训练02 导数的单调性、极值、最值47道期中期末真题训练-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 训练02 导数的单调性、极值、最值 一、单选题 1．（2023·24高二下·甘肃天水·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极小值 C．函数在处取得极值 D．函数只有一个极值点 【答案】D 【详解】由导函数的图象可知，函数在上单调递增，故A选项错误； 在的左右，所以函数在处不能取得极值，故C选项错误； 当时，；当时，，即函数在上单调递增， 在上单调递减，即函数在出取得极大值， 且是函数的唯一极值点，故B选项错误，D选项正确. 故选：D. 2．（2022·甘肃酒泉·模拟预测）函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【详解】函数定义域为R， 且，所以为偶函数，故排除选项C，D； 又当时，，则在上单调递增，故选项A正确，选项B错误， 故选：A． 3．（2023·24高二下·安徽·期末）若函数在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为函数在[2，4]上为增函数， 所以在上恒成立，故在上恒成立， 故在上恒成立，所以. 故选：A 4．（2023·24高三下·江西·阶段练习）若函数有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知函数，则，， 当时，；当时，. 在区间上单调递减；在区间上单调递增. 所以，则，又， 所以. 故选：C. 5．（2023·24高二下·河南濮阳·期末）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，所以，即， ，令，得，或（不在定义域内舍去）， 由于函数在区间内不是单调函数， 所以，即，解得， 综上可得，. 故选：B. 6．（2023·24高二下·四川宜宾·期末）已知函数的极小值为，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【详解】由求导得，. ①当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，不合题意； ②当时，，故在R上单调递增，无极值，不合题意； ③当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，解得. 综上，. 故选：A. 7．（2023·24高二下·河北张家口·阶段练习）若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 8．（2023·24高二上·山西·期末）已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，故，所以，故， 所以， 当时，， 故，，则， 故， 综上，，A正确. 故选：A 9．（2023·陕西西安·模拟预测）设函数是函数的导函数，，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，则在上单调递增. 因为，所以， 则等价于， 即，所以， 所以不等式的解集为， 故选：D 10．（2023·24高二下·湖北·阶段练习）若是的切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点坐标为， ，，又，， ， 令，则， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，，， 即的取值范围为. 故选：A. 11．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则直线与函数的图象有5个交点. 显然，直线与的图象交于点. 又当时，； 当时，； 当时，，所以是奇函数， 则必须且只需直线与曲线有2个交点即可， 所以方程有2个实数根.令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以. 又当趋近于0时，,所以； 当趋近于时，， 所以必须且只需. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数形结合法. 12．（2022·陕西西安·模拟预测）已知在中，三个内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角B的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， 所以， 若无极值点，即无变号零点，又二次函数开口向上， 所以恒成立，等价为判别式， 即，得， 所以，因为， ，所以的最大值为； 故选：C． 13．（2023·24高二上·湖南长沙·期末）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原不等式等价于，设，，所以，得．当时，， 所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，当时，取极大值. 又，且时，，因此与的图象如下，直线恒过点. 当时，显然不满足条件；当时，只需要满足，即，解得． 故选：D. 14．（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 由题意可得，即， 圆柱的体积，， ， 令，解得或， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数； 当时，取得极大值，也是最大值， 此时高为1，半径为，底面半径和高的比值为， 故选：B. 15．（2024·云南·模拟预测）已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，，所以，令， 则函数在上存在零点等价于与的图象有交点. ， 令，则，故在上单调递增， 因为，，所以存在唯一的，使得， 即，即，， 所以当时单调递减，当 时，单调递增，所以， 又时，，故，所以， 故选：C. 16．（2023·24高二下·河北沧州·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】因为， 当时，，所以， 所以，，所以 所以， 即在上恒成立，故B、D项错误； ， 由可得，，. 由可得，，所以在上单调递减； 由可得，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极大值，也是最大值，故A、B错误. 故选：C. 17．（2023·24高三上·重庆·期中）已知函数，下列命题正确的有（    ） A．在区间上有3个零点 B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度 C．的值域为 D．的最小正周期为，最小值为 【答案】D 【详解】对于A，依题意，，由，得， 由，得或，解得或， 所以在区间上有2个零点，A错误； 对于B，由选项A知，，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数，B错误； 对于C， ， 令，，， 求导得， 由，得，于是函数在上单调递增； 由，得或，于是在，上单调递减， 且，， ，， 因此当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以的值域为，C错误； 对于D，依题意， ， 所以的周期，最小值为，D正确. 故选：D 【点睛】方法点睛：连续函数在闭区间上有最大值和最小值，求函数在闭区间上的最值，求出函数的极值与区间两端点的函数值比较作答. 18．（2023·24高三上·浙江·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由不等式可得，即；， 设， 因为，所以在上单调递增， 所以当，所以，即. 所以. 故选：C 19．（2024·25高三下·安徽·阶段练习）已知函数，若与的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设在上有两个实根， 即在上有两个实根， 所以与在上有两个交点， 由，令，则， 所以在上单调递减，，， 所以使，即，， 在上，单调递增， 在上，单调递减， 根据解析式易知趋向0或时，均趋向于， 且， 综上，只需. 故选：D 【点睛】关键点点睛：问题化为与在上有两个交点是关键. 二、多选题 20．（2023·24高二下·宁夏吴忠·期中）若函数在上单调递减，则实数值可能为（ ） A．5 B． C．4 D．1 【答案】AC 【详解】由，， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即，即在上恒成立， 当时，函数，单调递增，所以， 所以实数. 故选：AC. 21．（2023·24高二下·广东潮州·阶段练习）函数的极值点是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由得：， 令，则，当时，,当时，，故均是函数的极值点， 故选：ABC 22．（2023·24高二下·山西运城·阶段练习）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对选项A，设，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即，故A正确. 对选项B，设，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即，故B正确. 对选项C，当时，，此时，故C错误. 对选项D，当时，，故D错误. 故选：AB 23．（2023·24高二下·山东枣庄·阶段练习）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【详解】由得，令，则，，所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确， 令，则或，故在单调递增，在单调递减，故是极小值点，是极大值点，故A正确， 由于是的极小值点，且，故只有一个零点，故B错误， 设是的切点，令，解得故和，当切点为时，则切线方程为，当切点为时，切线方程为，故不是切线，故D错误， 故选：AC 24．（2024·25高二上·江苏南京·期末）如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极值 D．在时，函数取得极值 【答案】BC 【详解】对于A，的图象在处的切线斜率为，故A错误； 对于B，当时，且，此时单调递增，故B正确； 对于C，是导函数的一个变号零点，故当时取得极值，故C正确； 对于D，不是导函数的一个变号零点，故当时不能取得极值，故D错误. 故选：BC 25．（2023·24高三上·河北·阶段练习）已知，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在定义域上单调递增 B．当时，有两个极值点 C．若为的极值点，则 D．若为的极值点，则 【答案】ACD 【详解】当时，， 即在定义域上单调递增，故A正确； 易知， 当时，令， 即无解，所以无极值点，故B错误； 若为的极值点， 则由上可知是方程的两根， 即，故C正确； ， 由上可知，故D正确. 故选：ACD 26．（2023·24高三上·河南·阶段练习）设函数（a，），下列命题正确的是（    ） A．若存在负零点，则 B．若，则有且只有一个零点 C．若有且只有两个正零点，则 D．若且存在零点，则的零点都是正的 【答案】BC 【详解】研究的零点等价于考虑曲线与直线的交点，其中a是直线的斜率． 对于A，D选项，取曲线上位于第二象限的点P，Q， 并固定点P（如图所示）．    则当Q与y轴的距离充分大的时候， 直线PQ的斜率a可以无限趋近于0，并且直线PQ与y轴的交点位于的下方， 于是当且时，满足， 此时曲线与直线的交点的横坐标是负的，即的零点都是负的，故D选项错误； 而此时存在负零点，但不满足，故A选项错误； 对于B选项，若，则在上单调递增， 取，则，所以． 再取，则，所以， 所以有且只有一个零点，并且这个零点位于区间中，B选项正确； 对于C选项，若有且只有两个正零点， 因为，而函数单调递增， 所以至多只有一个极值点，且， 则这个极值点必为正，且， 并且在上单调递减，在上单调递增， 故必有，即，解得，故C选项正确． 故选：BC． 27．（2022·全国·模拟预测）已知函数，，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有2个零点 B．当时，恒在的上方 C．若在上单调递增，则 D．若在有2个极值点，则 【答案】BC 【详解】解：对于选项A，当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即没有零点，所以A选项错误； 对于选项B，当时，，则，所以在上单调递增，且，即，所以B选项正确； 对于选项C，易知，当时，因为，，则，所以在上单调递增，符合要求；当时，则当时，，此时，所以在上单调递减，不符合要求，所以C选项正确； 对于选项D，当时，在上恒成立，所以函数在单调递增，所以函数在不存在极值点， 当时，在上恒成立，所以函数在单调递增，所以函数在不存在极值点，时单调递增，即函数在至多存在一个极值点，所以D选项错误. 