第10章 分式（单元测试）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版《第10章--分式》单元测试 考试范围：分式； 考试时间：100分钟； 满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x＝﹣3 3．（3分）约分的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）分式的最简公分母是（　　） A．2x B．2x（2x﹣4） C．2x﹣4 D．2x（x﹣2） 5．（3分）如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．扩大9倍 6．（3分）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）化简分式1的结果是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问7200文能买多少株橡？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）若分式的值为0，则b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．1或﹣3 10．（3分）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程2有整数解，则满足条件的整数m有（　　）个 A．5 B．4 C．3 D．2 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）将分式化为最简分式，所得结果是 　 　． 12．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间与最大航速逆流航行60km所用时间相等，则江水的流速为　 　km/h． 13．（3分）已知分式，当x＝1时，分式无意义，则a＝　 　． 14．（3分）当x＝ 　 　时，分式与的值互为相反数． 15．（3分）若，则的值为　 　． 16．（3分）若关于x的方程2无解，则a的值是　 　． 17．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　 　． 18．（3分）对于两个非零的实数a，b，定义运算※如下：a※b．例如：3※4．若x※y＝4，则的值为　 　． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19．（8分）解方程： （1）； （2）． 20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 21．（6分）已知关于x的分式方程 （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 22．（8分）观察下列方程及解的特征： （1）x2的解为x1＝x2＝1； （2）x的解为x1＝2，x2； （3）x的解为x1＝3，x2；… 解答下列问题： （1）请猜想：方程x的解为 　 　； （2）请猜想：关于x的方程x　 　的解为x1＝a，x2（a≠0）； （3）下面以解方程x为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 23．（8分）超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市将两批干果按相同的标价销售，最后的500千克按标价的八折优惠售出，如果两批干果全部售出后，利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么超市销售这批干果的标价至少是多少元？ 24．（10分）【提出问题】 已知m＞n＞0，a＞0，分式的分子、分母都加上a后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数a时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ∵a＞0， ∴﹣a＜0， ∴，即． ∴ （2）由（1）我们可猜想：若q＞p＞0，c＞0，则与的大小关系是　 　（填“＞”或“＜”），请用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若p＞q＞0，c＞0时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v1km/h，v2km/h，水流速度为v0km/h，且v1＞v2＞v0＞0，两船同时顺流航行1h后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为t1，t2，请通过比较t1，t2的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 25．（10分）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式A，B，A﹣B（）2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式C，D，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式P，Q，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式M，N（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值． 26．（10分）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，可知x≠0． ∴，即 ∴． 故的值为． （1）第②步运用了公式：　 　；（要求：用含a、b的式子表示） （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值； （3）已知，求的值． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版《第10章--分式》单元测试 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D B B B A B C 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故选：B． 2．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x＝﹣3 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案． 【解答】解：由题意得：x+3≠0， 解得：x≠﹣3， 故选：C． 3．（3分）约分的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】把分子分母的公因式2ab约去即可． 【解答】解：． 故选：B． 4．（3分）分式的最简公分母是（　　） A．2x B．2x（2x﹣4） C．2x﹣4 D．2x（x﹣2） 【分析】先变形得到2x﹣4＝2（x﹣2），然后根据最简公分母的定义进行判断即可． 【解答】解：的最简公分母为2x（x﹣2）， 故选：D． 5．（3分）如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．扩大9倍 【分析】根据x，y都扩大3倍，即可得出分子扩大9倍，分母扩大3倍，由此即可得出结论． 【解答】解：∵x，y都扩大为原来3倍， ∴分子3xy扩大9倍，分母x﹣y扩大3倍， ∴分式的值扩大3倍． 故选：B． 6．（3分）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】（1），所以A正确； （2），所以B错误； （3）任何非0数的0次幂都等于1，所以C正确； （4），所以D正确． 【解答】解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，任何非0数的0次幂都等于1，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：B． 7．