解析几何：弦长问题、面积问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

解析几何：弦长问题、面积问题专项训练 解析几何：弦长问题、面积问题专项训练 考点一 弦长问题 1．（24-25高二上·福建宁德·期末）过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 法一：设直线的参数方程为，其中t为参数， 代入椭圆方程可得：， 则， 则 故选：A. 法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得： ，整理得：， 设交点则有 则 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 3．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，线段为椭圆的通径， 所以. 故选：D 4．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的坒駡点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 取椭圆的右焦点为，根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 根据椭圆的定义得， 又，所以，， 在三角形中，， 在三角形中，， 解得. 故选：A. 5．（23-24高二下·北京·开学考试）已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 . 【答案】 【详解】因为双曲线， 则故； 当时，，不妨设, 故， 故答案为：；. 6．（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 . 【答案】 【详解】由，得， 解得或，则或， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ． 【答案】 【详解】设，，因为线段的中点为， 根据中点坐标公式得：，， 由，在椭圆上，有，两式相减化简得： ， 所以，即直线的斜率为， 可得直线的方程为：，即， 联立方程，消去得：， 则，， 所以线段的长度是： ， 故答案为： 8．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为： 9．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，且过点.若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 . 【答案】 【详解】由题意，联立，则，显然， 所以，故， 所以，以为直径的圆的圆心横坐标为3，半径为4， 故以为直径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 10．（24-25高二上·北京西城·期末）已知曲线与轴交点为，与抛物线交于、两点，则 ，的面积为 . 【答案】 【详解】在曲线的方程中，令，解得，即点，如下图所示： 易知抛物线的焦点为， 曲线的方程可化为， 则，，所以，，则， 设点、，联立可得，， 由韦达定理可得，， ， 故答案为：；. 11．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）由抛物线的性质，，故抛物线. （2）由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 12．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）易知右焦点为，直线l的方程为．如图所示： 设，， 由得， 所以，， 可得. （2）原点到直线l：的距离, 所以． （3）证明：由（2）知直线l双曲线的右支相交于A，B两点， 由双曲线的定义得，． 所以， 整理得． 13．（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，， 所以，整理为，； （2）设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 14．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 15．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知点A，B为椭圆的上、下顶点，点，，其中，且，直线与交于点. (1)证明：点在上； (2)若直线交于，两点，且，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)，或者 【详解】（1）解法一：由题可知 （i）若，则，此时，经检查符合椭圆的方程，所以点在上. （ii）若，则直线的方程为， 直线的方程为， 由可得 ①②，消去，得， 即，所以点在上. 解法二：由题可知 （i）若，则，经检查符合椭圆的方程，所以点在上. （ii）若，则直线的方程为， 直线的方程为（*）， 由消去，得，代入（*）式得， 所以. 因为， 符合椭圆的方程，所以点在上. （2）解法一： 因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 由方程组消去，得. 由得，解得. 设，，则，. 则，， 所以. 又，所以，解得，或者. 由， 又， 所以，或者. 解法二： 由于直线的斜率， 设直线的方程为（为参数）， 代入椭圆方程，得，即， 由，，得， 解得，或者. 由， 又， 所以， 所以，或者. 16．（23-24高二上·海南三亚·期中）已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，求； (3)若直线：与椭圆交于、两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为椭圆：的一个顶点为，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； （2）设，，联立消去得，， 显然，，， 则； （3）设，， 联立消去得，， 由得，则， 设线段的中点为，则，所以， 因为，所以， 则，解得，满足，所以. 17．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）如图所示，已知抛物线的焦点为F，，过点F的直线l与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，AC与BD交于点 (1)求取得最小值时直线l的方程； (2)若直线l与直线m相交于点Q，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题设，则，联立抛物线得，显然， 所以，，则，， 由， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以取最小值时，，则， 所以. （2）令，则且，可得，即， 将代入，可得，如下图，有， 由抛物线对称性，不妨令在轴上方， 由且在抛物线上，可设且，，则， 所以，则， 又可能重合，即可能重合， 可设，， 联立直线，可， 所以，则， 注意，否则，即两条直线没有交点，不合题设， 所以， 综上，，为定值. 18．（24-25高三上·河北·期末）双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足. (1)求双曲线方程； (2)Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，， 故， 将代入， 故双曲线方程为. （2）设，则， 而，故. 设：代入椭圆方程得：， ， 其中， 过A作ST平行线交椭圆于G，H，由对称性可知：， 故将中的k换为，即得， 故， ∴. 原命题得证. 考点二 三角形的面积问题 1．