精品解析：北京市师达中学2024～2025学年下学期八年级开学测数学试卷

初二数学练习 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 下列图形中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，下载一部高清电影只需要1秒．将0.00076用科学记数法表示应为（ ） A B. C. D. 3. 在中，作出边上高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果是一个完全平方式，那么为（ ） A. 25 B. C. 100 D. 5. 如图，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（　） A. B. C. D. 7. 下列分式中，从左到右变形错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，Rt△ABC中，B＝90，点P在边AB上，CP平分∠ACB，PB＝3cm，AC＝10cm，则△APC的面积是（ ） A. 15cm2 B. 22.5cm2 C. 30cm2 D. 45cm2 9. 如图，数轴上点A所表示的数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 分解因式：_______． 13. 计算的结果是______． 14. 如图，中，，于点D．则的长为_____． 15. 如图，是等边三角形，是的中点，动点在边的中线上．若，则的最小值为_____． 16. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，有下面四个结论：① △CAD≌△BCE； ② ∠ABE＝∠BAD； ③ AB＝CD； ④ CD＝AD＋DE．其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题（共56分，17题4分，18-21、23-24、26每题5分，22题6分，25题7分） 17. 计算：． 18. +（）（）． 19. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 20. 已知：如图，中，．求作：点，使得点在边上且．作法：①作线段的垂直平分线，交于点，交于点；②连接．点即为所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：是垂直平分线， ①_____（②__________（填推理的依据）． ③_____（④__________）（填推理的依据）． 又， ． 21. 求代数式÷的值，其中＝． 22. 如图，在中，，，，是中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． （1）求的长； （2）求长． 23. 列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 24. 2024年10月昌平区举办了第二十一届苹果文化节活动，小聪和小明在活动期间分别购买了两次苹果，两次的单价分别是m元/千克和n元/千克，小聪每次买a元钱的苹果，小明每次买b千克的苹果． （1）当时，小聪两次购买苹果的总质量为_____（请用含m、n的式子表示）； （2）请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低（平均价格）． 25. 如图，是等边三角形，点在线段的延长线上，连接，设．点关于直线的对称点为点，连接．在线段上取一点，使，延长交于点． （1）补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 26. 对于点，直线和图形，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图形的内部或边上，则称点为图形关于直线的“镜像点”．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．设点，直线为过点且与轴垂直的直线． （1）若，在点中，点______是关于直线的“镜像点”； （2）当时，若轴上存在关于直线的“镜像点”，则的最小值为______； （3）已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行．若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学练习 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 下列图形中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，下载一部高清电影只需要1秒．将0.00076用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意依据绝对值小于1的正数利用科学记数法表示为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定进行分析即可． 【详解】解：0.00076=. 故选：B. 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，注意掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 3. 在中，作出边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为D， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 4. 如果是一个完全平方式，那么为（ ） A. 25 B. C. 100 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式定义和结构，，像满足这样的形式的代数式叫完全平方式，所以，进而求出的值． 【详解】解：根据完全平方式的结构，把写出完全平方式结构； 即； ∴， 故选：A． 5. 如图，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，从而得到，由折叠的性质可得，从而得到，最后根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：四边形为长方形， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、轴对称的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 6. 下列运算正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. 下列分式中，从左到右变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质，解题的关键是正确化简分式． 8. 如图，Rt△ABC中，B＝90，点P在边AB上，CP平分∠ACB，PB＝3cm，AC＝10cm，则△APC的面积是（ ） A. 15cm2 B. 22.5cm2 C. 30cm2 D. 45cm2 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线性质可得PD=PB=3cm，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作PD⊥AC于D， ∵CP平分∠ACB，∠B=90°，PD⊥AC， ∴PD=PB=3cm， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 9. 如图，数轴上点A所表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，正确计算的长度是解题的关键． 如图可得：，由勾股定理可得，则，进而求得即可解答． 【详解】解：如图：， ∴， ∴， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 10. 如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的基本作图．根据题意得出，即点在的垂直平分线上，结合垂直平分线的作法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式分解因式、平方差公式分解因式，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案．熟记提公因式分解因式、平方差公式分解因式等知识是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算．先化简二次根式，再合并即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，中，，于点D．则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，等积法求线段的长．解题的关键是掌握勾股定理． 15. 如图，是等边三角形，是的中点，动点在边的中线上．若，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了勾股定理进行计算，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的点．连接交于点Q，连接，根据两点之间线段最短，得出B、P、D在同一直线上时，最小，即最小，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点Q，连接， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴B、P、D在同一直线上时，最小，即最小， 是中点，为等边三角形， ，， ∴， 的最小值， 故答案为：． 16. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，有下面四个结论：① △CAD≌△BCE； ② ∠ABE＝∠BAD； ③ AB＝CD； ④ CD＝AD＋DE．其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由∠ACB=90°，BE⊥CD，AD⊥CD，得到∠ACD+∠BCE=90°，∠ADC=∠CEB=90°，则∠ACD+∠CAD=90°，AD∥BE，即可判断②，即可利用AAS证明△CAD≌△BCE，即可判断①；则AD=CE，得到CD=CE+DE=AD+DE，即可判定④；由AB>AC>CD，得到AB≠CD，即可判断③． 【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CD，AD⊥CD， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°，AD∥BE， ∴∠CAD=∠BCE，∠ABE=∠BAD，故②正确； 又∵AC=CB， ∴△CAD≌△BCE（AAS），故①正确； ∴AD=CE， ∴CD=CE+DE=AD+DE，故④正确， ∵AB>AC>CD， ∴AB≠CD，故③错误； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 三、解答题（共56分，17题4分，18-21、23-24、26每题5分，22题6分，25题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. +（）（）． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可 【详解】解：+（）（） 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，牢记运算法则是解题的关键． 19. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及平方差公式应用，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先求出，，然后将变形，再整体代入求值即可； （2）先将变形，然后再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 20. 已知：如图，中，．求作：点，使得点在边上且．作法：①作线段的垂直平分线，交于点，交于点；②连接．点即为所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：是的垂直平分线， ①_____（②__________（填推理的依据）． ③_____（④__________）（填推理的依据）． 又， ． 【答案】（1）见解析 （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，等边对等角和三角形外角的性质： （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得到，再由等边对等角可得，最后根据三角形外角的性质即可证明结论． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：是的垂直平分线， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． （等边对对角）． 又， ． 故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角． 21. 求代数式÷的值，其中＝． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号中的异分母分式加减法，再计算乘除法，最后将＝代入计算． 【详解】解：原式＝÷ ＝÷ ＝· ＝． 当＝时，原式＝． 【点睛】此题考查了分式的混合运算的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 22. 如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 23. 列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 【答案】30米 【解析】 【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：引进新设备前工程队每天建造道路30米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 24. 2024年10月昌平区举办了第二十一届苹果文化节活动，小聪和小明在活动期间分别购买了两次苹果，两次的单价分别是m元/千克和n元/千克，小聪每次买a元钱的苹果，小明每次买b千克的苹果． （1）当时，小聪两次购买苹果的总质量为_____（请用含m、n的式子表示）； （2）请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低（平均价格）． 【答案】（1） （2）小聪两次购买苹果的平均价格更低，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式以及异分母异分子的大小比较，分式的混合运算的应用． （1）由费用单价数量分别表示小聪两次购买苹果的质量，再相加即可； （2）小聪两次购买苹果的平均价格：，小明两次购买苹果的平均价格：，然后作差，化简比较． 【小问1详解】 解：当时，小聪两次购买苹果的总质量为（千克）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：小聪两次购买苹果的平均价格： 小明两次购买苹果的平均价格： ． ，，， ，． ． ∴， ∴， 小聪两次购买苹果的平均价格更低． 25. 如图，是等边三角形，点在线段的延长线上，连接，设．点关于直线的对称点为点，连接．在线段上取一点，使，延长交于点． （1）补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）图见解析； （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）按照题意补全图形，求出，，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到，，证明，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：补全图形如下： ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∵， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、轴对称的性质等知识，添加辅助线构造等边三角形是解题的关键． 26. 对于点，直线和图形，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图形的内部或边上，则称点为图形关于直线的“镜像点”．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．设点，直线为过点且与轴垂直的直线． （1）若，在点中，点______是关于直线的“镜像点”； （2）当时，若轴上存在关于直线的“镜像点”，则的最小值为______； （3）已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行．若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）点和点 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将已知点放入直角坐标系中，根据对称性求得对应的对称点，结合“镜像点”逐点判断即可； （2）根据题意可知这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的，观察竖直方向，上离x轴最远的点为C，则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C．此时，直线位于x轴和点C的正中间即可． （3）结合图像可知t取最小值和最大值时直线上存在关于直线的“镜像点”，结合对称性和临界点的性质即可求得最大值和最小值． 【小问1详解】 解：将各个点标示在平面直角坐标系中， ∵关于直线的对称点为，，， ∴点和点是关于直线的“镜像点”． 【小问2详解】 解：求t的最小值，这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的， 所以观察竖直方向，上离x轴最远的点为C， 则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C． 此时，直线位于x轴和点C的正中间． 因此，t的最小值为； 【小问3详解】 解∶ 由题意可知直线的解析式为， 则直线上的点关于的对称点为， 那么，过点的直线为， ∴与直线有交点，且交点的临界值为和． ∴当过点A时，t的最大值为； 当过点C时，t的最小值为， 故直线上存在关于直线的“镜像点”，t的取值范围为． 【点睛】本题主要考查直角坐标系中轴对称的性质，等腰三角形的性质和正方形的性质，解一元一次不等式方程组，解题的关键是在新定义“镜像点”下结合对称轴的性质和正方形的性质找到对称点和不等式组． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $