专题一 第二讲 基本初等函数、函数的应用（课件PPT）-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

数 学 高三二轮专题复习高效讲义 数 学 专题一 PPT下载 http:///xiazai/ 函数与导数 第二讲 基本初等函数、 函数的应用　 2 考点1 基本初等函数的图象与性质 考点2 函数的零点 角度1 确定函数零点个数 角度2 根据函数的零点求参数的取值范围 角度3 零点的代数式问题 考点3 函数模型及其应用 课下巩固训练（二） 基本初等函数、函数的应用 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 01 02 03 04 05 06 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\f(1,2))x与y＝x2交点的横坐标， 由＝2－c，即＝( eq \f(1,2))c，知c为y＝( eq \f(1,2))x与y＝交点的横坐标． 作出y＝( eq \f(1,2))x，y＝log2x，y＝x2，y＝的图象如图所示， 由图可知，c<b<a. 答案：B (2)(2024·江西鹰潭模拟)若函数f(x)＝( eq \f(1,3))(x－a)(x+2)在区间(－1，2)上单调递增，则a的取值范围是(　　 ) A．[0，6] B．[－2，0] C．[6，＋∞) D．(－∞，0] 解析：令g(x)＝(x－a)(x＋2)＝x2＋(2－a)x－2a， 因为y＝( eq \f(1,3))x在定义域R上单调递减，要使函数f(x)＝( eq \f(1,3))(x－a)(x+2)在区间(－1，2)上单调递增， 则g(x)＝x2＋(2－a)x－2a在区间(－1，2)上单调递减， 所以 eq \f(a－2,2)≥2，解得a≥6，所以a的取值范围为[6，＋∞). 答案：C [规律总结]　(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围． (2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f(x)＝ln (x2－3x＋2)的单调区间，不应只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，还要注意t>0这一限制条件． [对点练习]　1.(1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象可能是(　　 ) 解析：∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)， ∴ab＝1，∴a＝ eq \f(1,b)，∴g(x)＝＝logax， ∴函数f(x)＝ax与函数g(x)＝互为反函数， ∴函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性． 答案：B (2)(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：因为y＝4.2x在R上递增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b. 因为y＝log4.2x在区间(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0，所以b>a>c. 答案：B [核心整合] 1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． [例2]　(1)(2024·江苏无锡模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|x－1|，x<2，,2(x－3)2－1，x≥2，))若方程f(f(x))＝ eq \f(1,2)的实根个数为(　　 ) A．4 B．8 C．10 D．12 解析：因为f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|x－1|，x<2，,2(x－3)2－1，x≥2，))则f( eq \f(1,2))＝ eq \f(1,2)，f( eq \f(3,2))＝ eq \f(1,2)，f(2)＝1，f(4)＝1， 令 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2(x－3)2－1＝\f(1,2)，,x≥2，))解得x＝3－ eq \f(\r(3),2)或x＝3＋ eq \f(\r(3),2)， 在同一平面直角坐标系中画出y＝f(x)与y＝ eq \f(1,2)的图象， 由图象观察可知y＝f(x)与y＝ eq \f(1,2)有4个交点，不妨设为x1，x2，x3，x4且x1<x2<x3<x4，则0<x1＝ eq \f(1,2)<1<x2＝ eq \f(3,2)<2<x3<3<x4<4， 当f(f(x))＝ eq \f(1,2)时，由f(x)＝x1，0<x1＝ eq \f(1,2)<1，则存在4个不同实根， 由f(x)＝x2，1<x2＝ eq \f(3,2)<2，则存在2个不同实根， 由f(x)＝x3，2<x3<3，则存在2个不同实根， 由f(x)＝x4，3<x4<4，则存在2个不同实根， 综上，f(f(x))＝ eq \f(1,2)的实根个数为10. 答案：C (2)若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，则实数m的取值范围是_______． 解析：由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增， 因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(1)<0，,f(2)>0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log21＋12＋m<0，,log22＋22＋m>0，))解得－5<m<－1， 所以实数m的取值范围是(－5，－1). 答案：(－5，－1) [规律总结]　函数零点个数的判断方法 (1)直接法：由f(x)＝0求解即可． (2)零点存在定理：由f(a)·f(b)<0，再结合函数的性质确定函数f(x)零点的个数． (3)数形结合法：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． (4)换元法：形如f(g(x))的函数，可采用换元法，先令g(x)＝t，求得当f(t)＝0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)＝t时x的值的个数，即为f(g(x))的零点的个数． [例3]　若函数f(x)＝|2x－3|－1－m有2个零点，则m的取值范围是________． 解析：由f(x)＝|2x－3|－1－m＝0，得|2x－3|－1＝m. 设函数g(x)＝|2x－3|－1＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－2x，x<log23，,2x－4，x≥log23，))作出g(x)的大致图象，如图所示． 函数f(x)＝|2x－3|－1－m有2个零点，即函数g(x)与函数y＝m的图象有两个交点，由图可知，m的取值范围是(－1，2). 答案：(－1，2) [规律总结]　利用函数零点的情况求参数的方法 [例4]　(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|log2x|，0<x≤2，,x2－8x＋13，x>2，))若关于x的方程f(x)＝m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则 eq \f((x3＋x4)x3,x1x2)∈(　　 ) A．(16，32－8 eq \r(3)) B．(16，32) C．(32＋8 eq \r(3)，48) D．(32，48) 解析：作出函数y＝f(x)和函数y＝m的图象可知， 假设两个函数的图象共有4个交点A，B，C，D，且横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x1<x2<x3<x4，0<x1<1<x2<2， 由f(x1)＝f(x2)，得|log2x1|＝|log2x2|，则有－log2x1＝log2x2， 所以log2x1＋log2x2＝0，所以x1x2＝1. 由于二次函数y＝x2－8x＋13图象的对称轴为直线x＝4， 则点C、D两点关于直线x＝4对称，所以x3＋x4＝8，则 eq \f((x3＋x4)x3,x1x2)＝8x3. 令x2－8x＋13＝0，解得x＝4－ eq \r(3)或x＝4＋ eq \r(3)，所以x3∈(2，4－ eq \r(3))， 所以 eq \f((x3＋x4)x3,x1x2)＝8x3∈(16，32－8 eq \r(3)). 答案：A [对点练习]　2.(1)(2024·福建厦门模拟)f(x)＝tan x sin x－sin x－tan x＋1在[0，2π]上的零点个数是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：依题意，f(x)＝tan x sin x－sin x－tan x＋1＝(tan x－1)(sin x－1)， 而x∈[0，2π]，显然x≠ eq \f(π,2)且x≠ eq \f(3π,2)，因此sin x≠1， 由f(x)＝0，得tan x＝1，解得x＝ eq \f(π,4)或x＝ eq \f(5,4)π，所以f(x)在[0，2π]上的零点个数是2. 答案：B (2)(2024·湖南邵阳模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|log3x|，0<x<3，,sin (\f(π,6)x)，3≤x≤15，))若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2(x3－3)(x4－3)的取值范围是________________． 解析：作出函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|log3x|，0<x<3，,sin (\f(π,6)x)，3≤x≤15))的图象，如图， 因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，x1<x2<x3<x4，x1x2＝1， 所以由图可知 eq \f(x3＋x4,2)＝9，x3∈(3，6)， 所以(x3－3)(x4－3)＝(x3－3)(18－x3－3)＝－x eq \o\al(2,3)＋18x3－45， y＝－x eq \o\al(2,3)＋18x3－45在(3，6)上单调递增，所以－x eq \o\al(2,3)＋18x3－45∈(0，27)， 即x1x2(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27). 答案：(0，27) [核心整合] 应用函数模型解决实际问题的一般步骤和解题关键 (1)一般步骤： eq \f(读题,文字语言)⇒ eq \f(建模,数学语言)⇒ eq \f(求解,数学应用)⇒ eq \f(反馈,检验作答). (2)解题关键：解答这类问题的关键是建立相关函数解析式，利用函数、方程、不等式和导数的有关知识进行解答． [例5]　(多选)(2024·湖南长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年．样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0· ，其中N0表示氚原有的质量，则(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.301) A．t＝12.43log2 eq \f(N,N0) B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 eq \f(1,32) D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16 解析：由题意得N＝N0·2－ eq \f(t,12.43)，故有 eq \f(N,N0)＝，左右同时取对数得log2 eq \f(N,N0)＝－ eq \f(t,12.43)，故得t＝－12.43log2 eq \f(N,N0)，故A错误； 当t＝24.86时，N＝N0·＝2-2·N0＝ eq \f(1,4)N0，故B错误； 当t＝62.15时，N＝N0·＝2-5·N0＝ eq \f(1,32)N0，即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 eq \f(1,32)，故C正确； 由题意得0.4N0＝N0·，化简得x＝－12.43log2 eq \f(0.4N0,N0)＝－12.43log2 eq \f(2,5)＝－12.43(log22－log25)＝－12.43(1－log25)＝－12.43(1－ eq \f(lg 5,lg 2))＝－12.43(1－ eq \f(1－lg 2,lg 2))，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43(1－ eq \f(1－0.301,0.301))≈16.44>16，故D正确． 答案：CD [规律总结]　构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型； (2)构建的函数模型有误； (3)忽视函数模型中变量的实际意义． [对点练习]　3.(1)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A. p1 ≥p2 B．p2>10p3 C. p3 ＝100p0 D．p1≤100p2 解析：由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40， 对于选项A：可得Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p0)－20×lg eq \f(p2,p0)＝20×lg eq \f(p1,p2)，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p2)≥0，即lg eq \f(p1,p2)≥0，所以 eq \f(p1,p2)≥1且p1，p2＞0，可得p1≥p2，故A正确； 对于选项B：可得Lp2－Lp3＝20×lg eq \f(p2,p0)－20×lg eq \f(p3,p0)＝20×lg eq \f(p2,p3)，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lg eq \f(p2,p3)≥10，即lg eq \f(p2,p3)≥ eq \f(1,2)，所以 eq \f(p2,p3)≥ eq \r(10)且p2，p3>0，可得p2≥ eq \r(10)p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为Lp3＝20×lg eq \f(p3,p0)＝40，即lg eq \f(p3,p0)＝2，可得 eq \f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：Lp1－Lp2＝20×lg eq \f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg eq \f(p1,p2)≤40，即lg eq \f(p1,p2)≤2，可得 eq \f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确． 答案：ACD (2)(多选)如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有(　　 ) A．野生水葫芦的面积每月增长量相等 B．野生水葫芦从9 m2蔓延到36 m2历时超过1个月 C．设野生水葫芦蔓延到9 m2，20 m2，40 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t3<2t2 D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度 解析：由图可知野生水葫芦第一个月增长面积为2 m2，第二个月增长面积为6 m2，A错误； 由图可知野生水葫芦从9 m2蔓延到36 m2历时超过1个月，B正确； 野生水葫芦的面积与时间的函数关系为f(t)＝3t，f(t1)＝3t1＝9⇒t1＝2，f(t2)＝3t2＝20⇒t2＝log320，f(t3)＝3t3＝40⇒t3＝log340，t1＋t3＝log3360，2t2＝2log320＝log3400，所以t1＋t3<2t2，C正确； 野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为 eq \f(27－3,3－1)＝12(m2/月)，野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为 eq \f(81－9,4－2)＝36(m2/月)，D错误． 答案：BC 一、单选题 1．(2024·甘肃武威模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x(x＋3)，x<0，,x(x－3)，x≥0，))则函数f(x)的零点个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：当x<0时，由x(x＋3)＝0，得x＝－3或0(舍去)；当x≥0时，由x(x－3)＝0解得x＝0或x＝3，故共有3个零点． 答案：C 2．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　 ) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ eq \f(1,2x) C．f(x)＝－ eq \f(1,x) D．f(x)＝3|x-1| 解析：因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝ eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝ eq \f(1,2x)在(0，＋∞)上单调递减，故B错误； 因为y＝ eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－ eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； 因为f( eq \f(1,2))＝＝＝ eq \r(3)，f(1)＝3|1-1|＝30＝1，f(2)＝3|2-1|＝3，显然f(x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D错误． 答案：C 3．已知函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，则函数g(x)＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(loga(x＋1)))的图象大致为(　　 ) 解析：由2a＝4，得a＝2，则g(x)＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log2(x＋1)))＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－log2(x＋1)，－1<x<0，,log2(x＋1)，x≥0，))函数定义域是(－1，＋∞)，在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C选项符合要求． 答案：C 4．(2024·福建三明三模)若a＝(－ eq \f(2,3)) eq \s\up6(\f(2,3))，b＝(－ eq \f(1,3)) eq \s\up6(\f(2,3))，c＝，则(　　 ) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>c>a 解析：由题意得a＝(－ eq \f(2,3)) eq \s\up6(\f(2,3))＝( eq \f(2,3)) eq \s\up6(\f(2,3))，b＝(－ eq \f(1,3)) eq \s\up6(\f(2,3))＝( eq \f(1,3)) eq \s\up6(\f(2,3))， 由于y＝x eq \s\up6(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，故1＝1 eq \s\up6(\f(2,3))>a＝( eq \f(2,3)) eq \s\up6(\f(2,3))>b＝( eq \f(1,3)) eq \s\up6(\f(2,3))； 而y＝在(0，＋∞)上单调递减，故c＝>＝1，故c>a>b. 答案：A 5．(2024·新疆乌鲁木齐二模)设x>0，函数y＝x2＋x－7，y＝2x＋x－7，y＝log2x＋x－7的零点分别为a，b，c，则(　　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b 解析：分别令y＝x2＋x－7＝0，y＝2x＋x－7＝0，y＝log2x＋x－7＝0， 则x2＝－x＋7，2x＝－x＋7，log2x＝－x＋7，则a，b，c分别为函数y＝－x＋7与函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x图象交点的横坐标， 分别作出函数y＝x2，y＝－x＋7，y＝2x，y＝log2x的图象，如图所示， 由图可知，a<b<c. 答案：A 6．(2024·河北沧州模拟)某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25 g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：由题意知r0＝2.25 g/m3，r1＝2.21 g/m3，当n＝1时，r1＝r0＋(r1－r0)×30.25+t，故30.25+t＝1，解得t＝－0.25， 所以rn＝2.25－0.04×30.25(n-1). 由rn≤0.65，得30.25(n-1)≥40，即 0.25(n －1)≥ eq \f(lg 40,lg 3)，得n≥ eq \f(4(1＋2lg 2),lg 3)＋1≈14.33，又n∈N*，所以n≥15， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次． 答案：D 7．函数f(x)＝|2x－m|－|ln x|有且只有一个零点，则m的取值可以是(　　 ) A．2 B．1 C．3 D．e 解析：f(x)＝|2x－m|－|ln x|＝0⇔m－2x＝ln x或m－2x＝－ln x， 显然h(x)＝2x＋ln x单调递增，令g(x)＝2x－ln x(x>0)， 则g′(x)＝2－ eq \f(1,x)，当0<x< eq \f(1,2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x> eq \f(1,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g( eq \f(1,2))＝1＋ln 2， 注意到h(x)＝g(x)的交点为(1，2)，而2>1＋ln 2， 所以在同一平面直角坐标系中作出h(x)，g(x)的图象如图所示， 由图可知m＝h(x)，m＝g(x)的根的个数之和为1，当且仅当m<1＋ln 2， 对比选项可知m的取值可以是1. 答案：B 8．(2024·福建漳州模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x)－1)的零点个数为(　　 ) A．3 B．5 C．6 D．8 解析：依题意，函数g(x)＝f(f(x)－1)零点的个数，即为方程f(f(x)－1)＝0解的个数， 令f(x)－1＝t，则f(t)＝0，当t>0时，ln t－ eq \f(1,t)＝0，令h(t)＝ln t－ eq \f(1,t)，t>0， 函数y＝ln t，y＝－ eq \f(1,t)在(0，＋∞)上单调递增，于是函数h(t)在(0，＋∞)上单调递增， 又h(1)＝－1<0，h(e)＝1－ eq \f(1,e)>0，则存在t1∈(1，e)，使得h(t1)＝0； 当t≤0时，－|t＋1|＋1＝0，解得t＝0或－2，作函数f(x)＝ 的大致图象，如图： 又f(x)－1＝t，则f(x)＝t＋1， 当t＝0时，f(x)＝1，由y＝f(x)的图象知，方程f(x)＝1有两个解； 当t＝－2时，f(x)＝－1，由y＝f(x)的图象知，方程f(x)＝－1有两个解； 当t＝t1，t1∈(1，e)时，f(x)＝t1＋1，由y＝f(x)的图象知，方程f(x)＝t1＋1有一个解， 综上所述，函数g(x)＝f(f(x)－1)的零点个数为5. 答案：B 二、多选题 9．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是常数．