第62天（解答题）搞定数列综合计算（5考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第62天-（解答题）搞定数列综合计算（5考点） 第62天寄语： 高考的战场，唯有拼搏与坚持能助你凯旋。 识·必备知识 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等比数列通项公式： 3. 通项公式的构造 （1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解 （2）已知用求通项 （3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式 （4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法 （5）已知用求通项公式，其本质是除以 （6）已知用求通项公式，其本质是取到数 （7）已知用求通项公式，其本质是取对数 4. 的类型，公式 5. 数列求和的常用方法： （1） 对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解； 等差数列求和，等比数列求和 （2） 对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； 为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为 （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和. 即 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 明·直击考点 序号 考点 考点01 数列通项公式的构造 考点02 证明数列中的大小关系 考点03 参数值及参数范围 考点04 数列与概率杂糅 考点05 数列与导数杂糅 考点01 数列通项公式的构造 通·模考通透 1．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据数列递推式可推出，结合等比数列通项公式即可求得答案； （2）利用（1）的结果可得的表达式，利用等差数列、等比数列的前n项和以及错位相减法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知数列满足：，， 则 ，，故为首项是6，公比为2的等比数列， 故，即， 适合上述结果，故； （2） 设， 则， 设，故； ， ， 作差得到， 故， ， 故. 2．（2024·山东·模拟预测）设数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前项和. 【详解】（1）由题易知，且， 所以， 所以， 所以也满足该式， 所以． （2），① ，② ②-①，得． 设，③ 则，④ ④-③，得， 所以． 3．（2024·河北沧州·三模）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法即可求解； （2）对进行不等式放缩，即可证明不等式. 【详解】（1），，， ，两式相除，得， 当，时，，，即； 当，时，，，即， 综上所述，数列的通项公式为； （2）， ， 又， . 4．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且， (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，且满足，，求． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，即可得到为等差数列，即可得到，再利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，由，得到与同号，再对分类讨论，利用并项求和法计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以数列是公差为的等差数列，其首项为， 于是， 则，，， ，， 所以， 所以；而符合该式，故. （2）由（1）问知，，则， 又，则，两式相乘得，即， 因此与同号， 因为，所以当时，，此时， 当为奇数时，， 当为偶数时，； 当时，，此时， 当为奇数时，， 当为偶数时，； 综上，当时，；当时，. 5．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列的和与项的关系构造①，② 两式，相减即得数列的通项； （2）求出，将其裂项后，进行求和，消去中间项即得. 【详解】（1）当时，．依题意，① 当时，②． ①－②得， 所以．因时，该式也成立， 故的通项公式为． （2）由（1）知，由可得 则 ． 6．（2024·山东青岛·二模）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最小值. 【答案】(1)； (2)5. 【分析】（1）根据给定的递推公式，按奇偶分别求出通项即可. （2）由（1）的结论，利用等比数列前项和公式求出，再借助单调性求解即得. 【详解】（1）数列中，，，当时，， 则，由，得， 当为正奇数时，数列是首项为3，公差为4的等差数列， 则，即， 当为偶奇数时，数列是首项为5，公差为4的等差数列， 则，即，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，显然数列是首项为，公比的等比数列， 则，由，得，整理得， 而数列是递增数列，，因此， 所以的最小值为5. 7．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得； （3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证. 【详解】（1）由得， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得, 解得：. （3） 令，， 因为在上单调递增，则 所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且， 故得. 8．（2025·福建福州·模拟预测）已知正项数列满足． (1)若，求； (2)若，求的通项公式； (3)记为数列的前项和，若，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式以及附加条件求出，再结合递推公式即可求解. （2）令，可得，结合二倍角公式可引入新数列，，求得的值，并说明唯一即可求解. （3）将原不等式转换为，先证明，可构造函数，利用导数证明不等式，从而即可放缩，再证明，根据三角函数的有界性放缩即可得证. 【详解】（1）由题，，且，又，代入，解得， 所以，，，故． （2）令，则有，即，又，则， 此时不妨令，则，则有，即 讨论周期性对唯一性的影响：不妨令，则 当时，，不合题意，舍去； 当时，符合题意；此时， 同理，唯一，即唯一．即，故． （3）由若，且，则， 联立解得， 原不等式可转化为， 先证明： 由，，由（2）可推，则， 令函数，则， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上有， 所以在上单调递增，又，则， 所以，则， 故 ， 又因为，所以， 证明： 由，则，当且仅当时取等， 所以，故， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是对进行适当的放缩，由此即可顺利得解. 考点02 证明数列中的大小关系 通·模考通透 9．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）得到为常数列，结合得到，求出通项公式； （2），设的前项和为，错位相减法求和得到. 【详解】（1），故为常数列， 其中，故， 故，即； （2），设的前项和为， 则①，②， 两式①-②得， ， 故. 10．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用和的关系，然后构造一个等比数列求解即可； （2）利用进行放缩，然后用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）因为①． 令得，解得． 当时，②， 由①②得， 即 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，所以． （2）因为， 当时，， 当时， ． 综上，． 11．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出数列的通项，再根据与的关系结合是等比数列，即可得解； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列， 又，所以. 当时，由，得， 两式相减得， 又是等比数列，所以，所以，解得， 所以，当时上式成立， 所以； （2）由（1）知， 所以 ， 又，所以. 12．（2024·江西宜春·三模）在正项数列中，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，化简得到，得到数列为等差数列，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）知，结合二项式定理，得到，再结合，结合等比数列的求和公式，即可得证. 【详解】（1）解：由，可得， 即， 因为，所以， 所以数列是首项为，公差为0的等差数列， 又因为，所以，所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知， 则，当时，取等号， 因为， 所以， 所以． 13．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)的前n项和，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见详解. 【分析】（1）记数列的公差为，数列的公比为，根据已知列方程组求解即可； （2）根据错位相减法求和，记，判断其单调性即可得证. 【详解】（1）记数列的公差为，数列的公比为，， 由题知，，解得，所以. 由，解得或（舍去），所以. （2）由（1）可知， 则， ， 两式相减得， 所以， 记，则， 所以单调递减，所以，且， 所以，即. 14．（2024·江苏·三模）设数列的前项的和为. (1)若是公差为的等差数列，且成等比数列，求； (2)若，求证：. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列前n项和公式以及等比中项公式列出等量关系式并转化成首项和公差来表示即可求解. （2）先由，进而由累乘法结合求出即可由得解. 【详解】（1）由题意知，故， 解得，所以或. （2）因为①，所以②， 所以由②①得，， 所以时，， 所以由得， 所以， 显然也符合上式，所以， 所以. 15．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式； （2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明. 【详解】（1）已知， 当时，； 当时，， 则， 显然时，，满足上式， 综上，； （2）由上知:， 故， 易知单调递增， 时，， 又，即，证毕. 16．（2024·湖北·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据前项和为与的关系，利用相减法得数列递推关系式，从而根据等比数列可得的通项公式； （2）由（1）得，根据不等式，，即可证得结论. 【详解】（1）当时，由，得， 则，整理得. 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）证明：由（1）可得，则. 当时，对于， 所以， 从而. 17．（2024·广东广州·二模）已知数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，记为的前项和，证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用递推关系，把换成，得到两式相减，得到，再累乘后可得到通项； （2）用错位相减法求出，再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可. 【详解】（1）因为， 所以， 作差可得，变形为，即，即，化简为， 因为，所以， 因为， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以，， 作差可得， 所以， ， 设，则在给定区间上递减，又 故在是减函数，， 所以当时，. 18．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案； （2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可知，当时，； 当时，由得，， 两式作差可得，， 也适合该式，故； （2）证明：由题意知， 故 ， 由于，则，故， 即. 考点03 参数值及参数范围 通·模考通透 19．（2024·四川南充·二模）在数列中，是其前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，作差得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式； （2）由（1）求出，再根据指数函数的性质求出的最值，即可得解. 【详解】（1）因为， 当时，，解得； 当时，，所以，所以； 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）可得， 又在上单调递减，则在上单调递增， 所以当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以当时取得最大值为，当时取得最小值为， 因为，恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 20．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，求得， 解法1：根据题意，转化为，结合，结合基本不等式，即可求解； 解法2：根据题意，转化为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， 两式相减可得，， 则， 叠加可得，，则， 而时也符合题意， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知，可得， 故； 解法1：由，可得， 即，即则，又由， 当且仅当时取等号，故实数的取值范围为． 解法2：由， 可得， 当，即时，， 则，故实数的取值范围为． 21．（2024·湖南·二模）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意的都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用题设条件求得，再利用等比数列的通项公式求得，进而求得； （2）将问题转化为恒成立，再利用作差法求得的最大值，从而得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，则， ，则， 因为是各项都为正数的等比数列，所以，即， 所以，则. （2）因为恒成立，所以恒成立， 设，则， 当时，，则； 当时，，则； 所以，则. 22．（2024·广西桂林·三模）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据运算即可求解； （2）由（1）可得，结合错位相减求和法计算可得，将原问题转化为不等式对恒成立，结合一次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 当时，得，即，①， 当时，②， 由①-②得，，又也满足， 所以． （2）因为， 所以，， 两式相减得，， 即，则， 故． 由，得，即， 依题意，不等式恒成立， 因为随着n增大而减小， 所以，即的取值范围为． 23．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2024． 【分析】（1）由与等差数列的定义，可证结论成立. （2）先利用裂项求和法求，再解不等式可得n的最小值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以，所以（常数）， 故数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）知，，得 所以 ， 当时，即，所以n的最小值为2024． 24．