热点04 一次函数与反比例函数（16大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

热点04 一次函数与反比例函数 中考数学中一次函数与反比例函数部分主要考向分为六类： 一、平面直角坐标系（每年1~2道，3~6分） 二、一次函数的图象与性质（每年1~2道，3~12分） 三、一次函数的实际应用（每年1~2道，3~12分） 四、反比例函数的图象与性质（每年1~2道，3~15分） 五、反比例函数的实际应用（每年1~2道，3~6分） 六、反比例函数与一次函数综合（每年1~2道，12~16分） 一次函数与反比例函数在四川中考中是必考题型，每年必有一道解答题，难度中等偏上，分值较大，一次函数与反比例函数在选择题与填空题常考查函数图像性质、比较大小、参数取值范围等基础知识点。例如：根据一次函数图像经过的象限判断系数符号反比例函数中利用几何图形(如三角形面积)求比例系数。解答题(压轴题型 )通常为一次函数与反比例函数的综合应用，结合几何图形(如菱形、矩形、平行四边形)进行深度考查。例如：求函数解析式及交点坐标后，结合几何图形面积或特殊点的存在性分析动态问题中求动点坐标或参数范围。 考向一：平面直角坐标系 【题型1 点所在的象限】 平面直角坐标系内点的特点：第一象限（+，+）；第二象限（—，+）；第三象限（—，—）；第四象限（+，—）。 坐标轴上点的特点：x轴上纵坐标为0，即（x，0）；y轴上横坐标为0，即（0，y）； 象限角平方线上点的特点：第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数； 点到坐标轴上的距离：点到x轴上的距离等于|y|；点到y轴上的距离等于|x|； 平面直角坐标系中点所在的象限是四川中考常考题型，此题型较为简单，熟记平面直角坐标系中各个知识点是得分的关键。 1．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·四川宜宾·一模）若点与关于原点对称，则点所在的象限是（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·四川泸州·一模）平面直角坐标系中，点在第二象限，的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川广安·二模）若点在第一象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2023·四川巴中·中考真题）已知为正整数，点在第一象限中，则 ． 6．（2023·四川眉山·三模）平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点M关于轴对称的点N在第 象限． 【题型2 坐标与图形】 在中考数学试卷中，坐标常与特殊图形（如平行四边形、正方形、矩形、等腰三角形等）结合考查，熟练掌握这些图形的性质是得分的关键。高频考点以及方法如下： ①平行四边形：对角线中点坐标相同，或利用平移性质找对应点； ②等腰三角形/直角三角形：通过坐标差判断边长关系，或结合勾股定理； ③折叠问题：注意折叠前后的两个图形是全等的（对应边相等、对应角相等） ④辅助线：合理的作辅助线构造全等三角形或相似三角形，在利用全等三角形或相似三角形的性质与判定求解。 1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·四川南充·三模）如图中，已知，，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·一模）如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把△ABC沿着对折得到△AB'C，交轴于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为 ．    5．（2023·四川南充·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，的坐标为，将△ABC沿直线翻折，使点落在点处，交轴于点，则点的纵坐标为 ． 6．（2023·四川凉山·中考真题）如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是 ．    【题型3 点坐标规律探索】 平面直角坐标系中的找规律问题是数学考试中的常见题型，通常需要结合坐标变换、周期性或递推关系分析。以下是解决此类问题的核心技巧： ①沿坐标轴运动的点 技巧：观察点的移动方向(上、下、左、右)和步长变化，分离横纵坐标分别找规律。如质点从原点出发按”上一右→下一右”循环移动，每4次动作为一个周期，第2020次跳跃时，需计算周期余数，确定最终坐标。 ②绕原点呈“回”字形运动的点 技巧：寻找循环周期或对称性，通过递推公式计算坐标。如点A1(1,0)绕原点顺时针旋转30°生成A2、A3等，每6次旋转回到初始方向，通过周期分解确定A2023的坐标。 ③图形翻转或旋转后的坐标变化 技巧：分解图形变换步骤，记录每次翻转后的顶点坐标变化。正方形沿x轴连续翻滚，每4次翻滚恢复原方向，通过周期计算第2023次翻滚后的坐标 。 1．（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB，点A的坐标为，每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ． 3．（2024·四川内江·二模）如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为 ． 4．（2024·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是 ．    5．（2024·四川广安·一模）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点的坐标为，每一次将△AOB绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为 ． 考向二：一次函数的图象与性质 【题型4 一次函数的图象】 一般的形如(k≠0，k、b为常数)，特殊地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。 一次函数的图象是一条直线。 1．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·四川成都·三模）如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广元·二模）若，则一次函数 的图象可能是 （    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川成都·三模）若一次函数中的值随值的增大而增大，则该函数图象不经过第 象限． 5．（2023·四川南充·中考真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．    【题型5 一次函数中平移】 1、平移规律： 左右平移：左加右减(针对x的系数k)，例如y=kx+b向左平移n个单位→y=k(x+n)+b； 上下平移：上加下减(针对常数项b)，例如y=kx+b向上平移m个单位→y=kx+b+m； 2、易错点与解题技巧 ①符号混淆：左右平移时，需注意“左加右减”是对x本身的调整，而非直接加减到解析式后。例：右移n单位应为y=k(x-n)+b，而非y=kx-n+b。 ②图像分析：通过图像平移前后的关键点(如与y轴交点)判断平移方向和单位数。例：原直线过点(0,2)，平移后过点(0,5)→向上平移3个单位。 1．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川德阳·二模）一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点A、B，若点A、B关于原点对称，则m的值是（    ） A． B． C．0 D．3 3．（2024·四川广安·二模）将直线向上平移3个单位长度，所得直线经过点，则的值为（    ） A． B． C．7 D．13 4．（2024·四川泸州·二模）将函数的图像沿y轴向上平移1个单位长度后，所得图像与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点A，将直线沿轴向上平移个单位长度，交x轴于点C，若，则的值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【题型6 一次函数的性质】 一次函数的性质是四川中考常考题型，常以选择填空题的形式出现，难度较易。要得到此题型的分需要掌握以下基础知识点。 ①图像与k、b的关系 k的影响：决定函数增减性。当k>0时，y随x增大而增大，图像呈上升趋势，经过一、三象限；k<0时，y随x增大而减小，图像呈下降趋势，经过二、四象限。 b的影响：决定与y轴交点位置。b>0时交于正半轴，b=0时经过原点，为正比例函数，b<0时交于负半轴； ②两直线的位置关系：两条直线分别为， 若，则 若，则 ③一次函数与坐标轴围成的三角形的面积： 1．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 2．（2023·四川巴中·中考真题）一次函数的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·二模）若点，都在函数的图象上，则 （填“”或“”）． 4．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ． 5．（2024·四川成都·一模）如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 6．（2024·四川南充·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解都为非负数，若，则W的最大值为 ． 【题型7 两条直线的交点与二元一次方程组的解】 两条直线的交点与二元一次方程组解的关系 ①二元一次方程对应一次函数：每个二元一次方程 ax + by =c都可以转化为一次函数的形式 y=kx +b。例如：方程2x -y=7可转化为y= 2x-7，对应一条直线。方程的解集是直线上所有点的坐标，因此每个解(x，y)都满足函数关系； ②方程组的解与函数图象的交点：二元一次方程组由两个方程组成，分别对应两条直线，方程组的解即为两条直线的交点坐标。例如：的解，就是直线y=2x-7和y=-3x+8的方程组交点。 总结：方程组的解是函数图象的交点，反之交点坐标也是方程组的解。 1．（2024·四川达州·三模）如图，直线与在第二象限交于点，直线分别交轴、轴于，两点．，则方程组的解为(     ) A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·二模）若函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·一模）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解为 ． 