已知在前5 h消除了10%的污染物．则下列结论正确的是(　　 ) (参考数据：ln 0.5≈－0.693，ln 0.9≈－0.105) A．k＝ eq \f(1,5)ln 0.9 B．过滤10 h后还剩余81%的污染物 C．污染物减少50%所需要的时间为31 h D．污染物减少50%所需要的时间为33 h 解析：由题意，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝(1－10%)P0＝0.9P0. 于是有0.9P0＝P0e-5k，解得k＝－ eq \f(1,5)ln 0.9，故A错误； 当t＝10时，P＝P0e-10k＝P0e2ln 0.9＝P00.92＝81%P0，故B正确； 当P＝50%P0＝0.5P0时，有0.5P0＝P0e－kt，解得t＝ eq \f(ln 0.5,\f(1,5)ln 0.9)≈ eq \f(－0.693,0.2×(－0.105))＝33，故C错误，D正确． 答案：BD 10．(2024·浙江金华模拟)已知0<a<b<1，m>n>1，则(　　 ) A．ba>ab B．mn>nm C．logba>logmn D．logan>logbm 解析：因为0<a<b<1，所以指数函数y＝bx在R上单调递减，且a<b，所以ba>bb，因为幂函数y＝xb在(0，＋∞)上单调递增，且a<b，所以ab<bb，所以ba>ab，故A正确； 取m＝5，n＝2，则52<25，故B错误； 因为对数函数y＝logbx在(0，＋∞)上单调递减，y＝logmx在(0，＋∞)上单调递增，所以logba>logbb＝1，logmn<logmm＝1，所以logba>logmn，故C正确； 因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln a<ln b<0，ln m>0，则logam＝ eq \f(ln m,ln a)> eq \f(ln m,ln b)＝logbm，因为对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，所以logan>logam>logbm，故D正确． 答案：ACD 11．(2024·河北邢台模拟)已知函数f(x)＝ex＋2x－2，g(x)＝2ln x＋x－2的零点分别为x1，x2，则(　　 ) A．2x1＋x2＝2 B．x1x2＝ex1＋ln x2 C．x1＋x2> eq \f(4,3) D．2x1x2< eq \r(e) 解析：由题意，＋2x1－2＝0，2ln x2＋x2－2＝0，所以＋2x1＝2ln x2＋x2＝2，即＋2ln ＝2ln x2＋x2＝2， 所以＝x2，故2x1＋x2＝2x1＋＝2，故A正确； 由f(x)＝0，g(x)＝0得ex＝－2x＋2，ln x＝－ eq \f(1,2)x＋1，故函数y＝ex与y＝－2x＋2图象交点的横坐标和y＝ln x与y＝－ eq \f(1,2)x＋1图象交点的横坐标即为函数f(x)和g(x)的零点x1，x2， 如图，由图象性质可知0<x1< eq \f(1,2)，1<x2<2， 又由A得＝x2，故x1＝ln x2，所以x1x2＝x1<<＋x1＝＋ln x2，故B错误； 由已知得2ln x2＋x2－2＝0，即2ln x2＋x2＝2，由x1＝ln x2以及1<x2<2得x1＋x2＝ln x2＋x2＝ eq \f(2ln x2＋2x2,2)＝1＋ eq \f(1,2)x2> eq \f(3,2)> eq \f(4,3)，故C正确； 由A、B得＝x2，0<x1< eq \f(1,2)，2x1＝2－<1，所以2x1x2＝2x1＝(2－ex1)<< eq \r(e)，故D正确． 答案：ACD 三、填空题 12．请估计函数f(x)＝ eq \f(6,x)－log2x零点所在的一个区间________. 解析：函数f(x)＝ eq \f(6,x)－log2x为(0，＋∞)上的减函数，且函数的图象在(0，＋∞)上为一条连续不断的曲线， 又f(3)＝2－log23>2－log24＝0，f(4)＝ eq \f(3,2)－2＝－ eq \f(1,2)<0， 所以函数f(x)＝ eq \f(6,x)－log2x零点所在的一个区间为(3，4). 答案：(3，4) 13．(2024·全国甲卷)已知a>1且 eq \f(1,log8a)－ eq \f(1,loga4)＝－ eq \f(5,2)，则a＝______． 解析： eq \f(1,log8a)－ eq \f(1,loga4)＝ eq \f(3,log2a)－ eq \f(1,2)log2a＝－ eq \f(5,2)，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 答案：64 14．(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|ln x|＋\f(1,x)，x>0，,－x2－x＋4，x≤0，))g(x)＝－x＋a，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范围是__________． 解析：由题意设h(x)＝f(x)＋x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点即为方程h(x)＝a的根，在同一平面直角坐标系中分别画出函数h(x)的图象以及直线y＝a如图所示： 若函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点x1，x2，x3，不妨设为x1<x2<x3， 则方程h(x)＝a的根有三个根x1，x2，x3，且x1≤0<x2<1<x3，所以a∈(2，4]， 且2<a＝－x eq \o\al(2,1)＋4＝－ln x2＋x2＋ eq \f(1,x2)＝ln eq \f(1,x2)＋ eq \f(1,x2)＋ eq \f(1,\f(1,x2))＝ln x3＋x3＋ eq \f(1,x3)≤4， 因为y＝ln x＋x＋ eq \f(1,x)在(1，＋∞)单调递增，所以x3＝ eq \f(1,x2)，即x2x3＝1， 所以x1·x2·x3＝x1， 令2＝a＝－x2＋4，x≤0，解得x＝－ eq \r(2)，令4＝a＝－x2＋4，x≤0，解得x＝0， 所以x1·x2·x3＝x1∈(－ eq \r(2)，0]. 答案：(－ eq \r(2)，0] $$