高一数学月考卷（湘教版2019必修第二册，平面向量+解三角形+三角恒等变换）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2019）必修第二册第1--2章平面向量+解三角形+三角恒等变换。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 故选：C. 3．在中，，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由题意可得，则为等边三角形. 故选：B. 4．向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，所以. 故选：A. 5．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 【答案】B 【详解】． 满足条件的三角形有2个． 故选：B. 6．（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】原式 . 故选：A 7．在中，，点在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理可得， 又，，， 所以，又， 所以， 在由正弦定理可得，故 又，，， 所以. 故选：D. 8．如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系， 因为，所以设，，，， 由可得，解得， 因为，，， 所以，整理得， 由题意可得关于的一元二次方程至多有一个解， 所以，将代入整理得， 解得，所以， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：AB． 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(    ). A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 11．如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【详解】对于选项A，因为，所以，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点， 所以，与相交于点矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为为的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：由题意可设，， 所以 ， 又，所以，，所以，故选项D错误， 解法二：因为三点共线，所以，且， 又，，所以，，，故选项D错误， 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则 . 【答案】/ 【详解】依题意，，则，所以. 故答案为： 13．已知，则 . 【答案】/0.5 【详解】 . 故答案为： 14．在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 【答案】3 【详解】 在中，因，，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，即， 可得，解得. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【详解】（1）由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得，（3分） 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得．（6分） （2） ，（7分） 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则，（9分） 设，则，，（11分） 所以，解得，即点A的坐标为． （13分） 16．（15分）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，（2分） 因为，所以，（3分） 整理得，即. （5分） 因为，所以，（6分） 所以，即，（7分） （2）在中，,由余弦定理得, （9分） 所以, 当且仅当时等号成立，（11分） 所以, （14分） 即面积的最大值为. （15分） 17．（15分）已知函数. (1)求； (2)把图象上的所有的点向右平移个单位，得到函数的图象，求，的值域. 【详解】（1） （4分） （7分） （2），，（10分） ， （13分） . （15分） 18．（17分）如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 【详解】（1），（3分） （2），理由如下： 由（1）可知，又，， 所以，（5分） 因为点是重心， 所以，（8分） 而，不共线，所以，解得， 所以；（10分） （3）， 由（2）知， 所以， （9分） 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 所以，，则，（10分） 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，（13分） 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，，（15分） 所以的最大值为，（16分） 所以. （17分） 19．（17分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 【详解】（1）因为， 所以. （3分） （2）①因为，（5分） 且，，则， 所以. （6分） 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是；（8分） ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即，（10分） 则， 可得， 即，可得，（13分） 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得，（15分） 所以. （17分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2019）必修第二册第 1--2 章平面向量+解三角形+三角恒等变换。