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，则有，解得， 则圆的半径为：，故圆的标准方程为； （2） 如图，作，垂足为， 由圆心到直线的距离为， 则， 故的面积为. 2．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）（1）设，， 则直线AM，AN的斜率分别为，，且， 依题意有， 所以，所以的方程为． （2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以， 又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为， 联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去）， 所以，所以， 所以，所以的面积为． （ⅱ）设，，由题意，l斜率存在， 设l：，联立的方程， 消去y化简得，， ， ，， 由题意得，所以 所以，即，解得或， 时，l：点A，不符合题意， 所以，此时，所以l过定点． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，且离心率为. (1)求C的方程. (2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析； ②. 【详解】（1）由已知得， 因为，又由， 可解得， 所以椭圆方程为：. （2） ①设斜率不为0的直线的方程为， 联立直线和椭圆方程可得，化简得， 由于椭圆与直线交于两点，， 因此，所以或， 根据韦达定理可得，， 又因为，， 因此， 令的方程为，椭圆与直线交于两点， 联立直线和椭圆方程，化简得， 同理：，， ， 因此（为定值）． ②由于，又由于， 因此， 化简可得，设，由于，因此， 因此， 又由于当时，，因此， 因此， 所以面积的取值范围为． 4．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点. (1)若，求的值； (2)过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值. 【答案】(1)3 (2)8 【详解】（1）抛物线的焦点，准线，设， 由，得，即， 所以. （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由得：，，， 由，得，求导得， 则切线的方程为，即，同理，切线的方程为， 由，解得，即， 则点到直线的距离为， 由，化简得：， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为8. 5．（24-25高二下·四川内江·开学考试）已知抛物线：（）的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当轴时，， (1)求抛物线的方程及的坐标； (2)设是抛物线的准线上一点，当到直线的距离最大时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当轴时，的横坐标均为，代入方程， 得，所以，又，则，解得， 所以抛物线的方程为，； （2）由（1）知，抛物线的准线为，所以，即. 当时，点到直线的距离最大， 又，所以，所以直线的斜率为1， 得直线方程为，即， 由，得，设， 则. 由抛物线的定义知，又， 所以. 6．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，. (1)求的值； (2)设为上且不与O重合的一点， （ⅰ）若与面积相等，求的坐标； （ⅱ）若在曲线段上，求面积的最大值. 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）或或；（ⅱ） 【详解】（1）设：， 则： 而，所以. （2）（ⅰ），与有相同的底，只需要其高相同即可. ①设：，，故 ②设：，或，即：或 综上：或或 （ⅱ）的底 要使高最大，即：与相切： ，， 此时，，，.    考点三 四边形的面积问题 1．（24-25高二下·安徽·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过作直线交于，两点，的最小值为4. (1)求的方程； (2)若，过作与关于轴对称的直线交于C，D两点，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设半焦距为，由，得， 当轴时，的值最小，将代入， 得，所以，解得，， 故的方程为：. （2）由题意得，直线的斜率不为0，设，联立， 整理得. 易知，设，，则， 由得， 代入（*），得，，解得. 由对称性可知，四边形为等腰梯形，其面积为： ， 所以四边形的面积为. 2．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． (1)若，求线段中点到轴的距离； (2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； (3)已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)16； (3). 【详解】（1）设，因为过焦点的直线交抛物线于两点，且， 所以由抛物线的性质可得，即， 因此线段中点到轴的距离为. （2）因为顶点关于点的对称点为，所以和到直线的距离相等， 所以． 由题意可知直线的斜率不为，，设直线的方程为， 由得． 则， 因此， 故当时，四边形面积取得最小值. （3）由题意可知，直线的斜率不为，且点的横坐标均不为， 设的方程为, ，整理得， 设，由韦达定理， 所以，同理， 因为，所以， 即，因此， 故的方程为， 从而直线恒过定点，同理，直线恒过定点， 所以，因此，即直线的斜率为. 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点C，连接线段并延长交椭圆于点D． （i）证明：点在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）6 【详解】（1）由题知双曲线即，其焦点坐标为， 故椭圆的焦点为为椭圆焦半距）， 故可设椭圆的方程为，将点代入可解得， 则 所以椭圆的方程为 （2）（i）由题意知，由椭圆对称性可知， 不妨设； 根据题意可知直线斜率均存在，且； 所以直线的方程为，的方程为； 联立直线和椭圆方程得， 消去可得，. ，解得， 则； 联立直线和椭圆方程得， 消去可得； ，解得，则； 则， ； 所以； 即可知为钝角，所以点在以为直径的圆内； （ii）四边形的面积为 ， 设，则，当且仅当时等号成立； 又在上单调递增，所以， 可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为， 由对称性可知，即当点的坐标为或时， 四边形的面积最大，最大值为6. 4．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知圆 和定点 为圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，设点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)已知点 是曲线 上位于 轴上方的两个不同点，且满足 ，求四边形 面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由垂直平分线的性质可得，故， 因此点的轨迹为以为焦点的椭圆,且，故， 故椭圆方程为. （2）不妨设直线方程为，分别延长,与椭圆相交于另一点，，连接, 由于，根据椭圆的对称性可知四边形为平行四边形， 联立得， 设， 则， 故 ， 点到直线的距离为， 因此， 令，则，， 故， 由于，故单调递增，故，当且仅当时取等号， 故， 因此， 由于是平行四边形对角线的交点，过点，因此四边形与四边形全等， 故,因此. 5．（24-25高二上·河南信阳·期末）直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得出，所以抛物线的方程为. （2），设直线的方程为， 联立，得，则. . ，四边形为平行四边形， 由点的横坐标为3，得. , 点到直线的距离， 所以四边形的面积为.    6．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线上的点P的纵坐标为，点P到焦点F和原点O的距离相等． (1)求抛物线的方程． (2)若AB，CD是抛物线的两条不同的弦，且满足． （ⅰ）求证：直线AB，CD过同一个定点Q； （ⅱ）过原点O作AB，CD的垂线，垂足分别为M，N，求四边形OMQN面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2 【详解】（1）原点，焦点，因为， 所以点P在线段OF的垂直平分线上，故， 代入抛物线方程可得．又，所以， 所以抛物线方程为． （2）（ⅰ）证明：设直线AB的方程为，，， 与联立可得，且，， 由韦达定理可得． 又，即， 所以，解得，所以直线AB：经过定点， 同理，直线CD也经过定点． （ⅱ）解：由（ⅰ）知，， 所以O，M，Q，N四点在以OQ为直径的圆上，圆心即焦点． 当MN经过圆心F且与OQ垂直时，四边形OMQN的面积最大， 此时四边形OMQN的面积为2，即四边形OMQN面积的最大值为2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：弦长问题、面积问题专项训练 解析几何：弦长问题、面积问题专项训练 考点一 弦长问题 1．（24-25高二上·福建宁德·期末）过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的坒駡点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京·开学考试）已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 . 6．（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 . 7．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ． 8．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 9．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，且过点.若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 . 10．（24-25高二上·北京西城·期末）已知曲线与轴交点为，与抛物线交于、两点，则 ，的面积为 . 11．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 12．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 13．（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 14．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 15．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知点A，B为椭圆的上、下顶点，点，，其中，且，直线与交于点. (1)证明：点在上； (2)若直线交于，两点，且，求. 16．（23-24高二上·海南三亚·期中）已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，求； (3)若直线：与椭圆交于、两点，且，求的值. 17．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）如图所示，已知抛物线的焦点为F，，过点F的直线l与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，AC与BD交于点 (1)求取得最小值时直线l的方程； (2)若直线l与直线m相交于点Q，求证：为定值. 18．（24-25高三上·河北·期末）双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足. (1)求双曲线方程； (2)Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值. 考点二 三角形的面积问题 1．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 2．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，且离心率为. (1)求C的方程. (2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 4．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点. (1)若，求的值； (2)过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值. 5．（24-25高二下·四川内江·开学考试）已知抛物线：（）的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当轴时，， (1)求抛物线的方程及的坐标； (2)设是抛物线的准线上一点，当到直线的距离最大时，求的面积. 6．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，. (1)求的值； (2)设为上且不与O重合的一点， （ⅰ）若与面积相等，求的坐标； （ⅱ）若在曲线段上，求面积的最大值. 考点三 四边形的面积问题 1．（24-25高二下·安徽·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过作直线交于，两点，的最小值为4. (1)求的方程； (2)若，过作与关于轴对称的直线交于C，D两点，求四边形的面积. 2．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． (1)若，求线段中点到轴的距离； (2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； (3)已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率． 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点C，连接线段并延长交椭圆于点D． （i）证明：点在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 4．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知圆 和定点 为圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，设点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)已知点 是曲线 上位于 轴上方的两个不同点，且满足 ，求四边形 面积的取值范围. 5．（24-25高二上·河南信阳·期末）直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 6．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线上的点P的纵坐标为，点P到焦点F和原点O的距离相等． (1)求抛物线的方程． (2)若AB，CD是抛物线的两条不同的弦，且满足． （ⅰ）求证：直线AB，CD过同一个定点Q； （ⅱ）过原点O作AB，CD的垂线，垂足分别为M，N，求四边形OMQN面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$