（3分）化简分式1的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的性质化简计算并判断． 【解答】解：1 1 1 ． 故选：B． 8．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问7200文能买多少株橡？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】设这批椽的数量为x株，根据“这批椽的价钱为7200文”、“每株椽的运费为4文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解． 【解答】解：设这批椽的数量为x株， ∵这批椽的价钱为7200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 故选：A． 9．（3分）若分式的值为0，则b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．1或﹣3 【分析】根据分式值为0的条件（分子为零且分母不为零）进行计算求解． 【解答】解：若分式值为0，则b2﹣1＝0且（b﹣1）（b+3）≠0， 即b＝±1且b≠1或b≠﹣3， ∴b＝﹣1， 故选：B． 10．（3分）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程2有整数解，则满足条件的整数m有（　　）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多3个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得m的值 【解答】解：， 解不等式①得：x≥﹣1， ∴﹣1≤x， ∵不等式组有解且至多3个整数解， ∴﹣12， ∴﹣3＜m≤6， 分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1）， ∴x， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， ∴1， ∴m≠5， ∵方程有整数解， ∴m﹣2＝±1，±3， 解得：m＝3，1，5，﹣1， ∵m≠5，﹣3＜m≤6， ∴m＝3，1，﹣1， 故选：C． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）将分式化为最简分式，所得结果是 　　． 【分析】先把分子分母因式分解，然后约去公因式（x+3）即可． 【解答】解：． 故答案为：． 12．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间与最大航速逆流航行60km所用时间相等，则江水的流速为　6　km/h． 【分析】根据题意可得顺水速度为（30+v）km/h，逆水速度为（30﹣v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行90km所用时间＝以最大航速逆流航行60km所用时间，根据等量关系列出方程求解即可． 【解答】解：设江水的流速为v km/h， 根据题意得：， 90（30﹣v）＝60（30+v）， 解得v＝6． 经检验，v＝6是原方程的解． 答：江水的流速为6km/h． 故答案为：6． 13．（3分）已知分式，当x＝1时，分式无意义，则a＝　3　． 【分析】把x＝1代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可． 【解答】解：把x＝1代入得：， 此时分式无意义， ∴a﹣3＝0， 解得a＝3． 故答案为：3． 14．（3分）当x＝ 　0　时，分式与的值互为相反数． 【分析】先根据题意列出方程，求解方程得结论． 【解答】解：∵分式与的值互为相反数， ∴． ∴x+2＝2﹣x． ∴x＝0． 经检验，x＝0是分式方程的解． 故答案为：0． 15．（3分）若，则的值为　　． 【分析】由，可得a+b＝5ab，然后整体代入即可求解． 【解答】解：由条件可知a+b＝5ab， ∴， 故答案为：． 16．（3分）若关于x的方程2无解，则a的值是　2　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值． 【解答】解：2， 分式方程去分母得：x+1+2（x﹣1）＝a， 由分式方程无解，得到x﹣1＝0，即x＝1， 将x＝1代入整式方程得：1+1＝a， 解得：a＝2． 故答案为：2． 17．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　﹣2　． 【分析】根据题意可得：x+1＝0，从而可得x＝﹣1，然后把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答． 【解答】解：， x﹣1＝m﹣2（x+1）， 解得：x， ∵分式方程有增根， ∴x+1＝0， ∴x＝﹣1， 把x＝﹣1代入x中得：1， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 18．（3分）对于两个非零的实数a，b，定义运算※如下：a※b．例如：3※4．若x※y＝4，则的值为　﹣2　． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可． 【解答】解：根据新定义可得：， ∴原式2． 故答案为：﹣2． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19．（8分）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）方程两边同乘2x﹣1，转化为一元一次方程，再求解即可，最后检验； （2）方程两边同乘（x+3）（x﹣3），转化为一元一次方程，再求解即可，最后检验． 【解答】解：（1）原方程两边同乘2x﹣1，得：2+3x＝2（2x﹣1）， 整理得：2+3x＝4x﹣2， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是方程的解， 所以原分式方程的解为x＝4； （2）原方程变形得：， 方程两边同乘（x+3）（x﹣3）得：18+x2﹣9＝x2+3x， 整理得：3x＝9， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是方程的增根， 原分式方程无解． 20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式 ， 当x＝﹣1时，原式． 21．（6分）已知关于x的分式方程 （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 【分析】方程去分母转化为整式方程， （1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可； （2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值； （3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可． 【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1）， 去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1， 移项合并得：（m+1）x＝﹣5， （1）∵x＝1是分式方程的增根， ∴1+m＝﹣5， 解得：m＝﹣6； （2）∵原分式方程有增根， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， 解得：x＝﹣2或x＝1， 当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6； （3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m， 综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 22．（8分）观察下列方程及解的特征： （1）x2的解为x1＝x2＝1； （2）x的解为x1＝2，x2； （3）x的解为x1＝3，x2；… 解答下列问题： （1）请猜想：方程x的解为 　x1＝5，x2；　； （2）请猜想：关于x的方程x　a　的解为x1＝a，x2（a≠0）； （3）下面以解方程x为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 【分析】（1）方程变形后，根据阅读材料中的方法确定出解即可； （2）根据得出的规律确定出所求即可； （3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验得到分式方程的解，验证即可． 【解答】解：（1）方程整理得：x5，其解为x1＝5，x2； （2）猜想得：xa的解为x1＝a，x2（a≠0）， 故答案为：（1）x1＝5，x2；（2）a； （3）去分母得：5x2﹣26x+5＝0，即（5x﹣1）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝5，x2， 经检验x1＝5，x2都是分式方程的解． 23．（8分）超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市将两批干果按相同的标价销售，最后的500千克按标价的八折优惠售出，如果两批干果全部售出后，利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么超市销售这批干果的标价至少是多少元？ 【分析】（1）设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克1.2x元，根据“9000元资金购进该种干果数量是第一次的2倍还多300千克”列出方程，解方程即可； （2）设超市销售这批干果的售价为每千克m元，根据利润率不低于25%列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克1.2x元， 依题意得：， 解得x＝5， 经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意． 所以该种干果的第一次进价是每千克5元， 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2）设超市销售这批干果的售价为每千克m元， 第一次购进3000÷5＝600（千克）， 第二次购进9000÷（1.2×5）＝1500（千克）， 根据题意得： （600+1500﹣500）m+500×0.8m﹣（3000+9000）≥（3000+9000）×25%， 解得m≥7.5． 所以超市销售这批干果的售价至少为每千克7.5元， 答：超市销售这批干果的售价至少为每千克7.5元． 24．（10分）【提出问题】 已知m＞n＞0，a＞0，分式的分子、分母都加上a后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数a时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ∵a＞0， ∴﹣a＜0， ∴，即． ∴ （2）由（1）我们可猜想：若q＞p＞0，c＞0，则与的大小关系是　＜　（填“＞”或“＜”），请用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若p＞q＞0，c＞0时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v1km/h，v2km/h，水流速度为v0km/h，且v1＞v2＞v0＞0，两船同时顺流航行1h后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为t1，t2，请通过比较t1，t2的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【分析】（2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出t1﹣t2，即可求解． 【解答】解：（2）根据作差法求解可得： ＜；证明如下： ， ∵q＞p＞0， ∴p﹣q＜0． ∵c＞0，c（p﹣q）＜0． ∴，即． ∴若q＞p＞0，c＞0，则与的大小关系． 故答案为：＜，见解答； （3）若p＞q＞0，c＞0时，（2）中的不等式不成立． ∵p＞q＞0，c＞0， ∴p﹣q＞0，p+c＞0， ∴，即， ∴， 正确的式子为． （4）t1＜t2的大小，甲船先返回A港，理由如下： ，． ∴， ， ∵v1＞v2＞v0＞0， ∴v2﹣v1＜0， ∵v0＞0， ∴2v0（v2﹣v1）＜0． ∴，即t1﹣t2＜0． ∴t1＜t2． ∴甲船先返回A港． 25．（10分）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式A，B，A﹣B（）2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式C，D，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式P，Q，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式M，N（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值． 【分析】（1）根据定义即判断． （2）根据定义，计算出E的代数式，然后分析P，即可找到所有的x的值，即可求值． （3）根据题意建立等式后，然后化简，再进行分类讨论即可找到a、b、c的值，即可求解了． 【解答】（1）C不是D的“雅中式”，理由如下， ． 即：C不是D的“雅中式”． （2）． ∵P是Q的雅中式． 又∵P关于Q的雅中值为2． ∴E﹣2x2﹣6x＝2（9﹣x2）． ∴E＝6x+18． ∴P． ∵P的值也为整数，且分式有意义． 故3﹣x＝±1，或3﹣x＝±2，或3﹣x＝±3，或3﹣x＝±6且x≠﹣3， ∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9． 符合条件的x的值之和为：0+1+2+4+5+6+9＝27． （3）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1． 1． 整理得：（﹣b﹣c+a+4）x+bc﹣5a＝0． 由上式子恒成立，则：． 消去a得：bc﹣5b﹣5c+20＝0． ∴b（c﹣5）﹣5（c﹣5）＝5． ∴b（c﹣5）＝5（c﹣4）， ∴b， ∵a、b、c的整数． ∴c﹣4、c﹣5是连续整数． 当c﹣4＝2、c﹣5＝1时，b＝10，c＝6，a＝12 ∴a﹣b+c＝8． 当c﹣4＝0、c﹣5＝﹣1时，c＝4，b＝0，a＝0． ∴a﹣b+c＝4． 当c﹣4＝4，c﹣5＝5时，c＝10，b＝6，a＝12， ∴a﹣b+c＝16． 当c﹣4＝﹣4，c﹣5＝﹣5时，c＝0，b＝4，a＝0， ∴a﹣b+c＝﹣4 综上：a﹣b+c的值为：8或4或16或﹣4． 26．（10分）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，可知x≠0． ∴，即 ∴． 故的值为． （1）第②步运用了公式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；（要求：用含a、b的式子表示） （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值； （3）已知，求的值． 【分析】（1）由完全平方公式变化得到结果； （2）仿照示例，应用倒数法，可求得结果； （3）先分别求出的值，应用倒数法，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴第②步， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）∵， ∴x≠0， ∴， ∴x﹣34， 即x1， ∴ ＝x2+7 ＝（x）2﹣2+7 ＝（﹣1）2﹣2+7 ＝6， ∴； （3）∵， ∴， 即， 同理可得，， ∴，，， ∴， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/3 19:20:02；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$