大题03 功能关系与能量守恒定律（4大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考物理大题突破+限时集训（黑吉辽蒙专用）

大题03 功能关系与能量守恒定律 功能关系与能量守恒定律多与动力学、动量结合，常出现多物体/多过程问题（如2024年黑吉辽卷两个连接的物体经过弹簧弹出→平抛→水平面滑行停止过程；2023年辽宁卷飞机在水面上由静止→匀加速直线运动→离开水面匀速飞行），且大部分题目需先通过牛顿定律分析运动过程（如加速度、速度变化），再应用能量守恒计算。题目综合能力较强，备考时要进行多过程拆解训练，将复杂问题分解为“加速—碰撞—减速”等阶段，逐一应用功能关系与动量守恒进行计算。 题型一 直线运动中的能量问题 【例1】（2024·黑龙江·三模）风洞是测试飞机性能、研究流体力学的一种必不可少的重要设施，我国的风洞技术处于世界领先地位。某次风洞实验可提供恒定的水平风力，如图所示，一小球先后经过A、B两点时的速度大小分别为v和，其中在A点的速度水平向右，在B点的速度竖直向下。已知A、B连线长为d，小球质量为m。（重力加速度g未知）求：小球从A点运动到B点的过程中。 （1）所用的时间t； （2）最小的动能Ek； （3）损失的机械能。 直线运动中的能量分析 1、斜面模型：物体冲上（滑下）斜面或者在外力作用下沿斜面运动，若斜面粗糙，从做功角度看，涉及到外力、重力、摩擦力对物体做功；从能量角度看，涉及到重力势能、动能和热量的相互转化。 （1）冲上（滑下）斜面 冲上斜面过程中：动能转化为内能和重力势能，重力做功为；下滑过程中重力势能转化为内能和动能，重力做功为。 克服摩擦力做功转化为内能，即，物块动能变化量为。 （2）物体受外力沿粗糙斜面上滑 重力对物体做负功：，物体重力势能增加，增加的重力势能等于物体克服重力做的功。克服摩擦力做功转化为内能，即。合外力对物体做正功，增加的动能等于合外力做的功，。 2、板块模型 木板静止在光滑水平面，物块滑上粗糙的木板，恰好共速或物块刚好不滑离木板。 对物体有；对木板有； 对系统有。 1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图所示为某工厂的货物传送装置，倾斜传送带AB与一斜面BC平滑连接，AB、BC与水平面夹角均为37°角，B点到C点的距离为，传送带顺时针运行，速度恒为，传送带长为。现将一质量为的小货物（可视为质点）轻轻放于A点，小货物恰好能到达C点。已知小货物与传送带间的动摩擦因数，取，，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： （1）小货物从A点运动到B点所经历的时间； （2）小货物与斜面间的动摩擦因数； （3）传送带因传送该货物而多消耗的电能。 2．（24-25高一上·贵州安顺·期末）如图甲是消防逃生滑道，可简化为乙图所示的斜面。某逃生滑道的倾角为，高度，人与滑道间动摩擦因数。逃生时人从滑道顶端A处由静止开始滑下，不计空气阻力，人可视为质点，重力加速度大小为。 （1）在图乙中处画出人下滑过程中的受力示意图，并求出下滑加速度的大小； （2）求人滑到斜面底端处时速度的大小和下滑过程所用的时间； （3）为了保障最高安全性，应使人滑到处时速度正好为零。可把滑道分成等长的两段，即。段动摩擦因数仍然为，求段动摩擦因数； （4）随着新材料新工艺的发展，人们制成了动摩擦因数与滑动位移成正比的特殊材料滑道，如图丙所示，已知。若采用该特殊材料的滑道，人从A点静止滑到C点，求人滑到C点时的速度大小。 3．（2025·河南信阳·二模）图甲为某学生的书桌抽屉。已知抽屉的质量kg，长度m，其中放有质量kg，长m的书本，书本的四边与抽屉的四边均平行。书本的右端与抽屉的右端相距也为s，如图乙所示。不计柜体和抽屉的厚度以及抽屉与柜体间的摩擦，书本与抽屉间的动摩擦因数。现用水平力F将抽屉抽出，抽屉遇到柜体的挡板时立即锁定不动。重力加速度m/s2。 （1）N时，书本和抽屉一起向右运动，求与挡板碰前瞬间抽屉的速度大小v； （2）N时，求书本最终停止时，书本和抽屉因摩擦产生的内能。 4．（24-25高三上·安徽宿州·期末）如图甲所示，轻质弹簧竖直固定在水平面上，上端与木板A相连，物块B置于木板A上，F=60N的力竖直向下作用在B上使系统处于静止状态。撤去外力F后，B竖直上升至最高点P处时AB间压力恰好为零，上升高度h1=0.6m。现将小球C置于弹簧上端，用外力将弹簧压至与图甲相同状态，如图乙所示。随后撤去外力，当C球上升至高度h2的Q点时，C球恰好进入竖直向下运动的足够长竖直圆管内（圆管此时速度v=3m/s）。已知C球与圆管之间的滑动摩擦力f=5N，mA=2kg，mB=4kg，mC=1kg，h2=1.8m，圆管质量M=0.2kg。圆管全程处于竖直状态，不计空气阻力，g取10m/s2。求： （1）图甲中，当撤去力F时，A对B的支持力大小； （2）图乙中，C球自释放到上升至最高点的过程中，系统因摩擦产生的内能ΔU内及C球距释放点N上升的最大高度H。 题型二 曲线运动中的能量问题 【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，粗糙水平面NQ右侧固定一个弹性挡板，左侧在竖直平面内固定一个半径、圆心角的光滑圆弧轨道MN。半径ON与水平面垂直，N点与挡板的距离。可视为质点的滑块质量，从P点以初速度水平抛出，恰好在M点沿切线进入圆弧轨道。已知重力加速度g取，。 （1）求滑块经过N点时对圆弧轨道的压力大小； （2）若滑块与挡板只发生一次碰撞且不能从M点滑出轨道，求滑块与水平面间的动摩擦因数的取值范围。 曲线运动中的能量分析 1、斜抛运动（到达最高点时，动能最小） 能量关系式：. 2、竖直方向上的圆周运动（不脱离圆轨道） （1）能做完整的圆周运动 若轨道光滑： ； 若轨道粗糙：. （2）只在下半圆周上运动 若轨道光滑： ；若轨道粗糙：. 1．（2025·贵州毕节·一模）如图，质量为1kg的小车右端紧靠竖直墙面而不粘连，小车上表面固定着一“7”字形轻杆（高度超过1m），长为1m的轻绳一端固定在轻杆上的O点，另一端连着质量为0.5kg的小球，整个系统静置于光滑水平地面上。向右拖动小球，使轻绳与竖直方向的夹角为并由静止释放，不计空气阻力，重力加速度g取。求： （1）小球第一次运动至最低点时速度的大小； （2）小球运动至左端最高点时相对于最低点的高度。 2．（24-25高三上·云南红河·阶段练习）2024年夏天，我国奥运健儿在第33届夏季奥运会上摘得40枚金牌，取得参加境外奥运会的史上最好成绩，邓雅文获得自由式小轮车女子公园赛金牌。邓雅文比赛中的一段赛道简化为半径为的圆弧形光滑轨道AB和水平轨道BC，轨道AB与水平地面相切，A为圆弧轨道的最低点，AB所对应的圆心角为，如图所示。邓雅文（含小轮车）无动力地从A点以的速度冲上圆弧形轨道AB，从B点冲出轨道，又从C点落回轨道。若邓雅文（含小轮车）可视为质量为的质点，不计空气阻力，取，。重力加速度。求： （1）邓雅文（含小轮车）经过B点时对轨道的压力大小； （2）BC之间的距离。 3．（2024·四川成都·模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径、圆心角为的圆弧，半径为，圆心角为的圆弧组成，轨道末端的点为圆弧的最高点，轨道间平滑连接。质量的物块从轨道上高度处以初速度下滑，经圆弧轨道滑上轨道。物块与轨道间的动摩擦因数，其余轨道光滑。（不计空气阻力，物块视为质点，，，） （1）若初速度，求物块第一次通过点时速度大小； （2）若初速度，求物块在轨道上运动的总路程； （3）若物块沿轨道从点滑出，应满足什么条件？ 4．（2024·湖北·模拟预测）如图所示为固定在竖直平面内半径为R = 1 m的半圆形粗糙轨道，A为最低点，B为圆心等高处，C为最高点。一质量为m = 1 kg的遥控小车（可视为质点）从A点水平向右以v0 = 8 m/s无动力进入轨道，上升高度为H = 1.8 m时脱离轨道，重力加速度g = 10 m/s2，不计空气阻力。求：（可保留根号或π的形式，或对应结果保留1位小数） （1）小车脱离轨道时的速度大小； （2）小车从A至脱离过程克服摩擦力所做的功； （3）开启动力后，小车以v0 = 8 m/s匀速率沿着轨道运动，若小车所受的摩擦阻力为小车对轨道压力的k = 0.25倍，求小车从A到C过程中电动机做的功。 题型三 连接体中的能量问题 【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，两个顶端带有小定滑轮的完全相同的斜面对称固定在水平地面上，斜面倾角为30°。一不可伸长的轻质细绳跨过两定滑轮，两端分别连接质量均为2m的滑块B、C，质量为m的物块A悬挂在细绳上的O点，O点与两滑轮的距离均为l。先托住A，使两滑轮间的细绳呈水平状态，然后将A由静止释放。A下落过程中未与地面接触，B、C运动过程中均未与滑轮发生碰撞，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，，。求： （1）物块A下落的最大高度H； （2）从A开始下落直至结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°的过程中，物块A机械能的变化量。 连接体中的能量转化分析 类型 图示 条件 思路 轻绳模型 忽略空气阻力和各种摩擦，静止释放 两物体速度大小相等，单个物体的机械能不守恒，系统的机械能守恒。小球B减少的重力势能转化为两小球增加的动能和小球A增加的重力势能，即 轻杆模型 忽略空气阻力和各种摩擦，一起沿斜面运动下滑 平动时两物体沿杆的分速度大小相等，转动时两物体的角速度相等。系统机械能守恒： 轻弹簧模型 忽略空气阻力和各种摩擦，物体的速度不一定沿弹簧轴线方向 单个物体的机械能不守恒，但系统的机械能守恒。列机械能守恒方程时，一般选用的形式（但要注意包括重力势能和弹性势能的变化量） 1．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平面上，轻弹簧一端固定在斜面底端的挡板上，另一端与物块B相连，不可伸长的细线一端固定在斜面上的点，另一端绕过轻滑轮和定滑轮连接物块A，物块B与轻滑轮相连。已知物块A、B的质量分别为，弹簧的劲度系数，弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量），重力加速度。开始时用手托着物块A使其处于静止状态，此时细线恰好伸直但无作用力，然后由静止释放物块A，在之后运动的过程中物块未到达点，物块A未着地，弹簧始终在弹性限度内，两物块A、B均可视为质点。求： （1）物块B的最大速度；（结果可用根式表示） （2）物块A下降的最大距离。 2．（2024·江苏徐州·三模）如图所示，足够大的光滑板固定在水平面内，板上开有光滑的小孔，细线穿过小孔，将小球A、B、C拴接。小球A在光滑板上做匀速圆周运动，小球B、C自然下垂处于静止状态。已知小球A、B、C的质量均为，小球A到小孔的距离为，重力加速度为。 （1）求小球A做圆周运动的速度大小； （2）剪断B、C间细线瞬间，小球A的加速度大小为，求此时小球B的加速度大小； （3）剪断B、C间细线后，小球B运动到最高点的过程中（小球B未与板接触），细线对小球B做的功为，求小球B运动到最高点时小球A的角速度大小。 3．（2024·广西贺州·一模）向楼房的高层运输建筑材料时为了尽可能节省能量，小明同学设计了如图所示的定滑轮装置。P为质量为m的待运输材料，Q为与待运输材料质量相等的配重，距离地面的高度为h。在Q上加上一定质量的物块，P将加速向上运动，当Q落地后，P将减速运动。不计定滑轮的重力、空气阻力和一切摩擦，重力加速度为g，为了使P上升至时速度恰好减小到零被工人接住。求： （1）在Q上加上的物块的质量； （2）P加速上升时，固定定滑轮的N处承受的拉力。 4．（2024·湖南邵阳·一模）如图，A、B可看做质点的两个小球分别固定在轻杆的两端，整个装置静止靠着竖直墙面，受轻微扰动后，B球开始沿水平面向右运动，两球质量均为m，轻杆长为L，重力加速度为g，两球始终在同一竖直面内，不计一切摩擦，只考虑A球落地前的运动。 （1）当杆与水平面的夹角为时（此时A球还未离开竖直面），则此时A、B两球速度的大小、分别为多少？（） （2）B球运动过程中的最大速度的大小为多少？此时地面对B球的支持力大小是多少？ （3）求A球的最大速度的大小和方向。（方向可用三角函数表示） 题型四 弹簧中的能量问题 【例1】（2024·安徽合肥·二模）如图所示，小物块A和B通过轻质弹簧相连接，竖直静置于水平地面上。若给小物块A一竖直方向的瞬时冲量，其大小为，随后B恰好不能离开地面。已知A、B质量分别为、，弹簧的劲度系数，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度g取。 （1）从开始至B恰好不离开地面的过程，求弹簧弹性势能的变化量； （2）若用大小为的竖直向上恒力作用于A，使之由静止开始运动，直至B刚离开地面时，求A的速度大小。 弹簧不同阶段的能量转化关系 运动过程 临界状态分析 能量分析 物块C与B碰撞后一起向右运动 B、C在弹簧弹力作用下一起向右做减速运动速度减为零时，弹簧压缩量最大，弹力最大 B、C与弹簧组成的系统机械能守恒，物块B、C的动能与弹簧的弹性势能相互转化，动能最大时弹性势能最小；弹性势能最大时，动能最小 物块B、C从速度为零开始向左加速至B、C分离前瞬间 B、C在弹簧弹力作用下相一起向左做加速运动，弹弹簧恢复原长时，B、C最速度最大，A即将离开右侧挡板 弹簧恢复原长后B、C分离，C向左匀速运动，B向左减速运动，A向左加速运动 B、C分离后，A、B共速时，弹簧形变量最大 A、B与弹簧组成的系统机械能守恒，物块A、B的动能与弹簧的弹性势能相互转化，A、B共速时弹簧弹性势能最大，物块动能最小 1．（24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能到达最高点C，C、O、B三点在同一竖直线上。（不计空气阻力）试求： （1）物体到达B点时的速度大小； （2）物体在A点时弹簧的弹性势能； （3）物体从B点运动至C点的过程中克服摩擦力做的功。 2．（24-25高三上·江西·期中）如图所示，三个质量均为的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为的轻弹簧两端分别与A、B水平连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的动摩擦因数均为，弹簧的弹性势能可表示为：（为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量）。假设上述运动过程中弹簧始终在弹性限度内。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，求： （1）B、C向左移动的最大距离； （2）物块C离开初位置的最大距离； （3）改变恒力大小，为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值。（结果可用根式表示） 3．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面的倾角。B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用。同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为2m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑的最大速度 v，试求： （1）A速度最大时弹簧弹力大小F； （2）弹簧开始时弹性势能Ep； （3）将B转移和A固定在一起，绳子直接连在弹簧上，用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，开始时整个系统处于静止状态；释放A后，当C离开地面前瞬间，求A的速度。 1．（2025·河南郑州·一模）如图甲，古老的牧羊人跳”是利用一根长杆从高处安全跳下。某同学将该过程简化为物块与杆在竖直方向的运动，如图乙，质量的物块套在长杆上，距长杆下端的长度。初始时，物块与长杆从某一高度自由下落，长杆碰到地面后保持静止（插人地面长度可忽略）；物块继续向下运动，受到杆的阻力。为保证安全，物块到达地面时速度应小于。重力加速度大小取，求： （1）在保证安全的前提下，物块下落过程中最大速度的大小； （2）物块能安全下落的最大高度。 2．（2025·河南安阳·一模）如图所示，足够长的水平传送带MN以速度自西向东匀速运动，某时刻将一质量的小物块轻放在传送带上，离放置小物块的位置足够远的地方固定有南北方向的竖直挡板ABCD，当小物块运动到此处时，挡板可阻止小物块继续向东运动。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数，与挡板之间的动摩擦因数，重力加速度g取。求： （1）在小物块到达挡板之前，物块与传送带间因摩擦产生的热量Q； （2）小物块被挡板阻止后，对小物块施加一水平向南的拉力F，使小物块相对地面以的速度向南匀速滑动，该拉力F的大小。 3．（2025·内蒙古·模拟预测）投沙包游戏规则为：参赛者站在离得分区域边界AB一定的距离外将沙包抛出，每个得分区域的宽度d = 0.15 m，根据沙包停止点判定得分。如图，某同学以大小v0 = 5 m/s、方向垂直于AB且与水平地面夹角53°的初速度斜向上抛出沙包，出手点距AB的水平距离L = 2.7 m，距地面的高度h = 1 m。落地碰撞瞬间竖直方向速度减为零，水平方向速度减小。落地后沙包滑行一段距离，最终停在9分、7分得分区的分界线上。已知沙包与地面的动摩擦因数μ = 0.25，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，取重力加速度大小g = 10 m/s2，空气阻力不计。求： （1）沙包从出手点到落地点的水平距离x； （2）沙包与地面碰撞前、后动能的比值k。 4．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，竖直平面内固定两根足够长的细杆、，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计．两个小球a、b（视为质点）质量均为m，a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置（轻杆与杆夹角为）由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g．在此后的运动过程中，求： （1）b球的速度为零时，a球的加速度大小； （2）b球的最大速度为多大； （3）L杆与竖直方向夹角θ的余弦值为多大时，a球的速度最大，最大速度为多大。 5．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图（a），某生产车间运送货物的斜面长8m，高2.4m，一质量为200kg的货物（可视为质点）沿斜面从顶端由静止开始滑动，经4s滑到底端。工人对该货物进行质检后，使用电动机通过一不可伸长的轻绳牵引货物，使其沿斜面回到顶端。如图（b）所示，已知电动机允许达到的最大输出功率为2200W，轻绳始终与斜面平行，重力加速度大小取，设货物在斜面上运动过程中所受摩擦力大小恒定。 （1）求货物在斜面上运动过程中所受摩擦力的大小； （2）若要在电动机输出功率为1200W的条件下，沿斜面向上匀速拉动货物，货物速度的大小是多少？ （3）启动电动机后，货物从斜面底端由静止开始沿斜面向上做加速度大小为的匀加速直线运动，直到电动机达到允许的最大输出功率，求货物做匀加速直线运动的时间。 6．（2024·辽宁朝阳·三模）如图是小明家汽车的动力系统，该汽车发动机实质是汽油机，g取，请回答下列问题： （1）汽车整车质量约为，静止时车轮与地面的总接触面积约为，则汽车静止时对水平地面的压强是多少？ （2）已知汽车匀速行驶用时，则汽车行驶的速度是多少？ （3）汽车在平直公路上行驶时所受阻力约为车重的0.3倍，则行驶过程中汽车发动机的输出功率是多少？ （4）请描述汽车行驶时能量转化的情况。 7．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，圆心为O、半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直平面内。质量为m的小球（可视为质点）静止在最低点，现给小球一水平初速度，已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。 （1）若小球能做完整的圆周运动，求小球在最低点和最高点所受圆轨道的弹力大小之差； （2）若小球上升到某一点时脱离圆轨道，之后恰好经过O点，求小球初速度的大小。（结果可用根式表示） 8．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，长L=1.5m、质量M=2kg的木板静止放在光滑的水平地面上，木板左端距障碍物的距离，障碍物恰好与木板等高。质量m=1kg的滑块（可视为质点）静止放在木板右端，木板与滑块之间的动摩擦因数为0.8，滑块在9N的水平力F作用下从静止开始向左运动。木板与障碍物碰撞后以原速率反弹，经过一段时间滑块恰在障碍物处脱离木板。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求木板第一次与障碍物碰撞前，木板的加速度a； （2）求滑块与木板间因摩擦产生的总热量Q； （3）求木板与障碍物碰撞的次数。 9．（2024·全国·模拟预测）如图甲所示，高为的光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上，用质量为的小球压缩弹簧的另一端，使弹簧具有弹性势能。小球被释放后，在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面右端水平飞出。距离桌面右端水平距离为处，有竖直放置的、下端固定在水平地面上的、高为的探测屏。现把弹簧压缩到不同长度，使小球飞出。不计空气阻力，小球可视为质点，小球落地后立即停止运动，重力加速度为。 （1）为使小球能打在探测屏上，求开始释放小球时弹簧的弹性势能需满足的条件； （2）现将探测屏由图甲所示位置水平向右移动距离（未知），如图乙所示，当小球打在点的动能等于小球打在图甲中点的动能时，求的值。 10．（2024·江苏淮安·一模）如图甲所示，电动机驱动水平传送带以的速度匀速穿过固定竖直光滑挡板，挡板与传送带边缘间的夹角。质量的圆柱形物块从传送带左端由静止释放，经一段时间做匀速直线运动，接着撞击挡板，撞击挡板前后沿挡板的分速度不变、垂直挡板的分速度减为零，撞击后紧贴挡板运动滑离传送带，俯视图如图乙所示。已知物块与传送带间的动摩擦因数，g取。求： （1）物块由静止开始做加速运动的时间t； （2）物块紧贴挡板运动时所受摩擦力的大小和方向； （3）上述过程中，因传送该物块电动机多消耗的电能E。 11．（2024·安徽·模拟预测）如图，轻质弹簧的一端固定在水平地面上，另一端与质量为的薄木板A相连，质量为的小球B放在木板A上，弹簧的劲度系数为。现用一竖直向下、大小的力作用在B上使系统处于静止状态，在B正上方处有一固定的四分之一内壁光滑的竖直圆弧轨道，轨道半径，轨道下端P点距离静止时薄木板A高度为。撤去外力F后，B竖直上升刚好能到达P点，求： （1）撤去外力F时，A对B的弹力大小； （2）若将B球换成质量为的C球，再次用外力压到原来相同位置保持静止，随后撤去外力，则判断小球C能不能到达Q点?若能到达则小球C在Q点时对轨道的压力为多少? 1．（2023·辽宁·高考真题）某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v₁=80m/s时离开水面，该过程滑行距离L=1600m、汲水质量m=1.0×10⁴kg。离开水面后，飞机攀升高度h=100m时速度达到v₂=100m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g=10m/s²。求： （1）飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t； （2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE。 2．（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径，滑梯顶点a与滑梯末端b的高度，静止在光滑水平面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，并与其水平相切，滑板质量，一质量为的游客，从a点由静止开始下滑，在b点滑上滑板，当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行停下。游客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为，忽略空气阻力，重力加速度，求： （1）游客滑到b点时对滑梯的压力的大小； （2）滑板的长度L 3．（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。 （1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN； （2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能； （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。 4．（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 5．（2023·全国·高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求 （1）小球离开桌面时的速度大小； （2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题03 功能关系与能量守恒定律 功能关系与能量守恒定律多与动力学、动量结合，常出现多物体/多过程问题（如2024年黑吉辽卷两个连接的物体经过弹簧弹出→平抛→水平面滑行停止过程；2023年辽宁卷飞机在水面上由静止→匀加速直线运动→离开水面匀速飞行），且大部分题目需先通过牛顿定律分析运动过程（如加速度、速度变化），再应用能量守恒计算。题目综合能力较强，备考时要进行多过程拆解训练，将复杂问题分解为“加速—碰撞—减速”等阶段，逐一应用功能关系与动量守恒进行计算。 题型一 直线运动中的能量问题 【例1】（2024·黑龙江·三模）风洞是测试飞机性能、研究流体力学的一种必不可少的重要设施，我国的风洞技术处于世界领先地位。某次风洞实验可提供恒定的水平风力，如图所示，一小球先后经过A、B两点时的速度大小分别为v和，其中在A点的速度水平向右，在B点的速度竖直向下。已知A、B连线长为d，小球质量为m。（重力加速度g未知）求：小球从A点运动到B点的过程中。 （1）所用的时间t； （2）最小的动能Ek； （3）损失的机械能。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）将小球的运动分解，水平方向有 竖直方向有 小球的位移 解得 （2）设小球的加速度与水平方向的夹角为，则 小球的最小速度大小为 小球的最小动能 （3）小球损失的机械能等于克服水平风力做的功，即 直线运动中的能量分析 1、斜面模型：物体冲上（滑下）斜面或者在外力作用下沿斜面运动，若斜面粗糙，从做功角度看，涉及到外力、重力、摩擦力对物体做功；从能量角度看，涉及到重力势能、动能和热量的相互转化。 （1）冲上（滑下）斜面 冲上斜面过程中：动能转化为内能和重力势能，重力做功为；下滑过程中重力势能转化为内能和动能，重力做功为。 克服摩擦力做功转化为内能，即，物块动能变化量为。 （2）物体受外力沿粗糙斜面上滑 重力对物体做负功：，物体重力势能增加，增加的重力势能等于物体克服重力做的功。克服摩擦力做功转化为内能，即。合外力对物体做正功，增加的动能等于合外力做的功，。 2、板块模型 木板静止在光滑水平面，物块滑上粗糙的木板，恰好共速或物块刚好不滑离木板。 对物体有；对木板有； 对系统有。 1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图所示为某工厂的货物传送装置，倾斜传送带AB与一斜面BC平滑连接，AB、BC与水平面夹角均为37°角，B点到C点的距离为，传送带顺时针运行，速度恒为，传送带长为。现将一质量为的小货物（可视为质点）轻轻放于A点，小货物恰好能到达C点。已知小货物与传送带间的动摩擦因数，取，，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： （1）小货物从A点运动到B点所经历的时间； （2）小货物与斜面间的动摩擦因数； （3）传送带因传送该货物而多消耗的电能。 【答案】（1）s （2） （3）J 【解析】（1）假设小货物在传送带上先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，则 得 加速距离 假设成立。货物加速时间 匀速时间 从A运动到B的时间 （2）在BC段 得 又 得 （3）小货物与传送带间因摩擦而产生的热量 由能量守恒定律，传送带因传送该货物而多消耗的电能 得 2．（24-25高一上·贵州安顺·期末）如图甲是消防逃生滑道，可简化为乙图所示的斜面。某逃生滑道的倾角为，高度，人与滑道间动摩擦因数。逃生时人从滑道顶端A处由静止开始滑下，不计空气阻力，人可视为质点，重力加速度大小为。 （1）在图乙中处画出人下滑过程中的受力示意图，并求出下滑加速度的大小； （2）求人滑到斜面底端处时速度的大小和下滑过程所用的时间； （3）为了保障最高安全性，应使人滑到处时速度正好为零。可把滑道分成等长的两段，即。段动摩擦因数仍然为，求段动摩擦因数； （4）随着新材料新工艺的发展，人们制成了动摩擦因数与滑动位移成正比的特殊材料滑道，如图丙所示，已知。若采用该特殊材料的滑道，人从A点静止滑到C点，求人滑到C点时的速度大小。 【答案】（1）见解析  ； （2）；4s （3） （4）0 【解析】（1）在图乙中处人下滑过程中的受力示意图，如图所示 由牛顿第二定律 又 联立，解得 （2）依题意，人在斜面上做匀加速直线运动，有 解得 t=4s 人滑到斜面底端处时速度的大小 （3）由几何关系可知 根据动能定理 解得 （4）人从A点静止滑到C点，由动能定理可得 解得 3．（2025·河南信阳·二模）图甲为某学生的书桌抽屉。已知抽屉的质量kg，长度m，其中放有质量kg，长m的书本，书本的四边与抽屉的四边均平行。书本的右端与抽屉的右端相距也为s，如图乙所示。不计柜体和抽屉的厚度以及抽屉与柜体间的摩擦，书本与抽屉间的动摩擦因数。现用水平力F将抽屉抽出，抽屉遇到柜体的挡板时立即锁定不动。重力加速度m/s2。 （1）N时，书本和抽屉一起向右运动，求与挡板碰前瞬间抽屉的速度大小v； （2）N时，求书本最终停止时，书本和抽屉因摩擦产生的内能。 【答案】（1）1.2m/s （2）0.16J 【解析】（1）对书本和抽屉由牛顿第二定律可得 根据运动学公式可得 解得与挡板碰前瞬间抽屉的速度大小为 （2）对书本由牛顿第二定律有 对抽屉和书本整体由牛顿第二定律有 解得要使书本和抽屉不发生相对滑动，F的最大值为 由于 可知书本和抽屉有相对滑动；对抽屉，由牛顿第二定律有 设抽屉的运动时间为，根据运动学公式可得 此时书本的速度为 书本通过的位移大小为 此后书本经过速度减为0，则有 则书本最终停止时，书本和抽屉因摩擦产生的内能为 4．（24-25高三上·安徽宿州·期末）如图甲所示，轻质弹簧竖直固定在水平面上，上端与木板A相连，物块B置于木板A上，F=60N的力竖直向下作用在B上使系统处于静止状态。撤去外力F后，B竖直上升至最高点P处时AB间压力恰好为零，上升高度h1=0.6m。现将小球C置于弹簧上端，用外力将弹簧压至与图甲相同状态，如图乙所示。随后撤去外力，当C球上升至高度h2的Q点时，C球恰好进入竖直向下运动的足够长竖直圆管内（圆管此时速度v=3m/s）。已知C球与圆管之间的滑动摩擦力f=5N，mA=2kg，mB=4kg，mC=1kg，h2=1.8m，圆管质量M=0.2kg。圆管全程处于竖直状态，不计空气阻力，g取10m/s2。求： （1）图甲中，当撤去力F时，A对B的支持力大小； （2）图乙中，C球自释放到上升至最高点的过程中，系统因摩擦产生的内能ΔU内及C球距释放点N上升的最大高度H。 【答案】（1）80N （2）3.0375m 【解析】（1）初始时，系统处于静止状态，则 撤去外力后，对AB，有 对B物块，有 联立可得 （2）撤去外力后，AB到P处，有 撤去外力后，C球与弹簧机械能守恒，则 联立解得 C球进入管中，对C球，有 对圆管，有 解得， 则圆管速度减为零的时间为 此时C球的速度大小为 此过程中二者相对位移为 之后圆管向上做匀加速直线运动，C球继续向上做匀减速直线运动，直到二者共速，则 代入数据解得， 此过程中二者相对位移为 联立可得 C球与圆管共速后一起做竖直上抛运动，有 所以系统因摩擦产生的内能为 C球距N点高度，有 题型二 曲线运动中的能量问题 【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，粗糙水平面NQ右侧固定一个弹性挡板，左侧在竖直平面内固定一个半径、圆心角的光滑圆弧轨道MN。半径ON与水平面垂直，N点与挡板的距离。可视为质点的滑块质量，从P点以初速度水平抛出，恰好在M点沿切线进入圆弧轨道。已知重力加速度g取，。 （1）求滑块经过N点时对圆弧轨道的压力大小； （2）若滑块与挡板只发生一次碰撞且不能从M点滑出轨道，求滑块与水平面间的动摩擦因数的取值范围。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）依题意，滑块到达M点时，速度分解为水平和竖直两个方向，可得 滑块从M点运动到N点过程，由动能定理可得 滑块在最低点N时，由牛顿第二定律可得 联立，解得 根据牛顿第三定律可知滑块经过N点时对圆弧轨道的压力大小为 （2）动摩擦因数取最大值时，滑块第一次向右运动恰好与挡板碰撞，有 解得 滑块恰好可以再次滑到M点，由动能定理可得 解得 滑块恰好不与挡板发生第二次碰撞，即 解得 所以动摩擦因数的取值范围为 曲线运动中的能量分析 1、斜抛运动（到达最高点时，动能最小） 能量关系式：. 2、竖直方向上的圆周运动（不脱离圆轨道） （1）能做完整的圆周运动 若轨道光滑： ； 若轨道粗糙：. （2）只在下半圆周上运动 若轨道光滑： ；若轨道粗糙：. 1．（2025·贵州毕节·一模）如图，质量为1kg的小车右端紧靠竖直墙面而不粘连，小车上表面固定着一“7”字形轻杆（高度超过1m），长为1m的轻绳一端固定在轻杆上的O点，另一端连着质量为0.5kg的小球，整个系统静置于光滑水平地面上。向右拖动小球，使轻绳与竖直方向的夹角为并由静止释放，不计空气阻力，重力加速度g取。求： （1）小球第一次运动至最低点时速度的大小； （2）小球运动至左端最高点时相对于最低点的高度。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）小球从释放到最低点过程中，下落高度为 由机械能守恒定律可得 解得小球第一次运动至最低点时速度的大小为 （2）将小球和车作为一个系统来研究，当小球运动到最低点后系统动量守恒，从最低点到左端最高点间，根据动量守恒可得 解得 由系统机械能守恒得 解得小球运动至左端最高点时相对于最低点的高度为 2．（24-25高三上·云南红河·阶段练习）2024年夏天，我国奥运健儿在第33届夏季奥运会上摘得40枚金牌，取得参加境外奥运会的史上最好成绩，邓雅文获得自由式小轮车女子公园赛金牌。邓雅文比赛中的一段赛道简化为半径为的圆弧形光滑轨道AB和水平轨道BC，轨道AB与水平地面相切，A为圆弧轨道的最低点，AB所对应的圆心角为，如图所示。