17.1勾股定理【12大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

17.1勾股定理 【考点梳理】 · 考点一：用勾股定理解三角形 · 考点二：已知两点坐标求距离 · 考点三：勾股数问题 · 考点四：以直角三角形三边为边长的图形面积 · 考点五：勾股定理和网格问题 · 考点六：勾股定理和折叠问题 · 考点七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） · 考点八：勾股定理构造图形解决问题 · 考点九：以炫图为背景的计算题 · 考点十：勾股定理与无理数 · 考点十一：勾股定理的应用 · 考点十二：勾股定理的证明 【知识梳理】 知识点01：勾股定理 　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 　技巧归纳： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点二：勾股定理的证明 一般是通过剪拼，借助面积进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。 图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形。则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为ab·4+c2,所以(a+b)2=ab·4+c2，整理得a2+b2=c2 在图2的另一种拼法中，以c为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以ab·4+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2. 知识点03：勾股定理的应用 (1)勾股定理的应用条件 勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。 (2)勾股定理的实际应用 勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。 勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。 (3)利用勾股定理作长为 (n为大于1的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。由此，我们可借助勾股定理，作直角边为1的等腰直角三角形，它的斜边长等于；作直角边为，1的直角三角形，其斜边长为。类似地，可以作出长为 (n为大于1的整数)的线段。 【题型探究】 题型一：用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（   ） A．4 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，分两种情况：①2和3为两条直角边；②3为斜边；再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：①2和3为两条直角边时，由勾股定理得第三条边长为； ②3为斜边时，由勾股定理得第三条边长为； 即第三条边长为或， 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（  ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．由等边三角形的性质可知三边长都为6，再利用等腰三角形的三线合一性质，由与垂直得到D为的中点，进而由的长求出的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为边长为6的等边三角形，且， ∴， ∴， 在中，由， 根据勾股定理得：． 故选：C． 3．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，在中，，，垂直平分，D为垂足，交于点E，若，则的长为（    ） A．15 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．由垂直平分，，即可求得，继而求得的度数，然后根据等腰直角三角形求得的长． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型二：已知两点坐标求距离 4．（24-25八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，求得点到坐标原点的距离为，即可求解． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 5．（23-24八年级下·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（    ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，分别求出所给点到原点的距离，据此可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴点到原点的距离为：； 点到原点的距离为， 点到原点的距离为， 点到原点的距离为， 所以点与点到原点的距离相等． 故选：A． 6．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形及用勾股定理求两点间距离，熟练掌握坐标与图形及用勾股定理求两点间距离是解题的关键．若点P在轴上，设，可得，，再根据，列出方程，再求解，若点P在轴上，设，再同理求解即可． 【详解】解：若点P在轴上，设， ，， ，， ，即， ， ， ， 若点P在轴上，设， ，点， ，， ，即， ， ， ， 即或， 故选：A． 题型三：勾股数问题 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．，， D．4，6，8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、，错误，不是勾股数，不符合题意； B、，正确，是勾股数，符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、，错误，不是勾股数，不符合题意 故选：B． 8．（24-25八年级上·江西九江·期末）下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是勾股数，不符合题意； B、，则此项是勾股数，符合题意； C、，则此项不是勾股数，不符合题意； D、，则此项不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 9．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．，， D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、，错误，不是勾股数，不符合题意； B、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、，正确，是勾股数，符合题意； 故选：D． 题型四：以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A．6 B．36 C．64 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算，掌握以上知识及计算是解题的关键． 根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：D ． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是81和225，则字母B所代表的正方形的边长是（　　） A．12 B．13 C．144 D．306 【答案】A 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积． 所以字母B所代表的正方形的边长是． 故选：A． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．64 B．136 C．72 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为， ∵， ∴． 故选：C． 题型五：勾股定理和网格问题 13．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由三角形的面积即可计算出答案． 【详解】解：， ， 在边上的高为， 故选B． 14．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ， ； 故选：C． 15．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出，再根据割补法求出的面积，由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ∵， ∴的面积， ∴， 故选：A． 题型六：勾股定理和折叠问题 16．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由面积法得到，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴由勾股定理得， ∵将沿翻折，使得点C与点B重合． ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故选：B． 17．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题、垂线段最短，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，则当的值最小时，取得最大值，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，利用三角形的面积公式可求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴当的值最小时，取得最大值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 18．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 19．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 21．（21-22八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ． 【答案】69 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2， CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2， MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）， ＝132−102， ＝69． 故答案为：69． 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2． 题型八：勾股定理构造图形解决问题 22．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，一个圆柱形罐头放在水平面上，在圆柱的截面中，，的中点S处有一食物，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行，为了尽快吃到食物，爬的最短距离为（    ） A．10 B．12 C．20 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能想到将圆柱展开应用勾股定理是解题关键．先把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长． 【详解】如图所示，将其展开， ∵在圆柱的截面中：，， ∴半圆弧长，， 将其展开可得如下的矩形， 在中， ∴． 故选A． 23．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度为2米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.3米，则这名学生身高为（    ）米．    A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 【答案】C 【分析】过点作于，则，米，由勾股定理得出（米），则（米），即可得出答案． 【详解】解：过点作于，如图所示：    则，米， 在中，米， 由勾股定理得：（米）， （米）， 米， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24．（22-23八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 题型九：以炫图为背景的计算题 25．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据小正方形面积为7得出，结合，得出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵大正方形的面积， ∴， 故选：D． 26．（23-24八年级下·全国·期中）在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小邦同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故选：B． 27．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键． 根据勾股定理可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：如图，    由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个正方形面积， ∴2次后形成的图形中所有的正方形的面积和， ∴ “生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故选：C． 题型十：勾股定理与无理数 28．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，考查实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键． 根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， ∵是数轴上表示的点， ∴点表示的数是． 故选：C． 29．（23-24八年级下·吉林延边·期末）如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键，先利用勾股定理求出的长度，再根据在数轴的正负半轴求解即可． 【详解】在中，，， ∴， ∵以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点， ∴这个点表示的实数是， 故选：B． 30．（23-24八年级下·陕西延安·期末）如图，的直角边AC在数轴上，，点A表示的实数为－2，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交数轴的正半轴于点D．若，，则点D表示的实数为（    ） A．0.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理得，，然后根据点表示的实数为，计算作答即可．本题考查了勾股定理，实数与数轴．熟练掌握勾股定理，实数与数轴是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点A表示的实数为 ∴点表示的实数为 故选：C 题型十一：勾股定理的应用 31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 32．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 33．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解∶在中，米， 故可得地毯长度米， 故选：C． 题型十二：勾股定理的证明 34．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【答案】(1)；； (2)；； (3)25 【分析】本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：；；． （2）解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 35．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用两种方法表示出图形的面积，然后整理即可； （2）由勾股定理可得，再运用等面积的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ∴，整理，得． （2）解：在中，，， 由勾股定理，得：， 是边上的高， ， ∴． 36．（24-25八年级下·全国·单元测试）［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程． 如图①，，求证：． 证明：连接，过点作交的延长线于点，则， 则． 又， ， ． 请参照上述证法，利用图②进行证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明、三角形面积的计算方法、多边形面积的计算方法．根据，可得出结论． 【详解】证明：如答图，连接，过点作交的延长线于点，则． ， ， ， ． 【高分演练】 一、单选题 37．（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列各组数中，属于“勾股数”的是（） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，注意勾股数的定义要求是正整数，按照公式进行正确的计算是解题的关键．根据满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：， 不是勾股数，不符合题意； 不是勾股数，不符合题意； 是勾股数，符合题意； 不是勾股数，不符合题意， 故选：C． 38．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短距离，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，利用勾股定理求出即可求解，找出蚂蚁到达蜂蜜的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意得，，，， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为， 故选：．    39．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，点是线段上任意一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，过点A作于，根据等腰三角形的性质求出，再确定的取值范围，再根据勾股定理求出，再根据可得最小值与最大值，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，，， 则， ∴在中，， 当点与点重合时，的最小值为， 当点与点或点重合时，有最大值为， ∴的长可能是， 故选：C． 40．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的作图和性质、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意得：，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴点M对应的数是， 故选：B． 41．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得，，继而得到，，利用勾股定理得到长，结合题意可知为等腰直角三角形，，进而得解． 【详解】连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点 ， 又 在直角中，由勾股定理得： ∵中，，， ∴为等腰直角三角形 ∴， 故选：C 42．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图；四边形中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关于的方程，解方程得到答案． 【详解】如图, 连接, ∵是线段的垂直平分线， ， 在中, 在中, 则, ∵， ∴， ∴ 解得： 故选：B． 43．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理分别求出和的长度，进而表示出长度，利用无理数的估算方法即可估算出大小. 【详解】解：斜靠在竖直的墙上，，， 在中，. 竹竿的顶端沿墙下滑2米至处， ，， 在中，. . ， . . 的长度小于2米. 故答案为：A. 