精品解析：安徽省合肥市滨湖寿春中学2025届高三下学期第五次段考数学试卷

安徽省合肥市滨湖寿春中学2025届高三下学期第五次段考 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合M，根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】解，得：，所以， ，所以. 故选：B. 2. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数对应的点在复平面的第二象限 C. 复数z的共轭复数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法求出复数，然后可判断各选项． 【详解】由已知得，所以复数z的虚部为，而不是，A错误； 在复平面内，复数z对应的点为，在第二象限，B正确. ，C错误； ，D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题． 3. 设，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件, 【答案】C 【解析】 【详解】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则,且 解得 故选 点睛：这是一道关于充分条件和必要条件判断的题目．考查的主要是充分条件，必要条件，熟练掌握掌握充分条件和必要条件的判定方法．本题中，利用直线平行的条件是解决问题的关键． 4. 已知等差数列的前n项和为；等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 22 B. 34 C. 46 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，解出d和q，再求出和，即可. 【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 因为， 解得：d=1，q=2. 则， ， 所以15+31=46. 故选：C 【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质． 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（ ）天． A. 200天 B. 210天 C. 220天 D. 230天 【答案】D 【解析】 【分析】由题设得方程，根据指对数关系、对数运算性质求值即可. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即， ． 故选：D． 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 【详解】由可得 ， 故选：C 7. 已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率． 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C离心率为. 故选：B 8. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据累加法可得即可求解. 【详解】当时， 因为， 故 由累加法可得， 故，故AB错误， 由， 所以故，所以C错误,D正确， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用累加法可得. 二、多选题 9. 已知向量，则（ ） A 若，则 B. 在方向上的投影向量为 C. 存在，使得在方向上投影向量的模为1 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平行向量的坐标表示可判断A；由投影向量的计算公式可判断B，C；由向量的模长公式结合三角函数的性质可判断D. 【详解】对于A，若，则，则，所以A错误； 对于B，在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，，所以在方向上投影向量的模为： ， 当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确； 对于D，向量 ， 所以，则，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知正方体棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点P，使得； B. 存在唯一点P，使得； C. 当，此时点P的轨迹长度为； D. 当P为底面EFGH中心时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设P点坐标为，利用空间向量逐一求解即可. 【详解】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 ，，设P点坐标为，，， 为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点， 设该点为，则点坐标为， ，故A选项正确； 由可得，故B选项正确； 时，即，而，， 得到， 点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为，故C选项错误； 当P为底面EFGH的中心时，由B选项知，显然，， 三棱锥的外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为，，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求解立体几何有关轨迹，夹角，距离有关问题是非常有效的方法，能减少思维量. 11. 已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C存在点P，使得 C. 直线与曲线C没有交点 D. 点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 【答案】CD 【解析】 【分析】分的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确； 【详解】当时，曲线，即； 当时，曲线，即；不存在； 时，曲线，即； 时，曲线，即； 画出图形如下： 对于A，由图可得A错误，故A错误； 对于B，方程是以为上下焦点的双曲线， 当时，曲线C存在点P，使得，故B错误； 对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确； 对于D，设，设点在直线上，点在直线， 则由点到直线的距离公式可得 ，， 所以， 又点Q是曲线C上在第三象限内的一点， 代入曲线方程可得，故D正确； 故选：CD 三、填空题 12. 若，使得，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将带存在量词的不等式成立命题转化为不等式在给定区间上的能成立问题，继而转化成求函数的最值问题即得. 【详解】由，使得，即在上能成立， 即要求在上的最小值. 因在上为增函数，故， 故得，即实数的取值范围为. 故答案为：[1,+∞). 13. 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为_____；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件，根据已知及条件概率，应用全概率公式、条件概率公式求、. 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，，则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为. 故答案为：；. 14. 已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性可得的解集中有且仅有2个整数，设，利用导数讨论其单调性后可得实数的最大值. 【详解】设， 因为均为上的增函数，故为上的奇函数， 又， 由不等式可化为， 即，故， 故的解集中有且仅有2个整数， 故的解集中有且仅有2个整数，设， 则， 则当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 故的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用函数的单调性以及奇偶性将问题转化为不等式的解集中的整数个数问题. 四、解答题 15. 记的内角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求； （2）是上的点，平分，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、两角和与差的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由可得出，再结合余弦定理可得出的值，最后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以，， 在中，， 所以， ， 因为、，所以，，，故. 【小问2详解】 由题意可得， 所以，，即， 所以，， 因为，由余弦定理可得， 即，整理可得， 因为，解得，因此，的面积为. 16. 如图，四棱锥中，为等边三角形，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先利用线线垂直证明平面，得，再由题设证平面最后由线面垂直证得平面平面； （2）过作，交于，证明平面,依题意建系，利用题设条件求出相关点坐标，计算两平面的法向量，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接. 因四边形为直角梯形，且，则， 又为等边三角形，， 因平面， 故平面，又平面,则， 又，因平面, 故平面又平面， 平面平面. 【小问2详解】 由（1）知平面因平面,则平面平面， 过作，交于，因平面平面,故平面, 即为直线与平面所成的角，则， 由（1）知平面 因平面故， 而，则 于是，. 如图，以为原点，所在直线为轴，过点在面中与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则 于是，， 设平面的法向量为, 由， 则可取； 又, 设平面的法向量为, 由，则可取. 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线AP、BQ的斜率分别为、，且.求证：直线PQ经过定点. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率设，故，根据的最大值可求，故可求椭圆的标准方程. （2）利用“知点求点”可得的坐标（用表示），取，则可证明共线，故可证直线PQ经过定点. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为. 因为离心率为，故，故可设，故. 设，则， 当且仅当时等号成立，故即，故. 故，所以椭圆方程为：. 【小问2详解】 由（1）可得. 直线的方程为， 由可得， 该方程必有一根，故即， 所以，同理，. 取，若，则或， 故，此时直线的方程为：，过定点； 若， 则，， ， 故，故共线，即直线过定点， 综上，直线PQ经过定点. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）分，和以及四种情况讨论函数的单调性. （3）将问题转化为，令，结合导数求出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得或， ①当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时，由，则函数在上单调递增. 所以当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为. 【小问3详解】 当时，不等式转化为， 令函数，求导得， 令（），求导得，函数在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则，又，即， 则，即， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； ②构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ③利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ④根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”． （1）若，，判断，是否是“数列”； （2）已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围； （3）已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式． 【答案】（1）数列是“数列”；数列不是“数列”； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接根据“数列”的定义进行判断即可； （2）由是等差数列结合是“数列”可知公差，结合等差数列求和公式用含的式子表示，进一步结合恒成立即可求解； （3）由“数列”的每一项（）均为正整数，可得且，进一步可得单调递增，故将任意性问题转换为与1比较大小关系可得的范围，结合，或，注意此时我们还要分情况验证是否是“数列”，从而即可得解. 【小问1详解】 对于数列而言，若，则, 所以数列是“数列”； 对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”； 【小问2详解】 因为等差数列是“数列”，所以其公差． 因为，所以， 由题意，得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立． 当时，恒成立，故； 当时，对任意的恒成立，即 对任意的恒成立， 因为，所以． 所以的取值范围是. 【小问3详解】 设等比数列的公比为，因为，所以， 因为“数列”的每一项均为正整数，由得， 所以且， 因为， 所以，所以单调递增， 所以在数列中，“”为最小项， 而，从而在数列中，“”为最小项． 因为是“数列”，则只需，所以， 因为数列不是“数列”，则，所以， 因为数列的每一项均为正整数，即，所以或， （1）当时，，则， 令， 又， 所以为递增数列， 又， 所以对于任意的，都有，即， 所以数列为“数列”，符合题意． （2）同理可知，当时，，则， 令， 又， 所以为递增数列， 又， 所以对于任意的，都有，即， 所以数列为“数列”，符合题意． 综上，或. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将恒成立任意性问题转换为与1比较大小得出的值，回过头去检验是否满足题意即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省合肥市滨湖寿春中学2025届高三下学期第五次段考 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数对应的点在复平面的第二象限 C. 复数z的共轭复数 D. 3. 设，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行” A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件, 4. 已知等差数列的前n项和为；等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 22 B. 34 C. 46 D. 50 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（ ）天． A. 200天 B. 210天 C. 220天 D. 230天 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，则（ ） A 若，则 B. 在方向上的投影向量为 C. 存在，使得在方向上投影向量的模为1 D. 的取值范围为 10. 已知正方体棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点P，使得； B. 存在唯一点P，使得； C. 当，此时点P的轨迹长度为； D. 当P为底面EFGH的中心时，三棱锥的外接球表面积为 11. 已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C存在点P，使得 C. 直线与曲线C没有交点 D. 点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 三、填空题 12. 若，使得，则实数的取值范围为______. 13. 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为_____；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 14. 已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的最大值为______. 四、解答题 15. 记的内角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求； （2）是上的点，平分，且，，求的面积. 16. 如图，四棱锥中，为等边三角形，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线AP、BQ的斜率分别为、，且.求证：直线PQ经过定点. 18 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若恒成立，求取值范围. 19. 若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”． （1）若，，判断，否是“数列”； （2）已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围； （3）已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$