精品解析：吉林省松原市宁江区第一中学2024-2025学年 下学期寒假作业质量检测 九年级数学

寒假作业质量检测：九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 目前全世界人口约为人，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法表示较大数时，一般形式为的形式，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此即可求解， 【详解】解：， 故选：D． 3. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，底层是长方形，上层的右边是一个小正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了主视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图． 4. 如图，直线，线段AB交，于D，B两点，过点A作交直线于点C，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直定义、平行线的性质等知识点．利用三角形的外角性质可得的度数，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题关键．根据内接四边形的性质可知，得到，再根据圆周角定理得到，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 是所对圆周角，是所对圆心角， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 【答案】（a+2b）（a﹣2b） 【解析】 【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可． 解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b）， 故答案为（a+2b）（a－2b）． 7. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， ∴此不等式组的解集为：， 故答案为：． 8. 如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行作答即可． 【详解】解：这样做依据的数学道理是：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 9. 如图，若正方形和正六边形有一边重合，则的度数为________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的每个内角度数．熟练掌握相关计算公式是解题的关键．先算出正方形和正六边形每个内角的度数，再求出的度数即可． 【详解】解：正方形的一个内角的度数为：， 正六边形一个内角的度数为： ， ∴ ． 故答案为：． 10. 如图，在扇形中，已知，，过点B作于点C，分别以，为边作矩形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的面积，涉及扇形、矩形、勾股定理和三角形的面积，解题的关键是数形结合．根据题意可计算出和的长度，再求出的长度，最后根据，即可求解． 【详解】解：，，， ，，， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题共87分） 11. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先进行完全平方公式和平方差公式的运算，化简后再代值计算即可． 【详解】 将代入上式得： 12. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握画树状图或者列表求解概率的性质；画出树状图，共有9个等可能的结果，小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有4个，即可完成求解． 【详解】解：根据题意，可以画出如下树状图： 共有9种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有4种， ∴P（小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同）． 13. 某生态柑橘园现有柑橘若干吨，计划租用两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用3辆型车和2辆型车一次可运柑橘13吨；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘18吨，则1辆型车和1辆型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ 【答案】1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨 【解析】 【分析】根据用3辆型车和2辆型车一次可运柑橘13吨；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘18吨，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：设满载时1辆型车一次可运柑橘吨，1辆型车一次可运柑橘吨，依题意， 得，解得：， 答：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 14. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，画出一个，使是轴对称图形，且点在格点上； （2）在图②中，在线段上找一点，使； （3）在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）． 【答案】（1） 如图，以为腰的即为所求； ， （2） 点即为所求． （3） 如图：线段即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图、等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）找到格点E，F，连接，交于D，点，即为所求； （3）取格点C、F、G、连接、、交于点O，得为等腰直角三角形，再证四边形是平行四边形，得，根据平行线的性质即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图②，，， ∴ ∵，， ∴ 【小问3详解】 取格点C、F、G、连接、、， 由图知：，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ， ∵，，， 四边形是平行四边形， ∴， ， 即与的夹角为. 15. 为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求这一函数的解析式； （2）已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 【答案】（1）； （2）清理完这条河道一共需要6天． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设y与x的函数解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， ∴所求函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 答：清理完这条河道一共需要6天． 16. 体育测试前，为了解选报引体向上的七年级男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的七年级男生测试成绩，并将测试成绩绘成了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）通过计算补全条形统计图； （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 、 ； （3）该区体育测试选报引体向上的七年级男生共有2400人，如果体育测试中引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育测试中选报引向上的男生能获得满分的有多少名? 