m>n. 当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个). (2)某校高三共有三个班，各班人数如表． 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 ①从三个班中选1名学生担任学生会主席，不同的选法有________种； ②从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，不同的选法有________种． 解析：①从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有3类不同的方案： 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法． ②从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有3类不同的方案： 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法． 答案：①165　②80 感悟升华　应用分类加法计数原理解题的一般思路 【即学即用】　1.若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． 解：按x的取值进行分类： 当x＝1时，y＝1，2，3，4，5，共构成5个有序自然数对； 当x＝2时，y＝1，2，3，4，共构成4个有序自然数对； … 当x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对． 根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． 二、分步乘法计数原理 问题2　将问题1改为：用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 提示：编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(种)不同的号码． 【知识提炼】　 1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理的推广 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 微提醒 (1)准确确定分步的标准，一般地，分步的标准不同，分成的步骤数也会不同； (2)要注意各步骤之间必须连续； (3)各步骤之间既不能重复，也不能遗漏． 例2　若从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？ 解：解答本题需分三步完成： 第一步，选系数a(a不能为0)，有5种选法； 第二步，选系数b，有5种选法； 第三步，选系数c，有4种选法． 根据分步乘法计数原理得组成抛物线的条数为5×5×4＝100. 变式探究　若本例中的二次函数的顶点在第一象限且经过原点，则可以得到多少条不同的抛物线？ 解：分三步： 第一步，确定c，c＝0，只有1种方法； 第二步，确定a，a从－2，－1中选一个，有2种不同方法； 第三步，确定b，从1，2，3中选一个，有3种不同方法． 根据分步乘法计数原理得1×2×3＝6种不同方法，所以可以得到6条不同的抛物线． 感悟升华　应用分步乘法计数原理解题的一般思路 【即学即用】　2.将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为(　　) A．81 B．64 C．14 D．12 解析：选B.对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种不同的放法，根据分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64(种)放法． 三、两个原理的简单应用 【知识提炼】　 两个原理的区别与联系 项目 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成，才能完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 例3　一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本． (1)从中取出1本书，有多少种不同的取法？ (2)从中取出语文、数学、英语书各1本，有多少种不同的取法？ (3)从中取出2本书，且语文、数学、英语每种只能选1本，有多少种不同的取法？ 解：(1)从中取出1本书，可分三类方案，根据分类加法计数原理，有N＝12＋14＋11＝37种不同的取法． (2)从中取出语文、数学、英语书各1本可分三步，根据分步乘法计数原理，有N＝12×14×11＝1 848种不同的取法． (3)由题意得，此取法可分三类方案，每类方案分两步． 从语文、数学书中各取1本，有12×14种不同的取法；从语文、英语书中各取1本，有12×11种不同的取法；从数学、英语书中各取1本，有14×11种不同的取法． 所以有N＝12×14＋12×11＋14×11＝454种不同的取法． 感悟升华　利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解． 【即学即用】　3.(1)集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标． ①可以得到多少个不同的点？ ②这些点中，位于第一象限的有几个？ 解：①可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4＋4×3＝24(个)不同的点． ②第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2＋2×2＝8(个)不同的点． (2)某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况为多少种？ 解：分两类：第一类是甲企业有1人发言，有2种情况，另2个发言人来自其余4家企业，有6种情况，根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12种情况；另一类是3人全来自其余4家企业，共有4种情况．根据分类加法计数原理可得共有12＋4＝16种情况． 1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　 ) A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 解析：选B.根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为3＋4＋2＝9. 2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　 ) A．7 B．12 C．64 D．81 解析：选B.先从4件上衣中任取一件，共4种选法，再从3条长裤中任选一条，共3种选法，由分步乘法计数原理，得一件上衣与一条长裤配成一套共4×3＝12种不同配法． 3．一生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　 ) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 解析：选B.分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12种安排方案；②第一道工序不安排甲时有1×2×4×3＝24种安排方案. 所以共有12＋24＝36种不同的安排方案． 4．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种． 解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，共有4×3×2＝24(种)方法； 第二步：安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120(种)方法． 所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种). 答案：2 880 学科网（北京）股份有限公司 $$