7.4.2 超几何分布-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第七章　 随机变量及其分布 7．4　二项分布与超几何分布 7．4．2　超几何分布　 一、 超几何分布的概率 二、 超几何分布的分布列 三、 超几何分布的均值 课堂达标 课下巩固训练(十八) 学习目标　1.理解超几何分布的概念及特征．　2.会用超几何分布解决一些简单的实际问题． 问题　已知一箱节能灯共10个，其中有4个次等品． (1)采取有放回的方式随机抽取3个，设抽取的3个节能灯中次等品数为X，试写出X的分布列． (2)采取不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3个节能灯中次等品数为X，试写出X的分布列． 提示：(1)采用有放回抽样，则X服从二项分布，即X～B(3，0.4)，其分布列为P(X＝k)＝C eq \o\al(k,3)0.4k(1－0.4)3-k，k＝0，1，2，3. (2)采用不放回抽样，“X＝k”，k＝0，1，2，3表示“取出的3个节能灯中恰有k件次品”，这意味着，从4件次等品中取出k件，再从6件正品中取出3－k件，共有C eq \o\al(k,4)C eq \o\al(3-k,10－4)种取法，故X的分布列为P(X＝k)＝eq \o\al(k,4) eq \f(CC eq \o\al(3-k,6),C eq \o\al(3,10)) ，k＝0，1，2，3. 【知识提炼】　 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝ k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． eq \o\al(k,M) eq \f(CC eq \o\al(n－k,N－M),C eq \o\al(n,N)) 微提醒 (1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”． (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型． 例1　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10粒种子做发芽试验，把试验中发芽的种子粒数记为X, 求X的分布列； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X, 求X的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动， 班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列； (5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列． 解：(1)(2)中的样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量表示抽取的n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题． 感悟升华　(1)解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布． (2)注意公式中M，N，n的含义． 【即学即用】　1.某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数．求至少有2名男生参加数学竞赛的概率． 解：依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝4， ∴P(X＝m)＝(m＝0，1，2，3，4). ∴P(X＝0)＝eq \o\al(0,6) eq \f(CC eq \o\al(4,4),C eq \o\al(4,10)) ＝ eq \f(1,210)， P(X＝1)＝eq \o\al(1,6) eq \f(CC eq \o\al(3,4),C eq \o\al(4,10)) ＝ eq \f(4,35)， P(X＝2)＝eq \o\al(2,6) eq \f(CC eq \o\al(2,4),C eq \o\al(4,10)) ＝ eq \f(3,7)， P(X＝3)＝eq \o\al(3,6) eq \f(CC eq \o\al(1,4),C eq \o\al(4,10)) ＝ eq \f(8,21)， P(X＝4)＝eq \o\al(4,6) eq \f(CC eq \o\al(0,4),C eq \o\al(4,10)) ＝ eq \f(1,14)， 方法一(直接法)　P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝ eq \f(3,7)＋ eq \f(8,21)＋ eq \f(1,14)＝ eq \f(37,42). 方法二(间接法)　由分布列的性质，得P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)]＝1－＝ eq \f(37,42). 例2　某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，某人只能答对10道题目中的6道，试求： (1)他能答对抽到题目数的分布列； (2)他能通过初试的概率． 解： (1)设随机抽出的3道题目某人能答对的道数为X，则X＝0，1，2，3，X服从超几何分布， 则P(X＝0)＝eq \o\al(3,4) eq \f(C,C eq \o\al(3,10)) ＝ eq \f(1,30)，P(X＝1)＝eq \o\al(1,6) eq \f(C C eq \o\al(2,4),C eq \o\al(3,10)) ＝ eq \f(3,10)， P(X＝2)＝eq \o\al(2,6) eq \f(C C eq \o\al(1,4),C eq \o\al(3,10)) ＝ eq \f(1,2)，P(X＝3)＝eq \o\al(3,6) eq \f(C,C eq \o\al(3,10)) ＝ eq \f(1,6)， X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,30) eq \f(3,10) eq \f(1,2) eq \f(1,6) (2)要至少答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，即答对其中2道和答对3道，这两种情况是互斥的， 根据(1)的计算可得P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,6)＝ eq \f(2,3). 感悟升华　求超几何分布的分布列的步骤 【即学即用】　2.某班同学利用寒假对A小区的居民进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两类人数各占A小区总人数的比例如下表所示： A小区 “低碳族” “非低碳族” 比例 eq \f(4,5) eq \f(1,5) 在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X，求X的分布列． 解：在A小区随机选择的20户中，“非低碳族”有20× eq \f(1,5)＝4(户)，由题可知，X服从超几何分布． 则P(X＝0)＝eq \o\al(0,4) eq \f(C C eq \o\al(3,16),C eq \o\al(3,20)) ＝ eq \f(28,57)，P(X＝1)＝eq \o\al(1,4) eq \f(C C eq \o\al(2,16),C eq \o\al(3,20)) ＝ eq \f(8,19)，P(X＝2)＝eq \o\al(2,4) eq \f(C C eq \o\al(1,16),C eq \o\al(3,20)) ＝ eq \f(8,95)，P(X＝3)＝eq \o\al(3,4) eq \f(C C eq \o\al(0,16),C eq \o\al(3,20)) ＝ eq \f(1,285)， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(28,57) eq \f(8,19) eq \f(8,95) eq \f(1,285) 【知识提炼】　 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝ eq \f(M,N)，则p是N件产品的次品率，则E(X)＝ ． np 例3　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训． 由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望． 解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从B中抽出(等价于A中没有学生入选代表队)的概率为eq \o\al(3,3) eq \f(CC eq \o\al(3,4),C eq \o\al(3,6)C eq \o\al(3,6)) ＝ eq \f(1,100). 因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－ eq \f(1,100)＝ eq \f(99,100). (2)法一　某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为1，2，3，且X服从超几何分布． P(X＝1)＝eq \o\al(1,3) eq \f(CC eq \o\al(3,3),C eq \o\al(4,6)) ＝ eq \f(1,5)， P(X＝2)＝eq \o\al(2,3) eq \f(CC eq \o\al(2,3),C eq \o\al(4,6)) ＝ eq \f(3,5)， P(X＝3)＝eq \o\al(3,3) eq \f(CC eq \o\al(1,3),C eq \o\al(4,6)) ＝ eq \f(1,5). ∴X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(1,5) eq \f(3,5) eq \f(1,5) ∴数学期望E(X)＝1× eq \f(1,5)＋2× eq \f(3,5)＋3× eq \f(1,5)＝2. 法二　由超几何分布的均值公式E(X)＝4× eq \f(3,6)＝2. 感悟升华　求超几何分布均值的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值． (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率． (3)利用均值公式求解． 【即学即用】　3.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值． 解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝eq \o\al(1,3) eq \f(CC eq \o\al(2,7)＋C eq \o\al(0,3)C eq \o\al(3,7),C eq \o\al(3,10)) ＝ eq \f(49,60).所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 eq \f(49,60). (2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,6) eq \f(1,2) eq \f(3,10) eq \f(1,30) 所以随机变量X的均值E(X)＝0× eq \f(1,6)＋1× eq \f(1,2)＋2× eq \f(3,10)＋3× eq \f(1,30)＝ eq \f(6,5)(或E(X)＝ eq \f(3×4,10)＝ eq \f(6,5)). 解析：由题意得，P(X＝1)＝eq \o\al(1,2) eq \f(C C eq \o\al(2,8),C eq \o\al(3,10)) ＝ eq \f(7,15). 答案：D 1．设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从中任取3件，以X表示取出的3件中不合格的件数，则P(X＝1)＝(　　 ) A． eq \f(4,15) B． eq \f(2,5) C． eq \f(1,15) D． eq \f(7,15) 2．某批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是(　　 ) A．eq \o\al(1,2) eq \f(C C eq \o\al(9,48),C eq \o\al(10,50)) B．eq \o\al(1,2) eq \f(C C eq \o\al(9,50),C eq \o\al(10,50)) C．eq \o\al(1,2) eq \f(C,C eq \o\al(10,50)) D．eq \o\al(9,48) eq \f(C,C eq \o\al(10,50)) 解析：50件产品中，次品有50×4%＝2件，设抽到的次品数为X，则抽到1件次品的概率P(X＝1)＝eq \o\al(1,2) eq \f(C C eq \o\al(9,48),C eq \o\al(10,50)) . 答案：A 3．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为(　　) A．eq \o\al(3,5) eq \f(C,C eq \o\al(3,50)) B．eq \o\al(1,5) eq \f(C＋C eq \o\al(2,5)＋C eq \o\al(3,5),C eq \o\al(3,50)) C．1－eq \o\al(3,45) eq \f(C,C eq \o\al(3,50)) D．eq \o\al(1,5) eq \f(CC eq \o\al(2,5)＋C eq \o\al(2,5)C eq \o\al(1,45),C eq \o\al(3,50)) 解析：出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为eq \o\al(3,45) eq \f(C,C eq \o\al(3,50)) ，故答案为1－eq \o\al(3,45) eq \f(C,C eq \o\al(3,50)) . 答案：C 4．已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝__________________. 解析：由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，则由超几何分布的均值公式和方差公式知E(X)＝ eq \f(nM,N)＝ eq \f(2×3,10)＝ eq \f(3,5). 答案： eq \f(3,5) 【基础巩固】 1．口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同．任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P(X＝2)的值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：由题意可得，P(X＝2)＝. 答案：B 2．某县辖区内的15个小镇中，有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是(　　 ) A．P(X＝4) B．P(X≤4) C．P(X＝6) D．P(X≤6) 解析：X服从超几何分布，因为有6个小镇不太方便，所以从6个不方便小镇中取4个，P(X＝4)＝. 答案：A 3．一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，用X表示取出白球的个数，则E(X)等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：依题意，P(X＝k)＝，k∈N，k≤3，X服从超几何分布，所以白球个数的数学期望是E(X)＝. 答案：B 4．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数．素数对(p, p＋2)称为孪生素数对．从8个数对(3, 5)，(5, 7)，(7, 9)，(9, 11)，(11，13)，(13, 15)，(15, 17)，(17, 19)中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则E(X)＝(　　 ) A． B． C． D．3 解析：由题知8个数对中有(3, 5)，(5, 7)，(11，13)，(17，19)，共4对孪生素数对，所以X的可能取值为0, 1，2，3， 故P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， 所以E(X)＝0×. 答案：C 5．一只袋内装有m个白球，(n－m)个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于的是(　　) A．P(X＝3) B．P(X≥2) C．P(X≤3) D．P(X＝2) 解析：当X＝2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有种取法，再任意拿出1个黑球即可，有种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即，P(X＝2)＝. 答案：D 6．(多选)在一个袋中装有大小相同的4个黑球、6个白球，现从中任取3个球，设取出的3个球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　 ) A．随机变量X服从超几何分布 B．随机变量X服从二项分布 C．P(X＝2)＝ D．E(X)＝ 解析：由题意知，随机变量X服从超几何分布， 且N＝10，M＝6，n＝3，故A正确，B错误； P(X＝2)＝，故C正确； E(X)＝，故D正确． 答案：ACD 7．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率为________．(结果用最简分数表示) 解析：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝2，n＝5，所以该批产品被接收的概率为P(X≤1)＝1－. 答案： 8．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋2)＝________． 解析：依题意得，ξ可能的取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，于是E(ξ)＝，故E(5ξ＋2)＝5E(ξ)＋2＝4. 答案：4 【综合运用】 9．摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是(　　 ) A． B． C． D． 解析：当摇出的3个小球中有1个标有数字2，2个标有数字5时，X＝12，故P(X＝12)＝. 答案：A 10．(多选)某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为(　　) A．1－ B． C．1－ D． 解析：任意抽取4个产品有种不同的抽取方法，其中恰好有1个二等品的抽取方法有种，故所求事件的概率为，故D选项正确．“恰好有1个二等品”的对立事件是“没有二等品”或“有2个二等品”，故A选项也正确． 答案：AD 11．在某次学校的春游活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏：一个纸箱里放了5个红球和5个白球，这些球除颜色外其余完全相同，若一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即中奖，则中奖的概率是(精确到0.001)(　　 ) A．0.114 B．0.112 C．0.103 D．0.121 解析：设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝5，于是中奖的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝≈0.103. 答案：C 12．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为______，记甲答对试题的个数为X，则X的均值E(X)＝________． 解析：依题意，甲能通过的概率为P(X＝3)＋P(X＝4)＝. 由于P(X＝2)＝. 法一　故E(X)＝2×＝3. 法二　E(X)＝＝3. 答案：　3 【创新探索】 13．(多选)2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示． 若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是(　　 ) A．X的可能取值为0，1，2，3 B．P(X＝0)＝ C．E(X)＝1.2 D．D(X)＝ 解析：由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正确； 分析可得X服从超几何分布，其分布列为P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，则P(X＝0)＝，故B错误； E(X)＝＝1.2，故C正确； D(X)＝(0－1.2)2×＋(1－1.2)2×＋(2－1.2)2×＋(3－1.2)2×，故D正确． 答案：ACD 14．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者． (1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； (2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)； (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论) 解：(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P＝＝0.3. (2)由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C. 所以ξ的所有可能取值为0，1，2. P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＝1. (3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差． $$