【答案】（1） 补全条形统计图，如图所示： （2）5，5 （3）1080 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，中位数，众数的计算，以及用样本估计总体．能够读懂题意，结合两个统计图从中获取信息是解题的关键． （1）先计算出总共被抽取的学生人数，再计算出扇形统计图中a的值，再用总人数乘以a算出做6个引体向上的学生人数，最后再补全条形统计图即可； （2）根据众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可． 【小问1详解】 解：总共被抽取的人数为人， 扇形统计图中， ∴做6个引体向上的学生人数为人， 【小问2详解】 解：这次抽测中做5个的人数最多，因此众数为5个； 中位数个． 故答案为：5，5 【小问3详解】 解人， 估计该区体育测试中选报引向上的男生能获得满分的有1080名． 17. 如图是某仓库货物传送带的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，仓库计划改造传送带与地面的夹角，使其中原来的减小为，已知原来传送带长为5米．求新传送带的长度（结果保留一位小数，参考数据：，，，）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，先在中求出的长，进而在中求出的长． 【详解】解：如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，， （米） 在中，，，，， （米）． 答：新传送带的长约为米． 18. 甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发，骑行3千米时，乙才出发，开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变．2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示． （1）图中t的值为 ； （2）求甲改变骑行速度后，y与x的函数关系式； （3）直接写出在乙骑行过程中，甲、乙两人相距2千米时x的值． 【答案】（1）1． （2）． （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． （1）求出乙的速度为15千米时，根据开始时，甲、乙两人骑行速度相同，可得； （2）设甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为，把，代入可得； （3）根据甲乙两人相距列方程求值即可． 【小问1详解】 由图象可得，乙的速度为（千米时）， 开始时，甲、乙两人骑行速度相同， ， 故答案为：1； 【小问2详解】 设甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为， 把，代入得： ， 解得， 甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为； 【小问3详解】 乙的速度为15千米小时， 乙骑行过程中，关于的函数解析式为， 甲、乙两人相遇前后相距， 则， 解得或 所以当或时，甲乙两人相距． 故答案为：或 19. 如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点． （1）观察猜想：线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到题图2的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； （3）如图3：在（2）的条件下，当点M恰好落在边上时，已知，，求的面积． 【答案】（1），； （2） 解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转知，， ∵，， ∴， ∴，， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，，， ∴， ∴是等腰三角形，同（1）的方法得，， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出，得出BD＝CE，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点P，N是，的中点， ∴，， ∵点P，M是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，点M是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是求出EC的长． 20. 如图，在正方形中，对角线与交于点O，，点P从点A出发以速度沿向终点C运动，同时点Q从点D出发以速度沿折线向终点B运动．过点P作，与折线和分别交于交于点E，F．设的面积为，点P的运动时间为t（s），点P、Q到达终点后都停止运动． （1）当点Q在边上时，点Q到对角线的距离为 ，点Q到直线的距离为 ；（用含t的式子表示） （2）求S与t之间的函数解析式； （3）当过的中点时，直接写出t的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）如图，过点Q作交的延长线于点H，交于点G，当点在边上时．根据四边形是正方形，得出，，证明四边形是矩形，得出，根据题意可得：，即可得出，，即可求解； （2）分为2种情况．①当点在边上时，根据（1）可得，，，根据四边形是正方形，得出，，即可得出，再根据即可求解． ②当点在边上时，如图，过点Q作交的于点H，交于点G，根据四边形是正方形，得出，，证明四边形是矩形，得出，根据题意可得：，表示出，，根据①可得，再根据即可求解．③当点Q停止运动时，同理即可求解； （3）如图．①当点Q未停止运动，过的中点R时，得出，证明，根据相似三角形的性质得出，再根据，列方程即可求解；②当点Q停止运动，过的中点R时，同①即可求解． 【小问1详解】 如图，过点Q作交的延长线于点H，交于点G， 当点在边上时． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∴当点在边上时，点到对角线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①当点在边上时， 根据（1）可得，， ∴， ， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点在边上时， 如图，过点Q作交的于点H，交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据（1）可得， ∴， 根据题意可得：， ∴， ∴， ， ， 根据①可得， ∴． ③当点Q停止运动时， ， 此时点P运动路程为：，点P位于点O， ， ， 如图，过点B作交的的延长线于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：． 【小问3详解】 如图．①当点Q未停止运动，过的中点R时， ∵四边形是正方形， ， 则， ∵， ， ， ， ， ． 解得：． ②当点Q停止运动，过的中点R时， ∵四边形是正方形， ， 则， ∵， ， ， ， ， ∴． 综上，或． 