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设?⃗?，𝑏为非零向量，则“|?⃗?| = ?⃗? ”是“?⃗? = 𝑏”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．cos105∘cos45∘ + cos15∘sin45∘ =（ ） A．− √ B．− C． D．√ 3．在△𝐴𝐵𝐶中， 𝐴𝐵 = 𝐵?⃗? = 𝐴?⃗? + 𝐵?⃗? ，则△𝐴𝐵𝐶是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．向量𝑎 → = (sin𝑥,cos𝑥)，𝑏 = √3, 1 ，若?⃗?//𝑏，则tan𝑥 =（ ） A．√3 B．−√3 C． √ D．− √ 5．在△𝐴𝐵𝐶中，已知角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，𝑎 = 2，𝑏 = √6，𝐴 = 45°，则满足条件的三角 形有（ ） A．1 个 B．2 个 C．0 个 D．无法确定 6． ° ° − 4sin40° =（ ） A．−√3 B．√3 C．−1 D．1 7．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 4,sin𝐶 = √ ，点𝐷在线段𝐴𝐶上，𝐴𝐷 = 3,𝐵𝐷 = √19，则𝐵𝐶 =（ ） A．3 B．3√3 C．6 D．3√5 8．如图，∠𝑃𝑂𝑄 = π ，点𝐴, 𝐵为射线𝑂𝑃上两动点，且𝐴𝐵 = 2，若射线𝑂𝑄上至多有一个点𝐶，使得∠𝐴𝐶𝐵 = π ，则 𝑂𝐴长度的取值范围为（ ） A．(0, 1) B．(0, 1] C．(1,  + ∞) D．[1,  + ∞) 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列选项正确的是（ ） A．sin100∘cos40∘ − cos100∘sin40∘ = √ B． tan ∘ tan ∘ tan ∘tan ∘ = √3 C．sin22.5∘cos22.5∘ = √ D．cos 15∘ − sin 15∘ = 10．已知△ 𝐴𝐵𝐶的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是( ). A．若sin𝐴 > sin𝐵，则𝐴 > 𝐵 B．若𝑎 + 𝑏 > 𝑐 ，则△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形 C．若𝑎cos𝐴 = 𝑏cos𝐵，则△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形 D．若𝑏 = 2，𝐴 = π ，这样的三角形有两解，则𝑎的取值范围为 √3, 2 11．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶 = 2𝐴?⃗?，𝐸为𝐶𝐷的中点，𝐵𝐸与𝐴𝐶交于点𝐹，𝐵𝐷与𝐴𝐶交于点𝐺，设𝐴?⃗? = ?⃗?， 𝐴?⃗? = 𝑏，则下列结论正确的是（ ） A．𝐺𝐷 = 𝐵?⃗? B．𝐺?⃗? = 𝐹?⃗? C．𝐵?⃗? = − ?⃗? + 𝑏 D．若𝐵?⃗? = 𝜆?⃗? + 𝜇𝑏，则2𝜆 − 𝜇 = −1 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知向量?⃗? = (1,7), 𝑏 = (−3,1)，若(?⃗? + 𝑘𝑏) ⊥ 𝑏，则𝑘 = . 13．已知sin 𝛼+ π = ，则sin 2𝛼 + π = . 14．在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵, 𝐶的对边分别为𝑎, 𝑏, 𝑐，且𝐵 = π ，若点𝑀是𝐵𝐶的中点，𝐴𝑀 = 𝐴𝐶，则 = . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知𝑒 ⃗ , 𝑒 ⃗ 是平面内两个不共线的非零向量，𝐴𝐵 ⃗ = 2𝑒 ⃗ + 𝑒 ⃗ , 𝐵𝐸 ⃗ = −𝑒 ⃗ + 𝜆𝑒 ⃗ , 𝐸𝐶 ⃗ = −2𝑒 ⃗ + 𝑒 ⃗ ， 且𝐴,𝐸, 𝐶三点共线． (1)求实数𝜆的值； (2)已知𝑒⃗ = (2,1), 𝑒⃗ = (2,−2)，点𝐷(3,5)，若𝐴,𝐵, 𝐶, 𝐷四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点 A的坐标． 16．（15 分）在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵, 𝐶的对边分别为𝑎, 𝑏, 𝑐，且√3𝑎sin𝐵 + 𝑏cos𝐴 = 2𝑏 (1)求𝐴； (2)若𝑎 = 2，求△𝐴𝐵𝐶面积的最大值． 17．（15 分）已知函数𝑓(𝑥) = 2√2sin𝑥cos(𝑥 + π) + 1. (1)求𝑓( π )； (2)把𝑦 = 𝑓(𝑥)图象上的所有的点向右平移 π 个单位，得到函数𝑦 = 𝑔(𝑥)的图象，求𝑦 = 𝑔(𝑥)，𝑥 ∈ [ π , π ]的值 域. 18．（17 分）如图，点𝐺是△𝑂𝐴𝐵重心，𝑃、𝑄分别是边𝑂𝐴、𝑂𝐵上的动点，且𝑃、𝐺、𝑄三点共线． (1)设𝑃?⃗? = 𝜆𝑃𝑄，将𝑂?⃗?用𝜆、𝑂𝑃、𝑂𝑄表示； (2)设𝑂𝑃 = 𝑥𝑂𝐴，𝑂𝑄 = 𝑦𝑂?⃗? ，问： + 是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记△𝑂𝐴𝐵与△𝑂𝑃𝑄的面积分别为𝑆、𝑇，求 的取值范围． 19．（17 分）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于非零向量?⃗? = (𝑥 , 𝑦 ), 𝑏 = (𝑥 , 𝑦 )，定义这两个向量的“相离度” 为𝑑(?⃗?, 𝑏) = | | ⋅ ，容易知道?⃗?, 𝑏平行的充要条件为𝑑(?⃗?, 𝑏) = 0． (1)已知?⃗? = (1,2), 𝑏 = (4,−2)，求𝑑(?⃗?, 𝑏)； (2)①已知?⃗?, 𝑏的夹角为𝜃 和𝑐, 𝑑的夹角为𝜃 ，证明：𝑑(?