专题08 离散型随机变量的方差4考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题08 离散型随机变量的方差4考点复习指南 知识点1：离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. （3）两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 （4）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 知识点3：求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 考点1 求离散型随机变量的方差、标准差 1．（2024高二·广东广州·期中）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，. (1)求第三次由乙投篮的概率； (2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列； (3)求的期望及标准差. 2．（2024高二·山东临沂·期中）甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 X 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 Y 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 (1)求和； (2)求和，并比较两种品牌手表的性能． 3．（2024高二·江苏月考）假定某射手每次射击命中目标的概率为．现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求： (1)X的概率分布； (2)均值； (3)标准差． 4．（2024高二·江苏月考）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，．在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差． X 0 1 2 P 5．（2024·北京模拟预测）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望. (3)设用表示甲学校的总得分，比较和的大小（直接写出结果）. 考点2 离散型随机变量的方差公式及性质 6．（2024高二·浙江温州·期中）已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 m n 若，则 ． 7．（2024高二·江苏常州·期中）随机变量的分布列如下表，则 ； . 0 1 2 8．（2024高二·全国月考）离散型随机变量X的分布为： 0 1 2 4 5 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ． ①；②；③；④． 9．（2024高二·辽宁·期末）设随机变量的方差，则的值为 . 10．（2024高三·全国·中职高考）随机变量X的分布列如表所示，若，则 . X －1 0 1 P a b 11．（2024高二·山东枣庄·期末）已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则 ． 12．（2024高二·全国月考）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 考点3 两点分布的方差 13．（2024高二·湖北省直辖县级单位·期中）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列和期望与方差． 0 1 14．（2024高三·陕西西安月考）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高三·浙江温州月考）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二·广东中山·期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ． 17．（2024高二·江西吉安·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 19．（2024高二·黑龙江大庆·期中）若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 20．（2024高二·吉林·期中）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 考点4 均值与方差的综合应用 21．（2024高二·山西太原月考）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； (2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 22．（2024高三·上海杨浦月考）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率. (1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布及期望. (2)用分层抽样的方法从这100名观众中抽取8名作为样本A，则样本A中“体育迷”和非“体育迷”分别有几人?从样本A的这8名观众中随机抽取3名，记Y表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y的分布及方差. 23．（2024·北京石景山模拟预测）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. (1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 24．（2024高二·江苏宿迁·期末）在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略： 策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分； 策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分． 本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表： 策略 概率 每题耗时（分钟） 第11题 第12题 A 选对选项 0.8 0.5 3 B 部分选对 0.6 0.2 6 全部选对 0.3 0.7 已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题： (1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差； (2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案． 25．（2024·河南模拟预测）小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止． (1)求小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题08 离散型随机变量的方差4考点复习指南 知识点1：离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. （3）两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 （4）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 知识点3：求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 考点1 求离散型随机变量的方差、标准差 1．（2024高二·广东广州·期中）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，. (1)求第三次由乙投篮的概率； (2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列； (3)求的期望及标准差. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)， 【分析】（1）第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，进而结合概率的乘法公式即可求出结果； （2）求出ξ的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与标准差的概念即可求出结果； （3）由期望公式、标准差公式可求解. 【解析】（1）因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中， 所以; （2）由题意，可取0，1，2. P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝. 故ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P （3）由（2）有E(ξ)＝， D(ξ)＝，所以. 2．（2024高二·山东临沂·期中）甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 X 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 Y 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 (1)求和； (2)求和，并比较两种品牌手表的性能． 【答案】(1)，． (2)，，甲种品牌手表的性能要好 【分析】（1）由分布列可得． （2）由分布列可得，进而可得和，比较其大小可得答案． 【解析】（1）， ． （2）， ， 因为，， 所以仅考虑误差，甲种品牌手表的性能要好 3．（2024高二·江苏月考）假定某射手每次射击命中目标的概率为．现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求： (1)X的概率分布； (2)均值； (3)标准差． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式即可求解； （2）利用期望计算公式即可求出； （3）利用方差计算公式即可求出，进而可得． 【解析】（1）解：X的可能取值为1，2，3， 因为，，． 所以的分布列为： 1 2 3 （2）解：； （3）解：因为方差， 所以． 4．（2024高二·江苏月考）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，．在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差． 【答案】分布列见解析，均值为，标准差为 【分析】求出X的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与标准差的概念即可求出结果. 【解析】由题意，得X的所有可能取值为0,1,2， 故X的概率分布为: X 0 1 2 P ， ，所以. 5．（2024·北京模拟预测）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望. (3)设用表示甲学校的总得分，比较和的大小（直接写出结果）. 【答案】(1) (2)分布列见解析，的期望为 (3) 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲学校获得冠军的概率； （2）乙学校的总得分的值可取0，10，20，30，分别求出取上述值时的概率，可得分布列与数学期望； （3）求甲学校的总得分的分布列，再求得和的大小，即可得大小. 【解析】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表： 第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛 甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8 乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2 甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场， ①甲学校3场全胜，概率为：， ②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：， 所以甲学校获得冠军的概率为：； （2）乙学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为： ， ， ， ， 则的分布列为： 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 的期望； （3）甲学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为： ， ， ， ， 则的分布列为： 0 10 20 30 0.06 0.34 0.44 0.16 的期望； 故， 由（2）可得， 故. 考点2 离散型随机变量的方差公式及性质 6．（2024高二·浙江温州·期中）已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 m n 若，则 ． 【答案】 【分析】根据离散型随机变量的分布列和两个信息，可求出，得值，再根据离散型随机变量方差的性质，即可求出答案． 【解析】，①， 又②， 联立①②得， 所以， 则． 故答案为：． 7．（2024高二·江苏常州·期中）随机变量的分布列如下表，则 ； . 0 1 2 【答案】 1 2.4 【分析】首先根据题意得到，从而得到，，再根据数学期望和方差的性质求解即可. 【解析】由题知：，， . ，. 故答案为：， 8．（2024高二·全国月考）离散型随机变量X的分布为： 0 1 2 4 5 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ． ①；②；③；④． 【答案】①③ 【分析】根据分布列的性质，求得，利用期望和方差的公式，求得的值，进而根据，进而求得的值，即可求解. 【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得， 则， ， 所以①③正确； 又由离散型随机变量Y满足，所以， ，所以②④错误， 故答案为：①③． 9．（2024高二·辽宁·期末）设随机变量的方差，则的值为 . 【答案】12 【分析】根据公式求解. 【解析】 故答案为：12 10．（2024高三·全国·中职高考）随机变量X的分布列如表所示，若，则 . X －1 0 1 P a b 【答案】5 【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得． 【解析】依题意可得，解得， 所以， 所以. 故答案为：5. 11．（2024高二·山东枣庄·期末）已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意和方差公式，以及方差的线性公式即可求解. 【解析】因为， 由， 得. 故答案为：. 12．（2024高二·全国月考）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可. 【解析】由题意，得，则， 所以，， 所以，， 所以，， 即最大， 故选：C. 考点3 两点分布的方差 13．（2024高二·湖北省直辖县级单位·期中）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列和期望与方差． 【答案】答案见解析 【分析】由服从两点分布写出分布列计算期望和方差即可求解. 【解析】由题设知服从两点分布，且，． 所以的分布列为 0 1 . 14．（2024高三·陕西西安月考）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案. 【解析】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且. 故选：D 15．（2024高三·浙江温州月考）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解. 【解析】随机变量满足,,其中. 则随机变量的分布列为: 所以 随机变量, 所以当时,,当时, 所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1): 则 当即,解得.所以A、B错误. 恒成立. 所以C错误,D正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题. 16．（2024高二·广东中山·期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ． 【答案】 【分析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以，由题意可求出，所以可求出． 【解析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以， 所以，代入有：， 解得：，， 因为离散型随机变量X服从两点分布，所以. 故答案为：. 17．（2024高二·江西吉安·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【解析】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A正确； 又由，，所以B错误； 由，所以C错误； 由，所以D错误. 