【点睛】该题是动点四边形问题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象经过点，点是抛物线上一点不与点重合，其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，求的取值范围； （3）当矩形内部的图象包括边界的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求的值； （4）设点的纵坐标为，当该抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的倍时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）且时，矩形内部的图象从左到右逐渐上升 （3）或或 （4）且时，抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的倍 【解析】 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）由题意，结合图象，可得且时，矩形内部的图象从左到右逐渐上升； （3）分两种情况讨论：当点在的下方时，矩形内部的图象的最高点纵坐标为，最低点纵坐标为，则解得；当点在的上方时，矩形内部的图象的最低点纵坐标为，最高点纵坐标为，则，解得或； （4）在矩形内部，在边上取点，使，过点作直线，则与抛物线始终有两个交点，且交点到直线的距离是到直线距离的倍，作直线关于直线的对称直线，则上的点到直线的距离是到直线距离的倍，由题意可知只需与抛物线有两个交点即可． 【小问1详解】 解：将点代入， ， 解得， ， 顶点为； 【小问2详解】 如图，当时，， 解得或， 垂直于轴，为对角线作矩形， 轴， 点横坐标为， 且时，矩形内部的图象从左到右逐渐上升； 【小问3详解】 当点在的下方时，矩形内部的图象的最高点纵坐标为， 最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为， 最低点纵坐标为， ， 解得； 当点在的上方时，矩形内部的图象的最低点纵坐标为， 最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为， 最高点纵坐标为， ， 解得或； 综上所述：或或； 【小问4详解】 如图，在矩形内部，在边上取点，使， 过点作直线，则与抛物线始终有两个交点，且交点到直线的距离是到直线距离的倍， 作直线关于直线的对称直线，则上的点到直线的距离是到直线距离的倍， 抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的倍， 只需与抛物线有两个交点即可， 当经过点时，， 且时，抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的倍． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业质量检测：九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 目前全世界人口约为人，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，线段AB交，于D，B两点，过点A作交直线于点C，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 7. 不等式组的解集是__________． 8. 如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是______． 9. 如图，若正方形和正六边形有一边重合，则的度数为________． 10. 如图，在扇形中，已知，，过点B作于点C，分别以，为边作矩形，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共11小题共87分） 11. 先化简，再求值：，其中． 12. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率． 13. 某生态柑橘园现有柑橘若干吨，计划租用两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用3辆型车和2辆型车一次可运柑橘13吨；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘18吨，则1辆型车和1辆型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ 14. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，画出一个，使是轴对称图形，且点在格点上； （2）在图②中，在线段上找一点，使； （3）在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）． 15. 为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求这一函数的解析式； （2）已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 16. 体育测试前，为了解选报引体向上的七年级男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的七年级男生测试成绩，并将测试成绩绘成了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）通过计算补全条形统计图； （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 、 ； （3）该区体育测试选报引体向上的七年级男生共有2400人，如果体育测试中引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育测试中选报引向上的男生能获得满分的有多少名? 17. 如图是某仓库货物传送带的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，仓库计划改造传送带与地面的夹角，使其中原来的减小为，已知原来传送带长为5米．求新传送带的长度（结果保留一位小数，参考数据：，，，）． 18. 甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发，骑行3千米时，乙才出发，开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变．2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示． （1）图中t的值为 ； （2）求甲改变骑行速度后，y与x的函数关系式； （3）直接写出在乙骑行过程中，甲、乙两人相距2千米时x的值． 19. 如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点． （1）观察猜想：线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到题图2的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； （3）如图3：在（2）的条件下，当点M恰好落在边上时，已知，，求的面积． 20. 如图，在正方形中，对角线与交于点O，，点P从点A出发以速度沿向终点C运动，同时点Q从点D出发以速度沿折线向终点B运动．过点P作，与折线和分别交于交于点E，F．设的面积为，点P的运动时间为t（s），点P、Q到达终点后都停止运动． （1）当点Q在边上时，点Q到对角线的距离为 ，点Q到直线的距离为 ；（用含t的式子表示） （2）求S与t之间的函数解析式； （3）当过的中点时，直接写出t的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象经过点，点是抛物线上一点不与点重合，其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，求的取值范围； （3）当矩形内部的图象包括边界的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求的值； （4）设点的纵坐标为，当该抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的倍时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $