7.5正态分布7题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.5正态分布7题型分类 一、连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 二、正态曲线 函数，其中,为参数.显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 三、正态曲线的特点 1．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 2．曲线在x＝μ处达到峰值； 3．当无限增大时，曲线无限接近x轴． 四、正态分布 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 五、正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 六、3σ原则 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. （一） 正态曲线图象的应用 正态曲线的特点 1．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 2．曲线在x＝μ处达到峰值． 3．当无限增大时，曲线无限接近x轴． 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 题型1：正态曲线与正态密度函数 1．【多选】（2024高二·山东月考）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 【答案】ACD 【分析】根据密度曲线的解析式判断ABC，由密度曲线的特点判断D即可得解. 【解析】对于A，根据正态密度曲线可知，， ，故，所以曲线关于直线对称正确； 对于B，当时，的峰值为，故不正确； 对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确； 对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确. 故选：ACD 2．（2024高二·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 3．（2024高二·辽宁月考）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是 A．该市这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10 【答案】B 【分析】分析：根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲线的对称性可得分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，从而即可选出答案. 【解析】密度函数， 该市这次考试的数学平均成绩为80分 该市这次考试的数学标准差为10， 从图形上看，它关于直线对称， 且50与110也关于直线对称， 故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同. 故选B. 点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及利用几何图形的对称性求解. 4．（2024高二·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【解析】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 5．【多选】（2024高三·江西月考）若随机变量，则（    ） A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称 C． D．若，则， 【答案】ACD 【分析】根据密度函数的解析式可判断A；根据密度函数的性质可判断BCD. 【解析】若，则其密度函数，因此的密度曲线与轴只有一个交点，故A正确； 的密度曲线关于直线对称，故B错误； ，故C正确； ，，故D正确. 故选：ACD. 题型2：正态曲线图象的应用 6．（2024高二·辽宁大连月考）对甲，乙两地小学生假期一天中读书情况进行统计，已知小学生的读书时间均符合正态分布，其中甲地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，乙地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态曲线的特征可得答案. 【解析】因为，， 所以的对称轴为，的对称轴为， 又，所以的形状偏瘦一些. 故选：C 7．（2024高二·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【解析】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 8．（2024高二·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【解析】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 9．（2024高二·全国月考）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【解析】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 10．（2024高三·广东佛山月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 11．（2024高二·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【解析】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D 12．【多选】（2024高三·全国月考）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【解析】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC （二） 由正态分布求概率 利用正态分布求概率的两个方法： (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 题型3：由正态分布求概率 13．（2024高二·河北石家庄月考）若随机变量，且，则（    ） A．0.29 B．0.71 C．0.79 D．0.855 【答案】B 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【解析】因为，又， 所以， 所以． 故选：B． 14．（2024高二·浙江·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案. 【解析】由于随机变量服从正态分布， 由，及，， 计算可得，故. 故选：C 15．（2024高二·广西南宁·期末）某田地生长的小麦的株高服从正态分布，则（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性及所提供数据运算即可. 【解析】由题知，， 所以 . 故选：B 16．（2024高三·黑龙江齐齐哈尔月考）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（    ） （若随机变量，则，，） A．236 B．246 C．270 D．275 【答案】B 【分析】根据正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性进行计算即可得解. 【解析】由题可知，，，. 所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天． 故选：B． 17．（黑龙江省龙东地区五校2023-2024学年高二学期期末联考数学试卷）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 . 参考数据：若，则. 【答案】0.84/ 【分析】 根据题意确定，根据正态分布的对称性结合已知区间的概率，即可求得答案. 【解析】 由题意知，该产品服从，则， 所以 ， 即抽到“可用产品”的概率为0.84， 故答案为：0.84 18．（2024高三·全国月考）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ． 参考数据：若，则，，． 【答案】0.84/ 【分析】由正态分布的性质可知，有，结合原则即可求解. 【解析】由题意知，该产品服从，则， 所以 ， 又， ， 所以， 所以， 即. 所以抽到“可用产品”的概率为. 故答案为：0.84. 19．【多选】（2024高三·湖南长沙月考）已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（    ） ，，） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态曲线的对称性及参考数据可得答案. 【解析】∵随机变量X服从正态分布， 正态曲线关于直线对称，且，，从而A正确，B错误， 根据题意可得，，， ∴，故C正确； 与不关于直线对称，故D错误． 故选：AC． 20．（2024·四川内江·模拟预测）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： 根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为 . （参考数据：若随机变量，则，，） 【答案】 【分析】计算，确定，再根据正态分布的性质计算概率即可. 