2024-2025学年人教版八年级下册第一次月考数学试卷（3月份）（基础A卷）（考查范围：第16～17章）

2024-2025学年八年级（下）第一次月考数学试卷（基础A卷） 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~17章 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．(3分)（24-25八年级·四川成都·期末）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，分母不能为零，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意得 ，且， 解得且， 故选：B． 2．(3分)（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，，在数轴上点表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据两点间的距离公式求出，然后根据勾股定理求出，从而求出，再次利用两点间的距离公式列出关于的方程，解方程即可，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 【详解】解：如图所示：点表示的数为，点表示的数为，， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 故选：B． 3．(3分)（24-25八年级·河南洛阳·专题练习）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 4．(3分)（24-25八年级·四川成都·期末）下列条件中，可以判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，熟记勾股定理逆定理、三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理逆定理及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故A符合题意； 由，不能判断是直角三角形， 故B不符合题意； ∵，，， ∴， ∴不是直角三角形， 故C不符合题意； ∵，， ∴，，， ∴不是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 5．(3分)（24-25八年级·河南洛阳·期中）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，先根据有意义得到，再根据二次根式的性质化成最简二次根式即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且， 解得， ∴， 故选：B． 6．(3分)（24-25八年级·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 7．(3分)（24-25八年级·全国·专题练习）如图，的顶点A，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，勾股定理，二次根式的乘除，利用面积法求三角形的高是解题的关键．先用割补法求出的面积，再根据勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】设边上的高为h， ， ， ， 解得， 即边长的高为． 故选：C． 8．(3分)（24-25八年级·四川宜宾·期末）若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，整式的加减．根据二次根式有意义的条件求得，推出，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 9．(3分)（24-25八年级·河南周口·期末）如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（   ） A．400 B．350 C．300 D．250 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键．根据勾股定理求出， 再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【详解】解：， 图1中正方形的面积和为： ， 图2中所有正方形的面积和为： ， 图3中所有正方形面积和为： ， …… …… 图11中所有正方形的面积为． 故选：C 10．(3分)（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．(3分)（24-25八年级·广东东莞·期中）设的整数部分为，小数部分为，那么 ． 【答案】6 【分析】首先根据的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】解：， ， 的整数部分为， 小数部分为， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、无理数的估算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 12．(3分)（24-25八年级·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 设大正方形的边长为c，根据大正方形的面积为13，则再利用勾股定理得，然后根据，的，最后根据，进而求出答案． 【详解】解：∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，设大正方形的边长为c， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 由图可知小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：． ∴， 小正方形的面积为5． 故答案为：5． 13．(3分)（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）用表示不超过x的最大整数．例如：，，把作为x的小数部分．已知，m的小数部分是a，的小数部分是b，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义，掌握分母有理化以及理解负数的小数部分是解题的关键．利用分母有理化化简m，的值，求出a，b的值，代入代数式求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 14．(3分)（24-25八年级·广东珠海·期中）甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为 ． 【答案】南偏东 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出是直角三角形是解题关键． 根据题意得出，的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： （海里），（海里）， ， ， 故， 是直角三角形， ， ∴， 乙船航行的方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 15．(3分)（24-25八年级·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 【答案】 3 75 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解： ，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时， ， ， 故的小数部分为 故答案为：3；75； 16．(3分)（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 在上截取，连接，过点作交的延长线于点，设，证明是等腰直角三角形得，则，证明和全等得，，进而得，根据三角形的面积公式得，，，再根据，解出，进而得，，然后在由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在上截取，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．(6分)（24-25八年级·山东青岛·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(6分)（24-25八年级·江西赣州·期末）如图．线段的端点在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作等腰直角三角形，使线段为底边，点格点上； (2)在图2中作等腰直角三角形，使线段为腰，点格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1），那么，则，故为所求； （2）由勾股定理可求，则，则，故为所求． 【详解】（1）解：为所求， （2）解：为所求， 19．