精品解析：湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二下学期寒假作业检测数学试题

长郡中学2025年高二寒假作业检测 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第1卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，，则（ ） A. B. 2 C. -2 D. 3. 已知，且满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数 满足 ，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 数列满足，且其前项和为.若，则正整数（ ） A. 99 B. 103 C. 137 D. 169 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数,则下列结论中正确的是（ ） A. 在(0,1)单调递增 B. 在(1,2)单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点(0,1)对称 10. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在底面内运动（含边界），则（ ） A. 若是棱的中点，则平面 B. 若平面，则是的中点 C. 若在棱上运动（含端点），则点到直线的距离最小值为 D. 若与重合时，四面体外接球的表面积为 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 第II卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在上单调，则的取值范围是____________________. 13. 我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为___________. 14. 记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则_____，若，则m的最小值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列和等差数列满足，且当时，. （1）求数列的通项； （2）求数列的前项和. 16. 在锐角中，分别是角的对边，. （1）求角大小； （2）求取值范围； （3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值. 17. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 19. 已知函数，且在上的最小值为0. （1）求实数的取值范围； （2）设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S． （i）求证：函数在上具有性质S； （ii）记，其中，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长郡中学2025年高二寒假作业检测 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第1卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为， 由可得，解得，则， 因此，. 故选：D. 2. 已知复数满足，，则（ ） A. B. 2 C. -2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设复数，，根据题意得出，解出a，b的值，进而即可求解． 【详解】设复数，， 由， 得， 解得，， ∴， ∴. 故选：B． 3. 已知，且满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式得到，然后结合角的范围和正切函数的性质得到，最后计算正切值即可. 【详解】因为， 可得， 又因为， 则，所以，整理得， 所以. 故选：A. 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的性质得到，然后求投影向量即可. 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入可得，即可得，由可得的关系式，即可求得答案. 【详解】设的半焦距为c, 将代入可得， 故，又, 故由得，即，则， 即，则双曲线的离心率为， 故选：A 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三个数进行恒等变形，使三个数中都出现，结合三个数据的形式构造定义域在上的函数，通过求导分析函数单调性，确定时的函数值与的大小关系，即可比较三个数的大小. 【详解】由题意得，. 令，则， 令，则， 令，则，当时，， ∴在上是减函数，且，， ∴，使得， ∴当时，，当时，， ∴在上为增函数，在为减函数. ∵，， ∴当时，， ∴在上为增函数. ∵， ∴， ∴. ②令， 则， ∴在上为增函数. ∵, ∴， ∴. 故选：B. 【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下： ①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字， ②将看成变量，构造函数， ③分析包含的某个区域的函数单调性， ④根据函数单调性比较大小. 7. 已知正数 满足 ，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和的立方公式计算化简得出得 ，换元得出 ，再结合基本不等式得出 ，最后计算求解即可. 【详解】因为，故原题干等式可转化为 ，得 ， 设 ，则 ，解得 ， 因为 ，所以 ， 解得 或 ，又因为 ， 所以 ，整理得 ，解得 ， 当且仅当 时，等号成立. 因此 ，即 2，所以的取值范围是 . 故选：D. 【点睛】关键点点睛： 解题的关键点是利用换元，结合基本不等式得出关于的高次不等式即可求解. 8. 数列满足，且其前项和为.若，则正整数（ ） A. 99 B. 103 C. 137 D. 169 【答案】D 【解析】 【分析】由，得出为等比数列，求得，得到，再求得，分m为奇数和m为偶数，两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由得， 为等比数列，， ， ， ①为奇数时，; ②偶数时，， 只能为奇数，为偶数时，无解， 综上所述，. 故选:D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数,则下列结论中正确的是（ ） A. 在(0,1)单调递增 B. 在(1,2)单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点(0,1)对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求定义域,用对数运算性质化为对数型复合函数,根据复合函数的单调性判断A,B的正误;再根据和的关系判断函数的对称性. 【详解】解：由题意知,的定义域为, , 由复合函数的单调性知,函数在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减, 所以A,B正确; ∵函数, ∴,即, 即的图像关于直线对称, 所以C正确,D错误． 故选:ABC. 10. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在底面内运动（含边界），则（ ） A. 若是棱的中点，则平面 B. 若平面，则是的中点 C. 若在棱上运动（含端点），则点到直线的距离最小值为 D. 若与重合时，四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，根据中位线得到线线平行，得到线面平行；B选项，建立空间之间坐标系，当是的中点时，，，故线面不垂直；C选项，设，利用点到直线距离的向量公式得到点到直线的距离，并求出最小值；D选项，先证明出线面垂直，并得到四面体的外接球的球心在上，设出，根据半径相等，列出方程，得到的值，得到半径，进而求出表面积. 【详解】A选项，如图，取的中点，连接， 因为点是棱的中点，所以且， 又是棱的中点，所以且， 故且， 故四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 当是的中点时，， 故，， 故， 故与不垂直，故与平面不垂直，B错误； C选项，若在棱上运动（含端点），设， ， 点到直线的距离， 因为，所以当时，， 则点到直线的距离最小值为，C正确； D选项，连接，则， 其中， ， 故⊥，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 又三角形为等边三角形，设交平面于点， 其中，，， 由于，故，点为的中心， 故四面体的外接球的球心在上， 设球心为O，则，故， 根据得， 解得， 外接球半径为， 故表面积为. 若与重合时，四面体的外接球的表面积为，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可. 第II卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在上单调，则的取值范围是____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据在上单调递增得到恒成立，然后分和分析得到，最后再结合端点处的函数值列不等式求解即可. 【详解】由题意可知时，时，； 因为在上单调递增， 所以时，恒成立，即，可得， 当，时，，在上单调递增，成立， 又，可得，综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 13. 我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为___________. 【答案】1728 【解析】 【分析】甲队利用捆绑法和除序法计算，乙队利用插空法计算，最后利用分步乘法原理计算即可. 【详解】甲队，先用捆绑法，将与捆绑有种排法，将与看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共有种排法; 乙队，利用插空法得种，按照分步乘法计数原理可知，一共有种排法. 故答案：1728. 14. 记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则_____，若，则m的最小值为_____. 【答案】 ①. ②. 21 【解析】 【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m的范围，即可求得答案. 【详解】当时，表示3个元素的有限集， 由可知或或或， 故； 由题意知， 故由可得，即， 解得或（舍去）， 结合，故m的最小值为21， 故答案为：；21 【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合解不等式，即可求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列和等差数列满足，且当时，. （1）求数列的通项； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式以及对数函数的性质即可求解；（2）根据乘公比错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由得：， 由得： 由得： 所以：， 所以： 所以：当时，， 又因为不满足， 所以：. 【小问2详解】 ， 当时，； 当时，，① ，② ①②得： ， 所以：， 又也满足， 综上：. 16. 在锐角中，分别是角的对边，. （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦展开式化简可得答案； （2）求出的范围，利用两角和的正弦展开式化简可得答案； （3）当取得最大值时求出，利用余弦定理、面积公式求出可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 又因为，所以 又因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 在锐角中，由（1）得，， 所以 ， 由，所以 所以的取值范围为； 【小问3详解】 当取得最大值时，，解得； 在中，令， 则，所以； 又， 所以， 所以. 所以 ，而， 故当时等号成立， 所以面积的最大值为. 【点睛】关键点睛：第三问求解三角形面积的最大值时，要利用面积公式表示出三角形面积，关键是要根据正余弦定理推得，继而结合正弦函数性质即可求解. 17. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在； 【解析】 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 18. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）（i）设直线的方程为，其中，且，设直线与椭圆交于点，联立方程，利用韦达定理求出，，再结合斜率公式化简即可得出结论； （ii）法一：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，联立方程组求出，即可得的坐标，再求出三角形面积的表达式，结合基本不等式即可得解. 法二：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，易得点是线段的中点，则，其中为点到直线的距离，求出的最大值即可. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为，所以，即， 据，得，即. 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点， 联立方程组整理得， 所以，， （i）所以 为定值，得证； （ii）法一：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故 联立方程组整理得， 解得或0（舍），， 所以的面积 ， 由（i）可知，，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得， 所以， 显然，当时，， 当时，， 故只需考虑，令，则， 所以， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以的面积的最大值为. 法二：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故， 由（i）可知，，故， 所以点是线段的中点， 故的面积，其中为点到直线的距离， 思路1 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值， 设直线的方程为，即， 联立方程组整理得， 据，解得（正舍）， 所以平行直线：与直线：之间的距离为 ，即的最大值为， 所以的面积的最大值为. 思路2 因为直线的方程为， 所以， 依题意，，，，故， 所以， 因为在椭圆上，故，即， 所以， 当且仅当时取等号，故， 所以， 即的面积的最大值为. 思路3 因为直线的方程为， 所以， 因为在椭圆上，故， 设，，不妨设， 所以， 当，，时，， 即的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知函数，且在上的最小值为0. （1）求实数的取值范围； （2）设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S． （i）求证：函数在上具有性质S； （ii）记，其中，求证：. 【答案】（1） （2）（i）证明见详解 （i i）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求出，可得在上单调递增，所以，再分和两种情况讨论，得到单调性，进而求出的最小值，判断是否符合题意； （2）（i）要证函数在上具有性质，即证当时，，令，，求得可得在上的单调递增，所以，得证； （ii）将题中要证明的不等式进行转化证明：当，时，.构造函数，利用导函数得到函数的单调性，从而证明结论. 【小问1详解】 ，，， ，， 令，，等号不同时取， 所以当时，，在上单调递增，， ①若，即，，在上单调递增， 所以在上的最小值为，符合题意. ②若，即，此时，， 又函数在的图象不间断，据零点存在性定理可知， 存在，使得，且当时，， 在上单调递减，所以，与题意矛盾，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 （i）由（1）可知，当时，. 要证函数在上具有性质. 即证：当时，. 即证：当时，. 令，，则， 即，当时，， 所以在上单调递增，. 即当时，，得证. （ii）要证：. 显然，当时时，，结论成立. 只要证：当，时，. 即证：当，时，. 令. 所以，令， 则，令， 则，在上单调递减， 所以，在上单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，即当时，. 所以当，时，，有 所以当，时，. 所以. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$