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，结合计算即可求解； （2）由（1）可得，利用裂项相消求和法可得，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知：数列是公差为的等差数列，又， 所以，整理得：， 又当时，， 因为满足上式，所以， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 故； 解法1：由，可得， 即，则， 又由， 当且仅当即时取等号，故实数的取值范围为. 解法2：由， 可得， 当，即时，， 则，故实数的取值范围为. 25．（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 【答案】(1)，， (2)4或5 【分析】（1）用累加法得到数列通项公式； （2）求出数列前项和，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点. 【详解】（1）∵，∴ 当时，， 即， 当时，也满足， ∴， ∴，. （2）由（1）可知， ∴，∴ 令， ，当时，，单调递增; 当时，,单调递减; ∵, ∴当或时，取得最大值70， ∴取得最大值时，取4或5. 26．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设各项都不为0的数列的前项积为，，. (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中），组成新的数列，记数列的前项和为，若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系得到，再检验即可得解； （2）利用并项求和法与等比数列的求和公式求得，再依次求得，从而得解. 【详解】（1）因为， 当时，，两式相除可得， 因为，所以， 又，所以. （2）依题意， ， 易知随着增大而增大， 当时，， 当时，， 而 综上，的最小值为. 27．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 考点04 数列与概率杂糅 通·模考通透 28．（2024·陕西铜川·模拟预测）不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个，将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验，若两次均摸到彩球，则试验成功并终止试验，否则在袋子中添加一个相同的白球，然后进行下一次试验． (1)若最多只能进行3次试验，设试验终止时进行的次数为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)若试验可以一直进行下去，第次试验成功的概率记为，求证：． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为； (2)证明见解析 【分析】（1）由的取值，计算相应的概率，得到分布列，由公式计算数学期望； （2）由概率计算得到表达式并化简，裂项相消求得证结论. 【详解】（1）的可能值有， ；；． 所以随机变量的分布列为 1 2 3 ． （2）证明：因为， ，， 所以 ，， 经检验也满足上式， 所以． 29．（2024·湖北荆州·三模）宜昌市是长江三峡起始地，素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观三峡大坝，另外的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家．每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡人家，则记2分．假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)记随机抽取（，为向上取整）人时，合计得分为分的概率为，记，当时，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)趋近于常数. 【分析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望； （2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）先得到，结合数列的递推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案. 【详解】（1）解：由题意得，随机变量的可能取值为， 可得，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 所以，数学期望为. （2）解：由这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家， 所以，，则， 由两式相减，可得， 所以. （3）解：约定当时，，当时，， ， 所以，即， 因为，， 所以，， 两式联立可得，所以， 当时，趋近于常数. 30．（2024·贵州六盘水·模拟预测）深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)是， 【分析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望. （2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. （3）记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，得到，结合数列的递推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案. 【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为. （2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ，因此， 所以. （3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分， 记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件， 则，，，即， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， ，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 31．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击． (1)设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量是，求； (2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙． 【答案】(1)20 (2)12 【分析】（1）由已知设，则服从二项分布，根据二项分布期望的公式和期望的性质求解即可； （2）设乙同学的总得分为随机变量，写出的所有可能取值，并计算相应的概率，并求解，利用设，求解的最小值即可. 【详解】（1）设，故， 所以， 故； （2）由（1）知， 设乙同学的总得分为随机变量，的所有可能取值为，，，，， 所以，，， ，，， ， 所以， 设， 则， 故， 即，代入， 故， 设， 易知，当时，，且， 则满足题意的最小为12. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查概率的综合问题，方案一利用二项分布求期望，方案二的期望表达式与数列知识结合，通过变形转化为错位相减法求和问题，再利用作差法求解. 32．（2024·山东济南·二模）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. (1)求再打2球该局比赛结束的概率； (2)两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； (3)若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由题意可知甲连续得2分，或乙连续得2分比赛结束，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知的可能取值为所有正偶数，然后根据题意分别求出相应的概率，表示出期望后，再利用错位相减法可求得结果； （3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为，当为奇数时，，当为偶数时，，则可求得甲获胜的概率. 【详解】（1）平后，设事件“第个球甲得分”，则“第个球乙得分”， 设“再打两球该局比赛结束”，则， 所以. （2）的可能取值为所有正偶数， 考虑第个球与第个球，如果这两球均由甲得分或均由乙得分，则比赛结束：如果这两球甲､乙各得1分， 则比赛相当于重新开始；这两球甲､乙各得1分的概率为， 所以 ， ， …… ， …… 所以， 记， 则， 以上两式相减得 ， 所以， 当趋于时，趋于4，所以. （3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为， 则， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以该局比赛甲获胜的概率 当趋于时，趋于， 所以该局比赛甲获胜的概率为. 【点睛】关键点点睛：此题考查概率的求法，考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查等比数列求和公式，考查错位相减求和，第（3）问解题的关键是根据题意分为奇数和为偶数表示出通项公式，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 考点05 数列与导数杂糅 通·模考通透 33．（2024·河南郑州·一模）设函数． (1)当时，证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）由函数解析式可得为偶函数，求导并根据可判断出函数在上单调递增，再利用偶函数性质可证明出结论； （2）利用（1）中结论可得恒成立，结合且可得，再由裂项相消可得，利用结论可得，即，再利用裂项相消求和即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知函数的定义域为，且为偶函数， 首先研究时，， 又，所以， 令，则，因此在上单调递增； 所以，即可得， 因此在上单调递增； 所以， 又为偶函数，可得时，也成立； 因此. （2）由（1）可知，当时，， 即，当且仅当时，等号成立； 令，且，可得， 即， 由（1）可得，当时，； 又且，所以， 可得，即，也即， 所以可得 ， 即可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用（1）中的结论和常用结论在恒成立，结合且利用放缩技巧和列项相消求和得出结论. 34．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求实数的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，求出导函数即可判断单调性直接说明；当时，求出导函数通过确定单调性，求出最值进而可得答案； （2）通过不等式以及进行放缩，然后利用裂项相消法求和证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，因为，所以恒成立，则在上单调递增， 且，所以恒大于等于零不成立； 当时，由得，， 易知当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增. 则，若恒成立，则 令，则， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 所以当时，. 综上，若恒成立，则； （2）由（1）得，当时，恒成立，即，当且仅当时等号成立， 令，则，，，                  所以，，， 令，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 故当时，，即． 所以，，， 所以 . 【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和(常常用到裂项相消法求和)达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 35．（2024·四川德阳·模拟预测）（）. (1)当时，证明：； (2)证明：. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）放缩得到，构造，得到函数的奇偶性，二次求导，得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，证明出结论； （2）由（1）知，令，且放缩得到，再由得到，从而得到，相加后得到结论. 【详解】（1）当时，， 令，， 故为偶函数， ， 令，， 故为奇函数， 其中恒成立， 故在上单调递增， 其中，故在恒成立， 故在上单调递增， 其中，故在上恒成立， 结合为偶函数，故在上恒成立， 故在上恒成立； （2）由（1）知，， 即，当且仅当时，等号成立， 令，且，所以， 故， 即， 由（1）可知，当时，，当且仅当时，等号成立， 当且时，， 故，故，即， 所以， 故 . 【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 36．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，． (1)若在处取得极值，讨论的单调性； (2)设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； (3)设，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由在处取极值待定，再求导函数，根据导函数的单调性与零点确定符号变化区间，从而讨论的单调性； （2）构造函数将命题转化为在区间恒成立，通过二次求导方法，逐次观察新的导函数零点与探究单调性，再通过连锁讨论回归分析原函数值的范围即可； （3）应用第（2）问结论赋值得，由此放缩后运算求和即可得证. 【详解】（1），，， 由在处取得极值，得，解得. 当时，， 设，则在上单调递减，且. 则当时，，即，故在单调递增； 当时，，即，故在单调递减； 故在处取到极大值，满足题意. 在单调递增；在单调递减. （2），，， 曲线在点处的切线的斜率为，. 故切线方程为，即； 构造函数，， 即，其中， 则， 设，其中， 则，令，得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 所以在单调递减，且，. 故当时，，即，则在单调递增； 当时，，即，则在单调递减； 故在处取极大值，且极大值为， 当且仅当时，. 所以当时，恒成立.即恒成立， 故除点外，曲线段总在的下方，命题得证. （3）由（2）结论，任意，，恒成立. 又由可知，单调递减， 则，故恒成立， 令，则恒成立. 又由 所以 . 故， 故 . 即成立，命题得证. 【点睛】关键点点睛：应用导数证明不等式，解决的关键点有三个：一是函数重构，如第（2）问中将图象问题转化为不等式问题，进而构造差函数再利用导数研究单调性；二是多次求导连锁反应，一次求导不能明确问题解决的方向，借助观察零点、导数运算、符号判断等手段发现二次求导的可行性，进而继续求导研究导函数性质，直至新的导函数符号可判断，再依次连锁回归分析即可；三是结论借用，本题第（3）问解决的关键在于应用第（2）问所证明的切线放缩结论，进行赋值构造，再结合所求证结论中的特殊取值加以猜想赋值，值得注意的是赋值一定要先研究参变量需要满足的取值范围，不能盲目入手导致错误. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第62天-（解答题）搞定数列综合计算（5考点） 第62天寄语： 高考的战场，唯有拼搏与坚持能助你凯旋。 识·必备知识 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等比数列通项公式： 3. 通项公式的构造 （1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解 （2）已知用求通项 （3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式 （4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法 （5）已知用求通项公式，其本质是除以 （6）已知用求通项公式，其本质是取到数 （7）已知用求通项公式，其本质是取对数 4. 的类型，公式 5. 数列求和的常用方法： （1） 对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解； 等差数列求和，等比数列求和 （2） 对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； 为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为 （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和. 