(8分)（24-25八年级·江苏镇江·期中）小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明． (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由． (3)当奇数时，请直接写出这组勾股数． 【答案】(1)9、40、41是一组勾股数，见解析 (2)，见解析 (3)17、144、145 【分析】本题考查勾股数，列代数式规律型：数字的变化类，关键是掌握勾股数的定义． （1）满足的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断； （2）由勾股数的定义得到，于得到； （3）由（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：9、40、41是一组勾股数，理由如下： ，， ， 、40、41是一组勾股数； （2）解：可以用表示出，理由如下： ， ， ； （3）解：当奇数时，， 这组勾股数是17，144，145． 20．(8分)（24-25八年级·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，利用整体代入的方法可简化计算．也考查了平方差公式和分母有理化． （1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）先分母有理化得到，再变形为，则两边平方可得，接着用表示出，则利用降次的方法得到原式，然后把的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， 即， ， ， 原式． 21．(10分)（24-25八年级·河北邢台·阶段练习）情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． 【答案】(1)的长为(2)剩余部分（阴影）的面积 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则并能正确根据图形，得出数量关系是解决此题的关键． (1)根据小正方形的面积，可求出边长，然后计算线段的和差即可得解； (2)先求出大长方形的长面积，再求出小正方形的面积，然后进行计算即可得解． 【详解】(1)解：∵小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为， ∴小正方形①的边长，小正方形②的边长， ∵， ∴， ∴的长为； (2)解：由(1)知大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④， ∴切下两块完全相同的最大的正方形边长为， ∴切下两块完全相同的最大的正方形面积为， ∴剩余部分（阴影）的面积． 22．(3分)（24-25八年级·福建漳州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； (3)如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、角平分线的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）根据非负数的性质得到，然后解一次方程得到a、b、c的值即可； （2）选择公式①，先计算出，再把a、b、c、p的值代入公式①，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算即可；选择公式②，把a、b、c的值代入公式②计算即可； （3）如图：过E点作于H点，先利用为等腰三角形得到，再根据角平分线的性质得到，然后利用面积法得到，从而可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． （2）解：选择公式①：∵， ∴ ； 选择公式②：∵， ∴ ． （3）解：如图：过E点作于H点， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ，解得：． 23．(12分)（24-25八年级·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 24．(12分)（24-25八年级·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）第一次月考数学试卷（基础A卷） 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~17章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．(3分)（24-25八年级·四川成都·期末）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 2．(3分)（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，，在数轴上点表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D．1 3．(3分)（24-25八年级·河南洛阳·专题练习）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．(3分)（24-25八年级·四川成都·期末）下列条件中，可以判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．， D． 5．(3分)（24-25八年级·河南洛阳·期中）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 6．(3分)（24-25八年级·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 7．(3分)（24-25八年级·全国·专题练习）如图，的顶点A，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ） A． B． C． D． 8．(3分)（24-25八年级·四川宜宾·期末）若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 9．(3分)（24-25八年级·河南周口·期末）如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（   ） A．400 B．350 C．300 D．250 10．(3分)（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．(3分)（24-25八年级·广东东莞·期中）设的整数部分为，小数部分为，那么 ． 12．(3分)（24-25八年级·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 13．(3分)（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）用表示不超过x的最大整数．例如：，，把作为x的小数部分．已知，m的小数部分是a，的小数部分是b，则的值为 ． 14．(3分)（24-25八年级·广东珠海·期中）甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为 ． 15．(3分)（24-25八年级·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 16．(3分)（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．(6分)（24-25八年级·山东青岛·期末）计算： (1) (2) 18．(6分)（24-25八年级·江西赣州·期末）如图．线段的端点在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作等腰直角三角形，使线段为底边，点格点上； (2)在图2中作等腰直角三角形，使线段为腰，点格点上． 19．(8分)（24-25八年级·江苏镇江·期中）小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明． (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由． (3)当奇数时，请直接写出这组勾股数． 20．(8分)（24-25八年级·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 21．(10分)（24-25八年级·河北邢台·阶段练习）情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2） 求剩余部分（阴影）的面积． 22．(3分)（24-25八年级·福建漳州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； (3)如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 23．(12分)（24-25八年级·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 24．(12分)（24-25八年级·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$