4．（2024·四川达州·一模）在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第 象限． 考向三：一次函数的实际应用 【题型8 方案选择问题】 一次函数的实际应用中方案选择问题是四川中考中常考题型，难度适中，典型题型技巧如下： ①购物优惠问题：重点区分“满赠”“折扣”“分段计价”规则，注意赠品对后续购买量的影响； ②运输调度问题：结合运费表格建立总费用函数，注意不同出发地、目的地的单价差异； ③资源分配问题：通过不等式组确定变量范围，结合一次函数增减性找最优分配比例； 易错点提醒：⒜忽略自变量的实际意义(如数量需为非负整数)；⒝未正确区分“费用“与“利润“的计算公式；⒞临界点计算错误导致区间划分偏差。 1．（2024·四川资阳·一模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共100个，总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 2．（2023·四川绵阳·三模）2011年以来，绵阳已蝉联4届“全国文明城市”，这一荣誉已经成为绵阳最靓丽的一张“城市名片”．今年，我市继续积极开展创建全国文明城市八大攻坚行动，某街道积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求垃圾箱和温馨提示牌的单价各是多少元？ (2)如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共个． ①求购买温馨提示牌和垃投箱所需费用w（元）与温馨提示牌的个数m的函数关系式； ②若该街道计划购买温馨提示牌与垃圾箱的总费用不超过万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的倍，问：该街道所购买的温馨提示牌多少个时，所需费用最省？最省费用是多少． 3．（2024·四川成都·二模）某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 【题型9 最大利润问题】 一次函数实际应用中最大利润问题解题思路： ①明确变量关系：设利润为y，自变量通常为销量(如x件)、进货量(如a个)或定价，根据题目条件建立y与自变量的函数关系式； 利润公式：利润=(售价-进价)×销量-固定成本(若有) 总成本公式：总成本=进价×数量+其他费用(如运费、手续费等) ②建立一次函数模型：根据题目条件，通过列方程或不等式确定系数； ③确定自变量的取值范围：关注题目中“不超过”“至少”等限制条件，如：销售量受库存或资金限制； ④求最值并验证合理性：一次函数的增减性：若系数为正，函数随自变量增大而增大，最大值在自变量取最大的时候；反之则取最小的时候。 1．（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 2．（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知，文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 3．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． (1)求，两种花卉的单价． (2)该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 4．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如下表： 价格 A B 进价（元/件） 94 146 售价（元/件） 120 188 (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？ 5．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 考向四：反比例函数的图象与性质 【题型10 反比例函数的增减性】 一般地，如果两个变量、之间的关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数。 反比例函数的其他表现形式：，，其中 反比例函数的图像是双曲线，有两个分支，分别位于第一、三象限和第二、四象限。双曲线与x轴和y轴没有交点，但无限接近坐标轴。 反比例函数的增减性： ①单调性：当k＞0时，反比例函数在一、三象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，反比例函数在二、四象限内，y随x的增大而增大。 ②对称性：反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。其对称轴是直线y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。 1．（2024·四川成都·一模）已知点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象分布在第一、二象限 B．在各自的象限内，随的增大而增大 C．函数图象关于轴对称 D．函数图象与直线有两个交点 3．（2023·四川成都·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 4．（2023·四川甘孜·中考真题）若反比例函数图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 ． 5．（2024·四川眉山·模拟预测）函数中，当时，，如果的取值范围为，则的取值范围是 ． 6．（2024·四川成都·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，则 （填“>”、“<”或“=”）． 【题型11 反比例函数k的几何意义】 反比例函数k的几何意义中常见的题型以及注意事项： ①面积与k的关系 矩形面积：若反比例函数图像上任一点向x轴、y轴作垂线，形成的矩形面积为|k|； 三角形面积：若过双曲线上一点作x轴或y轴的垂线并连接原点，形成的三角形面积为； 复杂图形面积：对称点、中点或特殊几何图形(如平行四边形、菱形)的面积可通过分为基本图形求解。 ②易错点与注意事项 ⒜忽略k的符号：面积计算需用绝对值，但k的符号需结合图像象限确定； ⒝混淆不同图形的面积关系：如将三角形面积误认为k而非； ⒞数形结合是关键：复杂题目可画图辅助分析，明确几何图形的构成。 1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·四川达州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、于E，F两点，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于（    ） A．24 B．18 C．16 D．12 3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为 ．    4．（2024·四川南充·三模）如图，点A在双曲线上，过点A作轴于点D，与双曲线交于点B，点C是的中点，若△ABC的面积为3，则的值为 ． 5．（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ． 考向五：反比例函数的实际应用 【题型12 跨学科实际应用】 反比例函数的实际应用中主要考查的跨科学类的题型，常出现在中考试卷中，主要以选择填空的形式出现，难度较易，做此类题型的解题思路： ①识别变量关系：明确实际问题中两个变量是否满足反比例关系(积为定值)，例如:面积固定时，长与宽的关系，物理公式中的电阻与温度、压强与体积的关系； ②设定解析式形式：若问题中变量满足或必xy =k，需用待定系数法求k。 注意：⒜通过图像交点、拐点判断实际意义(如抗体浓度达标时间范围、电阻最小值对应的温度)；⒝分段讨论：如药物代谢问题中，不同时间段的函数类型可能变化(一次函数与反比例函数结合)。 1．（2024·四川南充·二模）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数便可换算为人的质量．已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量的关系满足函数关系式：．则下列说法不正确的是（    ）（温馨提示：，其中为电源电压）    A．当时，随的增大而减小 B．电源电压， C．当时，踏板上人的质量为 D．当踏板上人的质量为时， 2．（2024·四川南充·三模）某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少 ． 3．（2024·四川南充·一模）研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，李阳佩戴的度近视镜片的焦距为米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，验光测得现在镜片焦距为米，则李阳的近视眼镜度数可以调整为 度． 4．（2023·四川南充·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 A． 5．（2023·四川成都·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知在某一平衡状态下阻力和阻力臂分别是和，若动力（单位：N），则动力臂与（单位：m）之间的关系为 （填“”“”或“”） 6．（2023·四川达州·二模）【知识迁移】 我们知道，函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到．类似地，函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为． 【理解应用】 函数的图像可以由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______． 【灵活运用】 如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图像画出函数的图像，并根据所画图像直接写出，当x在什么范围内变化时，？    【实际应用】 某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究．假设刚学完新知识时的记忆存留量为1．新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为；若在时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x变化的函数关系为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？ 