课时作业·10.3.2随机模拟-2024-2025学年高一数学下学期课时作业（人教A版2019必修第二册）

课时作业·10.3.2随机模拟 1．抛掷一枚均匀的骰子两次，用随机模拟方法估计点数和为7的概率，共进行了两次试验，第1次产生了60组随机数，第2次产生了200组随机数，那么两次估计的结果相比较(　　) A．第1次更准确　　　　 B．第2次更准确 C．两次的准确率相同 D．无法比较 2．一个小组有6位同学，选1位小组长，用随机模拟方法估计甲被选中的概率，按下面步骤进行：①把6位同学编号为1～6；②利用计算器或计算机产生1到6的取整数值的随机数；③统计总试验次数N及甲的编号出现的次数N1；④计算频率fn(A)＝，即为甲被选中的概率的近似值；⑤一定等于.其中错误的是(　　) A．②④ B．①③④ C．⑤ D．①④ 3．一学习小组共有10人，其中有4个女生6个男生，从中任选两人当正、副组长．若用随机模拟方法进行模拟试验，那么确定随机数时，代表男生与女生的随机数比例为(　　) A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．3∶1 4．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 93　28　12　45　85　69　68　34　31　25 73　93　02　75　56　48　87　30　11　35 据此估计，该运动员两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为(　　) A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35 5．利用抛均匀的硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2.小王抛两次，则产生的随机数之和为3的概率为(　　) A. B. C. D. 6．抛质地均匀的硬币可产生________个随机数，抛质地均匀的骰子可产生________个随机数． 7．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现用随机模拟的方法估计乙这次比赛获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．经随机模拟产生30组随机数： 034　743　738　636　964　736　614　698　637 162　332　616　804　560　111　410　959　774 246　762　428　114　572　042　533　237　322 707　360　751 据此估计乙这次比赛获胜的概率为________． 8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率为(　　) A．0.30　　　　　 B．0.35 C．0.40 D．0.50 9．甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的两个球是不同颜色的概率； (2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)． 10．某市组织了以“停课不停学，成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动，为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市抽取了1 000名学生进行调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图． (1)为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在[200，300)的概率P，特设计如下随机模拟试验：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…，9的前若干个数字表示线上学习时间在[200，300)内，剩余的数字表示线上学习时间不在[200，300)内；再以每三个随机数为一组，代表3名同学的线上学习的情况． 假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数： 907　966　191　925　271　569　812　458 932　683　431　257　393　027　556　438 873　730　113　669　206　232　433　474 537　679　138　598　602　231 请根据这些随机数估计概率P； (2)为了进一步进行调查，用分层随机抽样法从这1 000名学生中抽取20名学生，在抽取的20人中，再从线上学习时间在[350，450)的同学中任意选择2名，求这2名同学来自同一组的概率． 1．(2023·全国甲卷，文)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 2．(2023·全国乙卷，文)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(　　) A. B. C. D. 3．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A. B. C. D. 4．(2022·全国甲卷，文)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　) A. B. C. D. 5．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 6．(2020·课标全国Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(　　) A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 7．(2024·天津)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A活动的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________． 8．(2023·天津)甲、乙、丙三个盒子中装有一定量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为________． 9．(2023·上海春季高考)已知事件A发生的概率P(A)＝0.5，则它的对立事件发生的概率P()＝________． 10．(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； (2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值． 11．(2019·天津)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况． (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访． 　　员工 项目　　 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业·10.3.2随机模拟 1．抛掷一枚均匀的骰子两次，用随机模拟方法估计点数和为7的概率，共进行了两次试验，第1次产生了60组随机数，第2次产生了200组随机数，那么两次估计的结果相比较(　　) A．第1次更准确　　　　 B．第2次更准确 C．两次的准确率相同 D．无法比较 答案　B 解析　用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确．故选B. 2．一个小组有6位同学，选1位小组长，用随机模拟方法估计甲被选中的概率，按下面步骤进行：①把6位同学编号为1～6；②利用计算器或计算机产生1到6的取整数值的随机数；③统计总试验次数N及甲的编号出现的次数N1；④计算频率fn(A)＝，即为甲被选中的概率的近似值；⑤一定等于.其中错误的是(　　) A．②④ B．①③④ C．⑤ D．①④ 答案　C 解析　概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，频率不一定等于概率，故不一定等于.故选C. 3．一学习小组共有10人，其中有4个女生6个男生，从中任选两人当正、副组长．若用随机模拟方法进行模拟试验，那么确定随机数时，代表男生与女生的随机数比例为(　　) A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．3∶1 答案　A 解析　因为男生有6人，女生有4人，所以代表男女生的随机数应按3∶2确定． 4．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 93　28　12　45　85　69　68　34　31　25 73　93　02　75　56　48　87　30　11　35 据此估计，该运动员两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为(　　) A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35 答案　A 解析　由题意知在这20组随机数中表示两次投掷飞镖恰有一次命中的有：93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10组随机数． 因此估计所求概率为＝0.50.应选A. 5．利用抛均匀的硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2.小王抛两次，则产生的随机数之和为3的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　产生随机数的情况有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，所以产生的随机数之和为3的概率为＝. 6．抛质地均匀的硬币可产生________个随机数，抛质地均匀的骰子可产生________个随机数． 答案　2　6 解析　由于硬币有正反两面，因此可以产生2个随机数，骰子有6个面且各面上的点数各不相同，因此可以产生6个随机数． 7．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现用随机模拟的方法估计乙这次比赛获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．经随机模拟产生30组随机数： 034　743　738　636　964　736　614　698　637 162　332　616　804　560　111　410　959　774 246　762　428　114　572　042　533　237　322 707　360　751 据此估计乙这次比赛获胜的概率为________． 答案　 解析　表示乙这次比赛获胜的随机数有738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11个，所以据此估计乙获胜的概率P＝. 8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率为(　　) A．