高考新动向2 应用数学归纳法解决多次碰撞问题-【正禾一本通】2025年高考物理高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

[高考新动向(二)]　应用数学归纳法解决多次碰撞问题 (选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟) 1．(2024·湖南长沙一模)如图所示，一足够长倾斜角θ＝30°的斜面顶端放置一长木板A，木板A上表面的某处放置一小滑块B(可看成质点)，已知A和B的质量分别为2m和3m，木板A顶端与滑块B相距为L＝0.9 m的地方固定一光滑小球C(可看成质点)，已知小球C的质量为m，A与B之间的动摩擦因数μ1＝，A与斜面间的动摩擦因数μ2＝，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2，将固定的光滑小球C由静止释放，C与B会发生弹性碰撞，求： (1)小球C与滑块B碰后瞬间各自的速度分别多大； (2)要使小球C再次碰到滑块B之前B未能滑出A下端，则木板A至少多长； (3)A和B共速时，滑块B与小球C距多远。 解析：(1)由于A与B之间的动摩擦因数及A与斜面间的动摩擦因数均不小于tan θ，则在B、C相碰前，A、B均相对斜面静止，小球在由释放到与B碰撞前，根据动能定理得 mgL sin θ＝ 解得v0＝3 m/s B、C碰撞过程，以沿斜面向下为正方向，根据动量守恒和能量守恒可得 mv0＝mv3＋3mv2 解得小球C与滑块B碰后瞬间各自的速度v3＝－1.5 m/s，v2＝1.5 m/s，即小球C与滑块B碰后瞬间，各自的速度大小分别为1.5 m/s、1.5 m/s。 (2)B、C碰后，对A、B、C分别根据牛顿第二定律得 a1＝ m/s2 a2＝ m/s2 a3＝g sin θ＝5 m/s2 假设C再次碰到B之前，A、B尚未共速， 根据位移关系有v3t＋a2t2 解得t＝ s 此时A的速度v1′＝a1t＝1 m/s B的速度v2′＝v2－a2t＝－0.5 m/s 显然假设不成立； 在C再次碰到B之前，A、B发生向下的共速，设经过时间t1，A、B达到共同速度v，根据运动学公式有 v＝v2－a2t1＝a1t1 解得t1＝ s，v＝0.5 m/s 此后由于μ1>μ2，则A、B相对静止，设共速前A与B的位移分别为xA和xB，根据运动学公式有 xA＝t1＝0.1 m xB＝t1＝0.4 m 则相对滑动距离为 Δx＝xB－xA＝0.3 m 所以木板A的长度至少为 LA＝L＋Δx＝0.9 m＋0.3 m＝1.2 m。 (3)A、B发生向下的共速时滑块B与小球C相距 d＝v2t1－＝0.6 m 答案：(1)－1.5 m/s　1.5 m/s　(2)1.2 m (3)0.6 m 2．某兴趣小组为了研究碰撞问题，设计了如图所示的实验装置。水平地面上A点有一发射装置，可以斜向上以不同的速度发射小球。A点右侧放置一足够长的桌面，从桌面左边缘B点开始沿同一直线每隔d＝0.3 m放置一个小球。某一次实验中，发射装置以v0＝5 m/s的速度沿与水平方向成53°角斜向上发射一小球，小球恰好与桌面B点的小球1发生水平对心碰撞，碰撞时间忽略不计。已知所有小球完全相同且可看作质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。 (1)求桌面距离地面的高度h； (2)若小球与桌面的动摩擦因数μ1＝0.2，且小球间的碰撞为一维弹性碰撞，则最多能发生几次碰撞？ (3)若小球与桌面的动摩擦因数μ2＝0.02，小球的质量均为1 kg，且所有碰撞后的小球立即粘在一起，求与第4个小球碰撞前的瞬间已粘到一起的小球的总动能。 解析：(1)根据题意可知，小球做斜抛运动，且B点为最高点，则有(v0sin 53°)2＝2gh 解得h＝＝0.8 m。 (2)根据题意可知，小球运动到B点时速度方向水平向右，大小为v0cos 53°＝3 m/s 设与小球1碰撞后，小球的速度为v0′，小球1的速度为v1′，小球间的碰撞为一维弹性碰撞，设小球的质量为m，则有 mv0cos 53°＝mv0′＋mv1′ m(v0cos 53°)2＝mv0′2＋mv1′2 解得v0′＝0，v1′＝v0cos 53° 可知两个小球碰撞后速度互换，则等效为小球在桌面上做匀减速直线运动，设运动的最大距离为x，由动能定理有 －μ1mgx＝0－m(v0cos 53°)2 解得x＝2.25 m 则有n＝＝7.5 即最多能发生8次碰撞。 (3)根据题意，小球与小球1碰撞前的动能为 Ek0＝m(v0cos 53°)2＝4.5 J 设小球第一次碰撞前速度为v，第一次碰撞后速度为v1，则有mv＝2mv1 第一次碰撞后整体的动能为 Ek1＝Ek0 第一次碰撞后到第二次碰撞前，由动能定理有 －μ2·2mgd＝Ek1′－Ek1 解得Ek1′＝Ek0－0.12＝ 同理，小球第二次碰撞前速度为v2，第二次碰撞后速度为v2′，则有2mv2＝3mv2′ 第二次碰撞后整体的动能为 Ek2＝×3mv2′2＝ 第二次碰撞后到第三次碰撞前，由动能定理有 －μ2·3mgd＝Ek2′－Ek2 解得Ek2′＝Ek2－0.18＝－0.18＝ 同理，小球第三次碰撞前速度为v3，第三次碰撞后速度为v3′，则有3mv3＝4mv3′ 第三次碰撞后整体的动能为Ek3＝×4mv3′2＝Ek2′＝ 第三次碰撞后到第四次碰撞前，由动能定理有 －μ2·4mgd＝Ek3′－Ek3 解得与第4个小球碰撞前的瞬间已粘到一起的小球的总动能 Ek3′＝Ek3－0.24＝－0.24＝0.69 J。 答案：(1)0.8 m　(2)8　(3)0.69 J 学科网（北京）股份有限公司 $$