故选：BC． 三、填空题 28．（2023·24高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）函数的单调减区间为 . 【答案】 【详解】由题意得，令，解得，所以单调递减区间为， 故答案为： 29．（2023·24高三上·广东东莞·阶段练习）若函数，则的极大值点为 . 【答案】2 【详解】， 令，解得或6， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在取得极大值，故极大值点为2. 故答案为：2 30．（2023 24高二下 广东汕头 期末）函数的单调递减区间是 ． 【答案】， 【详解】由，且，则， 令，即，解得或. 所以函数的单调递减区间是，. 故答案为：，. 31．（2023·24高三上·青海海南·期末）若，且函数在处有极值，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】由题意得，因为在处有极值， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时函数满足在处取得极值. 故答案为：． 32．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若恰有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵，为连续函数，为单调函数， 所以在上无极值点； 又在上至多有一个极值点， 则的对称轴为， 要使恰有两个极值点， ∴和是必为的两个极值点， ∴，解得：，所以是的极大值点， 又在上单调递减，要使为的极值点， 则在上单调递增，∴； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 33．（2022·福建·模拟预测）已知函数，若且，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】解：由，可得函数图象如下所示： 因为且，所以，且，所以，令，，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以； 故答案为： 34．（2023·24高二下·甘肃兰州·期中）函数.对于，都有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，，所以， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，，所以， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，又，， 所以， 对于，都有，则， 所以，即. 故答案为： 35．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，则， 令，解得；令，解得或， 所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， 故函数在处有极大值，在处有极小值， 所以，解得． 故答案为： 四、解答题 36．（2023·24高二下·山西晋中·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若在上恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)增区间为，减区间为； (2). 【详解】（1）时，. 时，单调递增， 时，单调递减， ∴的增区间为，减区间为； （2）由在上恒成立，故， 设，则. 当时，F(x)单调递增；当时，F(x)单调递减， 故，故. 37．（2023·24高三上·河北·阶段练习）设为函数的导函数，已知，且的图像经过点． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和；单调递减区间为 【详解】（1），则，得． 由题意，可得曲线在点处的切线方程为，即． （2）由已知得． 又由（1）知，所以． 故． ， 由，得，或；由，得． 故在上的单调递增区间为和；单调递减区间为． 38．（2023·24高二上·江苏南京·阶段练习）设，函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当函数与都存在极小值，且它们的极小值之和为0时，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【详解】（1）因为，函数定义域为， 可得, 当时，，在内单调递增； 当时，当时，，在内单调递减； 当时，，在内单调递增； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增. （2）对于函数，由（1）可知： 当时，在内单调递增，无极值，不合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则在处取得极小值，符合题意； 综上所述：，且的极小值为. 对于函数：可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以在处取极小值 因为函数与的极小值之和为，即， 构建，则， 可知在定义域内单调递增，且， 所以关于a的方程的根为1，即 39．（2023·24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【详解】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 40．（2023·24高二下·安徽亳州·阶段练习）已知函数，求证：当时，. 【答案】证明见解析 【详解】证明： ，函数定义域为， ，当时，， ∴在上是增函数. 于是当时，． 41．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而. 故，从而当时，当时. 故在上递增，在上递减，所以具有最大值. 所以命题等价于，即. 所以的取值范围是. （2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有. 在的范围内定义函数. 则，所以单调递增. 这表明时，即. 又因为，且和都大于， 故由在上的单调性知，即. 42．（2023·24高二下·湖北·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)设，求证：当时，． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【详解】（1），由得． 当x变化时，，的变化如下表所示： x 1 0 ↙ 极小值 ↗ 由上表可知在处取得极小值，无极大值． （2），令， ， 所以在单调递减，所以当时，．     所以当时，，即， 故当时，． 43．（2024·25高三上·贵州贵阳·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上为增函数，在上为减函数 (2)． 【详解】（1）， 当时，，在上为增函数； 当时，， 令，得；令，得， 在上为增函数，在上为减函数． （2）无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方， 即为恒成立，即，则，恒成立， 令，， ， 令，得；令，得， 则在上为增函数，在上为减函数， ， 则． 44．（2024·25高三下·江西九江·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【详解】（1）因为，所以， 令，则， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由题意在区间上恒成立， 即恒成立， 即在区间上恒成立， 令，只需， 因为， 令，有， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 45．（2023·24高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数. (1)当时，求f（x）的极值； (2)若函数f（x）至少有两个不同的零点，求a的最大值. 【答案】(1)极大值，极小值 (2)-3 【详解】（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），当时， . 或. 或，故f（x）在区间（0，）与（1，+∞）单调递增， ，故f（x）在区间单调递减 所以当时，f（x）有极大值 当时，f（x）有极小值 （2）f（x）至少有两个不同的零点， 则等价于方程至少有两个相异实数根， 由，得 设，则， 令，则， 令，可得或（舍）. 所以在（0，）上，，h（x）单调递减， 在（，+∞）上，，h（x）单调递增， 所以函数h（x）的最小值为， 又，所以当时， 又， 因此必存在唯一，使得. 当x变化时，h（x），，F（x）的变化情况如下表 x 1 h（x） + 0 - 0 + + 0 - 0 + F（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，F（x）有极大值，当时，F（x）有极小值F（1） 又，，且时， 所以可得时， 直线与函数的图象至少有两个公共点， 所以a的最大值为-3. 46．（2023·24高三上·北京昌平·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)当时，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时：，令解得， 又因为当，，函数为减函数； 当，，函数为增函数. 所以的极小值为. （2）， 当时，由，得或. ①若，则，故在上单调递增； ②若，则.故当时，或； 当时，. 所以在，单调递增，在单调递减. ③若，则.故当时，或； 当时，. 所以在，单调递增，在单调递减. 47．（2023·24高二下·山东菏泽·期末）已知函数（），（）. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，函数、满足下面两个条件：①方程有唯一实数解；②直线（）与两条曲线和有四个不同的交点，从左到右依次为，，，.问是否存在1，2，3，4的一个排列，，，，使得？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，证明见解析 【详解】（1）解：由题可知，， 当时，，函数在上单调递减； 当时，对于，，函数单调递减；，，函数单调递增； （2）解：由，，当时，；当时，， 又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，； 由，知当时，；当，， 又，可知在上单调递减，在上单调递增，， 令，即当时，；当时，， 结合条件①中方程有唯一实数解，知： 当时，，当时，， 综上，画出函数，的简图： 其中，，，，， 则，， 即，得，， 因为，由，，得， 因为，由，，因此， 所以，， 所以存在满足条件的一个排列，如，，，，使. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 训练02 导数的单调性、极值、最值 一、单选题 1．（2023·24高二下·甘肃天水·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极小值 C．函数在处取得极值 D．函数只有一个极值点 2．（2022·甘肃酒泉·模拟预测）函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 3．（2023·24高二下·安徽·期末）若函数在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·24高三下·江西·阶段练习）若函数有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·24高二下·河南濮阳·期末）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·24高二下·四川宜宾·期末）已知函数的极小值为，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 7．（2023·24高二下·河北张家口·阶段练习）若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·24高二上·山西·期末）已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·陕西西安·模拟预测）设函数是函数的导函数，，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·24高二下·湖北·阶段练习）若是的切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2022·陕西西安·模拟预测）已知在中，三个内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角B的最大值是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·24高二上·湖南长沙·期末）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A． B． C． D． 14．（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（   ） A．2 B． C．1 D． 15．（2024·云南·模拟预测）已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2023·24高二下·河北沧州·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   17．（2023·24高三上·重庆·期中）已知函数，下列命题正确的有（    ） A．在区间上有3个零点 B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度 C．的值域为 D．的最小正周期为，最小值为 18．（2023·24高三上·浙江·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·25高三下·安徽·阶段练习）已知函数，若与的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 20．（2023·24高二下·宁夏吴忠·期中）若函数在上单调递减，则实数值可能为（ ） A．5 B． C．4 D．1 21．（2023·24高二下·广东潮州·阶段练习）函数的极值点是（    ） A． B． C． D． 22．（2023·24高二下·山西运城·阶段练习）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 23．（2023·24高二下·山东枣庄·阶段练习）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 24．（2024·25高二上·江苏南京·期末）如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极值 D．在时，函数取得极值 25．（2023·24高三上·河北·阶段练习）已知，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在定义域上单调递增 B．当时，有两个极值点 C．若为的极值点，则 D．若为的极值点，则 26．（2023·24高三上·河南·阶段练习）设函数（a，），下列命题正确的是（    ） A．若存在负零点，则 B．若，则有且只有一个零点 C．若有且只有两个正零点，则 D．若且存在零点，则的零点都是正的 27．（2022·全国·模拟预测）已知函数，，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有2个零点 B．当时，恒在的上方 C．若在上单调递增，则 D．若在有2个极值点，则 三、填空题 28．（2023·24高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）函数的单调减区间为 . 29．（2023·24高三上·广东东莞·阶段练习）若函数，则的极大值点为 . 30．（2023 24高二下 广东汕头 期末）函数的单调递减区间是 ． 31．（2023·24高三上·青海海南·期末）若，且函数在处有极值，则的最小值为 ． 32．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若恰有两个极值点，则实数的取值范围是 . 33．（2022·福建·模拟预测）已知函数，若且，则的最小值为 . 34．（2023·24高二下·甘肃兰州·期中）函数.对于，都有，则实数的取值范围是 . 35．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 36．（2023·24高二下·山西晋中·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若在上恒成立，求a的取值范围. 37．（2023·24高三上·河北·阶段练习）设为函数的导函数，已知，且的图像经过点． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间． 38．（2023·24高二上·江苏南京·阶段练习）设，函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当函数与都存在极小值，且它们的极小值之和为0时，求的值． 39．（2023·24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 40．（2023·24高二下·安徽亳州·阶段练习）已知函数，求证：当时，. 41．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 42．（2023·24高二下·湖北·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)设，求证：当时，． 43．（2024·25高三上·贵州贵阳·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 44．（2024·25高三下·江西九江·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 45．（2023·24高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数. (1)当时，求f（x）的极值； (2)若函数f（x）至少有两个不同的零点，求a的最大值. 46．（2023·24高三上·北京昌平·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)当时，讨论的单调性. 47．（2023·24高二下·山东菏泽·期末）已知函数（），（）. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，函数、满足下面两个条件：①方程有唯一实数解；②直线（）与两条曲线和有四个不同的交点，从左到右依次为，，，.问是否存在1，2，3，4的一个排列，，，，使得？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$