课下巩固训练（二）基本初等函数、函数的应用-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

[课下巩固训练(二)]　基本初等函数、函数的应用 【选择题】每小题5分 一、单选题 1．(2024·甘肃武威模拟)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：当x<0时，由x(x＋3)＝0，得x＝－3或0(舍去)；当x≥0时，由x(x－3)＝0解得x＝0或x＝3，故共有3个零点． 2．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　 ) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x-1| 答案：C 解析：因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误； 因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； 因为f＝，f(1)＝3|1-1|＝30＝1，f(2)＝3|2-1|＝3，显然f(x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D错误． 3．已知函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，则函数g(x)＝的图象大致为(　　 ) 答案：C 解析：由2a＝4，得a＝2，则g(x)＝||= 函数定义域是(－1，＋∞)，在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C选项符合要求． 4．(2024·福建三明三模)若a＝，则(　　 ) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>c>a 答案：A 解析：由题意得a＝， 由于y＝在(0，＋∞)上单调递增，故1＝>a＝>b＝； 而y＝在(0，＋∞)上单调递减，故c＝＝1，故c>a>b. 5．(2024·新疆乌鲁木齐二模)设x>0，函数y＝x2＋x－7，y＝2x＋x－7，y＝log2x＋x－7的零点分别为a，b，c，则(　　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b 答案：A 解析：分别令y＝x2＋x－7＝0，y＝2x＋x－7＝0，y＝log2x＋x－7＝0， 则x2＝－x＋7，2x＝－x＋7，log2x＝－x＋7，则a，b，c分别为函数y＝－x＋7与函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x图象交点的横坐标， 分别作出函数y＝x2，y＝－x＋7，y＝2x，y＝log2x的图象，如图所示， 由图可知，a<b<c. 6．(2024·河北沧州模拟)某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25 g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A．12 B．13 C．14 D．15 答案：D 解析：由题意知r0＝2.25 g/m3，r1＝2.21 g/m3，当n＝1时，r1＝r0＋(r1－r0)×30.25+t，故30.25+t＝1，解得t＝－0.25， 所以rn＝2.25－0.04×30.25(n-1)． 由rn≤0.65，得30.25(n-1)≥40，即 0.25(n －1)≥，得n≥＋1≈14.33，又n∈N*，所以n≥15， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次． 7．函数f(x)＝|2x－m|－|ln x|有且只有一个零点，则m的取值可以是(　　 ) A．2 B．1 C．3 D．e 答案：B 解析：f(x)＝|2x－m|－|ln x|＝0⇔m－2x＝ln x或m－2x＝－ln x， 显然h(x)＝2x＋ln x单调递增，令g(x)＝2x－ln x(x>0)， 则g′(x)＝2－，当0<x<时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g＝1＋ln 2， 注意到h(x)＝g(x)的交点为(1，2)，而2>1＋ln 2， 所以在同一平面直角坐标系中作出h(x)，g(x)的图象如图所示， 由图可知m＝h(x)，m＝g(x)的根的个数之和为1，当且仅当m<1＋ln 2， 对比选项可知m的取值可以是1. 8．(2024·福建漳州模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x)－1)的零点个数为(　　 ) A．3 B．5 C．6 D．8 答案：B 解析：依题意，函数g(x)＝f(f(x)－1)零点的个数，即为方程f(f(x)－1)＝0解的个数， 令f(x)－1＝t，则f(t)＝0，当t>0时，ln t－＝0，令h(t)＝ln t－，t>0， 函数y＝ln t，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，于是函数h(t)在(0，＋∞)上单调递增， 又h(1)＝－1<0，h(e)＝1－>0，则存在t1∈(1，e)，使得h(t1)＝0； 当t≤0时，－|t＋1|＋1＝0，解得t＝0或－2，作函数f(x)＝的大致图象，如图： 又f(x)－1＝t，则f(x)＝t＋1， 当t＝0时，f(x)＝1，由y＝f(x)的图象知，方程f(x)＝1有两个解； 当t＝－2时，f(x)＝－1，由y＝f(x)的图象知，方程f(x)＝－1有两个解； 当t＝t1，t1∈(1，e)时，f(x)＝t1＋1，由y＝f(x)的图象知，方程f(x)＝t1＋1有一个解， 综上所述，函数g(x)＝f(f(x)－1)的零点个数为5. 二、多选题 9．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是常数．已知在前5 h消除了10%的污染物．则下列结论正确的是(　　 ) (参考数据：ln 0.5≈－0.693，ln 0.9≈－0.105) A．k＝ln 0.9 B．过滤10 h后还剩余81%的污染物 C．污染物减少50%所需要的时间为31 h D．污染物减少50%所需要的时间为33 h 答案：BD 解析：由题意，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝(1－10%)P0＝0.9P0. 于是有0.9P0＝P0e-5k，解得k＝－ln 0.9，故A错误； 当t＝10时，P＝P0e-10k＝P0e2ln 0.9＝P00.92＝81%P0，故B正确； 当P＝50%P0＝0.5P0时，有0.5P0＝P0e－kt，解得t＝＝33，故C错误，D正确． 10．(2024·浙江金华模拟)已知0<a<b<1，m>n>1，则(　　 ) A．ba>ab B．mn>nm C．logba>logmn D．logan>logbm 答案：ACD 解析：因为0<a<b<1，所以指数函数y＝bx在R上单调递减，且a<b，所以ba>bb，因为幂函数y＝xb在(0，＋∞)上单调递增，且a<b，所以ab<bb，所以ba>ab，故A正确； 取m＝5，n＝2，则52<25，故B错误； 因为对数函数y＝logbx在(0，＋∞)上单调递减，y＝logmx在(0，＋∞)上单调递增，所以logba>logbb＝1，logmn<logmm＝1，所以logba>logmn，故C正确； 因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln a<ln b<0，ln m>0，则logam＝>＝logbm，因为对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，所以logan>logam>logbm，故D正确． 11．(2024·河北邢台模拟)已知函数f(x)＝ex＋2x－2，g(x)＝2ln x＋x－2的零点分别为x1，x2，则(　　 ) A．2x1＋x2＝2 B．x1x2＝＋ln x2 C．x1＋x2> D．2x1x2< 答案：ACD 解析：由题意＋2x1－2＝0，2ln x2＋x2－2＝0，所以＋2x1＝2ln x2＋x2＝2，即＝2ln x2＋x2＝2， 所以＝x2，故2x1＋x2＝＝2，故A正确； 由f(x)＝0，g(x)＝0得ex＝－2x＋2，ln x＝－x＋1，故函数y＝ex与y＝－2x＋2图象交点的横坐标和y＝ln x与y＝－x＋1图象交点的横坐标即为函数f(x)和g(x)的零点x1，x2， 如图，由图象性质可知0<x1<，1<x2<2， 又由A得＝x2，故x1＝ln x2，所以x1x2＝＋ln x2，故B错误； 由已知得2ln x2＋x2－2＝0，即2ln x2＋x2＝2，由x1＝ln x2以及1<x2<2得x1＋x2＝ln x2＋x2＝x2>>，故C正确； 由A、B得＝x2，0<x1<<1，所以2x1x2＝<，故D正确． 【填空题】每小题5分 三、填空题 12．请估计函数f(x)＝－log2x零点所在的一个区间________. 解析：函数f(x)＝－log2x为(0，＋∞)上的减函数，且函数的图象在(0，＋∞)上为一条连续不断的曲线， 又f(3)＝2－log23>2－log24＝0，f(4)＝<0， 所以函数f(x)＝－log2x零点所在的一个区间为(3，4)． 答案：(3，4) 13．(2024·全国甲卷)已知a>1且，则a＝______． 解析：log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 答案：64 14．(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)＝(x)＝－x＋a，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范围是__________． 解析：由题意设h(x)＝f(x)＋x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点即为方程h(x)＝a的根，在同一平面直角坐标系中分别画出函数h(x)的图象以及直线y＝a如图所示： 若函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点x1，x2，x3，不妨设为x1<x2<x3， 则方程h(x)＝a的根有三个根x1，x2，x3，且x1≤0<x2<1<x3，所以a∈(2，4]， 且2<a＝－＋4＝－ln x2＋x2＋＝ln ＝ln x3＋x3＋≤4， 因为y＝ln x＋x＋在(1，＋∞)单调递增，所以x3＝，即x2x3＝1， 所以x1·x2·x3＝x1， 令2＝a＝－x2＋4，x≤0，解得x＝－，令4＝a＝－x2＋4，x≤0，解得x＝0， 所以x1·x2·x3＝x1∈. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$