考向六：反比例函数与一次函数综合 【题型13 反比例函数与几何综合】 反比例函数与几何综合在选择填空题中，经常结合三角形（等腰三角形、直角三角形）、特殊四边形（平行四边、菱形、矩形等）、锐角三角函数综合考查，其次掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定是解题的关键。此题型综合性较强，难度中等偏上。 ①巧用设点法与参数法：设反比例函数图像上的点为(a，)或(ak，)，用参数表示坐标，结合几何条件建立方程求未知量； ②利用k的几何意义：反比例函数图像上任意点向坐标轴作垂线，所围矩形面积为|k|，三角形面积。 注意：计算面积时需加绝对值符号，避免因k的符号导致错误。 ③几何模型与对称性结合：常见模型有平行四边形、矩形、三角形等。利用中点坐标公式(如平行四边形对角线中点重合)、对称性(反比例函数图像关于原点对称)简化计算。 ④代数与几何联立分析：联立反比例函数与直线方程求交点，结合几何条件(如垂直、平行)列方程。 1．（2024·四川巴中·一模）如图，点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的值是（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·四川宜宾·三模）如图，点在双曲线上．点D在双曲线上．点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．则点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·四川巴中·一模）如图，已知点在双曲线上，动点P在y轴正半轴上，将点A绕点P顺时针旋转，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型14 反比例函数与一次函数面积问题】 反比例函数与一次函数综合是四川中考必考题型，常年以解答题的形式出现在数学试卷中，难度中等偏上，其中求图形的面积常见的方法： ①直接公式法：若三角形顶点在坐标轴上，直接用底×高÷2计算； ②割补法：将不规则图形分割为规则图形(如矩形、梯形)或通过整体减部分的方式简化计算； ③等积变换：利用反比例函数中|k|的几何意义(如坐标矩形面积为|k|，坐标三角形面积为|k|)快速求解. 1．（2023·四川巴中·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为M，，，点A的纵坐标为4    (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求四边形的面积． (3)直接写出关于x的不等式的解集． 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．    (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求△AOB的面积． 3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求△AOB的面积． 4．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 5．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标． 6．（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．     (1)求m的值和一次函数的表达式； (2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标． 【题型15 反比例函数与一次函数最值问题】 反比例函数与一次函数最值问题经常出现在四川中考数学试卷中解答题部分，难度中等偏上，解此类题型的技巧常见如下： ①基础模型构建 联立方程求交点：通过联立一次函数与反比例函数解析式，得到交点坐标，为后续最值分析提供关键点 利用函数对称性：反比例函数图像关于原点对称，一次函数平移时注意对称点对最值的影响； ②几何模型应用 线段和最值：采用“将军饮马“模型，通过对称点构造最短路径； 面积最值：若三角形一边与坐标轴平行，直接用坐标差求底和高复杂图形用“水平宽x铅垂高“公式计算面积； 动态问题：设动点坐标(如参数t表示)，结合函数关系式转化为二次函数求极值； 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【题型16 反比例函数与一次函数存在性问题】 反比例函数与一次函数存在性问题是中考常考题型，此题型常通常结合等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、平行四边形以及相似考查，综合性非常强，属于压轴类题，常见存在性问题类型； ①交点存在性问题 判断条件：联立反比例函数与一次函数y = ax +b，消元后得到方程ax²+ bx -k = 0，通过判别式判断实数解的存在性； 应用场景：若题目中要求“是否存在交点“或“交点坐标为某值”，需结合方程根的情况分析。 ②几何图形存在性问题 典型问题：如是否构成直角三角形、平行四边形、矩形或特定面积三角形 解题关键：利用坐标表示几何特征(如中点公式、斜率垂直性、勾股定理等)，分类讨论所有可能性。例 等腰三角形：需分情况讨论哪两边相等，通过距离公式列方程求解； 平行四边形：利用对角线互相平分的性质，设未知点坐标后联立方程。 ③参数存在性问题 方法：通过函数解析式的系数关系(如斜率相等、截距对称)直接推导。 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，直线经过两点，与双曲线交于点． (1)求直线和双曲线的解析式． (2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 4．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．    (1)求反比例函数的表达式： (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （建议用时：30分钟） 1．（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川巴中·一模）下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川巴中·二模）在平面直角坐标系中，已知，，若把直线向上平移k个单位长度后与线段有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川泸州·二模）李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回．两岸青山相对出，孤帆一片日边来．”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则y与x的函数关系式可以是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·四川泸州·二模）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 7．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 8．（2024·四川成都·二模）反比例函数的图象经过两点，则m、n的大小关系为 .（用“”连接） 9．（2024·四川南充·三模）如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为 ． 10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征． 11．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 12．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 13．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2． (1)求，的值； (2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点04 一次函数与反比例函数 中考数学中一次函数与反比例函数部分主要考向分为六类： 一、平面直角坐标系（每年1~2道，3~6分） 二、一次函数的图象与性质（每年1~2道，3~12分） 三、一次函数的实际应用（每年1~2道，3~12分） 四、反比例函数的图象与性质（每年1~2道，3~15分） 五、反比例函数的实际应用（每年1~2道，3~6分） 六、反比例函数与一次函数综合（每年1~2道，12~16分） 一次函数与反比例函数在四川中考中是必考题型，每年必有一道解答题，难度中等偏上，分值较大，一次函数与反比例函数在选择题与填空题常考查函数图像性质、比较大小、参数取值范围等基础知识点。例如：根据一次函数图像经过的象限判断系数符号反比例函数中利用几何图形(如三角形面积)求比例系数。解答题(压轴题型 )通常为一次函数与反比例函数的综合应用，结合几何图形(如菱形、矩形、平行四边形)进行深度考查。例如：求函数解析式及交点坐标后，结合几何图形面积或特殊点的存在性分析动态问题中求动点坐标或参数范围。 考向一：平面直角坐标系 【题型1 点所在的象限】 平面直角坐标系内点的特点：第一象限（+，+）；第二象限（—，+）；第三象限（—，—）；第四象限（+，—）。 坐标轴上点的特点：x轴上纵坐标为0，即（x，0）；y轴上横坐标为0，即（0，y）； 象限角平方线上点的特点：第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数； 点到坐标轴上的距离：点到x轴上的距离等于|y|；点到y轴上的距离等于|x|； 平面直角坐标系中点所在的象限是四川中考常考题型，此题型较为简单，熟记平面直角坐标系中各个知识点是得分的关键。 1．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 2．（2024·四川宜宾·一模）若点与关于原点对称，则点所在的象限是（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴ ∴点在第四象限， 故选：D． 3．（2024·四川泸州·一模）平面直角坐标系中，点在第二象限，的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，解得：， 在数轴上表示为： ， 故选：． 4．（2024·四川广安·二模）若点在第一象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：在第一象限， ，，， 在第三象限． 故选：C． 5．（2023·四川巴中·中考真题）已知为正整数，点在第一象限中，则 ． 【答案】 【详解】∵点在第一象限中， ∴，∴， ∵为正整数，∴，∴，∴． 故答案为： 6．（2023·四川眉山·三模）平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点M关于轴对称的点N在第 象限． 【答案】一 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故点N在第一象限， 故答案为：一． 【题型2 坐标与图形】 在中考数学试卷中，坐标常与特殊图形（如平行四边形、正方形、矩形、等腰三角形等）结合考查，熟练掌握这些图形的性质是得分的关键。高频考点以及方法如下： ①平行四边形：对角线中点坐标相同，或利用平移性质找对应点； ②等腰三角形/直角三角形：通过坐标差判断边长关系，或结合勾股定理； ③折叠问题：注意折叠前后的两个图形是全等的（对应边相等、对应角相等） ④辅助线：合理的作辅助线构造全等三角形或相似三角形，在利用全等三角形或相似三角形的性质与判定求解。 1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合， ∴ ∴, 故选：C． 2．（2024·四川南充·三模）如图中，已知，，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 轴，， 四边形是平行四边形，， ，， 轴， ，， ， 故选：D． 3．（2024·四川宜宾·一模）如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把△ABC沿着对折得到△AB'C，交轴于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故选：B． 4．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【详解】解：点的坐标是， ， 四边形为菱形， ，， 则点的坐标为． 故答案为：． 5．（2023·四川南充·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，的坐标为，将△ABC沿直线翻折，使点落在点处，交轴于点，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过点作轴，垂足为，则轴， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点纵坐标为：． 6．（2023·四川凉山·中考真题）如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ， 故答案为：． 【题型3 点坐标规律探索】 平面直角坐标系中的找规律问题是数学考试中的常见题型，通常需要结合坐标变换、周期性或递推关系分析。以下是解决此类问题的核心技巧： ①沿坐标轴运动的点 技巧：观察点的移动方向(上、下、左、右)和步长变化，分离横纵坐标分别找规律。如质点从原点出发按”上一右→下一右”循环移动，每4次动作为一个周期，第2020次跳跃时，需计算周期余数，确定最终坐标。 ②绕原点呈“回”字形运动的点 技巧：寻找循环周期或对称性，通过递推公式计算坐标。如点A1(1,0)绕原点顺时针旋转30°生成A2、A3等，每6次旋转回到初始方向，通过周期分解确定A2023的坐标。 ③图形翻转或旋转后的坐标变化 技巧：分解图形变换步骤，记录每次翻转后的顶点坐标变化。正方形沿x轴连续翻滚，每4次翻滚恢复原方向，通过周期计算第2023次翻滚后的坐标 。 1．（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB，点A的坐标为，每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ∴ ∵每次旋转 ∴每6次旋转 因为 余, ∴点在射线上， 因为每次旋转时，三角形的边扩大为原来的倍, 所以第次旋转所得三角形的边长为， 过点作轴于点H， ∴， ， 故点的坐标为 故选:D. 2．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，， 是等腰直角三角形，， ， 是等腰直角三角形， 同理可得：均为等腰直角三角形， ， 根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形， 依次可得： 由此可推出：点的坐标为． 故答案为：． 3．（2024·四川内江·二模）如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，…，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，顶点均在轴上， 过点作轴于点B，连接， ∵点O是所有等边三角形的中心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的坐标为， 同理可得，， 则第二个三角形的顶点的坐标为， 则第三个三角形的顶点的坐标为， ∵， ∴是第个等边三角形的第1个顶点，位于第三象限， ∴点的坐标是， 由与关于轴对称， ∴点的坐标是 故答案为： 4．（2024·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：根据等边三角形的性质可得出以及坐标可得： 观察发现规律：为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为， ∵为偶数， ∴的横坐标为3，纵坐标为， ∴的坐标是． 故答案为：． 5．（2024·四川广安·一模）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点的坐标为，每一次将△AOB绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵点坐标为， ∴， ∴第一次旋转后，点在第一象限，， 第二次旋转后，点在第二象限，， 第三次旋转后，点在轴负半轴，， 第四次旋转后，点在第三象限，， 第五次旋转后，点在第四象限，， 第六次旋转后，点在轴正半轴，， 如此循环，每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上， ∵， ∴循环了次，点在轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 故答案为：． 考向二：一次函数的图象与性质 【题型4 一次函数的图象】 一般的形如(k≠0，k、b为常数)，特殊地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。 一次函数的图象是一条直线。 1．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， ∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限； 故选C． 2．（2024·四川成都·三模）如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：函数的图象经过第二，三，四象限， ． 故选：B． 3．（2024·四川广元·二模）若，则一次函数 的图象可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 4．（2023·四川成都·三模）若一次函数中的值随值的增大而增大，则该函数图象不经过第 象限． 【答案】四 【详解】解：∵一次函数，的值随值的增大而增大， ∴， ∴该函数图象经过第一、二、三象限， 则该函数图象不经过第四象限． 故答案为：四． 5．（2023·四川南充·中考真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．    【答案】1 【详解】解：， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【题型5 一次函数中平移】 1、平移规律： 左右平移：左加右减(针对x的系数k)，例如y=kx+b向左平移n个单位→y=k(x+n)+b； 上下平移：上加下减(针对常数项b)，例如y=kx+b向上平移m个单位→y=kx+b+m； 2、易错点与解题技巧 ①符号混淆：左右平移时，需注意“左加右减”是对x本身的调整，而非直接加减到解析式后。例：右移n单位应为y=k(x-n)+b，而非y=kx-n+b。 ②图像分析：通过图像平移前后的关键点(如与y轴交点)判断平移方向和单位数。例：原直线过点(0,2)，平移后过点(0,5)→向上平移3个单位。 1．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点是函数图象上的点， ∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、 ∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为， ∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为． 故选A． 2．（2024·四川德阳·二模）一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点A、B，若点A、B关于原点对称，则m的值是（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位长度后的直线解析式为， ∵与反比例函数的图象交于点A、B，且点A、B关于原点对称， ∴直线是正比例函数，即， ∴， 故选：B． 3．（2024·四川广安·二模）将直线向上平移3个单位长度，所得直线经过点，则的值为（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【详解】解：将直线向上平移3个单位，得到直线， 把点代入，得． 故选：A． 4．（2024·四川泸州·二模）将函数的图像沿y轴向上平移1个单位长度后，所得图像与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数的图像沿y轴向上平移1个单位长度， ∴平移后的函数解析式为， 令，解得， 所以所得图像与x轴的交点坐标为． 故选C． 5．（2024·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点A，将直线沿轴向上平移个单位长度，交x轴于点C，若，则的值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【详解】解：分别过点A，B作轴于点D，轴于点E，则, ∵直线与反比例函数的图象交于点A， ∴， 解得，，或（舍去）， ∴， ∴， 由平移知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B的纵坐标为4， 把代入， 得，， 解得，， ∴， ∵将直线沿轴向上平移b个单位长度得到直线， ∴把B的坐标代入得，， 解得，， 故选：D． 【题型6 一次函数的性质】 一次函数的性质是四川中考常考题型，常以选择填空题的形式出现，难度较易。要得到此题型的分需要掌握以下基础知识点。 ①图像与k、b的关系 k的影响：决定函数增减性。当k>0时，y随x增大而增大，图像呈上升趋势，经过一、三象限；k<0时，y随x增大而减小，图像呈下降趋势，经过二、四象限。 