0.30　　　　　 B．0.35 C．0.40 D．0.50 答案　B 解析　根据题意可知20组数据中表示三天中恰有两天下雨的有191，271，932，812，393，027，730，共7个．根据随机模拟的方法可估计这三天中恰有两天下雨的概率为＝0.35.故选B. 9．甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的两个球是不同颜色的概率； (2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)． 解析　(1)设A表示“取出的两球是相同颜色”，B表示“取出的两球是不同颜色”． 则事件A的概率为P(A)＝＝. 由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率为P(B)＝1－P(A)＝1－＝. (2)随机模拟的步骤： 第一步：利用抽签法或计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球． 第二步：将第一组的N个随机数和第二组的N个随机数一一对应，得到N对随机数，统计N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n. 第三步：计算的值，则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值． 10．某市组织了以“停课不停学，成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动，为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市抽取了1 000名学生进行调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图． (1)为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在[200，300)的概率P，特设计如下随机模拟试验：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…，9的前若干个数字表示线上学习时间在[200，300)内，剩余的数字表示线上学习时间不在[200，300)内；再以每三个随机数为一组，代表3名同学的线上学习的情况． 假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数： 907　966　191　925　271　569　812　458 932　683　431　257　393　027　556　438 873　730　113　669　206　232　433　474 537　679　138　598　602　231 请根据这些随机数估计概率P； (2)为了进一步进行调查，用分层随机抽样法从这1 000名学生中抽取20名学生，在抽取的20人中，再从线上学习时间在[350，450)的同学中任意选择2名，求这2名同学来自同一组的概率． 解析　(1)由频率分布直方图可知，线上学习时间在[200，300)的频率为(0.002＋0.006)×50＝0.4，所以可以用数字0，1，2，3表示线上学习时间在[200，300)内，数字4，5，6，7，8，9表示线上学习时间不在[200，300)内．观察题中随机数组可得，3名同学中恰有2人线上学习时间在[200，300)的有191，271，812，932，431，393，027，730，206，433，138，602，共12个．用频率估计概率可得，从该市抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在[200，300)的概率P＝＝0.4. (2)抽取的20人中，线上学习时间在[350，450)的同学有20×(0.003＋0.002)×50＝5(人)，其中线上学习时间在[350，400)的同学有3人，设为A，B，C，线上学习时间在[400，450)的同学有2人，设为a，b，用(x，y)表示样本空间中的样本点，则从5名同学中任取2名的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)}，共10个样本点，用M表示“2名同学来自同一组”这一事件，则M＝{(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)}，共4个样本点，所以P(M)＝＝0.4. 1．(2023·全国甲卷，文)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 答案　D 解析　依题意，设高一年级两名学生为A1，A2，高二年级两名学生为B1，B2.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，共6个， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，共4个， 所以这2名学生来自不同年级的概率为＝.故选D. 2．(2023·全国乙卷，文)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　甲有6种选择，乙也有6种选择，故总的选法共有6×6＝36(种)，若甲、乙抽到的主题不同，则共有6×5＝30(种)，则其概率为＝.故选A. 3．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　从7个整数中随机取2个不同的数，共有21种取法，取得的2个数互质的情况有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为＝.故选D. 4．(2022·全国甲卷，文)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　从写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，分别是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种取法，所以所求概率是P＝＝.故选C. 5．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 答案　B 解析　P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)．故选B. 6．(2020·课标全国Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(　　) A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 答案　B 解析　由题意得，第二天若没有志愿者帮忙，则订单积压超过1 600－1 200＋500＝900份的概率为0.05，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，故至少需要志愿者900÷50＝18(名)． 7．(2024·天津)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A活动的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________． 答案　　 解析　(列举法)：从五个活动中选三个的情况有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种情况， 其中甲选到A活动有6种可能：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， 则甲选到A活动的概率为＝. 乙选A活动有6种可能：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， 再选择B活动有3种可能：ABC，ABD，ABE， 故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为＝. 8．(2023·天津)甲、乙、丙三个盒子中装有一定量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为________． 答案　0.05　 解析　设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n，4n，6n，所以三个盒子中球的总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n； 乙盒中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n； 丙盒中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n. 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以P(A)＝0.4×0.25×0.5＝0.05.记“将三个盒子混合后取出一个球是白球”为事件B， 白球共有9n个，所以P(B)＝＝. 9．(2023·上海春季高考)已知事件A发生的概率P(A)＝0.5，则它的对立事件发生的概率P()＝________． 答案　0.5 解析　因为P(A)＝0.5，所以P()＝1－P(A)＝0.5. 10．(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； (2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值． 解析　(1)由题意知(c－95)·0.002＝0.5%⇒c＝97.5， q(c)＝0.01×2.5＋5×0.002＝0.035＝3.5%. (2)当c∈[95，100]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)·0.002＋(100－c)·0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82≥0.02. 当c∈(100，105]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0.002＋(c－100)·0.012＋(105－c)·0.002＝0.01c－0.98>0.02， 故f(c)＝f(c)min＝0.02. 11．(2019·天津)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况． (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访． 　　员工 项目　　 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率． 解析　(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种． ②由表格知，符合题意的所有结果为(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共11种． 所以，事件M发生的概率P(M)＝. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$