【点睛】本题考查了勾股定理，无理数的估算方法，解题的关键在于理解题意，清楚知道，熟练掌握无理数的估算方法. 44．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．证出，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】∵四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故选B． 45．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理解可得，进而推出，即． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵分别以，，为直径向外构造半圆，三个半圆的面积，，， ∴， ∴， 故选：B． 46．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法： ①； ②； ③； ④，其中正确的说法是（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定①；根据图形可知，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断④． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的面积为49， ∴，    ∵是直角三角形， ∴根据勾股定理得：，故①正确； ∵正方形的面积为4， ∴， ∴，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③错误； 由，得， 又∵， 两式相加得：， 整理得：， ，故④错误； 故正确的是①②． 故选：A． 47．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图所示，为长方形的边上的一点，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处．已知，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 由折叠的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将长方形沿直线折叠， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴阴影部分的面积：， 故选：C． 48．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积．过E作于H，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到，求出，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，求出，即可求出的面积． 【详解】解：过E作于H， ∵平分， ∵， ∴， ∵，于点D， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：A． 二、填空题 49．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为，斜边为，那么． 分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可． 【详解】解：如图1，由勾股定理得：． 如图2，由勾股定理得：． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为， 故答案为：． 50．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点对应的实数为，先求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后利用数轴的性质求解即可得． 【详解】解：设点对应的实数为， ∵在数轴上，点，点分别表示实数，2， ∴， ∵，， ∴， 由作图可知，， 又∵在数轴上，点表示实数，点在数轴的正半轴， ∴， ∴， 即点对应的实数为， 故答案为：． 51．（2025八年级下·全国·专题练习）如图中，于点D，若则 ． 【答案】 【详解】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求出，即可求出，再利用勾股定理即可求出. 【解答】解：∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 52．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，点是边上一点，点是延长线上一点，，连接交于点，点是的中点，过点作交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中垂线的性质、勾股定理．点是的中点且，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等可得，设，则可得、，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值即为的长度，从而可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 点是的中点，过点作交于点， ， 设， ， ，， 又， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 故答案为： ． 53．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，角平分线的定义质，勾股定理，能用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键；作关于的对称点，则，当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于的对称点， ∴， ∵是是的平分线， ∴在上，， ∴， 当时，取得最小值， 过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 54．（2025八年级下·全国·专题练习）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 55．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 56．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点是边上一点． (1)在外求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，试求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图-作角等于已知角、尺规作图-作线段等于已知线段、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出图形是解题关键． （1）首先作，然后在射线上取点，使得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明，进而由勾股定理可得，然后证明为直角三角形，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如下图，点即为所求； （2）解：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，，即， ∴． 57．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 58．（24-25八年级上·重庆·期末）在等腰中，，点D在的延长线上， (1)如图1，线段上有一点G，连接并延长至点E，使得，连接和，若，，，求的长； (2)如图2，线段上有一点G，连接并延长至点E，连接和，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：； (3)如图3，点P是线段上一动点，已知，，连接，当取最小值时，直接写出与的面积之比． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）由题意易得，则可证，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （2）在上截取，由题意易得，，然后可知，则有，进而可根据得到，则可证，最后问题可求证； （3）作，分别过点P、C作，垂足分别为Q、M，要使的值最小，则需满足的值最小，根据点到直线，垂线段最短，可知：当点H、P、Q三点共线时，的值即为最小，最小值为的长；然后根据含30度直角三角形的性质可知，，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 作，分别过点P、C作，垂足分别为Q、M，如图所示： ∴， ∴， 要使的值最小，则需满足的值最小，根据点到直线，垂线段最短，可知：当点H、P、Q三点共线时，的值即为最小，最小值为的长； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.1勾股定理 【考点梳理】 · 考点一：用勾股定理解三角形 · 考点二：已知两点坐标求距离 · 考点三：勾股数问题 · 考点四：以直角三角形三边为边长的图形面积 · 考点五：勾股定理和网格问题 · 考点六：勾股定理和折叠问题 · 考点七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） · 考点八：勾股定理构造图形解决问题 · 考点九：以炫图为背景的计算题 · 考点十：勾股定理与无理数 · 考点十一：勾股定理的应用 · 考点十二：勾股定理的证明 【知识梳理】 知识点01：勾股定理 　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 　技巧归纳： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点二：勾股定理的证明 一般是通过剪拼，借助面积进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。 图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形。则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为ab·4+c2,所以(a+b)2=ab·4+c2，整理得a2+b2=c2 在图2的另一种拼法中，以c为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以ab·4+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2. 知识点03：勾股定理的应用 (1)勾股定理的应用条件 勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。 (2)勾股定理的实际应用 勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。 勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。 (3)利用勾股定理作长为 (n为大于1的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。由此，我们可借助勾股定理，作直角边为1的等腰直角三角形，它的斜边长等于；作直角边为，1的直角三角形，其斜边长为。类似地，可以作出长为 (n为大于1的整数)的线段。 【题型探究】 题型一：用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（   ） A．4 B． C． D．或 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（  ） A． B． C． D．3 3．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，在中，，，垂直平分，D为垂足，交于点E，若，则的长为（    ） A．15 B． C．30 D． 题型二：已知两点坐标求距离 4．（24-25八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为(   ) A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（    ） A．点， B．点， C．点， D．点， 6．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A．或 B．或 C．或 D．或 题型三：勾股数问题 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．，， D．4，6，8 8．（24-25八年级上·江西九江·期末）下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 9．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．，， D．3，4，5 题型四：以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A．6 B．36 C．64 D． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是81和225，则字母B所代表的正方形的边长是（　　） A．12 B．13 C．144 D．306 12．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．64 B．136 C．72 D．16 题型五：勾股定理和网格问题 13．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 题型六：勾股定理和折叠问题 16．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 17．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 19．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    21．（21-22八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ． 题型八：勾股定理构造图形解决问题 22．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，一个圆柱形罐头放在水平面上，在圆柱的截面中，，的中点S处有一食物，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行，为了尽快吃到食物，爬的最短距离为（    ） A．10 B．12 C．20 D．14 23．（23-24八年级上·陕西西安）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度为2米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.3米，则这名学生身高为（    ）米．    A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 24．（22-23八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 题型九：以炫图为背景的计算题 25．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 26．（23-24八年级下·全国·期中）在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小邦同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，，则的长是（　　） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 题型十：勾股定理与无理数 28．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·吉林延边·期末）如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2 30．（23-24八年级下·陕西延安·期末）如图，的直角边AC在数轴上，，点A表示的实数为－2，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交数轴的正半轴于点D．若，，则点D表示的实数为（    ） A．0.2 B． C． D． 题型十一：勾股定理的应用 31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 33．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 题型十二：勾股定理的证明 34．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 35．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 36．（24-25八年级下·全国·单元测试）［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程． 如图①，，求证：． 证明：连接，过点作交的延长线于点，则， 则． 又， ， ． 请参照上述证法，利用图②进行证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：． 【高分演练】 一、单选题 37．（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列各组数中，属于“勾股数”的是（） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 38．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，点是线段上任意一点，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 40．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图；四边形中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的长为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 44．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 45．（2025八年级下·全国）如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 46．（2025八年级下·全国）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法： ①； ②； ③； ④，其中正确的说法是（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 47．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图所示，为长方形的边上的一点，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处．已知，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 48．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 二、填空题 49．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 50．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是 ． 51．（2025八年级下·全国·专题练习）如图中，于点D，若则 ． 52．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，点是边上一点，点是延长线上一点，，连接交于点，点是的中点，过点作交于点，，则 ． 53．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 三、解答题 54．（2025八年级下·全国·专题练习）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 55．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 56．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点是边上一点． (1)在外求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，试求出的长． 57．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$