精品解析：重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三下学期第一次教学检测数学试题

荣昌中学高2025级高三下期第一次教学检测 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（　　） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知平面向量，，若在方向上投影向量为，则（ ） A 2 B. C. 0 D. 1 4. 已知命题，为假命题，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（ ） A ℃ B. ℃ C. ℃ D. ℃ 6. 将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种. A. B. C. D. 7. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的内角的对边分别为为的中点，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 10. 如图，某电子实验猫线路图上有A，B两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在A处遇到红灯的次数为.同一次试验中在A，B两处遇到红灯的次数之和为，则（ ） A. B. 一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为 C. D. 当时， 11. 已知函数的定义域为，若存在常数与，且，使得任意，恒有，则称函数是广义周期函数.下列说法正确的有（ ） A. 一次函数（为常数）是广义周期函数 B. 若是广义周期函数，则存在实数，使得是周期函数 C. 若有两个不同的对称中心，则是广义周期函数 D. 若与都是广义周期函数，则也是广义周期函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则__________. 13. 计算：______. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值为，则椭圆的离心率是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在前n项和为的等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前20项和． 16. 在三棱柱中，，平面平面，E，F分别为线段的中点． （1）求证：； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，且，求三棱锥的体积． 17. 已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3. （1）求的方程； （2）证明：以为直径的圆经过定点. 18. 国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7. （1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X（cm）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. （i）求； （ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率. 参考数据：若，则，，，，，. 19. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则 （1）①点，，求的值． ②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程． （2）已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值； （3）设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣昌中学高2025级高三下期第一次教学检测 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算对数不等式得出集合A,再判断集合的基本关系即可. 【详解】，A⊆B A错误，B错误，C正确，D错误． 故选：C. 2. 已知复数，则（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的模的性质求解即可. 【详解】， 故选：B 3. 已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的几何意义列方程，解方程即可. 【详解】由投影向量的几何意义，，所以. 故选：D. 4. 已知命题，为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，令，利用数形结合可求得. 【详解】由题意知，，令，则， 作出函数的图象如图所示， 若，则直线与函数的图象没有公共点，数形结合可知, 所以的取值范围为. 故选：D. 5. 某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（ ） A. ℃ B. ℃ C. ℃ D. ℃ 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，可求得，进而根据已知可得，，可求得解析式，进而可求得时的函数值，可得结论. 【详解】由题意可知，直线是曲线的一条对称轴， 所以，，即，.又， 即，所以. 因为全年月平均温度的最大值为32℃，所以①. 又当时，，所以，所以②. 由①②解得，， 所以，则当时，℃. 故选：A 6. 将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6，法一，利用间接法可求得总的方法数，法二，采用直接法求解，分甲、乙同组与不同组两种情况求解. 【详解】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6 法一：用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法； ②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立， 注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，所以由种选法，共有种选法. 而平均分组共有种方式，所以共有种选法. 法二：用直接法求解： ①甲、乙在同一组：容易发现这是不可能的； ②甲、乙不在同一组：那么1、2中至少有一位与乙一组，5、6中至少有一位与甲一组， 取该事件的反面，即：1、2均不与乙一组且5、6均不与甲一组，4人均分两组共有种分法，符合事件反面的只有356、124一种，所以共有=5种分法. 故选：B. 7. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圆半径，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半径即得.解法2：先判断正三棱柱的外接球球心在高线的中点，即可判断外接球半径继而得出外接球体积范围，排除其他三项即得. 【详解】 解法1：如图，设正三棱柱外接球的球心为，半径为. 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：.而为的中点， 所以则 故选:A. 解法2：设正三棱柱外接球的半径为 因正三棱柱的高为，由对称性知其外接球球心必在高线的中点， 故此时. 故选:A. 8. 已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出当和当时，函数的最小值，由题意，列出不等式，借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】当时，单调递增，所以当时，有最小值， 当时，单调递减，所以，无最小值， 因为在存在最小值，所以， 令，因为和在上均单调递增， 所以在上均单调递增，又因为， 所以当时，，即成立， 所以的解集为. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的内角的对边分别为为的中点，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，数量积公式，以及余弦定理和三角形面积公式，即可判断选项. 【详解】因为为的中点，所以，则，A正确． 由余弦定理得，则，B正确． 由，得，所以，C错误． 由，得，则，D正确． 故选：ABD 10. 如图，某电子实验猫线路图上有A，B两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在A处遇到红灯的次数为.同一次试验中在A，B两处遇到红灯的次数之和为，则（ ） A. B. 