即 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 明·直击考点 序号 考点 考点01 数列通项公式的构造 考点02 证明数列中的大小关系 考点03 参数值及参数范围 考点04 数列与概率杂糅 考点05 数列与导数杂糅 考点01 数列通项公式的构造 通·模考通透 1．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2．（2024·山东·模拟预测）设数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 3．（2024·河北沧州·三模）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 4．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且， (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，且满足，，求． 5．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 6．（2024·山东青岛·二模）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最小值. 7．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 8．（2025·福建福州·模拟预测）已知正项数列满足． (1)若，求； (2)若，求的通项公式； (3)记为数列的前项和，若，证明：． 考点02 证明数列中的大小关系 通·模考通透 9．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 10．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)证明：． 11．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 12．（2024·江西宜春·三模）在正项数列中，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 13．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)的前n项和，求证：． 14．（2024·江苏·三模）设数列的前项的和为. (1)若是公差为的等差数列，且成等比数列，求； (2)若，求证：. 15．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 16．（2024·湖北·一模）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)证明：. 17．（2024·广东广州·二模）已知数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，记为的前项和，证明：时，. 18．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，证明：. 考点03 参数值及参数范围 通·模考通透 19．（2024·四川南充·二模）在数列中，是其前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，恒成立，求的取值范围． 20．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 21．（2024·湖南·二模）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意的都有，求实数的取值范围. 22．（2024·广西桂林·三模）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围． 23．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值． 24．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 25．（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 26．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设各项都不为0的数列的前项积为，，. (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中），组成新的数列，记数列的前项和为，若，求的最小值. 27．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 考点04 数列与概率杂糅 通·模考通透 28．（2024·陕西铜川·模拟预测）不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个，将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验，若两次均摸到彩球，则试验成功并终止试验，否则在袋子中添加一个相同的白球，然后进行下一次试验． (1)若最多只能进行3次试验，设试验终止时进行的次数为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)若试验可以一直进行下去，第次试验成功的概率记为，求证：． 29．（2024·湖北荆州·三模）宜昌市是长江三峡起始地，素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观三峡大坝，另外的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家．每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡人家，则记2分．假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)记随机抽取（，为向上取整）人时，合计得分为分的概率为，记，当时，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 30．（2024·贵州六盘水·模拟预测）深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 31．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击． (1)设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量是，求； (2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙． 32．（2024·山东济南·二模）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. (1)求再打2球该局比赛结束的概率； (2)两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； (3)若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 考点05 数列与导数杂糅 通·模考通透 33．（2024·河南郑州·一模）设函数． (1)当时，证明：； (2)证明：． 34．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求实数的值； (2)证明：． 35．（2024·四川德阳·模拟预测）（）. (1)当时，证明：； (2)证明：. 36．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，． (1)若在处取得极值，讨论的单调性； (2)设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； (3)设，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$