【解析】 ， 故， . 故答案为： 题型4： 利用正态分布对称性求参 21．（2024高三·辽宁本溪月考）设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据正态分布概率密度函数的对称性即可求解. 【解析】由题意，根据正态分布的对称性， 得， 解得， 故选：B． 22．（2024高二·湖南·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据正太分布的性质，利用对称性即可求解. 【解析】因为， 由正态分布的对称性可知， 所以. 故选：B. 23．（2024高二·辽宁鞍山月考）设随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案. 【解析】由题意随机变量X服从正态分布，即正态分布曲线关于对称, 因为， 故， 故选：B 24．（2024高二·湖北·期末）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线性质知，由对称性可构造方程求得结果. 【解析】，，， ，解得：. 故选：B. 25．（2024高三·江苏南京·期末）已知随机变量且，则 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的对称性列方程，再解方程即可. 【解析】，. 因为， 所以，解得. 故选：B. 26．（2024高二·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【答案】/ 【分析】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可. 【解析】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 题型5： 标准正态分布应用 27．（2024·江苏徐州·模拟预测）随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 【答案】 【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到，再结合随机变量服从正态分布可得答案. 【解析】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知， 因为，所以，即， 随机变量服从正态分布，根据对称性可知， ，则，即. 故答案为：. 28．（2024·上海宝山·模拟预测）随机变量，，若，那么实数的值为 . 【答案】 【分析】由正态分布性质可得，，由此可利用对称性构造方程求得结果. 【解析】，，，， ，，解得：. 故答案为：. 29．【多选】（2024高二·江苏盐城·期中）若随机变量，，其中，下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断各选项的正误. 【解析】对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知， 所以，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项， ，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. （三） 正态分布的实际应用 1．正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 2．3σ原则 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827． (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545． (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 题型6：正态分布的实际应用 30．（2024高二·陕西咸阳月考）某区高三年级1000名学生参加了区统一考试，考试成绩X服从正态分布.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．100 B．200 C．400 D．800 【答案】A 【分析】由总体密度曲线的对称性可知：成绩在的学生概率为，所以成绩不低于分的学生概率为，进而求得即可. 【解析】因为，且考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的， 由总体密度曲线的对称性可知：成绩在的学生概率为， 所以成绩不低于分的学生概率为， 即成绩不低于分的学生人数约为：. 故选：A. 31．（2024高二·贵州毕节月考）某校组织高二学生体检，其中男生有500人，已知此次体检中高二男生的身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于179cm的概率为0.34，则此次体检中，高二男生身高不低于169cm且不高于174cm的人数约为（    ） A．60 B．75 C．80 D．100 【答案】C 【分析】根据正态分布的概念，正态曲线的性质进行计算求解. 【解析】由题可知，高二男生中身高不高于169cm的概率为0.34， 所以高二男生身高不低于169cm且不高于179cm的概率为， 所以高二男生身高不低于169cm且不高于174cm的概率为， 所以高二男生身高不低于169cm且不高于174cm的人数约为，故A，B，D错误. 故选：C. 32．（2024高二·浙江温州·期中）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和供给作出了杰出贡献．某水䅨种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：）服从正态分布． 参考数据：．下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均亩产量是 B．该地水稻亩产量的标准差是 C．该地水䅨亩产量超过的约占 D．该地水稻亩产量低于的约占 【答案】C 【分析】根据判断A、B，根据正态曲线的对称性求出相应的概率，即可判断C、D. 【解析】依题意，即该地水稻的平均亩产量是，标准差是，故A、B正确； 又，， 所以， 则该地水䅨亩产量超过的约占，故C错误； 又， 所以该地水稻亩产量低于的约占，故D正确. 故选：C 33．（2024·福建泉州·模拟预测）中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（    ） 附：若：，则，，． A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773 【答案】D 【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解. 【解析】骰子向上的点数为偶数的概率，故， 显然，其中，， 故， 则， 由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为 . 故选：D 题型7：正态分布与其他分布的结合 34．（2024高二·河北邯郸·期中）某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值． (1)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）； ①；②；③． 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级． (2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望． 【答案】(1)丙级； (2). 【分析】（1）根据给定条件，依次求出和值，再利用样本数据估算相应区间的概率，与评判法则比对即得. （2）从生产流水线上随意抽取2件零件的次品数服从二项分布，利用二项分布求出，利用古典概率求出从样本中随意抽取2件零件的次品数对应的概率，并求出，再利用期望的性质求解即得. 【解析】（1）依题意，，，， 观察数表得：直径小于的共有10件，直径大于的零件共有10件， 直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件， 直径小于等于的共有1件，直径大于的零件共有1件， ，， ， 所以设备的性能等级为丙级． （2）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件， 则样本中次品共6件，估计设备生产零件的次品率为0.06， 依题意，从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为， 则，于是； 从样本中随意抽取2件零件其次品数设为，则的可能取值为， ， 于是， 则次品总数的数学期望. 35．（2024高二·江西景德镇·期中）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． (1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表： 原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83 赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望： (2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值． 附，若，则，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)或16 【分析】（1）X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望； （2）由正态分布性质得，再由二项分布结合已知列出不等式组即可得解. 【解析】（1）据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布， 因此， 则，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望为. （2）据题意可知， 那么 有， 要使取最大值，只需， 得：且， 故：当或16时，取得最大值. 36．（2024高二·湖南长沙月考）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图： (1)试根据频率分布直方图，求的值以及样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算）． （i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数（精确到个位）； （ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望． 附注：若，，，. 【答案】(1)0.020，70.5千米时 (2)（i）1587辆；（ii）8.4135 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形面积为1可列式求解，然后由平均数公式运算即可； （2）（i）由题可得，则，从而可算得相应速度区间的概率即可；（ii）由题算得，从而由二项分布均值公式即可求解. 【解析】（1）由，解得. 千米时． （2）由（1）及题设知：，则， （i）， 辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数辆． （ii）由（i）知：车速低于85千米/时的概率为， 故，． 一、单选题 1．（2024高二·内蒙古赤峰月考）据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（    ） 附：，，， A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987 【答案】C 【分析】根据原则求得正确答案. 【解析】依题意，， . 故选：C 2．（2024高三·重庆月考）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）    A．Y的数据较X更集中 B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D． 【答案】D 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【解析】观察图象知，， 对于A，的密度曲线瘦高、的密度曲线矮胖，即随机变量的标准差小于的标准差，即， 因此Y的数据较X更集中，A正确； 对于B，显然，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确； 对于C，显然，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确； 对于D，显然，因此，D错误. 故选：D 3．（2024高二·辽宁辽阳·期末）某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）参考数据：，，． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正态分布的对称性即可求出结果. 【解析】由题意可知，，， 所以． 故选：A 4．（2024高三·全国月考）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【答案】D 【分析】根据正态分布的均值与标准差的值，利用正态分布图的对称性特征计算即得. 【解析】因服从正态分布，且，故， 于是 故选：D. 5．（2024高三·全国月考）设随机变量，若，则等于（    ） A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】A 【分析】由正态曲线的对称性可得，结合求解即可. 【解析】由题意知，正态曲线的对称轴为，与关于对称， 所以． 所以． 故选：A． 6．（2024高二·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【解析】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D 7．（2024·全国·模拟预测）据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数X服从正态分布，且，若每月派送的快递件数不低于4000的快递员有60人，则每月派送的快递件数在(2000，3000)的快递员人数为（    ） A．40 B．60 C．70 D．80 【答案】A 【分析】先求得每月派送的快递件数不低于4000的快递员所占比例为，结合正态分布曲线的对称性，即可求解. 【解析】由题意知，每月派送的快递件数不低于4000的快递员所占比例为， 故每月派送的快递件数在的快递员所占比例为， 故每月派送的快递件数在的快递员人数为人． 故选：A. 8．（2024高二·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的特点，利用函数曲线的对称性，即可求出答案。 【解析】由随机变量，所以函数曲线关于直线对称， 又，且，所以. 故选：B 9．（2024·重庆·模拟预测）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（    ） A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可. 【解析】由题意得，则， 则， 则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为, 故选：B. 10．（2024高三·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可. 【解析】由、分布曲线关于轴对称， 则， ∵越大，正态分布曲线越扁平， ∴. 故选：C 二、多选题 11．（2024高二·黑龙江牡丹江·期末）某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性 C．甲生产线的产品尺寸平均值等于乙生产线的产品尺寸平均值 D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 【答案】AC 【分析】根据甲乙生产线产品的尺寸的正态分布曲线，比较二者的均值和方差，即可得答案. 【解析】由图可知，甲乙两条生产线产品尺寸的平均值相等，甲的正态分布密度曲线瘦高， 即甲生产线产品尺寸的方差更小，故甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性， 故选：AC． 12．（2024高二·广西桂林·期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ） A．该正态分布的均值为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据可得出该正态分布的均值，可判断A选项；利用正态密度曲线的性质可判断BCD选项. 【解析】因为， 对于A选项，该正态分布的均值为，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，，D错. 故选：AB. 三、填空题 13．（2024·广西玉林·模拟预测）某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则 ． 【答案】 【分析】求得，再利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【解析】因为服从正态分布，且，， 则， 所以，. 故答案为：. 14．（2024高三·湖南常德月考）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值近似服从正态分布.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段内抽取学生，且.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段内的人数为 人 （附：，，） 【答案】11 【分析】由正态分布的对称性计算出，再求出结果即可. 【解析】因为，， ， ，即， 由已知，该班在内抽取了11人， 他们的分数为68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81. 故答案为：11. 15．（2024高二·江西九江·期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件. （注：） 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性来求得正确答案. 【解析】满足正态分布， ， 直径在之间的零件大约有件. 故答案为： 16．（2024高三·湖北武汉月考）已知随机变量，，且，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据二项分布及正态分布的期望求解即可. 【解析】，， ，，， ，解得， 故答案为： 四、解答题 17．（2024·四川·模拟预测）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.      (1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表） (2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）. 附参考数据：，随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1)16.16 (2)0.073 【分析】（1）利用频率分布直方图求解平均数即可. （2）根据，可求得成绩在内的概率，利用二项分布的概率公式求解即可. 【解析】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为： . （2）由题意知， 则， 故该校女生短跑成绩在内的概率， 由题意可得， 所以， ， 所以. 18．（2024·全国·模拟预测）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．    (1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）； (2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）? 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)0.048；众数是，分位数是 (2)分 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，再结合众数和百分位数的求解方法，即可求解； （2）求得，得到，结合正态分布曲线的对称性，即可求解. 【解析】（1）根据频率分布直方图，可得： ，解得， 这组数据的众数为， 由， 则这100份样本试卷成绩的75%分位数是. （2）由， 所以， 因为， 所以， 所以测试前预估的平均成绩大约为分． 19．（2024·四川成都·模拟预测）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)； (2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且． (i)利用直方图得到的正态分布，求； (ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)． 参考数据：，，，，.若，则，，. 【答案】(1)平均数9，样本方差1.64 (2)(i)0.7823；(ii)0.993，4.35 【分析】(1)根据频率分布直方图平均数和方差的计算方法计算即可； (2)(i)根据(1)中所得平均数和方差，几何正态分布的性质可求μ和σ，根据题中所给信息即可求；(ii)求出，由题可知Z服从二项分布，根据二项分布概率计算方法即可求，根据二项分布数学期望公式即可求其数学期望． 【解析】（1）， ． （2）(i)由题意并结合(1)可知，，， ∴，∴． (ii)由(ⅰ)可知，， ∴， ∴，． 20．（2024·全国·模拟预测）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表： 时间段 频数 100 300 m n (1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望； (2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）. 参考数据：若，则①；②；③. 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2) 【分析】（1）根据分层抽样、超几何分布等知识求得分布列并求得数学期望. （2）先求得，然后根据正态分布的对称性求得正确答案. 【解析】（1）因为，，所以，. 由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段，这两个区间内的车辆数为， 车辆数的可能取值为0，1，2，3，4， ，，， ，， 所以X的分布列为 所以. （2）这1000辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值，即9：04， ， 所以. 估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数， 工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻， ， 所以估计在这一时间段内通过的车辆数为. 21．（2024高三·海南省直辖县级单位月考）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5 计算得：. (1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差. (2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布. 记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间. ①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求； ②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由. 参考公式：若， 则. 参考数据：. 【答案】(1)，. (2)①；②，护林员给出的结论是错误的，理由见解析. 【分析】（1）利用均值（平均数）的计算公式和方差公式，计算即可； （2）①12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间，是一个独立重复实验，其中在区间内等价于发生；②根据随机变量服从正态分布，其中在区间内等价于发生，计算得出，再比较即可. 【解析】（1）样本均值， 样本方差 . （2）①由题意可得，树干直径（单位：近似服从正态分布. 在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间的概率是，所以. ②若树干直径近似服从正态分布， 在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间的概率是，则. 此时事件发生的概率远小于①中根据测量结果得出的概率估计值. 事件是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的. 22．（2024高二·辽宁·期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 旅游消费支出 频数 12 388 452 138 10 (1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上； (2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率. （参考数据：） 【答案】(1)15.925万 (2) 【分析】（1），旅游费用支出在7000元以上的概率为，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7000元以上； （2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，再由独立事件的乘法公式求解即可. 【解析】（1）， 所以旅游费用支出在7000元以上的概率为 ， ，估计有15.925万市民旅游费用支出在7000元以上 （2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为， 设3人总得分为4分为事件，则 即3人总得分为4分的概率. 23．（2024高三·江苏扬州·期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为. (1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望； (2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值. 请根据上述信息，求： ①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率； ②该公司今年这一款保险产品亏损的概率. 参考数据：若，则. 【答案】(1)，75万元 (2)①0.683；②0.0015 【分析】（1）确定以及，根据二项分布的均值公式，即可求得答案； （2）由题意确定，求出产品利润为50~100万元时X的范围以及产品亏损时的X的范围，结合正态分布的特殊区间的概率，即可求得答案. 【解析】（1）由题可知， 则， 记该公司今年这一款保险产品利润为变量，则， 所以万元. （2）因为，当较大且较小时，，则. 由于较大，，其中， 若该公司今年这一款保险产品利润，则， ； 若该公司今年这一款保险产品利润，则， . 答：（1），该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元； （2）①该公司今年这一款保险产品利润为万元的概率为0.683； ②亏损的概率为0.0015. 24．（2024高三·安徽合肥·期末）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值． 参考数据：若，则． (1)求的值； (2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？ (3)若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？ 【答案】(1) (2)160 (3) 【分析】（1）由均值定义计算； （2）由已知得，根据正态分布的概率性质计算概率； （3）由题意，则，记其为，然后用作商法求得最大值时的值． 【解析】（1）， 所以． （2）由（1）知，， ． 该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为 ． （3）每个零部件的质量分数在内的概率为， 由题意可知， 则， 设（）， 则， 令，得， 所以当时，， 令，得， 所以当时，， 所以时，最大，故使最大的n的值为14． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.5正态分布7题型分类 一、连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 二、正态曲线 函数，其中,为参数.显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 三、正态曲线的特点 1．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 2．曲线在x＝μ处达到峰值； 3．当无限增大时，曲线无限接近x轴． 四、正态分布 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 五、正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 六、3σ原则 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. （一） 正态曲线图象的应用 正态曲线的特点 1．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 2．曲线在x＝μ处达到峰值． 3．当无限增大时，曲线无限接近x轴． 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 题型1：正态曲线与正态密度函数 1．【多选】（2024高二·山东月考）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 2．（2024高二·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 3．（2024高二·辽宁月考）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是 A．该市这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10 4．（2024高二·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 5．【多选】（2024高三·江西月考）若随机变量，则（    ） A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称 C． D．若，则， 题型2：正态曲线图象的应用 6．（2024高二·辽宁大连月考）对甲，乙两地小学生假期一天中读书情况进行统计，已知小学生的读书时间均符合正态分布，其中甲地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，乙地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 8．（2024高二·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（2024高二·全国月考）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 10．（2024高三·广东佛山月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（2024高三·全国月考）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 （二） 由正态分布求概率 利用正态分布求概率的两个方法： (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 题型3：由正态分布求概率 13．（2024高二·河北石家庄月考）若随机变量，且，则（    ） A．0.29 B．0.71 C．0.79 D．0.855 14．（2024高二·浙江·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二·广西南宁·期末）某田地生长的小麦的株高服从正态分布，则（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759 16．（2024高三·黑龙江齐齐哈尔月考）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（    ） （若随机变量，则，，） A．236 B．246 C．270 D．275 17．（黑龙江省龙东地区五校2023-2024学年高二学期期末联考数学试卷）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 . 参考数据：若，则. 18．（2024高三·全国月考）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ． 参考数据：若，则，，． 19．【多选】（2024高三·湖南长沙月考）已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（    ） ，，） A． B． C． D． 20．（2024·四川内江·模拟预测）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： 根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为 . （参考数据：若随机变量，则，，） 题型4： 利用正态分布对称性求参 21．（2024高三·辽宁本溪月考）设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．4 22．（2024高二·湖南·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C．2 D．1 23．（2024高二·辽宁鞍山月考）设随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D．1 24．（2024高二·湖北·期末）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 25．（2024高三·江苏南京·期末）已知随机变量且，则 （    ） A． B．0 C．1 D．2 26．（2024高二·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 题型5： 标准正态分布应用 27．（2024·江苏徐州·模拟预测）随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 28．（2024·上海宝山·模拟预测）随机变量，，若，那么实数的值为 . 29．【多选】（2024高二·江苏盐城·期中）若随机变量，，其中，下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． （三） 正态分布的实际应用 1．正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 2．3σ原则 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827． (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545． (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 题型6：正态分布的实际应用 30．（2024高二·陕西咸阳月考）某区高三年级1000名学生参加了区统一考试，考试成绩X服从正态分布.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．100 B．200 C．400 D．800 31．（2024高二·贵州毕节月考）某校组织高二学生体检，其中男生有500人，已知此次体检中高二男生的身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于179cm的概率为0.34，则此次体检中，高二男生身高不低于169cm且不高于174cm的人数约为（    ） A．60 B．75 C．80 D．100 32．（2024高二·浙江温州·期中）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和供给作出了杰出贡献．某水䅨种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：）服从正态分布． 参考数据：．下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均亩产量是 B．该地水稻亩产量的标准差是 C．该地水䅨亩产量超过的约占 D．该地水稻亩产量低于的约占 33．（2024·福建泉州·模拟预测）中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（    ） 附：若：，则，，． A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773 题型7：正态分布与其他分布的结合 34．（2024高二·河北邯郸·期中）某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值． (1)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）； ①；②；③． 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级． (2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望． 35．（2024高二·江西景德镇·期中）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． (1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表： 原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83 赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望： (2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值． 附，若，则，． 36．（2024高二·湖南长沙月考）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图： (1)试根据频率分布直方图，求的值以及样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算）． （i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数（精确到个位）； （ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望． 附注：若，，，. 一、单选题 1．（2024高二·内蒙古赤峰月考）据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（    ） 附：，，， A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987 2．（2024高三·重庆月考）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）    A．Y的数据较X更集中 B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D． 3．（2024高二·辽宁辽阳·期末）某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）参考数据：，，． A． B． C． D． 4．（2024高三·全国月考）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3 5．（2024高三·全国月考）设随机变量，若，则等于（    ） A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9 6．（2024高二·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数X服从正态分布，且，若每月派送的快递件数不低于4000的快递员有60人，则每月派送的快递件数在(2000，3000)的快递员人数为（    ） A．40 B．60 C．70 D．80 8．（2024高二·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 9．（2024·重庆·模拟预测）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（    ） A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748 10．（2024高三·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024高二·黑龙江牡丹江·期末）某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性 C．甲生产线的产品尺寸平均值等于乙生产线的产品尺寸平均值 D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 12．（2024高二·广西桂林·期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ） A．该正态分布的均值为 B． C． D． 三、填空题 13．（2024·广西玉林·模拟预测）某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则 ． 14．（2024高三·湖南常德月考）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值近似服从正态分布.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段内抽取学生，且.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段内的人数为 人 （附：，，） 15．（2024高二·江西九江·期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件. （注：） 16．（2024高三·湖北武汉月考）已知随机变量，，且，则 . 四、解答题 17．（2024·四川·模拟预测）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.      (1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表） (2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）. 附参考数据：，随机变量服从正态分布，则. 18．（2024·全国·模拟预测）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．    (1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）； (2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）? 参考数据：若，则，，． 19．（2024·四川成都·模拟预测）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)； (2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且． (i)利用直方图得到的正态分布，求； (ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)． 参考数据：，，，，.若，则，，. 20．（2024·全国·模拟预测）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表： 时间段 频数 100 300 m n (1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望； (2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）. 参考数据：若，则①；②；③. 21．（2024高三·海南省直辖县级单位月考）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5 计算得：. (1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差. (2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布. 记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间. ①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求； ②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由. 参考公式：若， 则. 参考数据：. 22．（2024高二·辽宁·期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 旅游消费支出 频数 12 388 452 138 10 (1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上； (2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率. （参考数据：） 23．（2024高三·江苏扬州·期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为. (1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望； (2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值. 请根据上述信息，求： ①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率； ②该公司今年这一款保险产品亏损的概率. 参考数据：若，则. 24．（2024高三·安徽合肥·期末）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值． 参考数据：若，则． (1)求的值； (2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？ (3)若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$