解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点一 定点问题 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点． (1)求点到的焦点之间的距离； (2)证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)证明见详解 【详解】（1）因为为抛物线：上一点， 则，即， 可知抛物线：的焦点为，准线为， 所以点到的焦点之间的距离. （2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0， 设直线，， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 由题意可知：，则， 则，整理可得， 则，即， 所以直线过定点. 2．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若为双曲线的右顶点，四边形为矩形，其中点，在双曲线上，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意得，，所以. （2）①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 3．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知椭圆的焦距为，离心率为，左，右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，若点是椭圆上的一点，求的最小值； (3)已知直线的斜率存在，且与椭圆交于，两点（，与，不重合），直线斜率为，直线斜率为，若，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点坐标为 【详解】（1）由题意，， 所以，，， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，则有， ，， 当时，最小值为， 所以最小值为； （3）连接，设直线斜率为，，，   ， 因为，所以， 设直线为， 联立，可得， 即， 所以，， 因为， 所以， 即， 即， 化简得， 解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 所以存在定点，定点为． 4．（2025·广东汕头·一模）已知的三个顶点都在抛物线上，其中． (1)当是直角三角形且时，证明直线过定点； (2)设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，一个 【详解】（1）设直线的方程为，、， 由得：， 所以，且，， 由即得：， 则， 所以或， 从而或， 进而或， 当时，，不合题意，所以， 故直线的方程为，过定点； （2）假设存在以弦为底边的等腰， 由（1）知直线的方程为，且，， 设中点坐标为， 则，， 由等腰三角形性质知，即（*）， 令，则， 所以在R上递增， 又，， 所以在R上有且只有一个零点，即方程（*）在R上有且只有一根， 故存在以弦为底边的等腰，且这样的三角形只有一个． 5．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）已知P是抛物线C：()上任意一点，且点P到C的焦点F的最短距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)设M是直线上除与x轴交点外的一动点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且直线AM与直线BM的斜率之和等于点M纵坐标的相反数，证明：直线l过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设，易知，准线方程为，所以． 当时，取得最小值，由，解得，则抛物线C为． （2）设()，，， 因为直线l的斜率显然不为0，所以设直线l的方程为， 联立，消去x得，， 所以，， 恒成立，解得， 符合，故直线l过定点. 6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意故，所以抛物线方程为. （2）设， ， ， 由得，故切线：，即， 同理可得切线： ， 在两条切线，则，所以直线，即， 因，故，故直线恒过定点. （法二） 当直线斜率存在时，设， 联立，得  设，，， ，，， 由得故切线，即 同理切线， 联立得，故， 代入直线得， 直线，所以恒过定点 当直线斜率不存在时，由对称性知，直线，也过定点 综上：直线恒过定点. （3）联立，得， 由韦达定理可得，，   到直线的距离    当时，最小值为 （法二） 当直线斜率不存在时，直线，，到直线距离为8， 当直线斜率存在时 ， 所以到直线的距离，   ， 当时，的最小值为3，故， 所以的面积的最小值为. 7．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求M的方程； (2)直线l与M在x轴上方的部分交点是A，B，记的斜率分别为，． （i）证明：l过定点Q； （ⅱ）若直线分别交直线于C，D两点，根据（i）的结论．证明：为定值． 【答案】(1) (2)（i）证明见详解 （ⅱ）证明见详解 【详解】（1）由题意得，解得，∴， ∴. （2）（i）由已知可知直线斜率一定存在，设， 联立方程组得：，则， ， 设， 则， 则， ， ， 解得 所以直线的方程为：， 则直线过定点. （ⅱ）设， 显然， 因为三点共线，所以， 此时， 因为三点共线，所以， 此时， 所以，即 故为定值0. 考点二 定值问题 1．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）如图所示，已知抛物线的焦点为F，，过点F的直线l与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，AC与BD交于点 (1)求取得最小值时直线l的方程； (2)若直线l与直线m相交于点Q，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题设，则，联立抛物线得，显然， 所以，，则，， 由， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以取最小值时，，则， 所以. （2）令，则且，可得，即， 将代入，可得，如下图，有， 由抛物线对称性，不妨令在轴上方， 由且在抛物线上，可设且，，则， 所以，则， 又可能重合，即可能重合， 可设，， 联立直线，可， 所以，则， 注意，否则，即两条直线没有交点，不合题设， 所以， 综上，，为定值. 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线不经过点交于，两点，且直线和直线的斜率之和为 ①证明：直线的斜率为定值，并求出这个定值； ②若求的面积. 【答案】(1) (2)①证明见解析；；②. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的右焦点为，所以，因为为椭圆上一点， 由椭圆定义得，， 所以，， 所以椭圆的方程为； （2）①由题意可知直线的斜率存在，设直线，，， 联立方程组， 得， ， 则，，① 由题意知，， 则有， 即， 化简得， 由①可得，， 化简得， 当时，， 直线的方程为，此时直线过点，矛盾， 所以，所以直线的斜率为定值； ②连接，因为，，所以轴， 由直线和直线的斜率之和为，可得平分， 不妨设， 由已知，解得或舍， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即， 所以点，关于原点对称， 所以点， 所以直线的方程为，即， 由①得，所以， 所以点，又， 所以， 所以的面积为 3．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析；定点； (3)为定值，定值为4 . 【详解】（1）由题设； （2）设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； （3）由题设，Q在直线AM上， 设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即， 设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以， 因此为定值，定值为4. 4．（24-25高三下·江西·开学考试）已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为，为上一动点，且当轴时，． (1)求的标准方程； (2)延长交于点，若直线的斜率为，线段的中点为，过作的垂线，直线与相交于点．证明：点在定直线上； (3)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交于点，探究的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是定值，定值为 【详解】（1）的短轴长为，又轴， ， 的标准方程为． （2）设的中点为，直线的方程为， 联立方程组化简得， 可得，代入直线的方程得． 点的坐标为直线的方程为． 由题意直线的方程为． 联立解得即， 点在定直线上． （3）①当直线的斜率不存在时，， 由对称性不妨令，则， 此时， 由题可得， 故； ②当直线的斜率为0时，， 由对称性不妨令，则， 此时， 由题可得， 故； ③当直线的斜率存在且不为0时，设． 联立， 得，① ， ，则直线的方程为， ， 由题可得，位于轴两侧，故．即， 设，将直线代入椭圆的方程， 可得， 则有， 所以，将①代入得， 由直线与轴交于， 则． 故． 综上，的面积为定值． 5．（24-25高二上·广西河池·期末）如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 (1)求曲线C的方程; (2)设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、 （i）求证：为定值; （ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点 【详解】（1）由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为 （2）证明：设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； 由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，易知 由，得， ，得 所以 由可知，， 即， 将代入化简得，解得或舍去， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 6．（24-25高三下·河北·开学考试）已知双曲线的实轴长为，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与双曲线交于不同的两点为坐标原点，且，过作，垂足为，问是否存在点使得为定值?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由双曲线实轴长为，得， 因为双曲线的渐近线方程为， 又直线为双曲线的一条渐近线，得，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）直线，设， 由，消得， 则， 所以， 因为，又，所以， 所以， 得到，化简得，又，得到， 所以直线l恒过定点，又，则为直角三角形， 所以当点为中点时，， 所以存在点，使得为定值. 7．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，是椭圆的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线与椭圆交于两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)． (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）由题可知 在中，由余弦定理得 则即 所以， 故的面积是． （3） 当的斜率为0时，． 当的斜率不为0时，设直线的方程为 联立，得， 此时． ， 故为定值． 8．（24-25高三下·广东广州·开学考试）蝴蝶定理是数学中的一道名题，已经有两百年的历史，迄今依然是一颗生机勃勃的常青树，因其图形像一只蝴蝶而得名.蝴蝶模型在圆锥曲线中经常出现，其中点、线有很多优美的性质.已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线l交抛物线E于A，B，当l与x轴垂直时，△AOB的面积为2，其中O为坐标原点， (1)求抛物线E的方程； (2)若直线l的斜率存在为，过作直线AP，BP分别交抛物线E于C，D，连CD，设直线CD的斜率为，证明：为定值； (3)记（2）中直线AB，CD的倾斜角分别为，，当最大时，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）焦点，当l与x轴垂直时，， 从而，， 所以抛物线E的方程为；    （2）设，，，， 则， 从而直线AB的方程为， 即， 将代入有， 同理，直线AP的方程为， 直线BP的方程为， 将代入有， 由有，从而得证；    （3）由（2）知，，且，或， 当，时，，，， 当，时，，，， 由， 当，时，取得最大值，此时最大， 所以当最大时，，此时直线AB的方程为. 考点三 定直线问题 1．（24-25高三下·安徽·阶段练习）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，为的中点． ①求实数的取值范围； ②证明：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【详解】（1）由题设，则，整理得； （2）①联立与，整理得， 所以，则，所以； ②由①知，，则， 所以的中点为，显然点在定直线上，得证. 2．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； （2）当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； （3）由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 3．（24-25高三下·广东清远·开学考试）椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）令椭圆方程为，则，可得， 所以椭圆方程为； （2）由题意，设，且， 联立与椭圆，得， 所以，则，， 由，，联立可得， 所以，可得， 所以， 所以点G在一条定直线上，得证. 4．（24-25高二上·北京西城·期末）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线 分别交于点，线段的中点为. 是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由题意，得     所以.     所以椭圆的方程为. （2） 由题意，过的直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为. 联立方程组 消去得.     显然，.     设，则 ，.     在中，令，得. 所以.     直线的方程为，     令，得， 所以.     同理可得.     设中点，则 ， 所以.     设中点为，则. 假设存在实数，使得以为直径的圆与轴相切，则点到轴的距离为 . 又因为， 所以，     化简得. 解得. 所以存在，使得以为直径的圆总与轴相切. 5．（24-25高二上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积的绝对值为2，记的轨迹为． (1)求轨迹； (2)将按照确定的顺序的一列直线，，，称为直线列，记为．直线列与均过点，且满足，直线的斜率，交于，两点，交于，两点，且，的横坐标的绝对值都大于1，直线与直线相交于点，． （i）求； （ii）探究是否在定直线上． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）在定直线上． 【详解】（1）设，又，， 则两直线，的斜率分别为，，， 因为，所以， 即，， 所以， 即在时，轨迹是椭圆去除左右顶点； 当时，轨迹是双曲线去除左右顶点． （2）（i）由题意，设直线，可得，则两直线关于轴对称， 又曲线的图形也关于轴对称， 则，关于轴对称；，关于轴对称， 所以必在轴上，不妨设， 将与双曲线联立，得，解得，则； 同理将直线与椭圆联立，得． 所以， 因为，，三点共线，所以， 其中，， 则，解得，故． （ii）解法一：由（1）得，曲线的方程为， 设直线，将与联立， 可得，解得， 代入直线方程可得，所以， 将直线与联立，可得． 同理，设直线，分别与，联立，其中可得 ，， 根据对称性可得若在定直线上， 则该定直线必垂直于轴，又由（i）知， 则必在定直线上． 要证明：直线，的公共点在定直线上， 即证满足，，三点共线且，，三点共线， 即证：， 因为，； ，， 即证： ， 即证：， 即证：，显然成立， 故无论直线的斜率如何变化，的横坐标恒为， 即在定直线上． 解法二：根据对称性可得若在定直线上则该定直线必垂直于轴， 又由（i）知，故可得必在定直线上． 由（1）知，可合并为， 设直线与曲线联立，得， 因为，所以得， 即， 可得该方程的两根为，或， 因为，故，， 同理设与曲线联立， 得，， 故直线的斜率为， 所以直线， 同理， 要证明的公共点在定直线上， 只需要证明直线与的公共点与直线与的公共点重合， 将代入直线，得 ； 同理可得，故两点重合，本题得证． 6．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长； (3)若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【详解】（1）因为的周长为8，所以，得. 因为椭圆的离心率为，所以，， 故椭圆的标准方程为. （2）由题意，，，所以直线的方程是， 设，.由得， 所以，， 所以. （3）设直线l的方程为. 由得，. 设，，，线段AB的中点为H， 则，，. 若△ABP的重心在y轴上，则，即，所以. 由，得， 解得，所以， 因为点P在椭圆上，所以， 解得或.故存在直线l，使得△ABP的重心在y轴上， 其方程为或或. 7．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知椭圆C：的长半轴长为2，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设点A为椭圆C的左顶点，过原点的直线与椭圆C分别相交于P，Q（点P，Q不在坐标轴上）两点，直线AP，AQ分别交y轴于M，N两点，判断直线PN和QM的交点是否在定直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)定直线为，理由见解析 【详解】（1）由题意：， 又，所以. 则椭圆C的标准方程为. （2）设，则，且，即， ， 直线方程为：，， 直线方程为：，， 直线方程为：， 直线方程为：， 联立直线方程与直线方程得， 化简可得恒成立, 因此直线与直线的交点过定直线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点一 定点问题 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点． (1)求点到的焦点之间的距离； (2)证明：直线过定点． 2．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若为双曲线的右顶点，四边形为矩形，其中点，在双曲线上，求证：直线过定点. 3．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知椭圆的焦距为，离心率为，左，右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，若点是椭圆上的一点，求的最小值； (3)已知直线的斜率存在，且与椭圆交于，两点（，与，不重合），直线斜率为，直线斜率为，若，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 4．（2025·广东汕头·一模）已知的三个顶点都在抛物线上，其中． (1)当是直角三角形且时，证明直线过定点； (2)设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 5．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）已知P是抛物线C：()上任意一点，且点P到C的焦点F的最短距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)设M是直线上除与x轴交点外的一动点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且直线AM与直线BM的斜率之和等于点M纵坐标的相反数，证明：直线l过定点． 6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)求面积的最小值． 7．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求M的方程； (2)直线l与M在x轴上方的部分交点是A，B，记的斜率分别为，． （i）证明：l过定点Q； （ⅱ）若直线分别交直线于C，D两点，根据（i）的结论．证明：为定值． 考点二 定值问题 1．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）如图所示，已知抛物线的焦点为F，，过点F的直线l与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，AC与BD交于点 (1)求取得最小值时直线l的方程； (2)若直线l与直线m相交于点Q，求证：为定值. 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线不经过点交于，两点，且直线和直线的斜率之和为 ①证明：直线的斜率为定值，并求出这个定值； ②若求的面积. 3．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 4．（24-25高三下·江西·开学考试）已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为，为上一动点，且当轴时，． (1)求的标准方程； (2)延长交于点，若直线的斜率为，线段的中点为，过作的垂线，直线与相交于点．证明：点在定直线上； (3)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交于点，探究的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 5．（24-25高二上·广西河池·期末）如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 (1)求曲线C的方程; (2)设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、 （i）求证：为定值; （ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标. 6．（24-25高三下·河北·开学考试）已知双曲线的实轴长为，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与双曲线交于不同的两点为坐标原点，且，过作，垂足为，问是否存在点使得为定值?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 7．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，是椭圆的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线与椭圆交于两点，证明：为定值． 8．（24-25高三下·广东广州·开学考试）蝴蝶定理是数学中的一道名题，已经有两百年的历史，迄今依然是一颗生机勃勃的常青树，因其图形像一只蝴蝶而得名.蝴蝶模型在圆锥曲线中经常出现，其中点、线有很多优美的性质.已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线l交抛物线E于A，B，当l与x轴垂直时，△AOB的面积为2，其中O为坐标原点， (1)求抛物线E的方程； (2)若直线l的斜率存在为，过作直线AP，BP分别交抛物线E于C，D，连CD，设直线CD的斜率为，证明：为定值； (3)记（2）中直线AB，CD的倾斜角分别为，，当最大时，求直线AB的方程. 考点三 定直线问题 1．（24-25高三下·安徽·阶段练习）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，为的中点． ①求实数的取值范围； ②证明：点在定直线上． 2．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高三下·广东清远·开学考试）椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上. 4．（24-25高二上·北京西城·期末）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线 分别交于点，线段的中点为. 是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 5．（24-25高二上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积的绝对值为2，记的轨迹为． (1)求轨迹； (2)将按照确定的顺序的一列直线，，，称为直线列，记为．直线列与均过点，且满足，直线的斜率，交于，两点，交于，两点，且，的横坐标的绝对值都大于1，直线与直线相交于点，． （i）求； （ii）探究是否在定直线上． 6．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长； (3)若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 7．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知椭圆C：的长半轴长为2，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设点A为椭圆C的左顶点，过原点的直线与椭圆C分别相交于P，Q（点P，Q不在坐标轴上）两点，直线AP，AQ分别交y轴于M，N两点，判断直线PN和QM的交点是否在定直线上，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$