一次实验中，A，B两处至少遇到一次红灯的概率为 C D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用二项分布的概率及方差计算判断A，C，再结合独立事件概率乘积公式及对立事件公式计算求解B，应用数学期望公式 计算判断D. 【详解】由题意可知，所以，，故A正确，C错误； 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故B正确； 当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，若存在常数与，且，使得任意，恒有，则称函数是广义周期函数.下列说法正确的有（ ） A. 一次函数（为常数）是广义周期函数 B. 若是广义周期函数，则存在实数，使得是周期函数 C. 若有两个不同的对称中心，则是广义周期函数 D. 若与都是广义周期函数，则也是广义周期函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】把代入一次函数的解析式即可证明一次函数为广义周期函数，根据广义周期函数的定义可推出选项正确，利用对称中心的结论可解决选项.，选项可通过周期函数的结论来推. 【详解】对于,由，只需使 故一次函数（为常数，且）是广义周期函数，故正确； 对于,若是广义周期函数，则存在常数与，且，使， 则, 令，得,即存在实数，使得， 此时，是周期函数，即正确； 对于,若有两个不同的对称中心和， 因为为函数的对称中心，所以， 因为为函数的对称中心，所以， 上面两式做减法可得：， 所以 用去代替上式中的可得：， 故是广义周期函数，故正确. 对于,因为与都是广义周期函数，则存在常数与，恒有， 存在常数与，恒有. 设，因与没有特定的数量关系，故得不到为广义周期函数.故错误. 故选：. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的运算法则先求，再计算即可. 【详解】因为，所以， 得到，解得， 故答案为：. 13. 计算：______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角和差的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值为，则椭圆的离心率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据切线长计算可得的最小值为，再由焦半径公式可得，整理成关于的齐次方程可得结果. 【详解】如下图所示： 易知， 又的最小值为可得的最小值为， 根据焦半径公式可得的最小值为，即可知, 所以，又，所以， 整理可得，即， 可得，即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用焦半径公式以及切线长公式得出相应等量关系，构造方程即可得出离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在前n项和为的等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前20项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前n项和、通项公式求首项与公差，进而写出通项公式. （2）首先判断、对应n的范围，再根据各项的符号，应用分组求和及等差数列前n项和求. 【小问1详解】 由，则， 由，则， 所以，即，故， 则. 小问2详解】 由（1）知：，可得，即，故时， 所以. 16. 在三棱柱中，，平面平面，E，F分别为线段的中点． （1）求证：； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，且，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证线线垂直，再证明线面垂直，从而可得线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，根据题中的条件得，再将问题转化为求即可. 【小问1详解】 ∵，E为AC的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面， ∴平面，且平面，∴， ∵，∴， 又，∴平面， 又平面，∴． 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，分别以为x，z轴正方向，所外建立空间直角坐标系，设，则， . 设平面的法向量， 则，即是，解得， 由题意：，即，解得或， ∵， ∴， 由有，可知, ∴. 17. 已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3. （1）求的方程； （2）证明：以为直径的圆经过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解； （2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解. 【小问1详解】 当轴时，两点的横坐标均为， 代入双曲线方程，可得，，即， 由题意，可得，解得，，， 双曲线的方程为：； 【小问2详解】 方法一：设方程为，， ， 以为直径的圆的方程为， 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得 ， 而， ， 对恒成立，， 以为直径的圆经过定点； 方法二：设方程为， ， 由对称性知以为直径圆必过轴上的定点. 设以为直径的圆过， ， 而 ， ， ，即对恒成立， ，即以为直径的圆经过定点. 18. 国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7. （1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X（cm）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. （i）求； （ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率. 参考数据：若，则，，，，，. 【答案】（1），；（2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i）由题意结合正态分布的性质即可得解； （ii）由题意结合正态分布的性质可得，再由即可得解. 【详解】（1）由题知第三组的频率为， 则第五组的频率为， 第二组的频率为， 所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075， 故， ； （2）由题知，， （i） ； （ii）， 故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率：. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题. 19. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则 （1）①点，，求的值． ②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程． （2）已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值； （3）设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标． 【答案】（1）①7； ②； （2）2； （3）2，，，，. 【解析】 【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可； （2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论求的最小值； （3）将的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的，即可得到的最小值. 【小问1详解】 ①； ②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为，则，即. 【小问2详解】 设直线上任意一点坐标为，则， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时， 综上所述，的最小值为2. 【小问3详解】 如图，为正方体，边长为1，则对应正方体的八个顶点， 当四个点在同一个面上时， （i）例如：，此时； （ii）例如：，此时； 当四个点不在同一个平面时， （iii）例如：，此时； （iiii）例如：，此时； （iiiii）例如：，此时； （iiiiii）例如：，此时； （iiiiiii）例如：，此时； 综上所述，的最大值为2，例如：，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $