大题02 曲线运动（4大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考物理大题突破+限时集训（黑吉辽蒙专用）

大题02 曲线运动 曲线运动计算题近5年在高考中稳定出现，分值约为10~12分。题型以平抛运动和圆周运动为主，经常出现与能量、动量、电磁场等结合的综合题。平抛运动多与斜面、圆弧轨道结合，注重几何关系与运动学公式的灵活应用（如2024年黑吉辽卷物体从桌面飞出问题），圆周运动重点考查竖直平面内的临界问题（如绳/杆模型）和水平面内的动力学分析（如2022年辽宁卷弯道滑行问题）。 曲线运动题的考查规律多为“经典模型主导，弱化复杂数学，强化多过程分析”，应熟记平抛运动和圆周运动公式，2025年重点关注斜面平抛的几何关系和竖直圆周的临界条件。 题型一 平抛运动 【例1】 【例1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处。如图所示，钓鱼爱好者在a位置开始甩竿，鱼饵被甩至最高点b时迅速释放鱼线，鱼饵被水平抛出，最后落在距b水平距离s＝22.5m的水面上。鱼饵的质量为m＝0.02kg。甩竿过程竿可视为在竖直平面内绕O点转动，且O离水面高度h＝1.55m，O到鱼竿末端鱼饵的距离L＝2.5m，鱼饵从b点抛出后，忽略鱼线对其作用力和空气阻力，Oa、Ob均视为直线，重力加速度g取，求： （1）鱼饵在b点抛出时的速度大小； （2）释放鱼线前，鱼饵在b点受鱼线作用力的大小和方向。 平抛运动的公式 1、速度 （1）分速度：水平分速度：；竖直分速度： （2）合速度：大小： ；方向： 2、位移 （1）水平分位移：；竖直分位移： （2）合位移：大小： ；方向： 3、平抛运动的两个重要推论 （1）速度偏向角与位移偏向角的关系 做平抛运动的物体，其末速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则。 （2）平抛物体速度反向延长线的特点 做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 1．（2024·新疆·一模）2024年巴黎奥运会，中国选手郑钦文力克对手夺得冠军，为中国赢得首枚奥运网球单打金牌。现将某次击球过程简化，如图所示。网球在离水平地面高处被击出，初速度方向与水平方向的夹角，一段时间后网球刚好能水平飞过离水平地面高的位置，不计空气阻力，取重力加速度大小，求： （1）该过程的时间； （2）初速度的大小。 2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直升机因为有许多其他飞行器难以办到或不可能办到的优势（如可以垂直起飞降落，不用大面积机场），所以受到广泛应用，主要用于观光旅游、火灾救援、海上急救、缉私缉毒、消防、商务运输、医疗救助、通信以及喷洒农药杀虫剂消灭害虫、探测资源等国民经济的各个部门。如图是在某次救灾中直升机沿水平方向做匀加速运动时的情境，不计空气阻力，悬挂箱子的绳子长l = 10 m，与竖直方向的夹角保持为10°，此时箱子距水平地面高20 m，sin10° = 0.174，cos10° = 0.984，tan10° = 0.176，g取10 m/s2，箱子可以看作质点。求： （1）直升机的加速度a的大小； （2）某时刻直升机上仪表显示飞行速度为100 km/h，若此时有一可以看作质点的小物体从箱子中掉落，直升机仍以上述加速度运动，小物体落在水平地面时距直升机上O点的水平距离d的大小。 3．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。2024年5月，借助配重小车进行弹射测试，若测试时，福建舰始终静止，配重小车在甲板上由静止开始做匀加速直线运动，经5s落到海平面。小车运动轨迹如图所示，甲板距海平面高度为20m，小车的落水点到航空母舰前端水平距离为132m。不计空气阻力，小车可视为质点，g取，求： （1）小车离开航空母舰时的速度大小； （2）小车在电磁驱动过程中加速的距离。 题型二 斜抛运动 【例1】（2024·辽宁本溪·一模）甲、乙两位运动员在体育场进行投掷标枪训练。甲站在A点，将标枪以的初度沿与水平方向间夹角方向掷出，乙站在B点，将标枪以某一初速度水平掷出，两支标枪都在水平地面上的C点插入地面。甲投掷标枪投出点的高度，乙投掷标枪投出点的高度，A、B两点间的距离，两标枪的飞行轨迹如图所示。不计空气阻力，重力加速度，求： （1）甲掷出的标枪在飞行过程中离地面的最大高度H； （2）甲掷出的标枪在空中运动的时间t； （3）乙掷出的标枪初速度的大小。 斜抛运动的基本规律 1、速度：水平速度： ；竖直速度： 2、位移：水平位移：；竖直位移： 3、轨迹方程：，是一条开口向下的抛物线。 4、最大高度和射程 （1）到达最大高度时，物体在竖直方向的分速度为零，故，则最大高度。 （2）当物体在竖直方向上的位移为零时，物体到达最远点，此时有，解得。 由此得射程。由上式可知当时，射程最大。 1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图所示，将一篮球（可视为质点）从水平地面上方B点以v0=10m/s的速度斜向上抛出，抛出时速度方向与水平方向成θ=37°角，篮球恰好垂直击中竖直篮板上A点，取：sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，已知A点距离水平地面的高度为3.2m，不计空气阻力。求： （1）A、B两点间的水平距离； （2）B点距离水平地面的高度。 2．（23-24高一下·吉林四平·期中）篮球作为世界三大球类运动之一，深受学生们的喜爱。在一次校园篮球赛中，一同学进行投篮，如图所示，篮球离手时，速度的方向与水平方向成53°角，篮球在下落过程中进入篮筐。已知最高点到篮球离手点和篮球进篮筐点间的水平距离分别为和，篮球质量为m，不计空气阻力，忽略篮球及篮筐大小的影响，重力加速度为g，，。求： （1）篮球离手时的速度的大小以及篮球从离手到进入篮筐的过程在空中飞行的时间t； （2）篮球进入篮筐时的速度与水平方向间夹角的正切值； （3）篮球从离手到进入篮筐的过程中重力做功的功率大小。 3．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）如图所示，某天早晨小李骑着电动自行车外出，车上挂着一包生活垃圾（可视为质点），当以v0 = 2 m/s的速度匀速骑行到一段平直道路时，发现前方路沿外侧有一与路沿平行的长方体型垃圾桶，车辆离路沿垂直距离d1 = 0.3 m，垃圾桶最近边距路沿垂直距离d2 = 0.2 m。骑行至距垃圾桶桶口A点的直线距离L = 1.3 m位置时（平行于地面的距离），小李以垂直于车身前进轴线方向（以车为参考系）将垃圾抛出，垃圾包划过一条弧线，从桶口A点落入桶内。已知垃圾桶口为正方形，边长s = 0.4 m，桶口距地面高度H = 1.5 m，抛出点距地面高度h = 1.2 m。可将垃圾包、车辆、人看作质点，忽略空气阻力的影响，g = 10 m/s2。求： （1）抛出后，垃圾包在空中运动的时间； （2）垃圾包抛出瞬间，相对地面的速度大小； （3）若确保垃圾包能抛人垃圾桶内，则垃圾包相对于抛出点上升的最大高度为多少？ 题型三 水平面内的圆周运动 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，在足够大的转盘中心固定一个小物块B，距离中心为处放置小物块A。A、B质量均为，A与转盘之间的动摩擦因数为。现在用原长为、劲度系数的轻质弹簧将两者拴接，重力加速度，假设弹簧始终处于弹性限度以内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则： （1）缓慢增加转盘转动的角速度，求A即将打滑时的； （2）若小物块B解除固定状态，B和转盘间动摩擦因数为，现将转盘角速度从0开始缓慢增大，为了保证B不打滑，求满足条件的转盘角速度的大小范围。 【例2】（2024·辽宁·一模）如图所示，餐桌中心是一个可以匀速转动、半径为的圆盘，圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可以忽略不计。服务员一边转动圆盘，一边把餐盘放在圆盘边缘。餐盘的质量为m，与圆盘之间的动摩擦因数为，与餐桌之间的动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g（）。 （1）为使餐盘不滑到餐桌上，求圆盘的角速度的最大值。 （2）摆放好餐盘后缓慢增大圆盘的角速度，餐盘同时从圆盘上甩出，为使餐盘不滑落到地面，求餐桌半径的最小值。 水平面内的圆周运动模型的临界问题 题干信息 图示 特征 解题思路 “物体刚要滑动时” 静摩擦力提供向心力 若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则当物体刚要滑动时，，临界角速度为 “物体运动稳定” 圆盘与小球角速度相同 小球稳定运动时，由绳拉力和摩擦力的合力提供向心力，小球竖直方向合力为0 1．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图所示，倾角θ=30°的斜面固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点在转轴O1O2上。将质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面的顶端，斜面底面长为L，小物块始终和斜面相对静止；已知小物块与斜面之间动摩擦因数为，重力加速度为g，最大静摩擦等于滑动摩擦力；求： （1）当小物块不受摩擦力时，水平转台的角速度ω0为多少？ （2）要使小物块始终和斜面相对静止，水平转台的角速度取值范围是多少？ 2．（23-24高一下·山东临沂·期中）“疯狂大转盘”在游乐场中是很常见的娱乐设施。现在简化模型平面图如图所示，大转盘的最大半径为R，大转盘转动的角速度ω从0开始缓慢的增加。大转盘上有两位游客A和B，分别位于距转盘中心和R处。为保证安全，两游客之间系上了一根轻质不可伸长的安全绳。游客和转盘之间的最大静摩擦力为游客自身重力的k倍，两游客的质量均为m，且可视为质点，重力加速度为g。求： （1）当绳子开始出现张力时，转盘的角速度ω0； （2）当转盘的角速度增加到时，游客A受到转盘的静摩擦力大小； （3）游客A、B相对转盘保持静止，安全绳上的最大张力。 题型四 竖直平面内的圆周运动 【例1】（2024·辽宁大连·二模）如图所示，竖直平面内的轨道由直轨道AB和半圆弧轨道BC平滑连接组成，C点为半圆弧轨道最高点。小球从直轨道上的A点由静止开始滑下，A点距轨道最低点的竖直高度为，滑到轨道底端后又滑上半径为的半圆弧轨道（不考虑经过连接处的速率变化），小球质量为。（） （1）若接触面均光滑，求小球滑到C点时速度和对轨道的压力。 （2）若接触面不光滑，小球运动到C点时对轨道的压力为1N，求全过程中克服摩擦力做的功。 竖直平面内的圆周运动模型的临界问题 绳模型 杆模型 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车” 球与杆连接、球在管道中运动 图示 最高点 受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或方向向上 受力示意图 力学方程 临界特征 ， 竖直向上的， 过最高点条件 1．（2024·辽宁丹东·一模）某兴趣小组模拟一个娱乐设施做如下实验：轨道图所示，竖直固定在水平地面上。已知倾斜轨道与水平面的夹角，点距地高度，水平轨道与左侧半圆轨道切于点，长，半圆轨道光滑，半径，倾斜轨道、水平轨道与小物块间的动摩擦因数，。设小物块通过倾斜轨道底端点速度大小不变，现将的小物块P（可视为质点）从倾斜轨道上点以初动能释放。（，）则 （1）判断小物块P能否运动到半圆轨道的最高点； （2）若点另放置一个的小物块Q（可视为质点），P与Q碰撞后粘在一起，求整体沿斜面上升的最大高度及最终停下来的位置与点的距离。 2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图所示，一辆汽车在平直公路上向左匀速行驶，用长度的轻绳将一质量的小球悬挂于车厢顶部。将小球向右拉至轻绳与竖直方向成一定夹角时，小球相对于汽车处于静止状态。释放小球，小球连续两次经过最低点时，相对于路面的速度大小分别为和，已知重力加速度g取。小球可视为质点，忽略空气阻力。求 （1）释放小球时轻绳与竖直方向的夹角； （2）轻绳对小球拉力的最大值。 3．（2024·四川成都·三模）我国正在大力发展冰雪运动，四川省境内有众多的山地滑雪场地，可以开展丰富多彩的冰雪运动。如图所示，一位质量为的可视为质点的运动员（包括滑雪装备）从半径为、圆心为的四分之一圆弧轨道上某处滑下，之后从轨道最低点A（OA为竖直线）以的水平速度离开轨道，最后落在水平地面上。A点离水平地面的高度为，重力加速度大小取。 （1）运动员在A点时，求运动员对圆弧轨道的压力大小； （2）如果忽略空气阻力，求运动员落地前瞬间的速度； （3）由于空气阻力的作用，运动员落地前瞬间的速度大小实际为，从A点到落地的过程中，求空气阻力对运动员做的功。 1．（2024·四川内江·一模）排球比赛是一项竞技性和观赏性都很强的体育运动。在一次比赛中，甲同学跳起在距离地面高处，以的水平速度将排球击出，排球飞入对方场地，对方的乙同学迅速赶到某位置将排球垫起，垫起后的排球上升的最大离地高度为。已知乙同学垫球时球的位置距离甲同学将排球击出瞬间的位置的水平距离为，排球垫起前、后瞬间速度的大小不变，重力加速度取，，排球视为质点，不计空气阻力。求： （1）乙同学垫球时球的位置离地面的高度； （2）排球被垫起瞬间球的速度方向与水平方向的夹角。 2．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，水平放置的圆盘半径为，在其边缘C点固定一个高度不计的小桶，在圆盘直径CD的正上方放置一条水平滑道AB，滑道与CD平行。滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，其高度差为。在滑道左端静止放置质量为的物块（可视为质点），物块与滑道间的动摩擦因数为。当用一大小为的水平拉力向右拉动物块的同时，圆盘从图示位置以角速度绕穿过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用一段时间后撤掉，物块在滑道上继续滑行，过B点水平抛出恰好落入小桶内，重力加速度g取。求： （1）物块到达B点时的速度大小； （2）水平滑道AB的最小长度。 3．（2024·吉林·一模）利用如图简易装置可以探测在真空环境内微粒在重力场中的能量。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。 （1）若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系； （2）若在界线OA以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的倍的恒定外力（图中未画出），某一微粒恰好能沿直线打在B处，求L与h的关系。 4．（2024·山东·一模）如图所示，倾角θ=30°的足够长斜面固定于水平地面上，将一小球（可视为质点）从斜面底端О以速度v0斜向上方抛出，速度方向与斜面间的夹角为α。经历一段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）小球抛出时的速度方向与斜面间的夹角α的正切值tanα； （2）小球到斜面的最大距离； （3）OP间距离。 5．（2024·福建漳州·一模）篮球比赛中，一同学某次跳起投篮，出手点与篮板的水平距离为，离地面高度为，篮球垂直打在竖直篮板上的位置离地面的高度为。将篮球看成质点，忽略空气阻力，取。求： （1）篮球从出手到垂直打在篮板上的运动时间； （2）出手时篮球速度的大小。 6．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量的小球P，另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C处共同连着质量为的小球Q，长细绳能承受的最大拉力为60N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N。转动圆筒使BC绳被水平拉直，小球Q在水平面内做匀速圆周运动，小球P处于静止状态，此时圆筒顶端A点到C点的距离，细绳BC的长度，重力加速度g取，两绳均不可伸长，小球P、Q均可视为质点。求： （1）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉直（结果可用根号表示）； （2）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉断。 7．（2024·北京朝阳·二模）如图所示，水平圆台可以绕其中心轴转动。在圆台中心两侧放上甲、乙两物体，两物体的质量均为m，均可视为质点，甲、乙两物体到圆台中心距离分别为2R、R，其连线过圆台中心。两物体与圆台间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。 （1）若圆台以某一角速度转动时，甲、乙均未滑动。求两物体的加速度之比； （2）若圆台的角速度逐渐增大，请分析说明甲、乙两物体谁先滑动； （3）若将甲、乙两物体用不可伸长的轻绳连接，轻绳最初拉直而不张紧，缓慢增加圆台的转速，求两物体刚要滑动时圆台转动的角速度ω。 8．（2024·吉林延边·一模）一种自动计数的呼拉圈深受人们欢迎，如图甲，腰带外侧带有轨道，轨道内有一滑轮，滑轮与配重通过轻绳连接，其模型简化如图乙所示，已知配重质量0.4kg，绳长为0.3m，悬挂点到腰带中心的距离为0.12m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动。不计一切阻力，绳子与竖直方向夹角，g取10m/s2，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： （1）细绳的拉力； （2）配重做匀速圆周运动的速度； （3）配重从静止开始加速旋转至的过程中，绳子对配重所做的功。 9．（2025·云南昆明·一模）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面ABCD是边长为d=3.2m的正方形，在其中心O处用长为L=0.6m的轻绳悬挂一可视为质点的小球，使小球静止。现给小球一个垂直于绳方向的初速度，小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。取重力加速度g=10m/s2。求： （1）的大小； （2）若小球沿斜面向上运动到与O点等高时，剪断轻绳，从剪断轻绳到小球离开斜面所用的时间。 10．（2024·江苏镇江·一模）如图所示，在水平的桌面上，有一光滑的弧形轨道，其底端恰好与光滑水平面相切。右侧有一竖直放置的光滑圆弧轨道MNP，轨道半径R＝0.8m，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R，质量为M＝2.0kg的小物块B静止在水平面上。质量为mA＝2.0kg的小物块A从距离水平面某一高度的S点沿轨道从静止开始下滑，经过弧形轨道的最低点Q滑上水平面与B发生弹性碰撞，碰后两个物体交换速度，然后小物块B从桌面右边缘D点飞离桌面后，恰由P点沿圆轨道切线落入圆轨道，g＝10m/s2，求： （1）物块B离开D点时的速度大小； （2）S与Q竖直高度h； （3）物块能否沿轨道到达M点，并通过计算说明理由。 1．（2024·辽宁·高考真题）如图，高度的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量。A、B间夹一压缩量的轻弹簧，弹簧与A、B不栓接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离后停止。A、B均视为质点，取重力加速度。求： （1）脱离弹簧时A、B的速度大小和； （2）物块与桌面间的动摩擦因数μ； （3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能。 2．（2022·辽宁·高考真题）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。 （1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度时，滑过的距离，求加速度的大小； （2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为，滑行速率分别为，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。 3．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 4．（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数，重力加速度大小。求 （1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间； （2）平台距地面的高度。 5．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。 （2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题02 曲线运动 曲线运动计算题近5年在高考中稳定出现，分值约为10~12分。题型以平抛运动和圆周运动为主，经常出现与能量、动量、电磁场等结合的综合题。平抛运动多与斜面、圆弧轨道结合，注重几何关系与运动学公式的灵活应用（如2024年黑吉辽卷物体从桌面飞出问题），圆周运动重点考查竖直平面内的临界问题（如绳/杆模型）和水平面内的动力学分析（如2022年辽宁卷弯道滑行问题）。 曲线运动题的考查规律多为“经典模型主导，弱化复杂数学，强化多过程分析”，应熟记平抛运动和圆周运动公式，2025年重点关注斜面平抛的几何关系和竖直圆周的临界条件。 题型一 平抛运动 【例1】 【例1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处。如图所示，钓鱼爱好者在a位置开始甩竿，鱼饵被甩至最高点b时迅速释放鱼线，鱼饵被水平抛出，最后落在距b水平距离s＝22.5m的水面上。鱼饵的质量为m＝0.02kg。甩竿过程竿可视为在竖直平面内绕O点转动，且O离水面高度h＝1.55m，O到鱼竿末端鱼饵的距离L＝2.5m，鱼饵从b点抛出后，忽略鱼线对其作用力和空气阻力，Oa、Ob均视为直线，重力加速度g取，求： （1）鱼饵在b点抛出时的速度大小； （2）释放鱼线前，鱼饵在b点受鱼线作用力的大小和方向。 【答案】（1）；（2），竖直向下 【解析】（1）鱼饵在b点做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 联立可得，鱼饵在b点抛出时的速度大小为 （2）鱼饵在b点受重力和鱼线的拉力，由牛顿第二定律 代入数据解得，鱼饵在b点受鱼线作用力的大小为 方向竖直向下。 平抛运动的公式 1、速度 （1）分速度：水平分速度：；竖直分速度： （2）合速度：大小： ；方向： 2、位移 （1）水平分位移：；竖直分位移： （2）合位移：大小： ；方向： 3、平抛运动的两个重要推论 （1）速度偏向角与位移偏向角的关系 做平抛运动的物体，其末速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则。 （2）平抛物体速度反向延长线的特点 做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 1．（2024·新疆·一模）2024年巴黎奥运会，中国选手郑钦文力克对手夺得冠军，为中国赢得首枚奥运网球单打金牌。现将某次击球过程简化，如图所示。网球在离水平地面高处被击出，初速度方向与水平方向的夹角，一段时间后网球刚好能水平飞过离水平地面高的位置，不计空气阻力，取重力加速度大小，求： （1）该过程的时间； （2）初速度的大小。 【答案】（1）0.6s （2）10m/s 【解析】（1）网球在竖直方向上做匀减速直线运动，最高点竖直分速度恰好为0，则有 解得 （2）网球离手时，竖直方向上的分速度大小为 所以 2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直升机因为有许多其他飞行器难以办到或不可能办到的优势（如可以垂直起飞降落，不用大面积机场），所以受到广泛应用，主要用于观光旅游、火灾救援、海上急救、缉私缉毒、消防、商务运输、医疗救助、通信以及喷洒农药杀虫剂消灭害虫、探测资源等国民经济的各个部门。如图是在某次救灾中直升机沿水平方向做匀加速运动时的情境，不计空气阻力，悬挂箱子的绳子长l = 10 m，与竖直方向的夹角保持为10°，此时箱子距水平地面高20 m，sin10° = 0.174，cos10° = 0.984，tan10° = 0.176，g取10 m/s2，箱子可以看作质点。求： （1）直升机的加速度a的大小； （2）某时刻直升机上仪表显示飞行速度为100 km/h，若此时有一可以看作质点的小物体从箱子中掉落，直升机仍以上述加速度运动，小物体落在水平地面时距直升机上O点的水平距离d的大小。 【答案】（1）1.76 m/s2 （2）5.26 m 【解析】（1）对箱子受力分析，由牛顿第二定律 解得 （2）依题意，小物体从箱子中掉落后，做平抛运动，初速度为100 km/h，下落高度为20 m，则有 直升机自此之后做初速度为100 km/h，加速度为1.76 m/s2的匀加速直线运动，取小物体为参考系，则小物体落在水平地面时距箱子的水平距离为 可得小物体落在水平地面时距直升机上O点的水平距离的大小 联立，解得 3．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。2024年5月，借助配重小车进行弹射测试，若测试时，福建舰始终静止，配重小车在甲板上由静止开始做匀加速直线运动，经5s落到海平面。小车运动轨迹如图所示，甲板距海平面高度为20m，小车的落水点到航空母舰前端水平距离为132m。不计空气阻力，小车可视为质点，g取，求： （1）小车离开航空母舰时的速度大小； （2）小车在电磁驱动过程中加速的距离。 【答案】（1）66m/s （2）99m 【解析】（1）设小车离开甲板后做平抛运动的时间为，水平方向上有 竖直方向上有 解得 （2）小车在甲板上加速过程中，有 解得 题型二 斜抛运动 【例1】（2024·辽宁本溪·一模）甲、乙两位运动员在体育场进行投掷标枪训练。甲站在A点，将标枪以的初度沿与水平方向间夹角方向掷出，乙站在B点，将标枪以某一初速度水平掷出，两支标枪都在水平地面上的C点插入地面。甲投掷标枪投出点的高度，乙投掷标枪投出点的高度，A、B两点间的距离，两标枪的飞行轨迹如图所示。不计空气阻力，重力加速度，求： （1）甲掷出的标枪在飞行过程中离地面的最大高度H； （2）甲掷出的标枪在空中运动的时间t； （3）乙掷出的标枪初速度的大小。 【答案】（1）24.2m （2）4.2s （3）20m/s 【解析】（1）甲做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，利用逆向思维有 甲掷出的标枪在飞行过程中离地面的最大高度 解得 （2）甲做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，则有 解得 （3）做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，则有 结合题意可知，乙水平分位移为 乙做平抛运动，则有 解得 斜抛运动的基本规律 1、速度：水平速度： ；竖直速度： 2、位移：水平位移：；竖直位移： 3、轨迹方程：，是一条开口向下的抛物线。 4、最大高度和射程 （1）到达最大高度时，物体在竖直方向的分速度为零，故，则最大高度。 （2）当物体在竖直方向上的位移为零时，物体到达最远点，此时有，解得。 由此得射程。由上式可知当时，射程最大。 1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图所示，将一篮球（可视为质点）从水平地面上方B点以v0=10m/s的速度斜向上抛出，抛出时速度方向与水平方向成θ=37°角，篮球恰好垂直击中竖直篮板上A点，取：sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，已知A点距离水平地面的高度为3.2m，不计空气阻力。求： （1）A、B两点间的水平距离； （2）B点距离水平地面的高度。 【答案】（1）4.8m （2）1.4m 【解析】（1）篮球做斜上抛运动，在竖直方向有 所以 水平方向有 解得 （2）竖直方向有 解得 B点距离水平地面的高度 2．（23-24高一下·吉林四平·期中）篮球作为世界三大球类运动之一，深受学生们的喜爱。在一次校园篮球赛中，一同学进行投篮，如图所示，篮球离手时，速度的方向与水平方向成53°角，篮球在下落过程中进入篮筐。已知最高点到篮球离手点和篮球进篮筐点间的水平距离分别为和，篮球质量为m，不计空气阻力，忽略篮球及篮筐大小的影响，重力加速度为g，，。求： （1）篮球离手时的速度的大小以及篮球从离手到进入篮筐的过程在空中飞行的时间t； （2）篮球进入篮筐时的速度与水平方向间夹角的正切值； （3）篮球从离手到进入篮筐的过程中重力做功的功率大小。 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】（1）由逆向思维，可以将篮球离手到最高点的过程看成是从最高点平抛到离手点的逆过程，则由平抛规律可得此时速度的延长线交于水平位移的中点，设离手点到最高点间的高度差为H，则有 解得 则在竖直方向有 解得 篮球在水平方向做匀速直线运动，则整个过程经历时间为 解得 （2）从最高点到进入篮筐经历时间为，则有 则进入篮筐时篮球竖直方向的速度大小为 设此时速度与水平方向间的夹角为，则有 （3）设篮筐到最高点的高度为h，有 解得 则从离手到进入篮筐，篮球重力做功为 故整个过程篮球重力的功率大小为 3．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）如图所示，某天早晨小李骑着电动自行车外出，车上挂着一包生活垃圾（可视为质点），当以v0 = 2 m/s的速度匀速骑行到一段平直道路时，发现前方路沿外侧有一与路沿平行的长方体型垃圾桶，车辆离路沿垂直距离d1 = 0.3 m，垃圾桶最近边距路沿垂直距离d2 = 0.2 m。骑行至距垃圾桶桶口A点的直线距离L = 1.3 m位置时（平行于地面的距离），小李以垂直于车身前进轴线方向（以车为参考系）将垃圾抛出，垃圾包划过一条弧线，从桶口A点落入桶内。已知垃圾桶口为正方形，边长s = 0.4 m，桶口距地面高度H = 1.5 m，抛出点距地面高度h = 1.2 m。可将垃圾包、车辆、人看作质点，忽略空气阻力的影响，g = 10 m/s2。求： （1）抛出后，垃圾包在空中运动的时间； （2）垃圾包抛出瞬间，相对地面的速度大小； （3）若确保垃圾包能抛人垃圾桶内，则垃圾包相对于抛出点上升的最大高度为多少？ 【答案】（1）t = 0.6 s （2） （3） 【解析】（1）垃圾包抛出时，由于惯性的原因，在沿电动车行进的方向上，垃圾包的速度与车辆一致，，匀速运动，由勾股定理可知，垃圾包沿电动车行进方向上运动的位移 解得 （2）垃圾包实际运动轨迹为抛物线，将该运动分解为平行地面运动和垂直地面向上的运动。 ①平行地面方向且与路沿平行的速度，运动时间。平行地面方向且与路沿垂直方向上的位移为x2，则 解得 与地面平行方向的速度 ②垂直地面向上的方向：竖直方向为初速度为v3，加速度为g，位移为0.3 m的匀变速直线运动，则 解得 v2和v3合成即为垃圾包抛出时的对地速度，即 （3）由上题可知 当时取极小值，垃圾包在空中运动的最短时间，垃圾包在空中运动的最长时间 由上述分析可知，运动时间越长，v3越大，上升高度越大，将式代入 可得最大的竖直速度 因此最大竖直上升高度为 题型三 水平面内的圆周运动 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，在足够大的转盘中心固定一个小物块B，距离中心为处放置小物块A。A、B质量均为，A与转盘之间的动摩擦因数为。现在用原长为、劲度系数的轻质弹簧将两者拴接，重力加速度，假设弹簧始终处于弹性限度以内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则： （1）缓慢增加转盘转动的角速度，求A即将打滑时的； （2）若小物块B解除固定状态，B和转盘间动摩擦因数为，现将转盘角速度从0开始缓慢增大，为了保证B不打滑，求满足条件的转盘角速度的大小范围。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设盘的角速度为时，物块A将开始滑动，则 代入数值解得A即将打滑时 （2）若小物块B解除固定状态，则物块刚好滑动时弹簧拉力为F，则对B有 由胡克定律可知 可得 对A受力分析，为了保证B不打滑，则有 可得 【例2】（2024·辽宁·一模）如图所示，餐桌中心是一个可以匀速转动、半径为的圆盘，圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可以忽略不计。服务员一边转动圆盘，一边把餐盘放在圆盘边缘。餐盘的质量为m，与圆盘之间的动摩擦因数为，与餐桌之间的动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g（）。 （1）为使餐盘不滑到餐桌上，求圆盘的角速度的最大值。 （2）摆放好餐盘后缓慢增大圆盘的角速度，餐盘同时从圆盘上甩出，为使餐盘不滑落到地面，求餐桌半径的最小值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）餐盘不滑到餐桌上，当圆盘的角速度达到最大值时，恰好由圆盘对餐盘的最大静摩擦力提供圆周运动的向心力，则有 解得 （2）当餐盘从圆盘上甩出时，餐盘的速度 随后，餐盘在餐桌上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有 餐盘速度减为0过程，利用逆向思维，根据速度与位移关系式有 当餐桌半径取最小值时，根据几何关系有 解得 水平面内的圆周运动模型的临界问题 题干信息 图示 特征 解题思路 “物体刚要滑动时” 静摩擦力提供向心力 若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则当物体刚要滑动时，，临界角速度为 “物体运动稳定” 圆盘与小球角速度相同 小球稳定运动时，由绳拉力和摩擦力的合力提供向心力，小球竖直方向合力为0 1．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图所示，倾角θ=30°的斜面固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点在转轴O1O2上。将质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面的顶端，斜面底面长为L，小物块始终和斜面相对静止；已知小物块与斜面之间动摩擦因数为，重力加速度为g，最大静摩擦等于滑动摩擦力；求： （1）当小物块不受摩擦力时，水平转台的角速度ω0为多少？ （2）要使小物块始终和斜面相对静止，水平转台的角速度取值范围是多少？ 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当小物块不受摩擦力时 解得 （2）当小物块刚要沿斜面下滑时，受力分析如图 水平方向 竖直方向 解得 当小物块刚要沿斜面上滑时，受力分析如图 水平方向 竖直方向 解得 则要使小物块不下滑，水平转台的角速度取值范围 2．（23-24高一下·山东临沂·期中）“疯狂大转盘”在游乐场中是很常见的娱乐设施。现在简化模型平面图如图所示，大转盘的最大半径为R，大转盘转动的角速度ω从0开始缓慢的增加。大转盘上有两位游客A和B，分别位于距转盘中心和R处。为保证安全，两游客之间系上了一根轻质不可伸长的安全绳。游客和转盘之间的最大静摩擦力为游客自身重力的k倍，两游客的质量均为m，且可视为质点，重力加速度为g。求： （1）当绳子开始出现张力时，转盘的角速度ω0； （2）当转盘的角速度增加到时，游客A受到转盘的静摩擦力大小； （3）游客A、B相对转盘保持静止，安全绳上的最大张力。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由题可知，A、B具有相同的角速度，根据向心力公式 可知角速度相同时，圆周运动半径越大，向心力越大；B的圆周半径较大，当B达到最大静摩擦力时，绳子即将产生拉力，此时对B有 解得 （2）由于，所以此时绳子有张力，设绳子张力为，则对B 对A，根据牛顿第二定律 解得 （3）设安全绳上的最大张力为，此时加速度为，则与（2）同理分析AB，可得 解得 题型四 竖直平面内的圆周运动 【例1】（2024·辽宁大连·二模）如图所示，竖直平面内的轨道由直轨道AB和半圆弧轨道BC平滑连接组成，C点为半圆弧轨道最高点。小球从直轨道上的A点由静止开始滑下，A点距轨道最低点的竖直高度为，滑到轨道底端后又滑上半径为的半圆弧轨道（不考虑经过连接处的速率变化），小球质量为。（） （1）若接触面均光滑，求小球滑到C点时速度和对轨道的压力。 （2）若接触面不光滑，小球运动到C点时对轨道的压力为1N，求全过程中克服摩擦力做的功。 【答案】（1）；；竖直向上；（2） 【解析】（1）若接触面均光滑，小球从A点到C点过程，根据动能定理可得 解得 在C点，根据牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可知，小球滑到C点时对轨道的压力大小为，方向竖直向上。 （2）若接触面不光滑，小球运动到C点时对轨道的压力为1N，在C点，根据牛顿第二定律可得 解得 小球从A点到C点过程，根据动能定理可得 解得 竖直平面内的圆周运动模型的临界问题 绳模型 杆模型 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车” 球与杆连接、球在管道中运动 图示 最高点 受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或方向向上 受力示意图 力学方程 临界特征 ， 竖直向上的， 过最高点条件 1．（2024·辽宁丹东·一模）某兴趣小组模拟一个娱乐设施做如下实验：轨道图所示，竖直固定在水平地面上。已知倾斜轨道与水平面的夹角，点距地高度，水平轨道与左侧半圆轨道切于点，长，半圆轨道光滑，半径，倾斜轨道、水平轨道与小物块间的动摩擦因数，。设小物块通过倾斜轨道底端点速度大小不变，现将的小物块P（可视为质点）从倾斜轨道上点以初动能释放。（，）则 （1）判断小物块P能否运动到半圆轨道的最高点； （2）若点另放置一个的小物块Q（可视为质点），P与Q碰撞后粘在一起，求整体沿斜面上升的最大高度及最终停下来的位置与点的距离。 【答案】（1）见解析；（2）0.06m， 【解析】（1）从A到C的过程中，由动能定理得 解得 从C到D的过程中，由动能定理 解得 恰好到达最高点D的临界速度为，由牛顿第二定律 解得 因为 所以小物块P能到达半圆轨道最高点。 （2）P与Q碰撞过程中，由动量守恒定律 解得 对PQ物块由机械能守恒定律 解得 所以P与Q碰撞后恰好运动到与圆心等高的位置，不会脱离轨道，则从C点再次到达斜面最高点过程，由动能定理 解得 从最高点到停止运动的过程中 解得 所以停在B左侧 2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图所示，一辆汽车在平直公路上向左匀速行驶，用长度的轻绳将一质量的小球悬挂于车厢顶部。将小球向右拉至轻绳与竖直方向成一定夹角时，小球相对于汽车处于静止状态。释放小球，小球连续两次经过最低点时，相对于路面的速度大小分别为和，已知重力加速度g取。小球可视为质点，忽略空气阻力。求 （1）释放小球时轻绳与竖直方向的夹角； （2）轻绳对小球拉力的最大值。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）取向左为正，设车的运动速度大小为，小球运动过程中相对于车的最大速度大小为。小球向左经过最低点时的速度 小球向右经过最低点时的速度 解得 以车厢为参考系，小球由释放至运动到最低点过程中，根据机械能守恒得到 解得 （2）据牛顿第二定律小球运动到最低点时，有 解得 3．（2024·四川成都·三模）我国正在大力发展冰雪运动，四川省境内有众多的山地滑雪场地，可以开展丰富多彩的冰雪运动。如图所示，一位质量为的可视为质点的运动员（包括滑雪装备）从半径为、圆心为的四分之一圆弧轨道上某处滑下，之后从轨道最低点A（OA为竖直线）以的水平速度离开轨道，最后落在水平地面上。A点离水平地面的高度为，重力加速度大小取。 （1）运动员在A点时，求运动员对圆弧轨道的压力大小； （2）如果忽略空气阻力，求运动员落地前瞬间的速度； （3）由于空气阻力的作用，运动员落地前瞬间的速度大小实际为，从A点到落地的过程中，求空气阻力对运动员做的功。 【答案】（1）1350N （2） （3） 【解析】（1）运动员在A点 解得 根据牛顿第三定律可知，运动员对圆弧轨道的压力为1350N。 （2）根据动能定理 解得运动员落地前瞬间的速度 （3）根据动能定理 解得空气阻力对运动员做的功 1．（2024·四川内江·一模）排球比赛是一项竞技性和观赏性都很强的体育运动。在一次比赛中，甲同学跳起在距离地面高处，以的水平速度将排球击出，排球飞入对方场地，对方的乙同学迅速赶到某位置将排球垫起，垫起后的排球上升的最大离地高度为。已知乙同学垫球时球的位置距离甲同学将排球击出瞬间的位置的水平距离为，排球垫起前、后瞬间速度的大小不变，重力加速度取，，排球视为质点，不计空气阻力。求： （1）乙同学垫球时球的位置离地面的高度； （2）排球被垫起瞬间球的速度方向与水平方向的夹角。 【答案】（1）0.7m （2）53° 【解析】（1）根据平抛运动规律有 则乙同学垫球时球的位置离地面的高度为 代入数据解得 m （2）排球垫起瞬间的速度为 垫起后，竖直方向有 解得 2．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，水平放置的圆盘半径为，在其边缘C点固定一个高度不计的小桶，在圆盘直径CD的正上方放置一条水平滑道AB，滑道与CD平行。滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，其高度差为。在滑道左端静止放置质量为的物块（可视为质点），物块与滑道间的动摩擦因数为。当用一大小为的水平拉力向右拉动物块的同时，圆盘从图示位置以角速度绕穿过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用一段时间后撤掉，物块在滑道上继续滑行，过B点水平抛出恰好落入小桶内，重力加速度g取。求： （1）物块到达B点时的速度大小； （2）水平滑道AB的最小长度。 【答案】（1）2m/s （2）0.8m 【解析】（1）物块做平抛运动，设物块离开滑道时的速度为v，落入小桶所用时间为t，则水平方向上有 竖直方向上有 解得 ， （2）设拉动物块时的加速度为，所用时间为，由牛顿第二定律得 解得 撤去拉力后，设物块的加速度为，所用时间为，由牛顿第二定律得 解得 圆盘转过一圈时物块落入小桶内，拉力作用时间最短，水平滑道AB长度最小，圆盘转过一圈的时间 物块在滑道上先加速后减速，则有 物块滑行时间、抛出后在空中运动时间与圆盘转动周期关系为 解得 ， 加速位移 加速的末速度为 减速位移 AB的最小长度 3．（2024·吉林·一模）利用如图简易装置可以探测在真空环境内微粒在重力场中的能量。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。 （1）若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系； （2）若在界线OA以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的倍的恒定外力（图中未画出），某一微粒恰好能沿直线打在B处，求L与h的关系。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设打在A点的微粒的初速度为，则有 ， 可得 同理可得打在B点的微粒的初速度为 打在A和B两点的动能一样，根据动能定理可得 则有 联立可得L与h的关系为 （2）若在界线OA以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的倍的恒定外力，微粒恰好能沿直线打在B处，则微粒在界线OA以下受到的合力与水平方向的夹角满足 可得 微粒进入界线OA前做平抛运动，根据平抛规律结合几何关系可得 ， 又 联立可得L与h的关系为 4．（2024·山东·一模）如图所示，倾角θ=30°的足够长斜面固定于水平地面上，将一小球（可视为质点）从斜面底端О以速度v0斜向上方抛出，速度方向与斜面间的夹角为α。经历一段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）小球抛出时的速度方向与斜面间的夹角α的正切值tanα； （2）小球到斜面的最大距离； （3）OP间距离。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）在沿斜面方向上有 在垂直于斜面的方向上有 则小球抛出时的速度方向与斜面夹角α的正切值 （2）由以上分析可得 ， 当小球垂直于斜面的分速度减为0时，距离斜面最远，则有 解得 （3）在沿斜面方向上有 解得 5．（2024·福建漳州·一模）篮球比赛中，一同学某次跳起投篮，出手点与篮板的水平距离为，离地面高度为，篮球垂直打在竖直篮板上的位置离地面的高度为。将篮球看成质点，忽略空气阻力，取。求： （1）篮球从出手到垂直打在篮板上的运动时间； （2）出手时篮球速度的大小。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）篮球从出手到垂直打在篮板上的逆过程可视为平抛运动，则 解得 （2）由题意可知，水平初速度 竖直初速度 初速度 解得 6．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量的小球P，另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C处共同连着质量为的小球Q，长细绳能承受的最大拉力为60N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N。转动圆筒使BC绳被水平拉直，小球Q在水平面内做匀速圆周运动，小球P处于静止状态，此时圆筒顶端A点到C点的距离，细绳BC的长度，重力加速度g取，两绳均不可伸长，小球P、Q均可视为质点。求： （1）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉直（结果可用根号表示）； （2）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉断。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）BC绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC绳与竖直方向的夹角的正弦值 对小球m2受力分析，由牛顿第二定律可知 解得 （2）对小球m2，竖直方向有 得 m2=4kg 当BC被拉断时有 解得 7．（2024·北京朝阳·二模）如图所示，水平圆台可以绕其中心轴转动。在圆台中心两侧放上甲、乙两物体，两物体的质量均为m，均可视为质点，甲、乙两物体到圆台中心距离分别为2R、R，其连线过圆台中心。两物体与圆台间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。 （1）若圆台以某一角速度转动时，甲、乙均未滑动。求两物体的加速度之比； （2）若圆台的角速度逐渐增大，请分析说明甲、乙两物体谁先滑动； （3）若将甲、乙两物体用不可伸长的轻绳连接，轻绳最初拉直而不张紧，缓慢增加圆台的转速，求两物体刚要滑动时圆台转动的角速度ω。 【答案】（1）2:1；（2）甲；（3） 【解析】（1）若圆台以某一角速度转动时，甲、乙均未滑动，根据 可得两物体的加速度之比 （2）若圆台的角速度逐渐增大，根据 可得 因甲转动半径较大，临界角速度较小，可知甲物体谁先滑动； （3）两物体刚要滑动时，甲受最大静摩擦力指向圆心，乙受最大静摩擦力背离圆心，则对甲 对乙 解得圆台转动的角速度 8．（2024·吉林延边·一模）一种自动计数的呼拉圈深受人们欢迎，如图甲，腰带外侧带有轨道，轨道内有一滑轮，滑轮与配重通过轻绳连接，其模型简化如图乙所示，已知配重质量0.4kg，绳长为0.3m，悬挂点到腰带中心的距离为0.12m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动。不计一切阻力，绳子与竖直方向夹角，g取10m/s2，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： （1）细绳的拉力； （2）配重做匀速圆周运动的速度； （3）配重从静止开始加速旋转至的过程中，绳子对配重所做的功。 【答案】（1）5N，指向绳收缩的方向；（2）1.5m/s，方向沿轨迹的切线方向；（3）0.69J 【解析】（1）根据题意，配重受竖直向下的重力mg和绳的拉力T，则平衡条件得 方向沿绳指向绳收缩的方向； （2）根据题意，配重做匀速圆周运动，则 解得 方向始终沿轨迹的切线方向； （3）根据几何关系可得配重上升的高度为 根据动能定理可得 解得 9．（2025·云南昆明·一模）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面ABCD是边长为d=3.2m的正方形，在其中心O处用长为L=0.6m的轻绳悬挂一可视为质点的小球，使小球静止。现给小球一个垂直于绳方向的初速度，小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。取重力加速度g=10m/s2。求： （1）的大小； （2）若小球沿斜面向上运动到与O点等高时，剪断轻绳，从剪断轻绳到小球离开斜面所用的时间。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，当小球恰过最高点时，由牛顿第二定律得 小球从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得 联立解得 （2）小球从最低点运动到与O点等高处的过程中，由动能定理 解得 剪断轻绳后，小球沿斜面向上做匀减速直线运动，设小球向上运动的最大位移为x，根据运动学公式可得 由牛顿第二定律得 联立解得 由于，因此小球不会从CD边离开斜面。剪断轻绳后，小球先沿斜面向上做匀减速直线运动，然后向下做匀加速直线运动。小球向上运动的过程中，由匀变速直线运动的规律得，解得 小球向下运动的过程中，由匀变速直线运动的规律得 解得 从剪断轻绳到小球离开斜面所用的时间为 10．（2024·江苏镇江·一模）如图所示，在水平的桌面上，有一光滑的弧形轨道，其底端恰好与光滑水平面相切。右侧有一竖直放置的光滑圆弧轨道MNP，轨道半径R＝0.8m，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R，质量为M＝2.0kg的小物块B静止在水平面上。质量为mA＝2.0kg的小物块A从距离水平面某一高度的S点沿轨道从静止开始下滑，经过弧形轨道的最低点Q滑上水平面与B发生弹性碰撞，碰后两个物体交换速度，然后小物块B从桌面右边缘D点飞离桌面后，恰由P点沿圆轨道切线落入圆轨道，g＝10m/s2，求： （1）物块B离开D点时的速度大小； （2）S与Q竖直高度h； （3）物块能否沿轨道到达M点，并通过计算说明理由。 【答案】（1） （2）0.8m （3）见解析 【解析】（1）A、B碰撞后，因二者交换速度，所以A静止，物块B由D点做平抛运动，落到P点时其竖直速度为vy，有 又 解得 （2）设A与B碰撞前的速度为，A与B相碰交换速度，所以 A从S滑到Q的过程中，根据机械能守恒定律得 解得 （3）设物块能沿轨道到达M点，且到达时其速度为，从D到M由动能定理得 解得 即物块不能到达M点。 1．（2024·辽宁·高考真题）如图，高度的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量。A、B间夹一压缩量的轻弹簧，弹簧与A、B不栓接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离后停止。A、B均视为质点，取重力加速度。求： （1）脱离弹簧时A、B的速度大小和； （2）物块与桌面间的动摩擦因数μ； （3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能。 【答案】（1）1m/s，1m/s；（2）0.2；（3）0.12J 【解析】（1）对A物块由平抛运动知识得 代入数据解得，脱离弹簧时A的速度大小为 AB物块质量相等，同时受到大小相等方向相反的弹簧弹力及大小相等方向相反的摩擦力，则AB物块整体动量守恒，则 解得脱离弹簧时B的速度大小为 （2）对物块B由动能定理 代入数据解得，物块与桌面的动摩擦因数为 （3）弹簧的弹性势能转化为AB物块的动能及这个过程中克服摩擦力所做的功，即 其中 ， 解得整个过程中，弹簧释放的弹性势能 2．（2022·辽宁·高考真题）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。 （1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度时，滑过的距离，求加速度的大小； （2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为，滑行速率分别为，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。 【答案】（1）；（2），甲 【解析】（1）根据速度位移公式有 代入数据可得 （2）根据向心加速度的表达式 可得甲、乙的向心加速度之比为 甲、乙两物体做匀速圆周运动，则运动的时间为 代入数据可得甲、乙运动的时间为 ， 因，所以甲先出弯道。 3．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 4．（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数，重力加速度大小。求 （1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间； （2）平台距地面的高度。 【答案】（1）4m/s；；（2） 【解析】（1）物块在薄板上做匀减速运动的加速度大小为 薄板做加速运动的加速度 对物块 对薄板 解得 （2）物块飞离薄板后薄板得速度 物块飞离薄板后薄板做匀速运动，物块做平抛运动，则当物块落到地面时运动的时间为 则平台距地面的高度 5．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。 （2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得 联立解得 （2）设此时轻绳拉力为，沿和垂直竖直向上的分力分别为 ， 对转椅根据牛顿第二定律得 沿切线方向 竖直方向 联立解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $$