第十八章 平行四边形（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第十八章 平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、几何与函数图像几何 【解惑】如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的横坐标a的值为（    ）    A． B． C． D．3 【融会贯通】 1．如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以1cm/s的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为 ． 3．如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，    （1） ； （2）点到的距离是 ； （3）的值为 ． 类型二、平行四边形的折叠或旋转 【解惑】如图，将沿对角线折叠，若，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 2．如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 3．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，点F是线段上一点，连接，点G是线段上一点，连接，交于点N． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，点H是线段的中点，连接，若，求证：； (3)如图3，若，，，，将绕着点A旋转，得到．连接．点O是线段的中点，连接．请直接写出线段长度的最小值． 类型三、菱形的折叠或旋转 【解惑】如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（    ） A． B． C．2 D．1 【融会贯通】 1．如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 2．如图，菱形中，P为中点，，折叠菱形，使点C落在所在的直线上，得到经过点D的折痕，则的大小为 ．    3．在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 类型四、矩形的折叠或旋转 【解惑】如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形．若边交线段于H，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点E处，已知， ， 则 ， ． 3．如图，四边形为矩形，，，分别为，边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边（或直角边所在直线）分别与矩形的边交于点，． (1)操作发现： 如图1，当三角板的一条直角边交于点，另一条直角边交于点时，求证：． (2)深入探究： 如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)拓展探究： 在（2）的条件下，若，，求的长度． 类型五、正方形的折叠或旋转 【解惑】如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【融会贯通】 1．如图，边长为的正方形中，交于点，正方形绕着点旋转，直线与直线交于点，当时， 的值是（　　） A． B． C． D． 2．在正方形中，E是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点C的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点F，的延长线交于点G，此时恰有，若，则 ．    3．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 类型六、坐标系中的菱形、矩形、正方形 【解惑】如图1，边长为的正方形纸片放在平面直角坐标系中的位置如图1所示，其中，对角线，相交于点，顶点在轴上从原点开始向右运动，同时顶点在轴上从点开始向下运动，当点运动到原点时，正方形纸片停止运动．    (1)当正方形纸片停止运动时，点A的坐标为______； (2)小星同学在进一步探索这个问题时，找到运动中的一种特殊情况如图2，当点A运动到时，四边形是正方形，所以点P的横、纵坐标相等．于是他猜想，在运动中的一般情况如图3，当时，点P的横、纵坐标仍然相等．你认同小星的猜想吗？如果认同，请证明这个猜想；如果不认同，请说明理由； (3)请直接写出正方形纸片从开始运动到停止的过程中，P点运动的路程一共是多少厘米． 【融会贯通】 1．如图所示，把矩形纸片放入直角坐标系中，使分别落在x、y轴的正半轴上，连接，且满足． (1)求的长； (2)将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折痕为的长； (3)若点N在平面直角坐标系内，在x轴上是否存在点M，使以为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知在平面直角坐标系中，，将沿直线折叠，点A落在点D处，交边于点E．    (1)求证：四边形为矩形； (2)求的长． (3)点F在y轴上，在坐标平面内找一点G，使得以O、E、F、G为顶点的四边形是以OE为边的菱形?请直接写出点G的坐标． 3．如图，以矩形的顶点为原点，以边，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，已知，．点在线段上，以每秒1个单位的速度从点向终点运动；点在线段上，以每秒3个单位的速度沿循环运动、连接．规定点，同时运动，且当点运动到终点时，点同时停止运动，设运动时间为．      (1)当点第一次从点向点运动时，___________．（用含有t的代数式表示） (2)当点第一次从点返回点时，四边形的面积是10，求出此时的值和点的坐标． (3)当四边形AOEF恰好是矩形时，求出此时t的值． 类型七、正方形中的半角模型 【解惑】如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图2，在中，，高，，求的长度． 【融会贯通】 1．问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 2．【问题提出】如图，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究线段、和线段的数量关系如下： 【尝试探究】小明同学研究思路如下： （1）观察猜想：； （2）分析问题：这是一个不共线的线段和问题，通常可以通过“截长”或“补短”的方法将其中两条不共线的线段转化为共线线段； （3）制定方案：通过“截长”发现此路不通，于是采取“补短”的方法解决问题； （4）实施方案：延长到点，使得，连接，从而解决问题． 请你帮助小明完成对猜想的证明； 【模型建立】如图，若将沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，上述猜想的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图，已知是边长为的等边三角形，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，请直接写出的周长． 3．问题背景： 如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，， (1)延长到点P使，连接，求证：； (2)迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点G、H，过点A作交于M，交于I，连接，若，，，求的长； (3)联系拓展：如图3，在矩形中，点E、F分别在边、上，，分别取，的中点M，T，连接并延长交于N，连接，若，直接写出与的数量关系． 类型八、(特殊)平行四边形的动点求t 【解惑】如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 2．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 3．如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 类型九、(特殊)平行四边形的无刻度尺作图 【解惑】如图，在四边形中，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）： (1)在图1中，作出的垂直平分线； (2)在图2中，作出的垂直平分线． 【融会贯通】 1．如图，在中，点在上，，平分交于点，请用无刻度的直尺画图保留作图痕迹，不写画法． (1)在图中，过点画出中边上的高； (2)在图中，过点画出到的垂线段． 2．如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分； (2)如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形． 3．阅读下列材料，完成相应的任务． 无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点，再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可． 如图1，已知平行四边形，点E、F分别在、上，且，连接，仅用无刻度直尺在上画点O，使点O为的中点． 方法：如图2，连接，与的交点即为点O．理由如下： 连续， 在平行四边形中， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形（依据）， ， 为的中点． 任务： (1)材料中的依据是指：_________． (2)图3为正方形网格，点A、B为格点，请仅用无刻度直尺画出线段的中点O（不写作法和依据，保留作图痕迹）． (3)如图4，已知菱形，点E为上一点，请仅用无刻度直尺在上画点G，使（不写作法和依据，保留作图痕迹）． 类型十、(特殊)平行四边形的新定义 【解惑】阅读与思考 下面是小敏同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 年月日 对于几何图形，通常是从它的定义与表示、分类与性质、判定与应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以三角形为例，其定义、分类、性质、判定都通过它的边、角、中线、角平分线、高线等的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如邻等对补四边形． 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 目前．我们所认识的四边形，如梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是____________； 性质探究：在研究四边形的时候，我们知道四边形的问题往往转化为三角形的问题来研究．如图，在四边形中，，，连接，发现． 证明：…． 结论：邻等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角， 任务： (1)上述材料中，序号“”处所对应的内容为：____________； (2)补全材料中命题的证明过程； (3)如图，四边形中，，，，请直接写出的值． 【融会贯通】 1．定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，如图1，当最大时，若，则点P就是的“幸运点”．    【探究1】如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点P是的“幸运点”，请画出点P的位置； 【探究2】如图3，矩形中，对角线交于点O，，，若P是矩形上的一点，且点P是的“幸运点”，求的长； 【探究3】如图4，为等边三角形，过点A作的垂线，点D在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接． ①判断点A是否是的“幸运点”，并说明理由； ②若，，求的长． 2．定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________ A．平行四边形       B．矩形      C．菱形；     D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________ 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结． （1）试说明．四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． （2）若，则_________； （3）若的最小值是2，则的长度为_________； 3．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． (1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上； (2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形； (3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度． 【一览众山小】 1．菱形和矩形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等 2．如图，已知菱形的对角线和交于点O，且，，则菱形的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 4．在正方形中，，则正方形的周长为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是 ． 6．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③的周长等于的长；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 7．如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 8．如图，矩形中，，点P，Q分别为上一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动；点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动．两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接，交点为点E，连接，交点为点F，设点P的运动时间为t秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形为矩形时，求t的值； (3)试判断四边形能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值：若不能，请说明理由． 9．折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． (1)在图3中，________，________． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 10．如图1，已知在中，，P是上的一点，于点N，于点M，于点G，则． (1)如图2，若点P在的延长线上，则，，三者是否还有上述关系，若有，请说明理由；若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想． (2)如图3，是正方形的对角线，，点P是上任一点，于点N，于点M，猜想，，有什么关系．（直接写出结论） (3)观察图1，2，3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有这样的线段，并满足图1或图2的结论，写出相关题设的条件和结论． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、几何与函数图像几何 【解惑】如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的横坐标a的值为（    ）    A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等，作点N关于的对称点，连接交于点P，连接，由菱形的性质可知，点N与点关于对称，根据两点之间线段最短可知，当M、P、三点共线时，的最小值为，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点N关于的对称点，连接交于点P，连接，    ∵四边形为菱形，，， ∴是等边三角形，，， ∵四边形为菱形， ∴点在上，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当M、P、三点共线时，的最小值为，此时点重合， 在中，， 即． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】当x=0时，即P在B点时，BA-BE=2，利用两点间线段最短，得到PA-PE≤AE，得y的最大值为AE=10，在RTABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC=2BE求出BC的长. 【详解】解：由函数图像可知：当x=0时，即P在B点时，BA-BE=2， 利用两点间线段最短，得到PA-PE≤AE， ∴y的最大值为AE， 所以AE=10， 在中，由勾股定理得：， 设BE的长度为t， 则AB=t+2， ∴， 化简得：， ∴ 解得t=或t=6， ∵t＞0， ∴AB=t+2=6+2=8 故选：C 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，根据勾股定理求出BE的长是解题关键 2．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以1cm/s的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为 ． 【答案】 【分析】通过分析图象，点F从点A到B用as，此时，△FDC的面积为2a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=5，应用勾股定理即可求出a的值． 【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E， 由图象可知，点F从点A到B用as，△FDC的面积为2acm2． ∴AB=a， ∴AB•DE=a•DE=2a， ∴DE=4， 当F从B到D时，用5s， ∴BD=5， Rt△DBE中，， ∵ABCD是菱形， ∴AE=a-3，AD=a， Rt△ADE中， ∴a2=42+（a-3）2， 解得a=． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系． 3．如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，    （1） ； （2）点到的距离是 ； （3）的值为 ． 【答案】 90°/90度 6 4 【分析】根据矩形性质可知，点P在上时面积不变，再根据图象和三角形的面积公式求得，，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴， 由图象知，当时，， ∵点为矩形中边的中点， ∴点P在上时面积不变，，， 由图象可知，经过a秒后，点P从点A运动到E，， 则， 解得， 又由图象知，当时，经过5秒后，点P从点E运动到点B，则， ∴， ∴， 故答案为：90°；6；4． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积，解答的关键是弄清不同时间段，图形和图象的对应关系． 类型二、平行四边形的折叠或旋转 【解惑】如图，将沿对角线折叠，若，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，，，进一步可得，根据三角形外角的性质可得的度数，进一步求出的度数． 【详解】解：在平行四边形中，， ， 折叠， ，，， ， ， ， ， ， 故选：A 【融会贯通】 1．如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接并延长，交延长线于，由，得，，又是中点，即可得，有，，即知，是的中位线，从而可得答案． 【详解】解：连接并延长，交延长线于，如图： ， ，， 是中点， ， ， ，， ， 是中点， 是的中位线， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中位线，梯形中位线，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2．如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，作于，过点作于．可得，可得点到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可，可得，最后根据求解即可． 【详解】如图，作于，过点作于． ，， ∴， ，， 到的距离和到的距离都是平行线、间的距离， 点到的距离是， 四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知，，，， ，，， ， 在和中， ， ∴； ， ，， ， ， 设，则， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得， 解得， ， ． ∴ 故答案为：． 3．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，点F是线段上一点，连接，点G是线段上一点，连接，交于点N． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，点H是线段的中点，连接，若，求证：； (3)如图3，若，，，，将绕着点A旋转，得到．连接．点O是线段的中点，连接．请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，根据题中条件可求，利用角平分线的性质和平行四边形的性质可求，即可求解； （2）延长，交的延长线于点M，可证，得到；由可得，由，可得，由平分与，可得，又，得到，根据“等角对等边”得到，从而证明，因此，进而，，由得到，再由中，，从而得证； （3）取的中点K，连接，，则，即的最小值为．由，得到是等边三角形，从而，，又，证得，因此，由得到，又，因此，，，．设，过点G作于点P，在中，解直角三角形得，，在中，解直角三角形得，又，即，解得．过点G作于点Q，在中，解直角三角形得，在中，解直角三角形得，因此，由旋转可得，由中位线定理得．过点C作于点H，在中，解直角三角形得，在中，解直角三角形得．因此的最小值为． 【详解】（1）解：作，如图所示，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长，交的延长线于点M，    ∵在中，， ∴，， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （3）解：取的中点K，连接，，则，即的最小值为，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设，过点G作于点P，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， 解得：， 即， 过点G作于点Q，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴由旋转可得， ∵点O是的中点，点K是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，，， 过点C作于点H，则和是直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ， ∵点K是的中点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，中位线，直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，三角形的三边关系等，本题难度较高，计算量大，正确作出辅助线，综合运用各个知识是解题的关键． 类型三、菱形的折叠或旋转 【解惑】如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键；由题意易得是等腰直角三角形，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选A． 【融会贯通】 1．如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据菱形的性质可知，，，结合旋转的性质可得，，，从而可得的长，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ，， ，， 绕着点C旋转得到， ，，， ， ． 故选：C． 2．如图，菱形中，P为中点，，折叠菱形，使点C落在所在的直线上，得到经过点D的折痕，则的大小为 ．    【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质与判定，以及内角和定理的综合运用．连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，连接，   四边形为菱形，， ∴，， 为等边三角形， 为的中点， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到， 在中，． 故答案为：． 3．在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，交于点，交于点，根据菱形的性质，证明三点共线，求出的长，用即可求出的长度； （2）过点作，过点作，过点作，得到四边形为平行四边形，证明，得到，进而求出，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点，先证明，推出四边形为平行四边形，再证明，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出的范围，进而求出的范围即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，交于点， ∵菱形，菱形， ∴，， ∵点分别在边上， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，， ∴， 同理：， ∴； 故答案为：； （2），证明如下： 过点作，过点作，过点作， 则：四边形为平行四边形， ∴，， ∵菱形，菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，，为等边三角形， ∴四边形为平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，即：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 类型四、矩形的折叠或旋转 【解惑】如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，求出，再由勾股定理结合折叠的性质可得，，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴，，， ∵的面积为24， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形．若边交线段于H，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，在中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程就可以求出的值． 