故选：A. 18．（2024高二·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出 【解析】由题意得， 因为， 所以解得， 所以， 故选：D 19．（2024高二·黑龙江大庆·期中）若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据两点分布求出，再应用期望、方差公式求、，最后根据期望、方差的性质求结果. 【解析】由于服从两点分布，，， 因此，， 所以，． 故选：B． 20．（2024高二·吉林·期中）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，进而得，，再根据期望、方差的性质求解即可. 【解析】解：因为随机变量服从两点分布，其中， 所以， 所以，， ，. 故D错误，ABC正确. 故选：D 考点4 均值与方差的综合应用 21．（2024高二·山西太原月考）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； (2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望为，方差为； (3)甲公司竞标成功的可能性更大. 【分析】（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答. （3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答. 【解析】（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥， 则有， 所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是. （2）设甲公司答对题数为，则的取值分别为， ， 则的分布列为： 1 2 3 期望，方差. （3）设乙公司答对题数为，则的取值分别为， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 期望， 方差， 显然， 所以甲公司竞标成功的可能性更大. 22．（2024高三·上海杨浦月考）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率. (1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布及期望. (2)用分层抽样的方法从这100名观众中抽取8名作为样本A，则样本A中“体育迷”和非“体育迷”分别有几人?从样本A的这8名观众中随机抽取3名，记Y表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y的分布及方差. 【答案】(1)分布列见解析；数学期望 (2)“体育迷”有2人，非“体育迷”体育迷有6人；分布列见解析；方差 【分析】由频率分布直方图可知从该地区大量电视观众中，随机抽取1名观众，该观众是“体育迷”的概率为. （1）由题可得所有可能的取值为0，1，2，3，从而可得分布列及对应期望； （2）由题可得8人中，体育迷有2人，则所有可能的取值为0，1，2，后可得分布列及对应方差. 【解析】（1）“体育迷”对应的频率为：， 用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取1名观众，该观众是“体育迷”的概率为，则所有可能的取值为0，1，2，3 ∴；； ；； ∴的分布列为： 0 1 2 3 则数学期望. （2）根据分层抽样原则知：抽取的8人中，有“体育迷”人，非“体育迷”体育迷人，则所有可能的取值为0，1，2. ，，. 故的分布列为： 0 1 2 则，， 故. 23．（2024·北京石景山模拟预测）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. (1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果； （2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； （3）由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系． 【解析】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米, 所以估计为； （2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，估计为， 估计为， 根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且 ； ； ； ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3） 理由如下： ，所以； ，所以； ，所以； 所以. 24．（2024高二·江苏宿迁·期末）在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略： 策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分； 策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分． 本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表： 策略 概率 每题耗时（分钟） 第11题 第12题 A 选对选项 0.8 0.5 3 B 部分选对 0.6 0.2 6 全部选对 0.3 0.7 已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题： (1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差； (2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案． 【答案】(1)分布列见解析，， (2)题和12题均采用策略，理由见解析； 【分析】（1）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望与方差； （2）依题意列出所有可能情况，分别求出数学期望，即可判断； 【解析】（1）解：设事件为“第11题得0分”，事件为“第11题得2分”，事件为“第11题得5分”， 事件为“第12题得0分”，事件为“第12题得2分”， 所以，，，，， 由题意可知，的可能取值为0，2，4，5，7， 则， ， ， ， ， 所以小明第11题和第12题总得分的分布列为： 0 2 4 5 7 所以， （2）解：依题意该同学答题方案有： 方案题采用策略，12题采用策略； 方案题和12题均采用策略； 方案题和12题均采用策略； 方案题采用策略，12题采用策略； 设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分， 则的可能取值为0，2，4，5，7，10， 故， ， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 2 4 5 7 10 0.01 0.08 0.12 0.1 0.48 0.21 所以， 但因为时间超过10分钟，后面的题得分少分，相当于得分均值为分， 因为，故不选方案1. 方案的期望值一定小于，故不选方案， 设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分， 则的可能取值为0，2，4，5，7， 故， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 2 4 5 7 0.02 0.12 0.16 0.14 0.56 所以， 方案的期望值也小于，故不选方案； 所以我建议该同学按照方案题和12题均采用策略． 25．（2024·河南模拟预测）小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止． (1)求小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望，方差． 【分析】（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A，利用独立事件的概率公式计算即可； （2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3，求出随机变量对应的概率，可得分布列与期望及方差. 【解析】（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A， 则． （2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以数学期望， 方差． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$