6.3.1 二项式定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　计数原理 6．3　二项式定理 6．3．1　二项式定理　 一、 二项式定理的正用与逆用 二、 二项式系数与项的系数 三、 二项展开式中的特定项 课堂达标 课下巩固训练(八) 学习目标　1.能用计数原理证明二项式定理．　2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 问题　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用计数原理解释上述展开过程呢？ 提示：从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有×＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式．a2－kbk出现的次数相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数，故(a＋b)2＝a2＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2. 【知识提炼】　 1．二项式定理 (a＋b)n＝ ，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有 项． (3)二项式系数：各项的系数 (k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝an－kbk. an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn k＋1 微提醒 (1)二项展开式中的二项式系数是指，，…，这些组合数，与a，b无关． (2)展开式中的系数是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数． 解：方法一　(2x－ eq \f(3,2x2) )5＝(2x)5＋(2x)4·(－ eq \f(3,2x2) )＋(2x)3(－ eq \f(3,2x2) )2＋(2x)2(－ eq \f(3,2x2) )3＋(2x)·(－ eq \f(3,2x2) )4＋(－ eq \f(3,2x2) )5＝32x5－120x2＋ eq \f(180,x) － eq \f(135,x4) ＋ eq \f(405,8x7) － eq \f(243,32x10) . 方法二　(2x－ eq \f(3,2x2) )5＝ eq \f(（4x3－3）5,32x10) ＝ eq \f(1,32x10) [(4x3)5·(－3)0＋(4x3)4(－3)＋(4x3)3(－3)2＋(4x3)2·(－3)3＋(4x3)(－3)4＋(－3)5]＝32x5－120x2＋ eq \f(180,x) － eq \f(135,x4) ＋ eq \f(405,8x7) － eq \f(243,32x10) . 例1　(1)用二项式定理展开(2x－ eq \f(3,2x2) )5. (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解：原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)＋(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 感悟升华　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 【即学即用】　1.(1)求(x2＋ eq \f(1,x2) －2)3的展开式． 解：(x2＋ eq \f(1,x2) －2)3＝(x－ eq \f(1,x) )6＝ eq \f(1,x6) (x2－1)6 ＝ eq \f(1,x6) [(x2)6－(x2)5＋(x2)4－(x2)3＋(x2)2－x2＋] ＝ eq \f(1,x6) (x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1) ＝x6－6x4＋15x2－20＋ eq \f(15,x2) － eq \f(6,x4) ＋ eq \f(1,x6) . (2)化简：1＋2＋4＋…＋2n. 解：1＋2＋4＋…＋2n ＝＋21＋22＋…＋2n ＝(1＋2)n＝3n. 例2　在二项式的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)求展开式中x－1的系数． 解：(1)的展开式的通项是 Tk＋1＝(3 eq \r(x) )10－k＝310－k(k＝0，1，2，…，10). 则展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为＝120. (2)令 eq \f(10－3k,2) ＝－1，解得k＝4. 所以展开式中x-1的系数为36＝30 240. 感悟升华　正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关． 【即学即用】　2.已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3. (1)求n的值； (2)求展开式中含 eq \f(1,x) 项的系数． 解：(1) 因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为，， 所以1),\s\do1(n)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) ) ＝ eq \f(1,3) ，即 eq \f(n,\f(n（n－1）,2×1)) ＝ eq \f(1,3) ，解得n＝7. (2)因为展开式的通项为Tk＋1＝(3 eq \r(x) )7－k·＝37－k， 当 eq \f(7－3k,2) ＝－1时，k＝3， 所以展开式中含 eq \f(1,x) 项的系数为34＝2 835. 例3　在二项式(x－)12的展开式中，求： (1)第4项；(2)常数项；(3)有理项；(4)中间项． 解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝(－)r＝(－1)r. (1)令r＝3，则T4＝(－1)3＝－220x8. (2)令12－ eq \f(4,3) r＝0，则r＝9，从而常数项为(－1)9＝－220. (3)若求展开式中的有理项，则12－ eq \f(4,3) r为整数，即r＝0，3，6，9，12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－x8＝－220x8，T7＝x4＝924x4，T10＝－＝－220，T13＝x－4. (4)因为n＝12，所以展开项共有13项， 所以中间项为第7项． 令k＝6，得T7＝(－1)6＝924x4. 感悟升华　(1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝an－k＋1bk－1(k∈N*，k≤n＋1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的解题思路 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解． 【即学即用】　3.(1)(2x－y)6的展开式中，x2y4项的系数是(　　 ) A．30 B．－30 C．60 D．－60 解析：由题意Tk＋1＝(2x)6－k(－y)k，当k＝4时，x2y4项的系数是15×4＝60. 答案：C (2)若二项式(x＋ eq \f(a,x) )7的展开式中 eq \f(1,x3) 的系数是84，则实数a＝(　　 ) A．2 B． eq \r(5,4) C．1 D． eq \f(\r(2),4) 解析：二项式(x＋ eq \f(a,x) )7展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝x7－k( eq \f(a,x) )k＝akx7－2k.因为展开式中 eq \f(1,x3) 的系数是84，所以7－2k＝－3，解得k＝5. 所以a5＝84，解得a＝ eq \r(5,4) . 答案：B 答案：B 1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　 ) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2(n＋1) 解析：展开式的项数比二项式的指数大1. 2．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　 ) A．(2x＋2)5 B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5 解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 答案：D 3．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为(　　 ) A．－210 B．210 C．－120i D．－210i 解析：由通项公式得T7＝×110－6×(－i)6＝－＝－210. 答案：A 4．(x3－ eq \f(1,x) )4的展开式中常数项是________． 解析：由二项式展开式可得·(x3)1·(－ eq \f(1,x) )3＝－4. 答案：－4 【基础巩固】 ．·2n＋·2n-1＋…＋·2n－k＋…＋等于(　　) A．2n B．2n－1 C．3n D．1 解析：原式＝(2＋1)n＝3n. 答案：C 2．二项式的展开式中含x4项的系数为(　　) A．160 B．－160 C．80 D．－800 解析：展开式的通项为Tk＋1＝x2(5-k)(－4)kx－k＝，令10－3k＝4，得k＝2，所以含x4项的系数为(－4)2＝160. 答案：A 3．(2023·河北唐山期末)的展开式中，x7的系数为40，则a＝(　　) A． B．－ C．2 D．－2 解析：展开式的通项Tr＋1＝(－2x2)r＝(－2)r·x3r-5，r＝0，1，2，3，4，5.令3r－5＝7，解得r＝4.∵x7的系数是40，∴＝40，解得a＝. 答案：A 4．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(　　 ) A．－5 B．5 C．－10 D．10 解析：(1－x)5中x3项的系数为－＝－10， －(1－x)6中x3项的系数为－·(－1)3＝20， 故在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数为10. 答案：D 5．若的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：展开式的通项为Tr＋1＝，r＝0，1，2，3，…，n.令＝0，可得n＝5r. ∵展开式中含有常数项，∴n＝5r能成立，则正整数n的最小值为5. 答案：C 6．(多选)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有(　　 ) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 解析：该二项展开式的通项公式为Tk＋1＝n－k(x3)k＝x4k－n，当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误． 答案：AD 7．若(1＋2x)6的展开式中的第2项系数大于它的相邻两项，则x的取值范围是________． 解析：由得解得＜x＜. 答案： 8．若展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________.(用数字作答) 解析：令x＝1，得2n＝32，得n＝5， 则Tr＋1＝(x2)5-r＝x10-5r，令10－5r＝0，得r＝2. 故常数项为T3＝10. 答案：5　10 9．在n的展开式中，前三项的系数满足＝. (1)求展开式中含有x项的系数； (2)求展开式中的有理项． 解：n的展开式中前三项的系数分别为，由题意知＝，所以n＝1＋，即n2－9n＋8＝0，所以n＝8或n＝1(舍去)． 则二项式8展开式的通项为Tr＋1＝. (1)令4－r＝1，得r＝4，所以含有x项的系数为. (2)设展开式中，第r＋1项为有理项， 则当r＝0，4，8时对应的项为有理项， 有理项分别为T1＝x4，T5＝. 10．记n的展开式中第m项的系数为bm. (1)求bm的表达式； (2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n. 解：(1)n的展开式中第m项为·(2x)n－m+1·m-1 ＝2n+1－m·xn+2-2m， 所以bm＝2n+1－m. (2)当n＝6时，6的展开式的通项为 Tk＋1＝·(2x)6-k·k＝26-k·x6-2k. 依题意，6－2k＝0，得k＝3， 故展开式中的常数项为T4＝＝160. (3)由(1)及已知b3＝2b4，得， 从而＝，解得n＝5. 【综合运用】 11．(1＋2x)n(n∈N*)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为(　　 ) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：因为(1＋2x)n(n∈N*)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，所以解得n＝11. 答案：B 12．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则的值为(　　 ) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：由二项式定理，得a1＝－24＝－80，a2＝23＝80，a3＝－22＝－40，a4＝2＝10，所以. 答案：C 13．(多选)使n(n∈N*)的展开式中含有常数的n的值可能为(　　) A．4 B．5 C．6 D．10 解析：Tr＋1＝(3x)n－rr＝，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0.当r＝2，n＝5时成立；当r＝4，n＝10时也成立． 答案：BD 14．设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________． 解析：由题意知A0(0, 1)，A1(1, 3)，A2(2, 4)，故a0＝1，a1＝3，a2＝4. 由n的展开式的通项公式知Tk＋1＝k(k＝0，1，2，…，n)．故＝4，解得a＝3. 答案：3 【创新探索】 15．设二项式6(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________． 解析：二项式6(a>0)的展开式的通项为Tk＋1＝x6-kk＝ 令6－k＝3，得k＝2；令6－k＝0，得k＝4， ∴B＝(－a)4，A＝(－a)2. ∵B＝4A，a>0，∴a＝2. 答案：2 16．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*)． (1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项； (2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，若h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？ 解：(1)当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4. (1＋x)3的展开式的通项为xr， (1＋2x)4的展开式的通项为(2x)k， f(x)g(x)的展开式中含x2的项为(2x)2＋(2x)＋x2×1＝51x2. (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n. 因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12， 所以＝12，即m＋2n＝12， 所以m＝12－2n. x2的系数为＝(11－2n)＋2n(n－1)＝4n2－25n＋66＝4，n∈N*， 所以当n＝3，m＝6时，含x2的项的系数取得最小值． $$