b的影响：决定与y轴交点位置。b>0时交于正半轴，b=0时经过原点，为正比例函数，b<0时交于负半轴； ②两直线的位置关系：两条直线分别为， 若，则 若，则 ③一次函数与坐标轴围成的三角形的面积： 1．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 2．（2023·四川巴中·中考真题）一次函数的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是一次函数且函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2024·四川成都·二模）若点，都在函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：函数中，， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 4．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵的值随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴的值可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（2024·四川成都·一模）如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 【答案】 【详解】解：直线不经过第三象限， ， 随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 6．（2024·四川南充·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解都为非负数，若，则W的最大值为 ． 【答案】1 【详解】解：， 解得：， ∵二元一次方程组的解都为非负数， ∴， 解得：． ∵，W随a的增大而增大， ∴当时，， 故答案为：1 【题型7 两条直线的交点与二元一次方程组的解】 两条直线的交点与二元一次方程组解的关系 ①二元一次方程对应一次函数：每个二元一次方程 ax + by =c都可以转化为一次函数的形式 y=kx +b。例如：方程2x -y=7可转化为y= 2x-7，对应一条直线。方程的解集是直线上所有点的坐标，因此每个解(x，y)都满足函数关系； ②方程组的解与函数图象的交点：二元一次方程组由两个方程组成，分别对应两条直线，方程组的解即为两条直线的交点坐标。例如：的解，就是直线y=2x-7和y=-3x+8的方程组交点。 总结：方程组的解是函数图象的交点，反之交点坐标也是方程组的解。 1．（2024·四川达州·三模）如图，直线与在第二象限交于点，直线分别交轴、轴于，两点．，则方程组的解为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作轴于，如图， 当时，，则， ， ， ， ， ， 当时，， 解得， ， 方程组的解为． 故选：C． 2．（2024·四川成都·二模）若函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：函数与的图象交于点， ， 即， 二元一次方程组的解是． 故选：A． 3．（2024·四川成都·一模）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【详解】把点代入得， ∴点P的坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为： 4．（2024·四川达州·一模）在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第 象限． 【答案】二 【详解】解： ①②得，即， 把代入①得：， 方程组的解为， 坐点的标， 则点在平面直角坐标系中的位置是第二象限． 故答案为：二 考向三：一次函数的实际应用 【题型8 方案选择问题】 一次函数的实际应用中方案选择问题是四川中考中常考题型，难度适中，典型题型技巧如下： ①购物优惠问题：重点区分“满赠”“折扣”“分段计价”规则，注意赠品对后续购买量的影响； ②运输调度问题：结合运费表格建立总费用函数，注意不同出发地、目的地的单价差异； ③资源分配问题：通过不等式组确定变量范围，结合一次函数增减性找最优分配比例； 易错点提醒：⒜忽略自变量的实际意义(如数量需为非负整数)；⒝未正确区分“费用“与“利润“的计算公式；⒞临界点计算错误导致区间划分偏差。 1．（2024·四川资阳·一模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共100个，总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)篮球的单价是30元，实心球的单价是20元 (2)最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由见解析 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，实心球的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是30元，实心球的单价是20元； （2）解：最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由如下： 设该校购进个篮球，则购进个实心球， 根据题意得：， 解得：． 设该校购进篮球、实心球共花费元，则， 即， ， 随的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时（个， 最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球． 2．（2023·四川绵阳·三模）2011年以来，绵阳已蝉联4届“全国文明城市”，这一荣誉已经成为绵阳最靓丽的一张“城市名片”．今年，我市继续积极开展创建全国文明城市八大攻坚行动，某街道积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求垃圾箱和温馨提示牌的单价各是多少元？ (2)如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共个． ①求购买温馨提示牌和垃投箱所需费用w（元）与温馨提示牌的个数m的函数关系式； ②若该街道计划购买温馨提示牌与垃圾箱的总费用不超过万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的倍，问：该街道所购买的温馨提示牌多少个时，所需费用最省？最省费用是多少． 【答案】(1)温馨提示牌、垃圾箱的单价分别为元和元 (2)①，②购买温馨提示牌为个时，所需费用最省，最省费用是元 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价为a元，则垃圾箱的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 则， 答：温馨提示牌、垃圾箱的单价分别为元和元； （2）解：由题意可得，， 即所需费用元与温馨提示牌的个数m的函数关系式是：； 由题意得， ， 解得：， ，w随m的增大而减小， 当时，w取得最小值，此时元， 答：该街道所购买温馨提示牌为个时，所需费用最省，最省费用是元． 3．（2024·四川成都·二模）某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 【答案】(1)见解析；(2)选方式B计费，理由见解析；(3)见解析． 【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为、 当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元； 方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元； 当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为 总结如下表： 主叫时间/分钟 方式A计费() 方式B计费() 78 108 108 （2）解：当时， ，故选方式B计费． （3）解：令，有解得 ∴当时，方式A更省钱； 当时，方式A和B金额一样； 当时，方式B更省钱． 【题型9 最大利润问题】 一次函数实际应用中最大利润问题解题思路： ①明确变量关系：设利润为y，自变量通常为销量(如x件)、进货量(如a个)或定价，根据题目条件建立y与自变量的函数关系式； 利润公式：利润=(售价-进价)×销量-固定成本(若有) 总成本公式：总成本=进价×数量+其他费用(如运费、手续费等) ②建立一次函数模型：根据题目条件，通过列方程或不等式确定系数； ③确定自变量的取值范围：关注题目中“不超过”“至少”等限制条件，如：销售量受库存或资金限制； ④求最值并验证合理性：一次函数的增减性：若系数为正，函数随自变量增大而增大，最大值在自变量取最大的时候；反之则取最小的时候。 1．（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件； (2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 2．（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知，文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款文创产品每件的进价元，文创产品每件的进价是元； (2)购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴ 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； （2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为， 根据题意得，， 解得， 又由题意得，， ，随的增大而增大， 当时，利润最大， ∴购进款文创产品件，购进款文创产品件，获得的利润最大，， 答：购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 3．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． (1)求，两种花卉的单价． (2)该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株 (2)当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元 【详解】（1）解：设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株， 由题意得：， 解得：， 答：种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株． （2）解：设采购种花卉株，则种花卉株，总费用为元， 由题意得：， ， 解得：， 在中， ， 随的增大而减小， 当时的值最小， ， 此时． 答：当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元． 4．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如下表： 价格 A B 进价（元/件） 94 146 售价（元/件） 120 188 (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？ 【答案】(1)16元， 6元 (2)25件， 3590元 【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价元，每个肉粽的进价元． 根据题意可得： ， 解得： ， 答：每枚糯米咸鹅蛋的进价16元，每个肉粽的进价6元． （2）解：设该超市应准备件A种组合，则B种组合数量是件，利润为W元， 根据题意得：， 解得：， 则利润， 可以看出利润是的一次函数，随着的增大而增大， ∴当最大时，最大， 即当时，， 答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润3590元． 5．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 (2)要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【详解】（1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； （2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得： 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 考向四：反比例函数的图象与性质 【题型10 反比例函数的增减性】 一般地，如果两个变量、之间的关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数。 反比例函数的其他表现形式：，，其中 反比例函数的图像是双曲线，有两个分支，分别位于第一、三象限和第二、四象限。双曲线与x轴和y轴没有交点，但无限接近坐标轴。 反比例函数的增减性： ①单调性：当k＞0时，反比例函数在一、三象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，反比例函数在二、四象限内，y随x的增大而增大。 ②对称性：反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。其对称轴是直线y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。 1．（2024·四川成都·一模）已知点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：C． 2．（2024·四川成都·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象分布在第一、二象限 B．在各自的象限内，随的增大而增大 C．函数图象关于轴对称 D．函数图象与直线有两个交点 【答案】D 【详解】解：A、反比例函数的图象分布在第一、三象限，故原说法错误，不符合题意； B、反比例函数的图象分布在第一、三象限，在各自的象限内，随的增大而减小，故原说法错误，不符合题意； C、反比例函数的图象关于原点成中心对称，故原说法错误，不符合题意； D、反比例函数的图象与直线有两个交点，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（2023·四川成都·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2023·四川甘孜·中考真题）若反比例函数图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图像过一、三象限， ∴． 故答案为：． 5．（2024·四川眉山·模拟预测）函数中，当时，，如果的取值范围为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：当时，， ， 函数解析式为，在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 解得． 故答案为：． 6．（2024·四川成都·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，则 （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， ∵点，都在反比例函数的图象上，， ∴， 故答案为：． 【题型11 反比例函数k的几何意义】 反比例函数k的几何意义中常见的题型以及注意事项： ①面积与k的关系 矩形面积：若反比例函数图像上任一点向x轴、y轴作垂线，形成的矩形面积为|k|； 三角形面积：若过双曲线上一点作x轴或y轴的垂线并连接原点，形成的三角形面积为； 复杂图形面积：对称点、中点或特殊几何图形(如平行四边形、菱形)的面积可通过分为基本图形求解。 ②易错点与注意事项 ⒜忽略k的符号：面积计算需用绝对值，但k的符号需结合图像象限确定； ⒝混淆不同图形的面积关系：如将三角形面积误认为k而非； ⒞数形结合是关键：复杂题目可画图辅助分析，明确几何图形的构成。 1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作轴于点，    设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，， ， ， ，， ∴，， ，解得， ， ， ， 的面积为3， ，即， 整理得：， 将点代入得：， 整理得：， 将代入得：，解得， 则， 故选：B． 2．（2024·四川达州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、于E，F两点，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于（    ） A．24 B．18 C．16 D．12 【答案】C 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的面积为． 故选：C． 3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为 ．    【答案】 【详解】解：连接，    设对称轴与x轴交于点G， ∵与关于对称轴， ∴，，， ∵点A为的中点， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2024·四川南充·三模）如图，点A在双曲线上，过点A作轴于点D，与双曲线交于点B，点C是的中点，若△ABC的面积为3，则的值为 ． 【答案】25 【详解】解：连接， ∵点C是的中点，△ABC的面积为3， ∴， ∵点A在双曲线上，过点A作轴于点D，与双曲线交于点B， ∴， ∵， 即：， ∴， ∴； 故答案为：25． 5．（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ． 【答案】3 【详解】连接， ∵轴 ∴ 故答案为：3 考向五：反比例函数的实际应用 【题型12 跨学科实际应用】 反比例函数的实际应用中主要考查的跨科学类的题型，常出现在中考试卷中，主要以选择填空的形式出现，难度较易，做此类题型的解题思路： ①识别变量关系：明确实际问题中两个变量是否满足反比例关系(积为定值)，例如:面积固定时，长与宽的关系，物理公式中的电阻与温度、压强与体积的关系； ②设定解析式形式：若问题中变量满足或必xy =k，需用待定系数法求k。 注意：⒜通过图像交点、拐点判断实际意义(如抗体浓度达标时间范围、电阻最小值对应的温度)；⒝分段讨论：如药物代谢问题中，不同时间段的函数类型可能变化(一次函数与反比例函数结合)。 1．（2024·四川南充·二模）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数便可换算为人的质量．已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量的关系满足函数关系式：．则下列说法不正确的是（    ）（温馨提示：，其中为电源电压）    A．当时，随的增大而减小 B．电源电压， C．当时，踏板上人的质量为 D．当踏板上人的质量为时， 【答案】C 【详解】解：A、由图2可知，当时，随的增大而减小，A选项不符合题意； B、根据，如图2的图像过，若电源电压为，则，解得：，故B选项不符合题意； C、当时，根据图2，对应的为，代入得，解得，C选项合题意； D、当踏板上人的质量为时，，则，解得：，D选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024·四川南充·三模）某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少 ． 【答案】/0.6 【详解】解：由题意，， 即蓄电池的电压是， 与的函数关系式为， 当时，（A）， （A）， 电流减少， 故答案为：0.6． 3．（2024·四川南充·一模）研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，李阳佩戴的度近视镜片的焦距为米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，验光测得现在镜片焦距为米，则李阳的近视眼镜度数可以调整为 度． 【答案】 【详解】解：设函数为，将度近视镜片的焦距为米代入得，、 ，解得：， ∴， 将代入求解可得， ， 故答案为：； 4．（2023·四川南充·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 A． 【答案】 【详解】解：设反比例函数式． 把代入反比例函数式， ． ， 当时，． 故答案为：． 5．（2023·四川成都·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知在某一平衡状态下阻力和阻力臂分别是和，若动力（单位：N），则动力臂与（单位：m）之间的关系为 （填“”“”或“”） 【答案】 【详解】 解：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和， 动力（单位：关于动力臂（单位：的函数解析式为：， 则， 动力（单位：关于动力臂（单位：是成反比例， 动力臂随动力的增大而减小， 动力（单位：， 动力臂， 故答案为：． 6．（2023·四川达州·二模）【知识迁移】 我们知道，函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到．类似地，函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为． 【理解应用】 函数的图像可以由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______． 【灵活运用】 如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图像画出函数的图像，并根据所画图像直接写出，当x在什么范围内变化时，？    【实际应用】 某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究．假设刚学完新知识时的记忆存留量为1．新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为；若在时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x变化的函数关系为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？ 【答案】理解应用：3，2，；灵活运用：；实际应用： 【详解】解：理解应用：函数的图像可以由函数的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，其对称中心坐标为， 故答案为：3，2，； 灵活运用：函数的图像可以由函数的图像向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为，画出函数图像，如图所示：    根据函数图像可知，当时，； 实际应用：解当时，， 解得时进行第一次复习，复习后的记忆留存量变为1， ∴点在函数的图象上，则， ∴， 当时，解得， ∴时，是他第二次复习的“最佳时机点”． 考向六：反比例函数与一次函数综合 【题型13 反比例函数与几何综合】 反比例函数与几何综合在选择填空题中，经常结合三角形（等腰三角形、直角三角形）、特殊四边形（平行四边、菱形、矩形等）、锐角三角函数综合考查，其次掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定是解题的关键。此题型综合性较强，难度中等偏上。 ①巧用设点法与参数法：设反比例函数图像上的点为(a，)或(ak，)，用参数表示坐标，结合几何条件建立方程求未知量； ②利用k的几何意义：反比例函数图像上任意点向坐标轴作垂线，所围矩形面积为|k|，三角形面积。 注意：计算面积时需加绝对值符号，避免因k的符号导致错误。 ③几何模型与对称性结合：常见模型有平行四边形、矩形、三角形等。利用中点坐标公式(如平行四边形对角线中点重合)、对称性(反比例函数图像关于原点对称)简化计算。 ④代数与几何联立分析：联立反比例函数与直线方程求交点，结合几何条件(如垂直、平行)列方程。 1．（2024·四川巴中·一模）如图，点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的值是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点A作轴，于点C，过点B作轴，于点D，    ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 设，则，根据勾股定理，得， ∴． 故选：D． 2．（2024·四川宜宾·三模）如图，点在双曲线上．点D在双曲线上．点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．则点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴． 如图，过点D作轴于M，过点B作轴于N，    ∵， ∴． 设， ∵D在双曲线上， ∴，即． ∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴． ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴，即． ∵， ∴， ∴， 即点A的坐标是． 3．（2024·四川巴中·一模）如图，已知点在双曲线上，动点P在y轴正半轴上，将点A绕点P顺时针旋转，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】 解：分别过 两点作轴，轴，垂足为C、D， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵将点A绕点P顺时针旋转，点A的对应点为B， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，设， ∴，， ∵在反比例函数上， ∴，解得：， ∴或 故选D． 4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 【题型14 反比例函数与一次函数面积问题】 反比例函数与一次函数综合是四川中考必考题型，常年以解答题的形式出现在数学试卷中，难度中等偏上，其中求图形的面积常见的方法： ①直接公式法：若三角形顶点在坐标轴上，直接用底×高÷2计算； ②割补法：将不规则图形分割为规则图形(如矩形、梯形)或通过整体减部分的方式简化计算； ③等积变换：利用反比例函数中|k|的几何意义(如坐标矩形面积为|k|，坐标三角形面积为|k|)快速求解. 1．（2023·四川巴中·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为M，，，点A的纵坐标为4    (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求四边形的面积． (3)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为； (2)4 (3)或 【详解】（1）解：∵轴，，， ∴，解得：， ∵点B在第三象限，M在x轴负半轴， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A、B两点， ∴， ∴反比例函数解析式为； ∵点A的纵坐标为4， ∴，解得：， ∴， ∴把，代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵与y轴交于点C， ∴点C的坐标为， ∵点，点，点， ∴，， ∴四边形的面积是：． （3）解：不等式的解集， 即的解集， 即一次函数图像在反比例函数图像上方， 由（1）可得：，， ∴：不等式的解集为：或； 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．    (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求△AOB的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【详解】（1）由题知， ∴， ∴，， ∴， 把，代入得， ∴， ∴； （2）由图象可知自变量x的取值范围为或 （3）若与y轴相交于点C， 当时，， ∴，即：， ∴．    3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求△AOB的面积． 【答案】(1)(2)6 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴△AOB、△AOD同底等高， ． 4．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图，    对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积大于12， ∴，即， 当时，则, 解得：， 当时，则， 解得：； ∴或． 5．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图所示，过点B作轴于E，设与x轴交于F， ∵直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D， ∴， ∴， ∴； ∵轴，点B在反比例函数的图象上， ∵， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴． 6．（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．     (1)求m的值和一次函数的表达式； (2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， ，                           又点，都在一次函数的图象上， ， 解得，                             一次函数的解析式为． （2）解：对于，当时，， ∴， ， ∵，                                   过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．       ， ． ， 解得．                          点P的纵坐标为2或． 将代入得， 将代入得， ∴点或． 【题型15 反比例函数与一次函数最值问题】 反比例函数与一次函数最值问题经常出现在四川中考数学试卷中解答题部分，难度中等偏上，解此类题型的技巧常见如下： ①基础模型构建 联立方程求交点：通过联立一次函数与反比例函数解析式，得到交点坐标，为后续最值分析提供关键点 利用函数对称性：反比例函数图像关于原点对称，一次函数平移时注意对称点对最值的影响； ②几何模型应用 线段和最值：采用“将军饮马“模型，通过对称点构造最短路径； 面积最值：若三角形一边与坐标轴平行，直接用坐标差求底和高复杂图形用“水平宽x铅垂高“公式计算面积； 动态问题：设动点坐标(如参数t表示)，结合函数关系式转化为二次函数求极值； 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为(2)(3) 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为(3)或 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 4．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． ∴， ∴, ∴， ∴反比例函数为：； ∴， 解得：，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，, ∴， ∴，， 如图，当时，最短； ∴； 【题型16 反比例函数与一次函数存在性问题】 反比例函数与一次函数存在性问题是中考常考题型，此题型常通常结合等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、平行四边形以及相似考查，综合性非常强，属于压轴类题，常见存在性问题类型； ①交点存在性问题 判断条件：联立反比例函数与一次函数y = ax +b，消元后得到方程ax²+ bx -k = 0，通过判别式判断实数解的存在性； 应用场景：若题目中要求“是否存在交点“或“交点坐标为某值”，需结合方程根的情况分析。 ②几何图形存在性问题 典型问题：如是否构成直角三角形、平行四边形、矩形或特定面积三角形 解题关键：利用坐标表示几何特征(如中点公式、斜率垂直性、勾股定理等)，分类讨论所有可能性。例 等腰三角形：需分情况讨论哪两边相等，通过距离公式列方程求解； 平行四边形：利用对角线互相平分的性质，设未知点坐标后联立方程。 ③参数存在性问题 方法：通过函数解析式的系数关系(如斜率相等、截距对称)直接推导。 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，直线经过两点，与双曲线交于点． (1)求直线和双曲线的解析式． (2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)直线解析式为，双曲线解析式为 (2)点P坐标为或或或 【详解】（1）解：直线经过两点， ∴，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， 当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论： ①当，则：， ∴， ∴， ∴或； ②当，则：， ∴， ∴， ∴或； 综上：点P坐标为或或或． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则， ∴， 将代入中，得，则； （2）解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； （3）解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵，∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 由题意，不存在， 故满足条件的k值为． 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【详解】（1）解∶∵经过， ∴，解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， ∴不等式的解集为或； （3）解：设点C的坐标为，， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ③以、为对角线 则， 解得， ∴， ∴； 综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 4．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或 (2)点M的坐标为或或或 【详解】（1）解：由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 由函数图象可知，在直线和之间的部分及直线右侧的部分， 反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，即． 所以x的取值范围是：或． （2）将代入反比例函数解析式得， 所以点C的坐标为． 则． 如图：    当时， ， 所以点坐标为(或． 当时，点在的垂直平分线上， 又因为点C坐标为， 所以点坐标为． 当时，点M在OC的垂直平分线上， 过点作轴于点， 令，则，， 在N中， 即， 解得． 所以点M的坐标为． 综上所述：点M的坐标为或或或． 5．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．    (1)求反比例函数的表达式： (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴反比例函数的表达式； （2）解：联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为， ∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，或； （3）解：如图所示，设直线交y轴于点， ∵，， ∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为或．    （建议用时：30分钟） 1．（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上， 函数图象上的点都满足函数解析式， A.当时，，故本选项错误，不符合题意； B.当时，，故本选项错误，不符合题意； C.当时，，故本选项错误，不符合题意； D.当时，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·四川巴中·一模）下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、中，函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； B、中，开口向上，当时函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； C、中，在每个象限内函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； D、中，当时函数值随自变量的值增大而增大，符合题意． 故选：D． 3．（2024·四川巴中·二模）在平面直角坐标系中，已知，，若把直线向上平移k个单位长度后与线段有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线向上平移k个单位后得到， 若直线向上平移k个单位后与线段有交点，， 则， 解得， 故选：A． 4．（2024·四川泸州·二模）李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回．两岸青山相对出，孤帆一片日边来．”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则y与x的函数关系式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由函数图象的两条曲线位于第一和第二象限可知，因变量，故选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 5．（2024·四川泸州·二模）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 点为的中点，的坐标为，， 点坐标为， 将点代入，即， ， 函数解析式为， 函数的图象与直角边相交于点，而， 点横坐标为， ，即， ． 故选：B． 6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 【答案】9 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 7．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， △AOB绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 8．（2024·四川成都·二模）反比例函数的图象经过两点，则m、n的大小关系为 .（用“”连接） 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的， ∴图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵两点都在第二象限，且， ∴ 故答案为：． 9．（2024·四川南充·三模）如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为 ． 【答案】/0.6 【详解】解：连接、，由的几何意义， 点的纵坐标为，点的横坐标为， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征． 【答案】(1) (2)，直线上y随x的增大而增大 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 把，代入 ： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立得：， 解得：（舍去），， ∴， 11．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 【答案】(1)，， (2)点到线段的距离为 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离． 【详解】（1）点、在反比例函数图象上 ， 又一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； （2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段的距离为． 12．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 【答案】(1)；反比例函数的解析式为 (2)；不等式的解集为 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴； ∴， 把代入，得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的图象的交点为， 把代入得，， 解得，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； 由图象知，当时，在直线的下方， ∴不等式的解集为 13．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2． (1)求，的值； (2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 【答案】(1)，； (2)点D的坐标为或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵直线经过点， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点C的横坐标为2， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为， 令，则， ∴点， 设点，则点， ∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴，整理得或， 由得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴点； 由得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴点； 综上，点D的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$