邓雅文（含小轮车）无动力地从A点以的速度冲上圆弧形轨道AB，从B点冲出轨道，又从C点落回轨道。若邓雅文（含小轮车）可视为质量为的质点，不计空气阻力，取，。重力加速度。求： （1）邓雅文（含小轮车）经过B点时对轨道的压力大小； （2）BC之间的距离。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）邓雅文（含小轮车）从A点运动到B点的过程中，由动能定理得 在B点，由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律可知，邓雅文（含小轮车）经过B点时对轨道的压力大小为。 （2）邓雅文（含小轮车）从B点运动到C点的过程中做斜抛运动，沿水平方向做匀速直线运动，沿竖直方向做匀变速直线运动，设邓雅文（含小轮车）从B点运动到C点的时间为，根据斜抛运动的对称性有 ， 结合上述解得 3．（2024·四川成都·模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径、圆心角为的圆弧，半径为，圆心角为的圆弧组成，轨道末端的点为圆弧的最高点，轨道间平滑连接。质量的物块从轨道上高度处以初速度下滑，经圆弧轨道滑上轨道。物块与轨道间的动摩擦因数，其余轨道光滑。（不计空气阻力，物块视为质点，，，） （1）若初速度，求物块第一次通过点时速度大小； （2）若初速度，求物块在轨道上运动的总路程； （3）若物块沿轨道从点滑出，应满足什么条件？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）物块从开始运动到D点过程，根据动能定理 解得 （2）设过D点后冲上曲面高度为，根据机械能守恒定律 解得 而 所以 故物块不会冲上E点，会原路返回。物块运动全程由能量守恒有 解得 （3）物块在D点不脱离轨道，则全程不会脱离轨道，此时初速度最大，根据动能定理 还需要满足 解得 同理，物块能从E点滑出，满足 解得 综上 4．（2024·湖北·模拟预测）如图所示为固定在竖直平面内半径为R = 1 m的半圆形粗糙轨道，A为最低点，B为圆心等高处，C为最高点。一质量为m = 1 kg的遥控小车（可视为质点）从A点水平向右以v0 = 8 m/s无动力进入轨道，上升高度为H = 1.8 m时脱离轨道，重力加速度g = 10 m/s2，不计空气阻力。求：（可保留根号或π的形式，或对应结果保留1位小数） （1）小车脱离轨道时的速度大小； （2）小车从A至脱离过程克服摩擦力所做的功； （3）开启动力后，小车以v0 = 8 m/s匀速率沿着轨道运动，若小车所受的摩擦阻力为小车对轨道压力的k = 0.25倍，求小车从A到C过程中电动机做的功。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）设小车脱离轨道时的速度大小为v，脱离时位置跟圆轨道圆心连线与水平面夹角为θ，有 根据牛顿第二定律有 解得 （2）小车从A点至脱离过程，根据动能定理有 解得 （3）取关于水平半径对称的上下两端极短圆弧，该位置与圆心连线与水平夹角设为α， 在下端，根据牛顿第二定律有 在上端，根据牛顿第二定律有 则 根据题意有 根据做功公式有 根据动能定理有 解得 题型三 连接体中的能量问题 【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，两个顶端带有小定滑轮的完全相同的斜面对称固定在水平地面上，斜面倾角为30°。一不可伸长的轻质细绳跨过两定滑轮，两端分别连接质量均为2m的滑块B、C，质量为m的物块A悬挂在细绳上的O点，O点与两滑轮的距离均为l。先托住A，使两滑轮间的细绳呈水平状态，然后将A由静止释放。A下落过程中未与地面接触，B、C运动过程中均未与滑轮发生碰撞，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，，。求： （1）物块A下落的最大高度H； （2）从A开始下落直至结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°的过程中，物块A机械能的变化量。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据题意可知，物块A下落的最大高度H时，速度为零，由机械能守恒定律有 整理可得 解得 （舍去）， （2）根据题意，由几何关系可得，结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°时，物块A下落的高度为 设此时物块A的速度为，则物块B、C的速度为 下落过程中，由机械能守恒定律有 物块A机械能的变化量 连接体中的能量转化分析 类型 图示 条件 思路 轻绳模型 忽略空气阻力和各种摩擦，静止释放 两物体速度大小相等，单个物体的机械能不守恒，系统的机械能守恒。小球B减少的重力势能转化为两小球增加的动能和小球A增加的重力势能，即 轻杆模型 忽略空气阻力和各种摩擦，一起沿斜面运动下滑 平动时两物体沿杆的分速度大小相等，转动时两物体的角速度相等。系统机械能守恒： 轻弹簧模型 忽略空气阻力和各种摩擦，物体的速度不一定沿弹簧轴线方向 单个物体的机械能不守恒，但系统的机械能守恒。列机械能守恒方程时，一般选用的形式（但要注意包括重力势能和弹性势能的变化量） 1．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平面上，轻弹簧一端固定在斜面底端的挡板上，另一端与物块B相连，不可伸长的细线一端固定在斜面上的点，另一端绕过轻滑轮和定滑轮连接物块A，物块B与轻滑轮相连。已知物块A、B的质量分别为，弹簧的劲度系数，弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量），重力加速度。开始时用手托着物块A使其处于静止状态，此时细线恰好伸直但无作用力，然后由静止释放物块A，在之后运动的过程中物块未到达点，物块A未着地，弹簧始终在弹性限度内，两物块A、B均可视为质点。求： （1）物块B的最大速度；（结果可用根式表示） （2）物块A下降的最大距离。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设物块B处于静止状态时弹簧的压缩量为，根据平衡条件有 解得 当物块B的速度最大时两物块A、B的加速度均为零，设细线上的张力为，弹簧的伸长量为，有 解得 设物块B的最大速度为，初状态和达到最大速度时弹簧的弹性势能相等，根据能量守恒定律有 解得物块B的最大速度 （2）设物块A下降的最大距离为，此时两物块A、B的速度均为零，根据机械能守恒定律有 解得物块A下降的最大距离 2．（2024·江苏徐州·三模）如图所示，足够大的光滑板固定在水平面内，板上开有光滑的小孔，细线穿过小孔，将小球A、B、C拴接。小球A在光滑板上做匀速圆周运动，小球B、C自然下垂处于静止状态。已知小球A、B、C的质量均为，小球A到小孔的距离为，重力加速度为。 （1）求小球A做圆周运动的速度大小； （2）剪断B、C间细线瞬间，小球A的加速度大小为，求此时小球B的加速度大小； （3）剪断B、C间细线后，小球B运动到最高点的过程中（小球B未与板接触），细线对小球B做的功为，求小球B运动到最高点时小球A的角速度大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）依题意，小球A所受细线拉力提供其做匀速圆周运动的向心力，有 解得 （2）剪断B、C间细线瞬间，对小球B受力分析，根据牛顿第二定律可得 对小球A，有 联立，解得 （3）设小球B上升的高度为h，由动能定理，可得 解得 系统机械能守恒，有 又 联立，解得 3．（2024·广西贺州·一模）向楼房的高层运输建筑材料时为了尽可能节省能量，小明同学设计了如图所示的定滑轮装置。P为质量为m的待运输材料，Q为与待运输材料质量相等的配重，距离地面的高度为h。在Q上加上一定质量的物块，P将加速向上运动，当Q落地后，P将减速运动。不计定滑轮的重力、空气阻力和一切摩擦，重力加速度为g，为了使P上升至时速度恰好减小到零被工人接住。求： （1）在Q上加上的物块的质量； （2）P加速上升时，固定定滑轮的N处承受的拉力。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）Q上增加质量为的配重后，从Q开始下落到Q落地前，P、Q组成的系统机械能守恒。设Q落地瞬间P的速度大小为v，以地面为零势能面，在该过程中对P、Q整体由机械能守恒定律有 Q落地后，P继续上升直到速度减为零，在该过程中对P，由机械能守恒定律有 联立解得 （2）在P加速上升时，设轻绳的拉力为，P、Q运动时加速度大小为a，对PQ分别由牛顿第二定律有 固定定滑轮的N处承受的拉力大小 联立解得 4．（2024·湖南邵阳·一模）如图，A、B可看做质点的两个小球分别固定在轻杆的两端，整个装置静止靠着竖直墙面，受轻微扰动后，B球开始沿水平面向右运动，两球质量均为m，轻杆长为L，重力加速度为g，两球始终在同一竖直面内，不计一切摩擦，只考虑A球落地前的运动。 （1）当杆与水平面的夹角为时（此时A球还未离开竖直面），则此时A、B两球速度的大小、分别为多少？（） （2）B球运动过程中的最大速度的大小为多少？此时地面对B球的支持力大小是多少？ （3）求A球的最大速度的大小和方向。（方向可用三角函数表示） 【答案】（1），；（2），；（3），方向与水平方向夹角的余弦值为 【解析】（1）根据关联速度，两小球沿杆方向速度相等，则有 由机械能守恒定律有 解得 ， （2）由（1）中公式可得 由数学知识可知，当时，取得最大值，最大值为 B球速度最大时，B球水平方向合力为0，可知，此时杆的作用力为0，则此时地面对B的支持力大小 （3）在（2）中状态后A与墙壁分离，两球水平方向动量守恒，A球落地前瞬间A、B两球水平方向速度相同，都设为，则有 解得 分析可知，A球落地前瞬间A球速度最大，根据能量守恒得 解得 此时A速度方向与水平方向夹角为，则有 题型四 弹簧中的能量问题 【例1】（2024·安徽合肥·二模）如图所示，小物块A和B通过轻质弹簧相连接，竖直静置于水平地面上。若给小物块A一竖直方向的瞬时冲量，其大小为，随后B恰好不能离开地面。已知A、B质量分别为、，弹簧的劲度系数，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度g取。 （1）从开始至B恰好不离开地面的过程，求弹簧弹性势能的变化量； （2）若用大小为的竖直向上恒力作用于A，使之由静止开始运动，直至B刚离开地面时，求A的速度大小。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）初始小物块A静止时，弹簧压缩，则 代入得 小物块B恰好不能离开地面，弹簧伸长，则 代入得 对小物块A提供竖直向下的瞬时冲量I，则 代入得 小物块B恰好不离开地面的过程中，小物块A、小物块B、轻弹簧和地球系统机械能守恒，则 代入得 （2）由题知，未用力F拉动时，A、B静止，小物块A静止时，弹簧压缩，小物块B恰好不能离开地面，弹簧伸长，由动能定理知 代入得 弹簧不同阶段的能量转化关系 运动过程 临界状态分析 能量分析 物块C与B碰撞后一起向右运动 B、C在弹簧弹力作用下一起向右做减速运动速度减为零时，弹簧压缩量最大，弹力最大 B、C与弹簧组成的系统机械能守恒，物块B、C的动能与弹簧的弹性势能相互转化，动能最大时弹性势能最小；弹性势能最大时，动能最小 物块B、C从速度为零开始向左加速至B、C分离前瞬间 B、C在弹簧弹力作用下相一起向左做加速运动，弹弹簧恢复原长时，B、C最速度最大，A即将离开右侧挡板 弹簧恢复原长后B、C分离，C向左匀速运动，B向左减速运动，A向左加速运动 B、C分离后，A、B共速时，弹簧形变量最大 A、B与弹簧组成的系统机械能守恒，物块A、B的动能与弹簧的弹性势能相互转化，A、B共速时弹簧弹性势能最大，物块动能最小 1．（24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能到达最高点C，C、O、B三点在同一竖直线上。（不计空气阻力）试求： （1）物体到达B点时的速度大小； （2）物体在A点时弹簧的弹性势能； （3）物体从B点运动至C点的过程中克服摩擦力做的功。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）在B点根据牛顿第二定律得 由牛顿第三定律 解得物体到达B点时的速度大小 （2）从A点到B点，由系统机械能守恒可得，物体在A点时弹簧的弹性势能为 （3）物体恰好到达最高点C，重力提供向心力，则有 从B点到C点，由动能定理可得 联立解得克服摩擦力做的功为 2．（24-25高三上·江西·期中）如图所示，三个质量均为的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为的轻弹簧两端分别与A、B水平连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的动摩擦因数均为，弹簧的弹性势能可表示为：（为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量）。假设上述运动过程中弹簧始终在弹性限度内。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，求： （1）B、C向左移动的最大距离； （2）物块C离开初位置的最大距离； （3）改变恒力大小，为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值。（结果可用根式表示） 【答案】（1）1m （2）1.5m （3） 【解析】（1）从开始到、C向左移动到最大距离的过程中，以、C和弹簧为研究对象，由功能关系得 联立得 （2）弹簧恢复原长时、C分离，从弹簧最短到、C分离，以、C和弹簧为研究对象，由能量守恒得 其中 F=μmg C独自向右运动过程中，根据动能定理 解得 （3）当刚要离开墙时，设弹簧的伸长量为，以为研究对象，由平衡条件得 若刚要离开墙壁时的速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值，从弹簧恢复原长到刚要离开墙的过程中，以和弹簧为研究对象，由能量守恒得 联立得 根据题意舍去 得 3．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面的倾角。B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用。同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为2m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑的最大速度 v，试求： （1）A速度最大时弹簧弹力大小F； （2）弹簧开始时弹性势能Ep； （3）将B转移和A固定在一起，绳子直接连在弹簧上，用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，开始时整个系统处于静止状态；释放A后，当C离开地面前瞬间，求A的速度。 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】（1）由分析可知，A速度最大时，加速度为零，设AB之间的绳的拉力为 ，对A受力分析有 此时B的加速度也为零，C恰好离开地面，BC间弹簧处于拉伸状态，对B受力分析有 联立上式，代入数据得 （2）开始时，对B受力分析有 由胡克定律 由上式可知，弹簧弹力和形变量成正比例，则可知弹性势能和形变量之间关系满足 联立上式 解得 （3）当C离开地面前瞬间，C的速度为零，设从静止到当C离开地面前瞬间AB下滑的距离为，同时弹簧的形变量也为，对ABC和弹簧组成的系统，由机械能守恒可知 对C离开地面前瞬间受力分析 联立上式得 1．（2025·河南郑州·一模）如图甲，古老的牧羊人跳”是利用一根长杆从高处安全跳下。某同学将该过程简化为物块与杆在竖直方向的运动，如图乙，质量的物块套在长杆上，距长杆下端的长度。初始时，物块与长杆从某一高度自由下落，长杆碰到地面后保持静止（插人地面长度可忽略）；物块继续向下运动，受到杆的阻力。为保证安全，物块到达地面时速度应小于。重力加速度大小取，求： （1）在保证安全的前提下，物块下落过程中最大速度的大小； （2）物块能安全下落的最大高度。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据动能定理有 代入数据解得 （2）根据速度位移公式有 解得 则物块能安全下落的最大高度 2．（2025·河南安阳·一模）如图所示，足够长的水平传送带MN以速度自西向东匀速运动，某时刻将一质量的小物块轻放在传送带上，离放置小物块的位置足够远的地方固定有南北方向的竖直挡板ABCD，当小物块运动到此处时，挡板可阻止小物块继续向东运动。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数，与挡板之间的动摩擦因数，重力加速度g取。求： （1）在小物块到达挡板之前，物块与传送带间因摩擦产生的热量Q； （2）小物块被挡板阻止后，对小物块施加一水平向南的拉力F，使小物块相对地面以的速度向南匀速滑动，该拉力F的大小。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设小物块的加速度大小为，则有 设小物块与传送带共速所需的时间为 小物块的位移大小为 传送带的位移大小为 故系统产生的热量 以上各式联立可解得 （2）设与之间的夹角为，则有 而 小物块相对于传送带和挡板的运动情况与受力情况如图所示 传送带对小物块的摩擦力大小为 挡板对小物块的摩擦力大小为 故拉力的大小为 又因为 以上各式联立可解得 3．（2025·内蒙古·模拟预测）投沙包游戏规则为：参赛者站在离得分区域边界AB一定的距离外将沙包抛出，每个得分区域的宽度d = 0.15 m，根据沙包停止点判定得分。