【详解】解：设， ∵，四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 2．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点E处，已知， ， 则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算；先求解，，设，再利用勾股定理求解，再求解，从而可得答案． 【详解】解：由长方形的性质可知，， 由折叠的性质可知， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 3．如图，四边形为矩形，，，分别为，边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边（或直角边所在直线）分别与矩形的边交于点，． (1)操作发现： 如图1，当三角板的一条直角边交于点，另一条直角边交于点时，求证：． (2)深入探究： 如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)拓展探究： 在（2）的条件下，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积的计算，熟练掌握矩形的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由已知可得四边形和四边形都是正方形．再证明．由此可得，进而证明结论； （2）同理（1）可得，，再证明，利用全等三角形性质和直角三角形的内角互余即可证明结论； （3）根据（2）的结论，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵在矩形中， ，，分别为，边上的中点， ∴，， ∴四边形和四边形都是正方形． ∴，． ∵． ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：同（1）可得． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，． ∴ ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接， ∵， ∴，，， 当时， ． ∵， ∴， ∴． 类型五、正方形的折叠或旋转 【解惑】如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形与折叠问题．由正方形可得，由折叠的性质可得是线段的垂直平分线，推出，再由折叠的性质可得，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得是线段的垂直平分线， ∴， 再由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，边长为的正方形中，交于点，正方形绕着点旋转，直线与直线交于点，当时， 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于M，交于N，交于O，作于T交于R．证明，得到，再证明，得到，再证明，，则，由勾股定理得到，则，，证明四边形是矩形，得到，则，则． 【详解】解：如图，设交于M，交于N，交于O，作于T交于R． ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 2．在正方形中，E是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点C的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点F，的延长线交于点G，此时恰有，若，则 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由折叠的性质可，易证，所以，设，则，在和中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：4． 3．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）①②③④；（2），见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； 【详解】解：（1）∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴； ， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④ （2）解：连接， 连接，并延长交于点， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 类型六、坐标系中的菱形、矩形、正方形 【解惑】如图1，边长为的正方形纸片放在平面直角坐标系中的位置如图1所示，其中，对角线，相交于点，顶点在轴上从原点开始向右运动，同时顶点在轴上从点开始向下运动，当点运动到原点时，正方形纸片停止运动．    (1)当正方形纸片停止运动时，点A的坐标为______； (2)小星同学在进一步探索这个问题时，找到运动中的一种特殊情况如图2，当点A运动到时，四边形是正方形，所以点P的横、纵坐标相等．于是他猜想，在运动中的一般情况如图3，当时，点P的横、纵坐标仍然相等．你认同小星的猜想吗？如果认同，请证明这个猜想；如果不认同，请说明理由； (3)请直接写出正方形纸片从开始运动到停止的过程中，P点运动的路程一共是多少厘米． 【答案】(1) (2)认同，证明见解析 (3)点运动的路程一共是厘米 【分析】此题重点考查图形与坐标、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． （1）由正方形的边长为，，得，当正方形纸片停止运动时，则，所以，于是得到问题的答案； （2）作轴于点，轴于点，可证明，得，则点的横、纵坐标相等，所以小星的猜想正确； （3）由四边形是正方形，得，则，可知点在经过原点且与轴正半轴成角的直线上运动，由，求得，则的最大值为，当时，，所以的最大值是，当与轴重合时，作轴于点，求得；当与轴重合时，作轴于点，求得，即可求得点运动的路程一共是厘米． 【详解】（1）如图1，   正方形的边长为，， ， 如图4，    当正方形纸片停止运动时，点与原点重合，则与轴重合， ， ， 故答案为：． （2）认同， 证明：如图3，    作轴于点，轴于点，则， ，，且，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 点的横、纵坐标相等． （3）点运动的路程一共是厘米． 理由：四边形是矩形，且， 四边形是正方形， ， ， 点在经过原点且与轴正半轴成角的直线上运动， ， ， ， ， 的最大值为， ， 当时，， 的最大值是， 当与轴重合及与轴重时，的值最小， 当与轴重合时，如图1，作轴于点，则， ， 正方形纸片从图1的位置运动到图2的位置时，点运动的路程为，    当与轴重合时，如图4，作轴于点，则， ， 正方形纸片从图2的位置运动到图4的位置时，点运动的路程为， ， 点运动的路程一共是． 【融会贯通】 1．如图所示，把矩形纸片放入直角坐标系中，使分别落在x、y轴的正半轴上，连接，且满足． (1)求的长； (2)将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折痕为的长； (3)若点N在平面直角坐标系内，在x轴上是否存在点M，使以为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或或． 【分析】（1）先根据算术平方根的非负性和平方数的性质求得，再根据勾股定理即可求解； （2）设，在中，由勾股定理得：，再对运用等面积法求得，通过证明，即可求解； （3）设，求得，分情况讨论，当和和时，利用勾股定理列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，， 在中，； （2）解：由翻折得，，，设，则，    在中，由勾股定理得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点M在x轴上， ∴设， ∵，， ∴， 当时，则，解得或； 当时，则，解得（舍去）或； 当时，则，解得； ∴点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，算术平方根的非负性，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．如图，已知在平面直角坐标系中，，将沿直线折叠，点A落在点D处，交边于点E．    (1)求证：四边形为矩形； (2)求的长． (3)点F在y轴上，在坐标平面内找一点G，使得以O、E、F、G为顶点的四边形是以OE为边的菱形?请直接写出点G的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)或 【分析】（1）根据可得四边形对边相等，可证四边形是平行四边形，再根据可证四边形为矩形； （2）设，则，由勾股定理可得，再根据证明，推出，由此列方程求出x的值即可； （3）分“点F在y轴的正半轴上”和“点F在y轴的负半轴上”两种情况，利用菱形的性质分别求解即可． 【详解】（1）证明：， ，， 四边形是平行四边形， 又平面直角坐标系内， 四边形为矩形； （2）解：由（1）知四边形为矩形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ， ， ， 解得， 即； （3）解：，， ． 