第三单元第7讲 长方体和正方体体积的统一公式 （讲义+课件）-五年级数学下册同步知识点讲练（人教版）

五年级数学下册同步知识点讲练 第三单元第7讲：长方体和正方体体积的统一公式 ◈新知解析 知识点① ◈ 长方体和正方体体积的统一公式 ◉◉1. 填一填。 8cm 5cm 6cm 底面 3cm 3cm 3cm 底面 (1)如图，长方体的底面积是( )cm²,体积是( )cm³;正方体的底面积是( )cm²,体积是( )cm³。 (2)一根长方体木料的横截面是边长2dm的正方形，长2m,它的体积是( )m³。 ◉◉2. 选一选。 (1)一根长方体钢材，横截面的面积是110cm²,长是5m,它的体积是( )cm³。 A.550 B.5500 C.55000 (2)有一根横截面面积是4dm²,长是30dm的长方体木料，如果将长截去5dm,那么截去部分的体积是( )dm³。 A.120 B.100 C.20 ◉◉3. 某装饰公司订购500根方木，每根方木长5m,横截面是一个边长为0.3m的正方形。这些方木一共有多少立方米? ◉◉4.手工课上，华华将一块体积为240cm³的橡皮泥做成了一个底面积是40cm²的长方体，做成的长方体的高是多少厘米? ◈【答案】： ◉◉ 1.(1)40 240 9 27 (2)0.08 【点拨】横截面的边长为2dm,2dm=0.2m,横截面的面积是0.2×0.2=0.04(m2),再根据V=Sh求出体积。 ◉◉ 2.(1)C 【点拨】注意先统一单位，再根据V=Sh代入数据计算。 (2)C 【点拨】截去部分的长是5dm,底面积仍然是4dm²,根据V=Sh,代入数据计算即可。 ◉◉ 3. 0.3×0.3×5×500=225(m³) 答：这些方木一共有225m³。 【点拨】已知方木横截面的边长，可求出横截面的面积，即底面积，方木的长相当于高，根据V=Sh,代入数据计算即可求出1根方木的体积，然后再乘500就是500根方木的体积。 ◉◉ 4. 240÷40=6(cm) 答：做成的长方体的高是6cm。 【点拨】根据V=Sh,可知h=V÷S,代入数据计算即可。 ◈举一反三1 1.填空题 (1)一个长方体底面积是24cm²，高5cm，体积是______。 (2)正方体的棱长是6dm，它的体积可以表示为底面积×高，即______×______=______。 (3)一个长方体体积是120dm³，高8dm，底面积是______。 2.选择题 (1)长方体和正方体体积的统一公式是（ ）。 A.长+宽+高 B.底面积×高 C.表面积×高 D.棱长×棱长 (2)一个长方体长5cm，宽4cm，高10cm，它的体积是（ ）。 A.200cm³ B.100cm² C.19cm³ D.400cm³ (3)正方体体积公式的正确表述是（ ）。 A.棱长×3 B.棱长×棱长 C.底面积×棱长 D.底面积×高 3.判断题 (1)长方体体积=底面积×高，正方体体积不适用这个公式。（ ） (2)底面积是25m²的长方体，若高2m，体积是50m³。（ ） (3)体积为48cm³的正方体，底面积一定是16cm²。（ ） 4.解决实际问题 (1)一个鱼缸底面是边长4dm的正方形，水深3dm，鱼缸装了多少升水？ (2)工人用沙填长方体沙坑，沙坑长5m，宽2m，深0.4m，需要多少立方米的沙？ (3)一个礼盒长20cm，宽15cm，高10cm。若礼盒内物品体积是底面积×高，求物品体积是多少立方厘米？ 知识点② ◈ 根据增加的表面积求体积 ◉◉ 有一根长6m的长方体木料，把它锯成相同的4段，表面积比原来增加了180cm²。原来这根长方体木料的体积是多少立方厘米? ◈【答案】： ◉◉ 6m=600cm 180÷[(4-1)×2]=30(cm²) 30×600=18000(cm³) 答：原来这根长方体木料的体积是18000cm³。 ◈举一反三2 1.填空题 (1)一个长方体，长8厘米，宽5厘米，高增加3厘米后，表面积增加了72平方厘米。原长方体的体积是______立方厘米。 (2)将一个正方体的棱长增加2厘米，表面积增加了120平方厘米。原正方体的体积是______立方厘米。 (3)一个长方体的高是6厘米，若将高减少2厘米，表面积减少了64平方厘米。原长方体的体积是______立方厘米。 2.选择题 (1)一个长方体，长和宽分别是7厘米和4厘米。若高增加后，表面积增加了88平方厘米，新长方体的体积是（ ）。 A.224立方厘米 B.308立方厘米 C.352立方厘米 D.420立方厘米 (2)一个正方体的表面积增加了96平方厘米，棱长增加了（ ）厘米。 A.2 B.3 C.4 D.5 (3)一个长方体，若宽增加3厘米，表面积增加了60平方厘米，已知原长方体的长是5厘米，高是4厘米，原体积是（ ）。 A.60立方厘米 B.80立方厘米 C.100立方厘米 D.120立方厘米 3.判断题 (1)若一个长方体的高增加2厘米，表面积增加了24平方厘米，则原长方体的体积一定是48立方厘米。（ ） (2)正方体棱长增加后，体积的增幅一定大于表面积的增幅。（ ） (3)已知长方体表面积增加的部分，一定能求出原体积。（ ） 4.解决实际问题 (1)小明用纸板做了一个无盖长方体盒子，底面长10厘米，宽8厘米，高是5厘米。如果他想让盒子的高增加3厘米，表面积会增加多少？新盒子的体积是多少？ (2)一个正方体木块，表面积是150平方厘米。如果将它切成两个相同的长方体，表面积增加了50平方厘米。求原正方体的体积。 (3)学校扩建一个长方体花坛，长和宽分别是6米和4米。扩建后，高增加了1米，表面积增加了40平方米。扩建后的花坛体积是多少立方米？ 知识点③ ◈ 根据减少的表面积求体积 ◉◉ 一个长方体，如果高减少2dm就变成一个正方体，表面积减少了56dm²。原来长方体的体积是多少立方分米? ◈【答案】： ◉◉ 56÷4÷2=7(dm)；7×7×(7+2)=441(dm³) 答：原来长方体的体积是441dm³。 【点拨】长方体的高减少2dm,表面积减少56dm²,表面积减少的是4个侧面的面积，所以长方体的底面边长是56÷4÷2=7(dm)。因为高减少后变成了一个正方体，所以原来长方体的长和宽是7dm。原来长方体的高比底面边长多2dm,则原来的高是7+2=9(dm),最后根据体积公式代入求解。 ◈举一反三3 1.填空题 (1)一个长方体，高减少3厘米后变成了正方体，表面积减少了72平方厘米。原长方体的体积是______立方厘米。 (2)将一根长方体木料截去一个棱长2分米的小正方体后，表面积减少了32平方分米。原木料的体积是______立方分米。 (3)一个底面是正方形的长方体，若高减少5厘米，表面积减少120平方厘米，剩余部分是一个正方体。原长方体的体积是______立方厘米。 2.选择题 (1)一个长方体，若高截去4厘米后变成一个正方体，表面积减少64平方厘米。原长方体的体积是（ ）。 A.256cm³ B.288cm³ C.320cm³ D.360cm³ (2)一个正方体被截去一个棱长3厘米的小正方体后（如图），表面积减少了54平方厘米。原正方体的体积是（ ）。 A.216cm³ B.125cm³ C.343cm³ D.64cm³ (3)一个长方体木块，截去高2分米的部分后，表面积减少48平方分米，剩下的是一个正方体。原木块的体积是（ ）。 A.96dm³ B.144dm³ C.192dm³ D.216dm³ 3.判断题 (1)若一个长方体的高减少后变成正方体，减少的表面积等于减少部分的侧面积。（ ） (2)截去一个长方体的一部分后，体积减少的量等于截去部分的体积。（ ） (3)若一个长方体的底面是正方形，高减少后表面积减少的部分等于4个侧面的减少面积之和。（ ） 4.解决实际问题 工人师傅将一块长方体铁块截去一个棱长5厘米的小正方体后，表面积减少了200平方厘米。如果原铁块的长是20厘米，求它的体积。 ◈能力提升 ◉◉ 一个长方体的表面积是368cm²,底面积是40cm²,底面周长是36cm,这个长方体的体积是多少立方厘米? ◈归纳总结 ◉◉长方体的侧面展开是正方形，说明底面周长和高相等；长方体的侧面积除以底面周长等于高。 参考答案 ◈举一反三1 1.填空题 (1)120cm³ (2)6dm 6dm 6dm 216dm³ (3)15dm² 2.选择题 (1)B (2)A (3)D 3.判断题 (1)× (2)√ (3)√ 4.(1)4×4×3=48dm³=48升 (2)5×2×0.4=4m³ (3)20×15×10=3000cm³ ◈举一反三2 1.填空题 (1)240 (2)125 (3)192 2.选择题 (1)B (2)A (3)B 3.判断题 (1)× (2)√ (3)× 4.解决实际问题 (1)表面积增加：10×3×2+8×3×2=108平方厘米； 新体积：10×8×(5+3)=640立方厘米。 2.原棱长：(150÷6)=5厘米，体积=5³=125立方厘米。 3.原高：(40-2×6×1-2×4×1)÷(2×(6+4))=1米； 扩建后体积=6×4×(1+1)=48立方米。 ◈举一反三3 1.填空题 (1)432 (2)96 (3)200 2.选择题 (1)B (2)A (3)B 3.判断题 (1)√ (2)√ (3)√ 4.解决实际问题 200÷4=50(平方厘米)。 50÷5=10(厘米)。 20×10×10=2000(立方厘米)。 ◈能力提升 ◉◉ (368-40×2)÷36=8(cm)；40×8=320(cm³) 答：这个长方体的体积是320cm³。 【点拨】表面积减去两个底面积就是侧面积，侧面积除以底面周长就是高，再用底面积乘高就是体积。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第7讲： 第三单元 长方体和正方体体积的统一公式 50 ◈长方体和正方体体积的统一公式 知识点① (1)如图，长方体的底面积是( )cm²,体积是( )cm³;正方体的底面积是( )cm²,体积是( )cm³。 (2)一根长方体木料的横截面是边长2dm的正方形，长2m,它的体积是( )m³。 ◉◉1.填一填 40 240 9 27 0.08 8cm 5cm 6cm 底面 3cm 3cm 3cm 底面 (1)一根长方体钢材，横截面的面积是110cm²,长是5m,它的体积是( )cm³。 A.550 B.5500 C.55000 ◉◉2. 选一选。 C (2)有一根横截面面积是4dm²,长是30dm的长方体木料，如果将长截去5dm,那么截去部分的体积是( )dm³。 A.120 B.100 C.20 ◉◉2. 选一选。 C 3. 某装饰公司订购500根方木，每根方木长5m,横截面是一个边长为0.3m的正方形。这些方木一共有多少立方米? ◉◉解决问题 0.3×0.3×5×500=225(m³) 答：这些方木一共有225m³。 4.手工课上，华华将一块体积为240cm³的橡皮泥做成了一个底面积是40cm²的长方体，做成的长方体的高是多少厘米? ◉◉解决问题 240÷40=6(cm) 答：做成的长方体的高是6cm。 ◈举一反三1 (1)一个长方体底面积是24cm²，高5cm，体积是______。 (2)正方体的棱长是6dm，它的体积可以表示为底面积×高，即______×______×______=______。 (3)一个长方体体积是120dm³，高8dm，底面积是______。 ◉◉1.填空题 120cm³ 6dm 15dm² 6dm 6dm 216dm³ (1)长方体和正方体体积的统一公式是（ ）。 A.长+宽+高 B.底面积×高 C.表面积×高 D.棱长×棱长 ◉◉2.选择题。 B (2)一个长方体长5cm，宽4cm，高10cm，它的体积是（ ）。 A.200cm³ B.100cm² C.19cm³ D.400cm³ ◉◉2.选择题。 A (3)正方体体积公式的正确表述是（ ）。 A.棱长×3 B.棱长×棱长 C.底面积×棱长 D.底面积×高 ◉◉2.选择题。 D (1)长方体体积=底面积×高，正方体体积不适用这个公式。（ ） (2)底面积是25m²的长方体，若高2m，体积是50m³。（ ） (3)体积为48cm³的正方体，底面积一定是16cm²。（ ） ◉◉3.判断题。 √ × √ (1)一个鱼缸底面是边长4dm的正方形，水深3dm，鱼缸装了多少升水？ ◉◉4.解决实际问题 4×4×3=48dm³=48升 答：鱼缸装了48升水。 (2)工人用沙填长方体沙坑，沙坑长5m，宽2m，深0.4m，需要多少立方米的沙？ ◉◉4.解决实际问题 5×2×0.4=4m³ 答：需要4立方米的沙。 (3)一个礼盒长20cm，宽15cm，高10cm。若礼盒内物品体积是底面积×高，求物品体积是多少立方厘米？ ◉◉4.解决实际问题 20×15×10=3000cm³ 答：物品体积是3000立方厘米。 ◈根据增加的表面积求体积 知识点② ◉◉ 解决问题 有一根长6m的长方体木料，把它锯成相同的4段，表面积比原来增加了180cm²。原来这根长方体木料的体积是多少立方厘米? 6m=600cm 180÷[(4-1)×2]=30(cm²) 30×600=18000(cm³) 答：原来这根长方体木料的体积是18000cm³。 ◈举一反三2 (1)一个长方体，长8厘米，宽5厘米，高增加3厘米后，表面积增加了72平方厘米。原长方体的体积是______立方厘米。 (2)将一个正方体的棱长增加2厘米，表面积增加了120平方厘米。原正方体的体积是______立方厘米。 (3)一个长方体的高是6厘米，若将高减少2厘米，表面积减少了64平方厘米。原长方体的体积是_____立方厘米。 ◉◉1.填空题 240 145 192 (1)一个长方体，长和宽分别是7厘米和4厘米。若高增加后，表面积增加了88平方厘米，新长方体的体积是（ ）。 A.224立方厘米 B.308立方厘米 C.352立方厘米 D.420立方厘米 ◉◉2.选择题。 B (2)一个正方体的表面积增加了96平方厘米，棱长增加了（ ）厘米。 A.2 B.3 C.4 D.5 ◉◉2.选择题。 A (3)一个长方体，若宽增加3厘米，表面积增加了60平方厘米，已知原长方体的长是5厘米，高是4厘米，原体积是（ ）。 A.60立方厘米 B.80立方厘米 C.100立方厘米 D.120立方厘米 ◉◉2.选择题。 B (1)若一个长方体的高增加2厘米，表面积增加了24平方厘米，则原长方体的体积一定是48立方厘米。（ ） (2)正方体棱长增加后，体积的增幅一定大于表面积的增幅。（ ） (3)已知长方体表面积增加的部分，一定能求出原体积。（ ） ◉◉3.判断题。 √ × × (1)小明用纸板做了一个无盖长方体盒子，底面长10厘米，宽8厘米，高是5厘米。如果他想让盒子的高增加3厘米，表面积会增加多少？新盒子的体积是多少？ ◉◉4.