如图，某同学以大小v0 = 5 m/s、方向垂直于AB且与水平地面夹角53°的初速度斜向上抛出沙包，出手点距AB的水平距离L = 2.7 m，距地面的高度h = 1 m。落地碰撞瞬间竖直方向速度减为零，水平方向速度减小。落地后沙包滑行一段距离，最终停在9分、7分得分区的分界线上。已知沙包与地面的动摩擦因数μ = 0.25，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，取重力加速度大小g = 10 m/s2，空气阻力不计。求： （1）沙包从出手点到落地点的水平距离x； （2）沙包与地面碰撞前、后动能的比值k。 【答案】（1）3 m （2）20 【解析】（1）沙包竖直上方的初速度为 沙包在竖直方向上减速到0，然后做自由落体运动，设竖直向上为正，则有 代入数据解得 沙包抛出的水平初速度为 所以从抛出到落地沙包的水平位移为 （2）沙包滑行的距离为 沙包滑行过程中，水平方向上有 的加速度大小 滑行的初速度有 与地面碰撞后的动能 从抛出到落地根据动能定理有 解得落地瞬间的动能 所以 4．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，竖直平面内固定两根足够长的细杆、，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计．两个小球a、b（视为质点）质量均为m，a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置（轻杆与杆夹角为）由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g．在此后的运动过程中，求： （1）b球的速度为零时，a球的加速度大小； （2）b球的最大速度为多大； （3）L杆与竖直方向夹角θ的余弦值为多大时，a球的速度最大，最大速度为多大。 【答案】（1）g （2） （3）， 【解析】（1）初始位置时，由牛顿第二定律知，a球 式中F为L杆沿杆的推力，b球 沿杆方向两球加速度分量相等，即 联立解得 杆水平时，此时b的速度为0，竖直方向 解得 （2）杆竖直时b球速度最大，此时a球速度为零，a、b球由开始释放到下降到最低点过程，动能定理 解得 （3）方法一：a球速度最大时，a球位于下方，设此时杆与竖直方向夹角为θ，a、b球由开始释放到杆与竖直方向夹角为θ的过程，同理 沿杆方向有 令，一阶导数为0时，有极值，即 ，（舍） （舍） 代入可得 方法二：a球速度最大时，a球位于下方，设此时杆与竖直方向夹角为θ，a、b球由开始释放到杆与竖直方向夹角为θ的过程，同理 沿杆方向有 a球：末态，竖直方向，平衡条件 b球：末态，竖直方向 沿杆方向，牛顿第二定律 联立解得 （舍） 5．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图（a），某生产车间运送货物的斜面长8m，高2.4m，一质量为200kg的货物（可视为质点）沿斜面从顶端由静止开始滑动，经4s滑到底端。工人对该货物进行质检后，使用电动机通过一不可伸长的轻绳牵引货物，使其沿斜面回到顶端。如图（b）所示，已知电动机允许达到的最大输出功率为2200W，轻绳始终与斜面平行，重力加速度大小取，设货物在斜面上运动过程中所受摩擦力大小恒定。 （1）求货物在斜面上运动过程中所受摩擦力的大小； （2）若要在电动机输出功率为1200W的条件下，沿斜面向上匀速拉动货物，货物速度的大小是多少？ （3）启动电动机后，货物从斜面底端由静止开始沿斜面向上做加速度大小为的匀加速直线运动，直到电动机达到允许的最大输出功率，求货物做匀加速直线运动的时间。 【答案】（1）400N；（2）1.2m/s；（3）4s 【解析】（1）货物沿斜面从顶端由静止滑到底端过程，根据运动学公式 解得加速度大小为 设斜面倾角为，根据牛顿第二定律可得 又 联立解得货物在斜面上运动过程中所受摩擦力的大小为 N （2）若要在电动机输出功率为1200W的条件下，沿斜面向上匀速拉动货物，则此时牵引力大小为 N 根据 可得货物速度的大小为 （3）启动电动机后，货物从斜面底端由静止开始沿斜面向上做加速度大小为0.5m/s2的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得 解得牵引力大小为 N 当电动机达到允许的最大输出功率时，货物的速度为 则货物做匀加速直线运动的时间为 6．（2024·辽宁朝阳·三模）如图是小明家汽车的动力系统，该汽车发动机实质是汽油机，g取，请回答下列问题： （1）汽车整车质量约为，静止时车轮与地面的总接触面积约为，则汽车静止时对水平地面的压强是多少？ （2）已知汽车匀速行驶用时，则汽车行驶的速度是多少？ （3）汽车在平直公路上行驶时所受阻力约为车重的0.3倍，则行驶过程中汽车发动机的输出功率是多少？ （4）请描述汽车行驶时能量转化的情况。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）内能转化为机械能 【解析】（1）汽车所受的重力 汽车静止时对水平地面的压力 汽车静止时对水平地面的压强 （2）汽车匀速行驶的速度 （3）因汽车匀速行驶时处于平衡状态，受到的牵引力和阻力是一对平衡力，所以，汽车的牵引力 行驶过程中汽车发动机的输出功率 （4）汽车行驶时内能转化为机械能。 7．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，圆心为O、半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直平面内。质量为m的小球（可视为质点）静止在最低点，现给小球一水平初速度，已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。 （1）若小球能做完整的圆周运动，求小球在最低点和最高点所受圆轨道的弹力大小之差； （2）若小球上升到某一点时脱离圆轨道，之后恰好经过O点，求小球初速度的大小。（结果可用根式表示） 【答案】（1）6mg （2） 【解析】（1）小球在最低点，由牛顿第二定律得 小球在最高点，由牛顿第二定律得 小球由最低点到最高点，由动能定理得 小球在最低点与最高点所受轨道的弹力之差为 联立解得 （2）设小球脱离轨道时速度大小为v，此时小球和圆心的连线与水平方向的夹角为，由牛顿第二定律得 离开轨道后，小球做抛体运动，将运动沿速度v的方向和垂直v的方向分解，则沿速度方向上有 沿垂直于速度方向上有 小球由最低点运动至脱离处，由机械能守恒得 联立解得 8．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，长L=1.5m、质量M=2kg的木板静止放在光滑的水平地面上，木板左端距障碍物的距离，障碍物恰好与木板等高。质量m=1kg的滑块（可视为质点）静止放在木板右端，木板与滑块之间的动摩擦因数为0.8，滑块在9N的水平力F作用下从静止开始向左运动。木板与障碍物碰撞后以原速率反弹，经过一段时间滑块恰在障碍物处脱离木板。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求木板第一次与障碍物碰撞前，木板的加速度a； （2）求滑块与木板间因摩擦产生的总热量Q； （3）求木板与障碍物碰撞的次数。 【答案】（1）；（2）；（3）3次 【解析】（1）木板在摩擦力作用下加速度可达到的最大值为 木板与滑块保持相对静止时拉力的最大值为 由于，所以施加拉力后滑块与木板相对静止，一起向左加速，根据牛顿第二定律可得 （2）木板第一次与障碍物碰撞后，做往复运动，其向左最大速度不可能再等于滑块速度，故滑块一直向左做匀加速运动，木板先向右减速，速度为零后向左加速，然后再次与障碍物碰撞，之后重复上述过程，即滑块相对于木板始终向左运动，相对位移为木板的长度；所以因摩擦产生的总热量为 （3）木板第一次与障碍物碰撞时的速率为 木板第一次与障碍物碰撞反弹后，滑块加速度大小为 木板加速度大小为 木板碰撞障碍物的周期为 由 可得 所以第一次碰撞后还会再碰撞的次数 故最终会碰撞3次。 9．（2024·全国·模拟预测）如图甲所示，高为的光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上，用质量为的小球压缩弹簧的另一端，使弹簧具有弹性势能。小球被释放后，在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面右端水平飞出。距离桌面右端水平距离为处，有竖直放置的、下端固定在水平地面上的、高为的探测屏。现把弹簧压缩到不同长度，使小球飞出。不计空气阻力，小球可视为质点，小球落地后立即停止运动，重力加速度为。 （1）为使小球能打在探测屏上，求开始释放小球时弹簧的弹性势能需满足的条件； （2）现将探测屏由图甲所示位置水平向右移动距离（未知），如图乙所示，当小球打在点的动能等于小球打在图甲中点的动能时，求的值。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当弹簧的弹性势能最大时，小球恰好打在点，设小球离开桌面时的速度为，空中运动时间为，则根据平抛运动的规律有 联立解得小球离开桌面时的速度 由能量守恒得释放小球时弹簧的弹性势能 当弹簧的弹性势能最小时，小球恰好打在点，设小球离开桌面时的速度为，空中运动时间为则根据平抛运动的规律有 联立解得小球离开桌面时的速度 由能量守恒得释放小球时弹簧的弹性势能 则为使小球能打在探测屏上，开始释放小球时弹簧的弹性势能需满足 （2）设小球打在题图甲中点时的动能为，则有 由题可知小球打在题图乙中点时，设弹簧弹性势能为，离开桌面是小球速度为，有 又 解得 根据平抛运动的规律有 解得 10．（2024·江苏淮安·一模）如图甲所示，电动机驱动水平传送带以的速度匀速穿过固定竖直光滑挡板，挡板与传送带边缘间的夹角。质量的圆柱形物块从传送带左端由静止释放，经一段时间做匀速直线运动，接着撞击挡板，撞击挡板前后沿挡板的分速度不变、垂直挡板的分速度减为零，撞击后紧贴挡板运动滑离传送带，俯视图如图乙所示。已知物块与传送带间的动摩擦因数，g取。求： （1）物块由静止开始做加速运动的时间t； （2）物块紧贴挡板运动时所受摩擦力的大小和方向； （3）上述过程中，因传送该物块电动机多消耗的电能E。 【答案】（1） （2）5N，方向见解析 （3）18.5J 【解析】（1）物块做加速运动过程，根据牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 则物块由静止开始做加速运动的时间为 （2）物块紧贴挡板运动时，受到传送带的滑动摩擦力作用，则大小为 由于撞击挡板前后沿挡板的分速度不变、垂直挡板的分速度减为零，如图所示 则物块紧贴挡板运动时，物块相对传送带的运动方向垂直于挡板，与方向相反，故物块所受摩擦力的方向垂直于挡板与方向相同。 （3）物块紧贴挡板运动时，对物块进行受力分析，水平面内受到垂直挡板方向的摩擦力和挡板支持力作用，竖直方向受到重力和传送带的支持力作用，可知物块沿挡板做匀速直线运动；物块由静止加速到与传送带共速过程，发生的相对位移为 根据能量守恒可知，物块由静止加速到与传送带共速过程，电动机多消耗的电能为 物块与挡板撞击后紧贴挡板运动滑离传送带，该过程所用时间为 该过程物块与传送带发生的相对位移为 该过程电动机多消耗的电能为 则整个过程因传送该物块电动机多消耗的电能为 11．（2024·安徽·模拟预测）如图，轻质弹簧的一端固定在水平地面上，另一端与质量为的薄木板A相连，质量为的小球B放在木板A上，弹簧的劲度系数为。现用一竖直向下、大小的力作用在B上使系统处于静止状态，在B正上方处有一固定的四分之一内壁光滑的竖直圆弧轨道，轨道半径，轨道下端P点距离静止时薄木板A高度为。撤去外力F后，B竖直上升刚好能到达P点，求： （1）撤去外力F时，A对B的弹力大小； （2）若将B球换成质量为的C球，再次用外力压到原来相同位置保持静止，随后撤去外力，则判断小球C能不能到达Q点?若能到达则小球C在Q点时对轨道的压力为多少? 【答案】（1）30N （2）能到达，5N，竖直向上 【解析】（1）撤去外力F时，A、B一起向上运动，对A、B整体受力分析 由牛顿第二定律则有 又因为开始静止时 联立解得 对B球分析，根据牛顿第二定律则有 解得 （2）由于轨道下端P点距离静止时薄木板A高度为，所以B竖直上升刚好能到达P点时弹簧刚好恢复原长，则由能量守恒得 换成C球后AC一起向上运动到弹簧原长时分离，即在P点AC分离。由能量守恒得 联立解得 对C球从分离到Q点动能定理 解得 由于，所以可以到达Q点，由牛顿运动定律得 解得 根据牛顿第三定律知，小球C对轨道的压力等于5N，方向竖直向上。 1．（2023·辽宁·高考真题）某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v₁=80m/s时离开水面，该过程滑行距离L=1600m、汲水质量m=1.0×10⁴kg。离开水面后，飞机攀升高度h=100m时速度达到v₂=100m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g=10m/s²。求： （1）飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t； （2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE。 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）飞机做从静止开始做匀加速直线运动，平均速度为，则 解得飞机滑行的时间为 飞机滑行的加速度为 （2）飞机从水面至处，水的机械能包含水的动能和重力势能，则机械能变化量为 2．（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径，滑梯顶点a与滑梯末端b的高度，静止在光滑水平面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，并与其水平相切，滑板质量，一质量为的游客，从a点由静止开始下滑，在b点滑上滑板，当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行停下。游客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为，忽略空气阻力，重力加速度，求： （1）游客滑到b点时对滑梯的压力的大小； （2）滑板的长度L 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设游客滑到b点时速度为，从a到b过程，根据机械能守恒 解得 在b点根据牛顿第二定律 解得 根据牛顿第三定律得游客滑到b点时对滑梯的压力的大小为 （2）设游客恰好滑上平台时的速度为，在平台上运动过程由动能定理得 解得 根据题意当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，可知该过程游客一直做减速运动，滑板一直做加速运动，设加速度大小分别为和，得 根据运动学规律对游客 解得 该段时间内游客的位移为 滑板的位移为 根据位移关系得滑板的长度为 3．（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。 （1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN； （2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能； （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。 【答案】（1）10m/s；31.2；（2）0；（3）0.2m 【解析】（1）滑块a从D到F，由能量关系 在F点 解得 FN=31.2N （2）滑块a返回B点时的速度vB=1m/s，滑块a一直在传送带上减速，加速度大小为 根据 可得在C点的速度 vC=3m/s 则滑块a从碰撞后到到达C点 解得 v1=5m/s 因ab碰撞动量守恒，则 解得碰后b的速度 v2=5m/s 则碰撞损失的能量 （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，则ab碰后的共同速度 解得 v=2．5m/s 当弹簧被压缩到最短或者伸长到最长时有共同速度 则 当弹簧被压缩到最短时压缩量为x1，由能量关系 解得 同理当弹簧被拉到最长时伸长量为 x2=x1 则弹簧最大长度与最小长度之差 4．（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 【答案】（1）；（2）0；（3） 【解析】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有 解得      （2）由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，则在C点有 小物块从C到D的过程中，根据动能定理有 则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有 联立解得 ，HBD = 0 （3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有 S = π∙2R 解得 5．（2023·全国·高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求 （1）小球离开桌面时的速度大小； （2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知 得小球离开桌面时速度大小为 （2）离开桌面后由平抛运动规律可得 第一次碰撞前速度的竖直分量为，由题可知 离开桌面后由平抛运动规律得 ， 解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为 / 学科网（北京）股份有限公司 $$