以O、E、F、G为顶点的四边形是以OE为边的菱形时，有两种情况： 当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示：    由菱形的性质可得，， 点E与点G关于y轴对称， ， ； 当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示：   ， ， ， 四边形是菱形， ， 点G的坐标为，即， 综上可知，点G的坐标为或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，菱形的性质等，解题的关键是熟练掌握特殊平行四边形的性质，牢记折叠前后对应边相等，第3问注意分情况讨论． 3．如图，以矩形的顶点为原点，以边，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，已知，．点在线段上，以每秒1个单位的速度从点向终点运动；点在线段上，以每秒3个单位的速度沿循环运动、连接．规定点，同时运动，且当点运动到终点时，点同时停止运动，设运动时间为．      (1)当点第一次从点向点运动时，___________．（用含有t的代数式表示） (2)当点第一次从点返回点时，四边形的面积是10，求出此时的值和点的坐标． (3)当四边形AOEF恰好是矩形时，求出此时t的值． 【答案】(1) (2)， (3)，或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，即可求解； （2）根据梯形的面积公式进行求解得到的值，求得的值，即可求解； （3）根据矩形的性质可得，结合，分类讨论点的运动状态进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵， ∴． （2）解：当点第一次从点返回点时，，，， ∵四边形是梯形， ∴四边形是的面积为：， 即：， 解得． 把代入得，， ∴． （3）解：要使四边形恰好是矩形，只需满足． ∵，，∴四边形AOEF是平行四边形． 又∵，∴四边形是矩形． 又∵，且， ∴①当点第一次从点向点运动时，， 由，得，，解得； ②当点F第一次从点返回点时，， 由，得，，解得； ③当点F第二次从点向点运动时，； 由，得，，解得； 综上所述，当四边形恰好是矩形时，此时，或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，梯形的面积公式，平行四边形的判定等，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 类型七、正方形中的半角模型 【解惑】如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图2，在中，，高，，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）过A点作于G，利用角平分线定义求出，可得，，得再证明四边形是矩形．得，得； （2）根据角平分线性质得，，即得． （3）根据（1）（2）小题结论得四边形是正方形，得，根据全等三角形得，设，，根据，得，解得，即得； （4）把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N，可得四边形是正方形，得，得，，根据，即得． 【详解】（1）证明：过A点作于G， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是两个外角的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；    （2）解：过A点作于G， ∵分别是两个外角的平分线，，， ∴， ∴；    （3）解：∵， ∴， 由（1）（2）知，四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴；    （4）解：把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N， ∴，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴中，， ∴．    【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握角平分线定义和性质．全等三角形的判定和性质，矩形和正方形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，作辅助线，是解题关键． 【融会贯通】 1．问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 【答案】(1)； (2)； (3)米． 【分析】【发现】根据正方形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证，根据全等三角形对应边相等可证； 【类比引申】延长到，使，连接，可证，根据全等三角形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得； 过点作垂足为点，连接，可知是等边三角形，根据已知角的度数可知，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可以得到的长度，利用勾股定理可求的长度，从而可证是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，由【类比引申】可知． 【详解】（1）【发现】解：如下图所示， 延长到点，使， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）【类比引申】解：当时，中结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， 又， 在和中， ， ， 又， ， ； （3）【探究应用】解：如下图所示，过点作垂足为点，连接， 与垂直， ， ， ， ， 是等边三角形， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米， ， ， ， ， ， 由【类比引申】可知(米)． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找到边和角之间的关系． 2．【问题提出】如图，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究线段、和线段的数量关系如下： 【尝试探究】小明同学研究思路如下： （1）观察猜想：； （2）分析问题：这是一个不共线的线段和问题，通常可以通过“截长”或“补短”的方法将其中两条不共线的线段转化为共线线段； （3）制定方案：通过“截长”发现此路不通，于是采取“补短”的方法解决问题； （4）实施方案：延长到点，使得，连接，从而解决问题． 请你帮助小明完成对猜想的证明； 【模型建立】如图，若将沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，上述猜想的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图，已知是边长为的等边三角形，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，请直接写出的周长． 【答案】[尝试探究]见解析；[模型建立]成立，见解析；[拓展应用]． 【分析】[尝试探究]延长到点，使得，证明，，再由全等三角形的性质即可求证； [模型建立]延长，连接，由折叠性质可知，则，，然后证明，再由全等三角形的性质即可求证； [拓展应用]延长至，使，同上理可得，则，再证明，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：[尝试探究]证明：延长到点，使得， ∵四边形形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； [模型建立]证明：仍然成立，理由， 如图，延长，连接， 由折叠性质可知：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； [拓展应用] 解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 延长至，使， 同上理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的周长，等边三角形的性质等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．问题背景： 如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，， (1)延长到点P使，连接，求证：； (2)迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点G、H，过点A作交于M，交于I，连接，若，，，求的长； (3)联系拓展：如图3，在矩形中，点E、F分别在边、上，，分别取，的中点M，T，连接并延长交于N，连接，若，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先由，证明，得到，，推出，再证明，得到，即可由，得到； （2）先由，得到，即可证明，得到，再根据结合（1）中结论得到，设，则，，在中，利用列方程求解即可； （3）先证明是正方形，即可根据，由（1）知，，设，，则，，，，再在中，由得到，最后求出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， 由（1）知， ， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得，； （3）解：． 证明：，T是，的中点， ∴是中位线， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ， 设，， ，，， ， ∴矩形是正方形， ， ， ， 由（1）知，， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，利用（1）中夹半角模型处理后面两问是解题的关键． 类型八、(特殊)平行四边形的动点求t 【解惑】如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P从A点以向B点运动， 时，， ， ； 故答案为：； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， Q在上运动时间为， ， 运动时间最长为， 时，在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：， 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：， 由（2）知：，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 2．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)周长为，面积为 【分析】（1）由矩形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （2）由菱形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （3）先利用的值求出的长，然后根据和即可求出菱形的周长和面积． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 四边形是菱形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是菱形； （3）解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：． 【点睛】本题主要考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，菱形的性质，解一元一次方程，代数式求值，多边形的周长，利用菱形的性质求面积等知识点，利用各种图形的性质建立方程解决问题是解题的关键． 3．如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 【答案】(1)10 (2)当点P在线段上时，；点P在射线上时， (3)t的值为5或6或 (4)或 【分析】（1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）分当， ， ，三种情况分别讨论，求出，再除以2即可求解； （4）当时，则，当时，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，D点作于E， ∴， 中，； （2）解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，； （3）解：∵点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动，当是等腰三角形时， 当时，， ∴； 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴； ∴t的值为5或6或； （4）如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程、等腰三角形的判定等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． 类型九、(特殊)平行四边形的无刻度尺作图 【解惑】如图，在四边形中，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）： (1)在图1中，作出的垂直平分线； (2)在图2中，作出的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了无刻度尺作图、垂直平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接相交于点F，连接相交于点G，过作直线即为所求； （2）如图：连接相交于点N，连接交于点H，连接并延长交于M，过作直线即为所求． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求； （2）解：如图：直线即为所求； 【融会贯通】 1．如图，在中，点在上，，平分交于点，请用无刻度的直尺画图保留作图痕迹，不写画法． (1)在图中，过点画出中边上的高； (2)在图中，过点画出到的垂线段． 【答案】(1)见解析． (2)见解析． 【分析】本题是作图题，考查了等腰三角形的三线合一，利用平行四边形的性质和判定进行作图，熟练掌握平行四边形的性质和判定是关键． （1）连接即可，根据等腰三角形三线合一的性质可得； （2）构建平行四边形，可得结论． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． ． （2）解：如图2，连接，交于点，作射线，交于，连接，交于，则即为所求． ， 理由是：如图3，连接， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即． 2．如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分； (2)如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接交于点，连接延长交于，直线即为所求． （2）连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接即可． 【详解】（1）解：如图中，连接交于点，连接延长交于，直线即为所求． 理由：是菱形， ， ， ， ， ， ， 即直线将菱形分为面积相等的两部分． （2）解：如图中，连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接，矩形即为所求作． 理由：是菱形， ， ， ， ， ∵点E、F为边中点， 点H、G为边中点， ， ， 是矩形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．阅读下列材料，完成相应的任务． 无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点，再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可． 如图1，已知平行四边形，点E、F分别在、上，且，连接，仅用无刻度直尺在上画点O，使点O为的中点． 方法：如图2，连接，与的交点即为点O．理由如下： 连续， 在平行四边形中， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形（依据）， ， 为的中点． 任务： (1)材料中的依据是指：_________． (2)图3为正方形网格，点A、B为格点，请仅用无刻度直尺画出线段的中点O（不写作法和依据，保留作图痕迹）． (3)如图4，已知菱形，点E为上一点，请仅用无刻度直尺在上画点G，使（不写作法和依据，保留作图痕迹）． 【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理分析即可； （2）根据网格的特点，确定点、，四边形为矩形，可得，即可得解； （3）连接交于点，连接并延长交于点，由菱形的性质可知，为对称轴，从而证明，得到，即可得出． 【详解】（1）解：材料中的依据是指：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：如图，点即为所求作； （3）解：如图，点G即为所求作． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，涉及平行四边形的判定定理，矩形的判定和性质，菱形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，灵活掌握相关知识点是解题关键． 类型十、(特殊)平行四边形的新定义 【解惑】阅读与思考 下面是小敏同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 年月日 对于几何图形，通常是从它的定义与表示、分类与性质、判定与应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以三角形为例，其定义、分类、性质、判定都通过它的边、角、中线、角平分线、高线等的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如邻等对补四边形． 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 目前．我们所认识的四边形，如梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是____________； 性质探究：在研究四边形的时候，我们知道四边形的问题往往转化为三角形的问题来研究．