三角函数的图像与性质专题讲义-2025届高三数学一轮复习考点通关

【专题：三角函数的图像与性质】 一、考纲要求 1.掌握图像绘制：会用 “五点法” 作正弦、余弦函数在一个周期内的简图，能依据变换规律画出与的图像。 2.理解函数性质：知晓正弦、余弦、正切函数的周期、奇偶性，明确其值域与最值情况，能借助图像理解它们在特定区间的单调性与对称性。 3.学会性质应用：能运用三角函数性质比较函数值大小、求解不等式等，会根据给定函数形式求周期、判断奇偶性及分析给定区间内的最值。 二、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解正、余弦函数在区间内的性质．理解正切函数在区间内的单调性． （2）了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响． 一、2024 年高考 1. 新高考 Ⅰ 卷：选择题第 7 题，5 分；选择题第 9 题，5 分 。 1. 新高考 Ⅱ 卷：选择题某题，5 分；填空题某题，5 分 。 1. 全国甲卷理科：选择题第 10 题，5 分；填空题第 16 题，5 分 。 1. 全国甲卷文科：选择题第 12 题，5 分；填空题第 16 题，5 分 。 1. 全国乙卷理科：选择题第 6 题，5 分；选择题第 10 题，5 分 。 1. 全国乙卷文科：选择题第 10 题，5 分 。 二、2023 年高考 1. 全国甲卷理科：选择题第 10 题，5 分；填空题第 16 题，5 分 。 1. 全国甲卷文科：选择题第 12 题，5 分；填空题第 16 题，5 分 。 1. 全国乙卷理科：选择题第 6 题，5 分；选择题第 10 题，5 分 。 1. 全国乙卷文科：选择题第 10 题，5 分 。 本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：正弦函数，余弦函数，正切函数图像与性质】 知识讲解 考点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 考点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 考点三：与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， 【高考真题+模拟精选】例题精选 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 2．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 3．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 5．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 6．（2006·天津·高考真题）已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数是（    ） A．奇函数且它的图象关于点对称 B．奇函数且它的图象关于点对称 C．偶函数且它的图象关于点对称 D．偶函数且它的图象关于点对称 【答案】A 【分析】由题意先求出的最简形式，即可得到函数，再根据三角函数性质对选项逐一判断 【详解】，其中， 若在处取得最小值，则， 所以即， 所以， 所以， 可得函数是奇函数，且图象关于点对称． 故选：A 7．（2024·福建宁德·二模）函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出. 【详解】由函数图象的一条对称轴为可知： ，即，即， 即，整理得：， 故选：C. 8．（2023·江西赣州·一模）已知函数的最小正周期为，，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据周期范围得出范围，根据对称中心得出的值，并结合范围得出的值，即可得出的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出，即可根据图像关于轴对称，得出，再根据的范围得出实数的最小值. 【详解】，，且， ，即， 的图像关于点中心对称， ，且，即，解得， ， 取，， ， 将的图像向右平移个单位长度后得到的图像， 的图像关于轴对称， ，解得， ， 的最小值，令，得， 故选：B. 相似练习 9．（2023·湖北武汉·一模）已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值. 【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的； 由图可知，利用整体代换可得， 所以，若为已知，则可求得. 故选：B 10．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出周期，再根据求，最后根据点和即可求. 【详解】由图可知：，得，所以， 将代入方程得：，， 又，, ，，所以， ，， 解得：或（舍）. 故选：B 二、多选题 11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．的表达式可以写成 B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C．的对称中心 D．若方程在上有且只有6个根，则实数的取值范围为 【答案】AB 【分析】选项A结合图形得到，，求解出，，从而得到，选项B：向右平移个单位后得，从而判断函数的奇偶性，选项C：解出，然后得到对称中心， 选项D求解出相对应的根即可. 【详解】对于A，由图分析可知：，得，可得， 由，得，即，又，所以， 又，所以，即得， 又，所以，所以，故A正确； 对于B，向右平移个单位后得： ，为奇函数，故B正确； 对于C，，令，得， 所以对称中心，故C不正确； 对于D，由，得， 因为，所以， 令，解得. 又在上有6个根，则根从小到大为， 再令，解得，则第7个根为，故D错误. 故选：AB. 12．（2024·福建泉州·二模）已知函数，则（    ） A．在上的最大值为 B．为偶函数 C．为奇函数 D．在上单调递减 【答案】BD 【分析】降幂公式以及辅助角公式求出的解析式，结合三角函数的图象与性质再逐一分析所给命题的真假. 【详解】 , 对于A，，所以，所以，则在上的值域为，函数的最大值为，故A错误； 对于B，设，则，所以为偶函数，故B正确； 对于C，设，则，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，，，令，设，则时，单调递减，所以原函数在上单调递减，故D正确； 故选：BD 13．（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数，对任意实数x都有，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．函数的图象关于对称 D．在区间上有一个零点 【答案】ABD 【分析】首先根据函数的性质求周期，再利用最值求，再根据CD选项，采用代入的方法，结合函数的性质，即可判断. 【详解】选项A．．故A正确； 选项B，易知为最大值或最小值，是的一条对称轴的方程． ，．．，，故B正确； 选项C，，不是最值，故C错误； 选项D，当时，， 当且仅当即时,故此区间上有1个零点． 故选：ABD． 14．（2024·云南昆明·三模）已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是函数的一个极值点 D．在单调递增 【答案】ABC 【分析】由最小正周期大于，关于点中心对称，可知，对于，直接代入函数解析式求解即可；对于，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于，通过求导，令导函数为，求得的值，并判断左右两端函数的单调性即可判断；对于，通过求函数的单调递增区间即可求解. 【详解】因为的最小正周期大于， 所以，即， 又关于点中心对称， 所以， 所以，因为，所以当时，， 所以， 对于，，故正确； 对于，， 由且是全体实数，所以是偶函数，故正确； 对于，，令得，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是函数的极大值点，故正确； 对于， 由，， 得， 函数的单调递增区间为，， 当时，， 当时，， 显然函数在上不单调，故不正确. 故选：. 15．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数满足，且，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在区间单调递减 【答案】BC 【分析】由已知结合正弦函数的对称性可先求出，即可判断A，B；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C，D即可判断． 【详解】因为函数满足， 所以的图象关于对称， 则，， 则，， 所以或， 因为， 所以，，，A错误，B正确； 则， ，即的图象关于点对称，C正确； 当时，， 因为在,上不单调，D错误． 故选：BC． 三、填空题 16．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 17．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ． 【答案】2 【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得. 【详解】由图可知，即，所以； 由五点法可得，即； 所以. 因为，； 所以由可得或； 因为，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即， 解得，令，可得， 可得的最小正整数为2. 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解. 【解题方法总结】 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 【题型二：图像的变换】 知识讲解 平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少 【高考真题+模拟精选】例题精选 1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象． 故选：D.          2．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 3．（2021·全国乙卷·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 相似练习 4．（2019·天津·高考真题）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可． 【详解】因为为奇函数，∴； 又 ，，又 ∴， 故选C． 【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数． 5．（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案. 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即， 当时，，D正确，其他选项均不正确. 故选：D． 6．（2025·贵州安顺·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的平移原则即可得到答案. 【详解】，则. 故选：B. 二、多选题 7．（2025·福建·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的最小值为 D．函数为奇函数 【答案】AD 【分析】由正弦型函数的周期、对称轴、单调性、奇偶性等性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由的最小正周期为，A选项正确； 对于选项B:由的图象不关于直线对称，B选项错误； 对于选项C：当时，，可得，C选项错误； 对于选项D:函数，为奇函数，D选项正确， 故选：AD． 三、填空题 8．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】/ 【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】 当时 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 【题型三：三角函数的最值问题】 知识讲解 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (4) 对于形如或的函数，可采用常数分离后利用图象或单调性求其最值或值域，也可利用正弦函数、余弦函数自身的有界性求解. 【高考真题+模拟精选】例题精选 一、单选题 1．（2008·重庆·高考真题）函数f(x)=()的值域是   A．[-] B．[-] C．[-] D．[-] 【答案】C 【分析】由题意结合函数解析式的特征利用换元法，结合三角函数的性质和均值不等式的结论,求解函数的值域即可. 【详解】令，则：，即：， 分类讨论： 当时，，则：， 函数的解析式换元为： ， 当且仅当时等号成立，此时函数的值域为； 当时，，则：， 函数的解析式换元为： ， 当且仅当时等号成立，此时函数的值域为； 综上可得：函数f(x)=( )的值域是, 故选：C 2．（2024·江西上饶·一模）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角函数的相关公式将函数化简，再根据换元法，结合正弦函数的值域和二次函数值域来确定原函数的值域. 【详解】. 令，，此时函数变为. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，. 当时，. 所以在上的值域是. 故选：A. 二、多选题 【主要做D选项】3．（2024·江苏徐州·模拟预测）设函数，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】由诱导公式对和化简可判断A和B，对求导可判断C，令，变形整理为，根据可得的最小值，即为的最小值. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ， 当时，，，即， 所以在区间上单调递减，故C正确； 令，则， 整理得， 所以， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 5．（2006·福建·高考真题）已知函数在区间上的最小值是－2，则的最小值等于 . 【答案】 【解析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围，进而可得到或，求出的范围得到答案． 【详解】函数在区间上的最小值是， 则的取值范围是， 当，时，函数有最小值， ，或，， ，或，， ，的最小值等于． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习． 相似练习 6．（1990·全国·高考真题）函数的最大值是 . 【答案】 【分析】利用换元法令，求出函数关于的表达式，利用配方法求出函数的最值． 【详解】令，则， 由两边平方得 则， 配方得， 当时取最大值 故答案为 【点睛】考查三角函数的最值的求法，换元法的应用，属于基础题． 7．（24-25高二上·山东日照·开学考试）若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ． 【答案】 【分析】以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意得，由此可得答案. 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 若存在实数，使得上式成立，则， 则， 可得，可得， 解得， 由， 则取得最大值时， 此时. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解. 8．（2024·江苏苏州·三模）函数的值域是 . 【答案】 【分析】首先分析函数的周期，再分，求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】因为， 所以是以为周期的周期函数， 当时， 由，则，所以，则； 当时， 由，则，所以，则； 综上可得的值域为. 故答案为： 【三角换元法】9．（2023·辽宁沈阳·一模）已知实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由得，令，可解得，代入，结合三角函数的性质求得答案. 【详解】由得， 令，可解得，则，当时等号成立． 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 10．（2005·重庆·高考真题）若函数的最大值为，试确定常数a的值. 【答案】 【分析】利用倍角公式和辅助角公式，对函数进行化简，即可求出最大值，进而可求得结果. 【详解】 ， 因为的最大值为，的最大值为1， 则，所以 故答案为：. 【题型四：解析式的求法】 知识讲解 已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 【高考真题+模拟精选】例题精选 一、单选题 1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由题意可知得，将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，即，得，即可求出，将代入即可得解. 【详解】设的最小正周期为，依题意得， 则，所以， 因为将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称， 则，可得， 则，当时，，故， 将代入可得. 故选：D. 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】先根据函数图象确定的值，再利用、两点坐标及距离公式求出点纵坐标，进而确定，然后求出得到函数表达式，最后根据计算. 【详解】由正弦函数的图象可知，， 则. 已知，设，根据两点间距离公式，因为， 所以，即， 解得（由图象可知点纵坐标为负）. 因为在的图象上，所以， 即， 又因为，所以，则. 因为在的图象上，所以， 即，，，，. 由图象可知，（为函数周期），，又，所以，， 当时，满足条件，所以. 因为的最大值为，最小值为， 已知，所以，一个为，一个为. 不妨设，，则，，解得；，，解得. 所以. 将代入得： . 故选：C. 二、多选题 3．（2025·湖南岳阳·一模）如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象 D．当时， 【答案】AD 【分析】对A，根据过判断即可；对B，由相邻可得，，再根据求解；对C，由的函数解析式与平移变化分析即可；对D，根据正弦函数的值域判断即可. 【详解】对A，由过可得，即，由图结合可得，故A正确； 对B，由可得，即或， 由相邻可得，， 故，又，则，可得，故B错误； 对C，由AB可得，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，故C错误； 对D，当时，，故， 则，故D正确. 故选：AD 相似练习 4．（2025·云南昭通·一模）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．的最小正周期为 B． C．是函数的一个对称中心 D．在区间的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由图象结合五点法确定函数解析式，再由周期公式可得A正确；由解析可得B错误；由正弦函数的对称中心可得C正确；由正弦函数的单调性可得D正确； 【详解】由题意得，由图象可得， 又，所以，由五点法可得， 所以. A：由以上解析可得，，故A正确； B：由以上解析可得，故B错误； C：的对称中心的横坐标为，则对称中心为，令则C正确； D：当时，，所以最小值为，故D正确. 故选：ACD. 5．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数的最小值为，且过点，其部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，则（   ）． A．的最小正周期为 B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BD 【分析】根据已知函数性质及图象求得判断A、B；再由图象平移得到的解析式判断C、D. 【详解】由， 又函数最小值为，则，故， 所以，可得或， 由图知，故， 所以， 由，则，且点在递减区间， 所以，可得， 又，则，且，故， 所以，则，，A错、B对； 为奇函数，C错、D对. 故选：BD 三、填空题 6．（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则 . 【答案】 【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可. 【详解】由题意可得：， 当时，， 令可得：， 据此有：. 故答案为：. 【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型五：“W”的取值范围问题】 知识讲解 1.与零点相关：（1）在区间内没有零点 同理，在区间内没有零点 （2）、在区间内有个零点 同理在区间内有个零 （3）、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 2.与单调性有关:已知单调区间，则. 3.与对称轴有关：已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 【高考真题+模拟精选】例题精选 一、单选题 1．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：      则，解得，即． 故选：C． 2．（2019·全国·高考真题）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点 ③在（）单调递增 ④的取值范围是[) 其中所有正确结论的编号是 A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当时，， ∵f（x）在有且仅有5个零点， ∴， ∴，故④正确， 由，知时， 令时取得极大值，①正确； 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当时，， 若f（x）在单调递增， 则 ，即 ， ∵，故③正确． 故选D． 【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 3．（2017·天津·高考真题）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A． 【考点】求三角函数的解析式 【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等. 4．（2016·全国I卷·高考真题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值． 【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴， ∴，即，（n∈N） 即ω＝2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（，）上单调，则， 即T，解得：ω≤12， 当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）不单调，不满足题意； 当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）单调，满足题意； 故ω的最大值为9， 故选B． 【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或. 5．（23-24高一上·广东广州·期末）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的周期及函数在区间上无零点，列出不等式组，即可解出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 可得的图象，因为，周期， 函数在上没有零点，则， 所以，因为，所以， 又在上没有零点，所以， 解得，， 又因为，所以当，，，， 所以或. 故选：B 相似练习 6．（2024·广东佛山·二模）已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的零点情况，求出的取值范围，再利用给定等式分析判断函数图象的对称轴即可得解. 【详解】由函数在有且仅有两个零点， 得，解得，则， 又，而，当时，，， 由，得，当时，， 即函数在有3个零点，不符合题意， 因此是函数图象的一条对称轴，即，解得， 当时，，当时，，均不符合题意； 当时，，得，则图象的对称轴为. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及三角函数在指定区间上的零点个数求参数范围，利用五点法作图思想分析周期情况是解题的关键. 7．（2024·广东湛江·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的范围可求得的范围，结合正弦函数单调性，采用整体代换的方式即可构造不等式组求得结果. 【详解】当时，， 在上单调递增，， 解得：，又，， 解得：，又，，， 即的取值范围为. 故选：D. 8．（2024·福建龙岩·三模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据对称性可得，即可分别取和，代入求解，进而整体法验证是否符合一个零点求解. 【详解】 为的零点,为图象的对称轴 ，      又 当时， , ， 当时，，故有2个零点，不符合，舍去. 当时， , 当时，，此时有且仅有1个零点，符合 故选：B. 9．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象是由（）的图象向右平移个单位得到的，若在上仅有一个零点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得. 【详解】由题知，函数在上仅有一个零点， 所以，所以， 令，得，即. 若第一个正零点，则（矛盾）， 因为函数在上仅有一个零点， 所以，解得. 故选：C.      10．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到，进而求得结果. 【详解】 当时，， 函数在内有且仅有三条对称轴，则有， 解得， 故选：B. 二、填空题 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 12．（2008·辽宁·高考真题）已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则 . 【答案】 【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值． 【详解】依题意，当时，y有最小值，即， 则，所以. 因为在区间上有最小值，无最大值，所以， 即，令，得. 故答案为： 【限时1.5小时】课后针对训练 一、单选题 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 4．（2025·山东·模拟预测）已知函数在区间内无零点，其图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·甘肃张掖·三模）将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东济宁·三模）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·二模）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线在处的切线 10．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）函数的图象，如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．函数是奇函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有三个零点，则 三、填空题 11．（2024·江苏·模拟预测）将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 . 12．（2020·江苏·一模）已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为，若，则 . 2025年高考一轮复习考点通关 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C A C D A ABD BCD 1．C 【分析】根据函数的图像变换规律得到，由正弦函数的对称性可得，从而求得的最小值. 【详解】关于轴对称， 则，又因为，则当时，. 故选：C 2．C 【分析】根据正切函数的性质判断A，根据正弦函数的性质判断B，利用二倍角公式化简函数解析式，再由余弦函数的性质判断C，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦函数的性质判断D. 【详解】对于A：的最小正周期为，对称中心为，故A错误； 对于B：的图象是由将轴下方部分关于轴对称上去，轴上方及轴部分不变， 所以的最小正周期为，没有对称中心，故B错误； 对于C：，则最小正周期， 且当时，所以函数图象关于点对称，故C正确； 对于D：，最小正周期，故D错误. 故选：C 3．D 【分析】由求出的范围，结合余弦函数单调性判断AC；代入验证确定对称性判断BD. 【详解】对于AC，当时，，则函数在上先增后减，A，C错误； 对于B，而，则的图象不关于直线对称，B错误； 对于D，，则的图象关于点对称， D正确． 故选：D 4．C 【分析】先根据条件，确定函数的解析式，再求的值. 【详解】当时，． 由在区间内无零点，得，解得． 由的图象关于直线对称，得，解得，， 所以当时，，满足，从而， 所以. 故选：C 5．A 【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求. 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：A. 6．C 【分析】根据函数图象的平移和伸缩变换可得，进而可得，利用整体法求解单调性即可求解. 【详解】由题意可得， 由于与的图象关于轴对称，所以， 令，解得， 取，则， 故选：C 7．D 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】依题意，函数， 当时，，显然， 且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8．A 【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出和，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解. 【详解】由，得，又点及附近点从左到右是上升的，则， 由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得， 联立解得，，而，于是，， 若将函数的图像向右平移个单位后，得到， 则，而，因此， 所以当时，取得最小值为. 故选：A 9．ABD 【分析】由条件求出，即得.对于A,B两项，只需将看成整体角，利用正弦函数的图象即可判断，对于C，只需将代入解析式，根据函数值即可检验，对于D，利用导数的几何意义即可求出切线方程进行判断. 【详解】由题意可得，，则，因，则，于是. 对于A，令，由可得，，因在上单调递减，故在区间单调递减，即A正确； 对于B，令，由可得，，因在上有两个极值点，故B正确； 对于C，当时，，因，故直线不是曲线的对称轴，即C错误； 对于D，由求导得，，则，又， 故曲线在处的切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. 10．BCD 【分析】化简函数解析式，由图象观察可得时，函数取最大值，由此可求，结合周期公式求周期，判断A，求函数的解析式并化简，结合正弦函数性质判断B，化简函数的解析式，结合正弦函数性质求其对称中心，判断C，求的范围，结合条件列不等式求的范围，判断D. 【详解】依题意，， 观察图象可得时，函数取最大值，又， 所以，， 解得，，而，解得， ，的最小正周期为，A错误； 是奇函数，B正确； ， ， 令，，可得，， 因此的对称中心为， 当时，函数的对称中心为，故C正确； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确． 故选：BCD． 11．（答案不唯一） 【分析】由函数平移、伸缩变换法则得新函数表达式，结合三角函数奇偶性即可列式求得参数的值. 【详解】将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为， 由题意的图象关于轴对称， 所以，解得，，令，得. 故答案为：（答案不唯一）. 12． 【分析】由题意求出，进而得出函数的解析式，将代入即可. 【详解】函数是奇函数，则， 因为的最小正周期为，所以， 将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)， 所得图像对应的函数为， 又，所以，解得， 所以 所以. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【专题：三角函数的图像与性质】 一、考纲要求 1.掌握图像绘制：会用 “五点法” 作正弦、余弦函数在一个周期内的简图，能依据变换规律画出与的图像。 2.理解函数性质：知晓正弦、余弦、正切函数的周期、奇偶性，明确其值域与最值情况，能借助图像理解它们在特定区间的单调性与对称性。 3.学会性质应用：能运用三角函数性质比较函数值大小、求解不等式等，会根据给定函数形式求周期、判断奇偶性及分析给定区间内的最值。 二、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解正、余弦函数在区间内的性质．理解正切函数在区间内的单调性． （2）了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响． 一、2024 年高考 1. 新高考 Ⅰ 卷：选择题第 7 题，5 分；选择题第 9 题，5 分 。 1. 新高考 Ⅱ 卷：选择题某题，5 分；填空题某题，5 分 。 1. 全国甲卷理科：选择题第 10 题，5 分；填空题第 16 题，5 分 。 1. 全国甲卷文科：选择题第 12 题，5 分；填空题第 16 题，5 分 。 1. 全国乙卷理科：选择题第 6 题，5 分；选择题第 10 题，5 分 。 1. 全国乙卷文科：选择题第 10 题，5 分 。 二、2023 年高考 1. 全国甲卷理科：选择题第 10 题，5 分；填空题第 16 题，5 分 。 1. 全国甲卷文科：选择题第 12 题，5 分；填空题第 16 题，5 分 。 1. 全国乙卷理科：选择题第 6 题，5 分；选择题第 10 题，5 分 。 1. 全国乙卷文科：选择题第 10 题，5 分 。 本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：正弦函数，余弦函数，正切函数图像与性质】 知识讲解 考点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 考点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 考点三：与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， 【高考真题+模拟精选】例题精选 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 6．（2006·天津·高考真题）已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数是（    ） A．奇函数且它的图象关于点对称 B．奇函数且它的图象关于点对称 C．偶函数且它的图象关于点对称 D．偶函数且它的图象关于点对称 7．（2024·福建宁德·二模）函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江西赣州·一模）已知函数的最小正周期为，，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 9．（2023·湖北武汉·一模）已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．的表达式可以写成 B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C．的对称中心 D．若方程在上有且只有6个根，则实数的取值范围为 12．（2024·福建泉州·二模）已知函数，则（    ） A．在上的最大值为 B．为偶函数 C．为奇函数 D．在上单调递减 13．（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数，对任意实数x都有，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．函数的图象关于对称 D．在区间上有一个零点 14．（2024·云南昆明·三模）已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是函数的一个极值点 D．在单调递增 15．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数满足，且，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在区间单调递减 三、填空题 16．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    17．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ． 【解题方法总结】 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 【题型二：图像的变换】 知识讲解 平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少 【高考真题+模拟精选】例题精选 1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国乙卷·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 4．（2019·天津·高考真题）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则 A． B． C． D． 5．（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 6．（2025·贵州安顺·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2025·福建·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的最小值为 D．函数为奇函数 三、填空题 8．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 【题型三：三角函数的最值问题】 知识讲解 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (4) 对于形如或的函数，可采用常数分离后利用图象或单调性求其最值或值域，也可利用正弦函数、余弦函数自身的有界性求解. 【高考真题+模拟精选】例题精选 一、单选题 1．（2008·重庆·高考真题）函数f(x)=()的值域是   A．[-] B．[-] C．[-] D．[-] 2．（2024·江西上饶·一模）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 【主要做D选项】3．（2024·江苏徐州·模拟预测）设函数，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．的最小值为 三、填空题 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 5．（2006·福建·高考真题）已知函数在区间上的最小值是－2，则的最小值等于 . 相似练习 6．（1990·全国·高考真题）函数的最大值是 . 7．（24-25高二上·山东日照·开学考试）若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ． 8．（2024·江苏苏州·三模）函数的值域是 . 【三角换元法】9．（2023·辽宁沈阳·一模）已知实数x，y满足，则的最大值为 ． 四、解答题 10．（2005·重庆·高考真题）若函数的最大值为，试确定常数a的值. 【题型四：解析式的求法】 知识讲解 已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 【高考真题+模拟精选】例题精选 一、单选题 1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（    ） A． B．3 C．4 D．2 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（   ） A． B．0 C． D．2 二、多选题 3．（2025·湖南岳阳·一模）如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象 D．当时， 相似练习 4．（2025·云南昭通·一模）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．的最小正周期为 B． C．是函数的一个对称中心 D．在区间的最小值为 5．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数的最小值为，且过点，其部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，则（   ）． A．的最小正周期为 B． C．为偶函数 D．为奇函数 三、填空题 6．（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则 . 【题型五：“W”的取值范围问题】 知识讲解 1.与零点相关：（1）在区间内没有零点 同理，在区间内没有零点 （2）、在区间内有个零点 同理在区间内有个零 （3）、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 2.与单调性有关:已知单调区间，则. 3.与对称轴有关：已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 【高考真题+模拟精选】例题精选 一、单选题 1．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2019·全国·高考真题）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点 ③在（）单调递增 ④的取值范围是[) 其中所有正确结论的编号是 A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 3．（2017·天津·高考真题）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 A．， B．， C．， D．， 4．（2016·全国I卷·高考真题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11 B．9 C．7 D．5 5．（23-24高一上·广东广州·期末）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 相似练习 6．（2024·广东佛山·二模）已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东湛江·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·福建龙岩·三模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 9．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象是由（）的图象向右平移个单位得到的，若在上仅有一个零点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 10．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 12．（2008·辽宁·高考真题）已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则 . 【限时1.5小时】课后针对训练 一、单选题 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 4．（2025·山东·模拟预测）已知函数在区间内无零点，其图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·甘肃张掖·三模）将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东济宁·三模）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·二模）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线在处的切线 10．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）函数的图象，如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．函数是奇函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有三个零点，则 三、填空题 11．（2024·江苏·模拟预测）将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 . 12．（2020·江苏·一模）已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为，若，则 . 2025年高考一轮复习考点通关 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$