⃗?, 𝑏) = 𝑑(𝑐, 𝑑)的充分必要条件是sin𝜃 = sin𝜃 ； ②在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 2,𝐴𝐶 = 4，角 A的平分线 AD与 BC交于点 D，且𝐴𝐷 = ，若𝑃?⃗? + 𝑃?⃗? + 𝑃𝐶 = 0⃗， 求𝑑(𝑃?⃗?, 𝑃?⃗?)． 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2019）必修第二册第1--2章平面向量+解三角形+三角恒等变换。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 6．（    ） A． B． C． D．1 7．在中，，点在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(    ). A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 11．如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则 . 13．已知，则 . 14．在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 16．（15分）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，求面积的最大值． 17．（15分）已知函数. (1)求； (2)把图象上的所有的点向右平移个单位，得到函数的图象，求，的值域. 18．（17分）如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 19．（17分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2019）必修第二册第1--2章平面向量+解三角形+三角恒等变换。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 6．（    ） A． B． C． D．1 7．在中，，点在线段上，，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(    ). A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 11．如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则 . 13．已知，则 . 14．在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 16．（15分）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，求面积的最大值． 17．（15分）已知函数. (1)求； (2)把图象上的所有的点向右平移个单位，得到函数的图象，求，的值域. 18．（17分）如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 19．（17分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B A B A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得，（3分） 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得．（6分） （2） ，（7分） 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则，（9分） 设，则，，（11分） 所以，解得，即点A的坐标为． （13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，（2分） 因为，所以，（3分） 整理得，即. （5分） 因为，所以，（6分） 所以，即，（7分） （2）在中，,由余弦定理得, （9分） 所以, 当且仅当时等号成立，（11分） 所以, （14分） 即面积的最大值为. （15分） 17．（15分） 【详解】（1） （4分） （7分） （2），，（10分） ， （13分） . （15分） 18．（17分） 【详解】（1），（3分） （2），理由如下： 由（1）可知，又，， 所以，（5分） 因为点是重心， 所以，（8分） 而，不共线，所以，解得， 所以；（10分） （3）， 由（2）知， 所以， （9分） 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 所以，，则，（10分） 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，（13分） 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，，（15分） 所以的最大值为，（16分） 所以. （17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为， 所以. （3分） （2）①因为，（5分） 且，，则， 所以. （6分） 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是；（8分） ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即，（10分） 则， 可得， 即，可得，（13分） 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得，（15分） 所以. （17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 5 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟，分值：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2019）必修第二册第 1--2 章平面向量+解三角形+三角恒等变换。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设?⃗?，𝑏为非零向量，则“|?⃗?| = ?⃗? ”是“?⃗? = 𝑏”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．cos105∘cos45∘ + cos15∘sin45∘ =（ ） A．− √ B．− C． D．√ 3．在△𝐴𝐵𝐶中， 𝐴𝐵 = 𝐵?⃗? = 𝐴?⃗? + 𝐵𝐶 ，则△𝐴𝐵𝐶是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．向量𝑎 → = (sin𝑥,cos𝑥)，𝑏 = √3, 1 ，若?⃗?//𝑏，则tan𝑥 =（ ） A．√3 B．−√3 C． √ D．− √ 5．在△𝐴𝐵𝐶中，已知角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，𝑎 = 2，𝑏 = √6，𝐴 = 45°，则满足条件的三角 形有（ ） A．1 个 B．2 个 C．0 个 D．无法确定 6． ° ° − 4sin40° =（ ） A．−√3 B．√3 C．−1 D．1 2 / 5 7．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 4,sin𝐶 = √ ，点𝐷在线段𝐴𝐶上，𝐴𝐷 = 3,𝐵𝐷 = √19，则𝐵𝐶 =（ ） A．3 B．3√3 C．6 D．3√5 8．如图，∠𝑃𝑂𝑄 = π ，点𝐴, 𝐵为射线𝑂𝑃上两动点，且𝐴𝐵 = 2，若射线𝑂𝑄上至多有一个点𝐶，使得∠𝐴𝐶𝐵 = π ， 则𝑂𝐴长度的取值范围为（ ） A．(0, 1) B．(0, 1] C．(1,  + ∞) D．[1,  + ∞) 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列选项正确的是（ ） A．sin100∘cos40∘ − cos100∘sin40∘ = √ B． tan ∘ tan ∘ tan ∘tan ∘ = √3 C．sin22.5∘cos22.5∘ = √ D．cos 15∘ − sin 15∘ = 10．已知△ 𝐴𝐵𝐶的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是( ). A．若sin𝐴 > sin𝐵，则𝐴 > 𝐵 B．若𝑎 + 𝑏 > 𝑐 ，则△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形 C．若𝑎cos𝐴 = 𝑏cos𝐵，则△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形 D．若𝑏 = 2，𝐴 = π ，这样的三角形有两解，则𝑎的取值范围为 √3, 2 11．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶 = 2𝐴?⃗?，𝐸为𝐶𝐷的中点，𝐵𝐸与𝐴𝐶交于点𝐹，𝐵𝐷与𝐴𝐶交于点𝐺，设𝐴?⃗? = ?⃗?， 𝐴?⃗? = 𝑏，则下列结论正确的是（ ） A．𝐺𝐷 = 𝐵?⃗? B．𝐺𝐹 = 𝐹?⃗? C．𝐵?⃗? = − ?⃗? + 𝑏 D．若𝐵?⃗? = 𝜆?⃗? + 𝜇𝑏，则2𝜆 − 𝜇 = −1 3 / 5 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知向量?⃗? = (1,7), 𝑏 = (−3,1)，若(?⃗? + 𝑘𝑏) ⊥ 𝑏，则𝑘 = . 13．已知sin 𝛼+ π = ，则sin 2𝛼 + π = . 14．在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵, 𝐶的对边分别为𝑎, 𝑏, 𝑐，且𝐵 = π ，若点𝑀是𝐵𝐶的中点，𝐴𝑀 = 𝐴𝐶，则 = . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知𝑒 ⃗ , 𝑒 ⃗ 是平面内两个不共线的非零向量，𝐴𝐵 ⃗ = 2𝑒 ⃗ + 𝑒 ⃗ , 𝐵𝐸 ⃗ = −𝑒 ⃗ + 𝜆𝑒 ⃗ , 𝐸𝐶 ⃗ = −2𝑒 ⃗ + 𝑒 ⃗ ， 且𝐴,𝐸, 𝐶三点共线． (1)求实数𝜆的值； (2)已知𝑒⃗ = (2,1), 𝑒⃗ = (2,−2)，点𝐷(3,5)，若𝐴,𝐵, 𝐶, 𝐷四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点 A的坐标． 16．（15 分）在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵, 𝐶的对边分别为𝑎, 𝑏, 𝑐，且√3𝑎sin𝐵 + 𝑏cos𝐴 = 2𝑏 (1)求𝐴； (2)若𝑎 = 2，求△𝐴𝐵𝐶面积的最大值． 4 / 5 17．（15 分）已知函数𝑓(𝑥) = 2√2sin𝑥cos(𝑥 + π) + 1. (1)求𝑓( π )； (2)把𝑦 = 𝑓(𝑥)图象上的所有的点向右平移 π 个单位，得到函数𝑦 = 𝑔(𝑥)的图象，求𝑦 = 𝑔(𝑥)，𝑥 ∈ [ π , π ]的值 域. 18．（17 分）如图，点𝐺是△𝑂𝐴𝐵重心，𝑃、𝑄分别是边𝑂𝐴、𝑂𝐵上的动点，且𝑃、𝐺、𝑄三点共线． (1)设𝑃𝐺 = 𝜆𝑃𝑄，将𝑂?⃗?用𝜆、𝑂𝑃、𝑂𝑄表示； (2)设𝑂𝑃 = 𝑥𝑂𝐴，𝑂𝑄 = 𝑦𝑂?⃗? ，问： + 是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记△𝑂𝐴𝐵与△𝑂𝑃𝑄的面积分别为𝑆、𝑇，求 的取值范围． 5 / 5 19．（17 分）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于非零向量?⃗? = (𝑥 , 𝑦 ), 𝑏 = (𝑥 , 𝑦 )，定义这两个向量的“相离度” 为𝑑(?⃗?, 𝑏) = | | ⋅ ，容易知道?⃗?, 𝑏平行的充要条件为𝑑(?⃗?, 𝑏) = 0． (1)已知?⃗? = (1,2), 𝑏 = (4,−2)，求𝑑(?⃗?, 𝑏)； (2)①已知?⃗?, 𝑏的夹角为𝜃 和𝑐, 𝑑的夹角为𝜃 ，证明：𝑑(?⃗?, 𝑏) = 𝑑(𝑐, 𝑑)的充分必要条件是sin𝜃 = sin𝜃 ； ②在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 2,𝐴𝐶 = 4，角 A的平分线 AD与 BC交于点 D，且𝐴𝐷 = ，若𝑃𝐴 + 𝑃?⃗? + 𝑃?⃗? = 0⃗，求 𝑑(𝑃?⃗?, 𝑃?⃗?)．