如图，在四边形中，，，连接，发现． 证明：…． 结论：邻等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角， 任务： (1)上述材料中，序号“”处所对应的内容为：____________； (2)补全材料中命题的证明过程； (3)如图，四边形中，，，，请直接写出的值． 【答案】(1)正方形； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据“邻等对补四边形”即可判断； （）过作于点，，交延长线于点，证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）过作于点，，交延长线于点，则，四边形是矩形，由（）得平分，从而证明四边形是正方形，然后再证明，故有，得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形， ∴梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是正方形， 故答案为：正方形； （2）证明：过作于点，，交延长线于点，如图， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在平分线上， ∴平分； （3）解：如图，过作于点，，交延长线于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， 由（）得平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定与性质，勾股定理，角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【融会贯通】 1．定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，如图1，当最大时，若，则点P就是的“幸运点”．    【探究1】如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点P是的“幸运点”，请画出点P的位置； 【探究2】如图3，矩形中，对角线交于点O，，，若P是矩形上的一点，且点P是的“幸运点”，求的长； 【探究3】如图4，为等边三角形，过点A作的垂线，点D在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接． ①判断点A是否是的“幸运点”，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】[探究1]：见解析；[探究2]：或；[探究3]：①点A是否是的“幸运点”，理由见解析；②或 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等，理解题中定义，熟练运用勾股定理求解以及分类讨论是解答的关键． [探究1]根据网格特点，利用勾股定理，结合题中定义可得点P的位置； [探究2]分点P离A近和点P离B近，设，利用矩形性质和勾股定理，结合题中定义列方程求解x值即可； [探究3]①连接,利用等边三角形的性质和全等三角形的判定推导出得到，在中，利用勾股定理可得，根据题中定义可得结论； ②由①中结论得结合已知求得，若点D在A的右下方时，如图，过C作于H，在中,利用含30度角的直角三角形的性质求得，，在中，利用勾股定理求得 ；若点D在A左上方时，同理求解即可． 【详解】解：[探究1]如图，点P即为所求作：    理由：连接，，，， ∴， 则格点P是的“幸运点”； [探究2]解：若点P离A近，如图，连接，，，过O作于H，    ∵矩形中，对角线交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∴，则， 设，则，， 由勾股定理得， ， ∵点P是的“幸运点” ∴则， ∴， 整理，得，即， 解得（负值已舍去）； 若点P离B近，如图，    同理，得，， 由勾股定理得， ， ∵点P是的“幸运点” ∴则， ∴， 整理，得，即， 解得（大于的值已舍去）， 综上，满足条件的的值为或； [探究3] 点A是的“幸运点”，理由为： 连接,    ∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故点A是的“幸运点”； ②由①中结论得， ∵， ∴， 解得， 若点D在A的右下方时，如图，过C作于H，    ∵，， ∴， ∴在，， 则， 在中，， ∴； 若点D在A左上方时，如图，      同理可证， 同理可求得，， ，， ∴， 综上，的长为或． 2．定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________ A．平行四边形       B．矩形      C．菱形；     D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________ 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结． （1）试说明．四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． （2）若，则_________； （3）若的最小值是2，则的长度为_________； 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：（1）证明见解析；拓展应用：（2）2；（3）； 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线互相平分，相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且E、F、G、H分别是、、、的中点， ，，，，，， ，． 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， 四边形各边中点分别为M、N、R、L， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ， 又 ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又 ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用： （2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， 四边形是正方形， ， ， N，F分别是的中点， , , 若，则． （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 在和中 又 M，N分别是直角三角形斜边的中点， ， ， ， 由拓展应用（2）知：， 若的最小值是2，则， ． 3．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． (1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上； (2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形； (3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4或7或 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意利用网格特点做出图形即可； （2）连接，证明，则，即可得到结论； （3）分四种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求， （2）连接，   四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ， ，， )， ， 四边形是“等邻边四边形”； （3）在中，，， ∴，， 过点M作于H，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 当时，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，设，则，作于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴ 即， ∵， ∴这种情况不存在， 综上可知，的长度为4或7或． 【一览众山小】 1．菱形和矩形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，利用矩形的性质和菱形的性质即可求解，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解决此题的关键． 【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分， ∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分， 故选：A． 2．如图，已知菱形的对角线和交于点O，且，，则菱形的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 根据菱形对角线互相垂直平分得到，由此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点O，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴菱形的边长为5， 故选：B． 