解决实际问题 表面积增加：10×3×2+8×3×2=108平方厘米； 新体积：10×8×(5+3)=640立方厘米。 答：表面积会增加108平方厘米，新盒子的体积是640立方厘米 (1)小明用纸板做了一个无盖长方体盒子，底面长10厘米，宽8厘米，高是5厘米。如果他想让盒子的高增加3厘米，表面积会增加多少？新盒子的体积是多少？ ◉◉4.解决实际问题 表面积增加：10×3×2+8×3×2=108平方厘米； 新体积：10×8×(5+3)=640立方厘米。 答：表面积会增加108平方厘米，新盒子的体积是640立方厘米 (2)一个正方体木块，表面积是150平方厘米。如果将它切成两个相同的长方体，表面积增加了50平方厘米。求原正方体的体积。 ◉◉4.解决实际问题 原棱长：(150÷6)=5厘米 体积=5³=125立方厘米 答：原正方体的体积是125立方厘米。 (3)学校扩建一个长方体花坛，长和宽分别是6米和4米。扩建后，高增加了1米，表面积增加了40平方米。扩建后的花坛体积是多少立方米？ ◉◉4.解决实际问题 原高：(40-2×6×1-2×4×1)÷(2×(6+4))=1米； 扩建后体积=6×4×(1+1)=48立方米。 答：扩建后的花坛体积是48立方米。 ◈根据减少的表面积求体积 知识点③ ◉◉一个长方体，如果高减少2dm就变成一个正方体，表面积减少了56dm²。原来长方体的体积是多少立方分米? 56÷4÷2=7(dm)；7×7×(7+2)=441(dm³) 答：原来长方体的体积是441dm³。 ◈举一反三3 (1)一个长方体，高减少3厘米后变成了正方体，表面积减少了72平方厘米。原长方体的体积是_____立方厘米。 (2)将一根长方体木料截去一个棱长2分米的小正方体后，表面积减少了32平方分米。原木料的体积是______立方分米。 (3)一个底面是正方形的长方体，若高减少5厘米，表面积减少120平方厘米，剩余部分是一个正方体。原长方体的体积是______立方厘米。 ◉◉1.填空题 432 96 200 (1)一个长方体，若高截去4厘米后变成一个正方体，表面积减少64平方厘米。原长方体的体积是（ ）。 A.256cm³ B.288cm³ C.320cm³ D.360cm³ ◉◉2.选择题。 B (2)一个正方体被截去一个棱长3厘米的小正方体后（如图），表面积减少了54平方厘米。原正方体的体积是（ ）。 A.216cm³ B.125cm³ C.343cm³ D.64cm³ ◉◉2.选择题。 A (3)一个长方体木块，截去高2分米的部分后，表面积减少48平方分米，剩下的是一个正方体。原木块的体积是（ ）。 A.96dm³ B.144dm³ C.192dm³ D.216dm³ ◉◉2.选择题。 B (1)若一个长方体的高减少后变成正方体，减少的表面积等于减少部分的侧面积。（ ） (2)截去一个长方体的一部分后，体积减少的量等于截去部分的体积。（ ） (3)若一个长方体的底面是正方形，高减少后表面积减少的部分等于4个侧面的减少面积之和。（ ） ◉◉3.判断题。 √ √ √ 工人师傅将一块长方体铁块截去一个棱长5厘米的小正方体后，表面积减少了200平方厘米。如果原铁块的长是20厘米，求它的体积。 ◉◉4.解决实际问题 200÷4=50(平方厘米)。 50÷5=10(厘米)。 20×10×10=2000(立方厘米) 答：它的体积是2000立方厘米。 一个长方体的表面积是368cm²,底面积是40cm²,底面周长是36cm,这个长方体的体积是多少立方厘米? ◉◉◈能力提升 (368-40×2)÷36=8(cm)；40×8=320(cm³) 答：这个长方体的体积是320cm³。 ◉◉长方体的侧面展开是正方形，说明底面周长和高相等；长方体的侧面积除以底面周长等于高。 $$