3．如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 4．在正方形中，，则正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形四边都相等得到正方形的周长即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ∴正方形的周长为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用及正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作轴，过点作轴，四边形是正方形，，，再由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 故答案为：． 6．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③的周长等于的长；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，连接，由等边对等角求出，得到，由等角对等边得出，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，则可求，，即可判断④． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 连接， 由折叠得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长等于，故③正确； 过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，三线合一的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 7．如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或或 【分析】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分类讨论的思想.解题的关键在于用时间表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论. （1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度； （2）用分别表示出和长度，由是直角三角形，分或，两种情况讨论即可； （3）用表示出长度，分三种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1）解：当时，，. ， ， 如图，在中， 由勾股定理可得，； （2）解：∵中，，，， ∴， 由题意可知当点在边上运动时，，即， 设出发秒，是直角三角形，则或， ∵， ∴， 当时，如图，则， 此时，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：； 当时，点与点重合， 此时，， 综上，当点在边上运动时，出发秒或秒时，是直角三角形； （3）解：由（2）知， 当点在上运动时， ∵， ∴， ①当时，过作于点， 则， 在中，，可求得. 在中，由勾股定理可得，即， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当时， 则， 解得； ③当时，则， ， ， ， ，即， 解得； 综上，当点在边上运动时，使成为等腰三角形的的值为或或. 8．如图，矩形中，，点P，Q分别为上一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动；点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动．两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接，交点为点E，连接，交点为点F，设点P的运动时间为t秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形为矩形时，求t的值； (3)试判断四边形能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值：若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)可以是菱形但不能是正方形，，不能是正方形的理由见解析 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理、正方形证明， （1）先证明四边形和四边形是平行四边形，进而证明结论； （2）由题意得，则，根据勾股定理及矩形性质列方程求出即可； （3）当P为的中点时，四边形为菱形，并求出，结合（2）写出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵由题意得， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 若四边形是矩形，则， 由题意得，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，或， ∴或时，四边形是矩形； （3）解：可以是菱形但不能是正方形， 当P为的中点时， 此时， ∵ ， ， ， ， 由（1）知四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； 由（2）得： 或时，四边形是矩形， ∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形， ∴四边形不可能为正方形 9．折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． (1)在图3中，________，________． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 【答案】(1)，5 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，进行求解即可． （2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，分两种情况讨论，①当点落在上时，②如当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴， 由折叠可得：； 故答案为：，5； （2）解：为等边三角形； 理由如下： 由折叠可知：垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：解：①如图，当点落在上时， ∵为矩形的对称轴， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠可知： ，，设，则：， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴ ②如图，当点落在上时 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴或（舍去）， 综上所述，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10．如图1，已知在中，，P是上的一点，于点N，于点M，于点G，则． (1)如图2，若点P在的延长线上，则，，三者是否还有上述关系，若有，请说明理由；若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想． (2)如图3，是正方形的对角线，，点P是上任一点，于点N，于点M，猜想，，有什么关系．（直接写出结论） (3)观察图1，2，3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有这样的线段，并满足图1或图2的结论，写出相关题设的条件和结论． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形，矩形，正方形综合题，熟练掌握等腰三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）过点C作于点E．由题可得四边形是矩形，可得到再利用“等角对等边”的性质，得到，从而易证，再根据等腰三角形的性质就可以证明猜想的结论； （2）连结交于点O，过点P作于点F，由，同（1）理可以得到； （3）根据（1）和（2）中的结论可得：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．这个结论放在不同的图形背景中，进行图形变换，无论变换成什么图形，但结论依然成立． 【详解】（1）解：． 证明：过点C作于点E．如图1： ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ． ，， ， ， ． （2）解：猜想． 连结交于点O，过点P作于点F，如图2： 则． 四边形是正方形， ，． ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． ，， ， ， 又， ． （3）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高． 如下图中都有， 如下图中有． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$